Тройные продукты собственных функций и спектральной геометрии

Минимальная поверхность Лоусона ξ_6,1 стереографически спроецирована с S³ на R³

Автор

Шефер, Джо

Абстрактный

Использование элементарных методов геометрического анализа, частичных дифференциальных уравнений и абеля $C^*$ Алгебры, мы раскрываем новый, но знакомый, глобальный геометрический инвариант —

Введение

За закрытый риманский многообразие $(M,g)$, характеризуя его класс неизометрических, изоспектральных многообразий является типом обратной задачи [DH11] в спектральной геометрии. Наивно можно предположить, что этот класс всегда будет пустым. Однако академическая литература богата многолетними конструкциями специфических пар контрпримеров: начиная с 1964 года с 16-мерной пары неизометрических, изоспектральных плоских тори Джона Мильнора. [JM64]и продолжается [CS92] к общей размерной характеристике плоских тори в докторской диссертации Александра Шимана 1993 года [AS94] — заполнить с помощью компьютера поиск критического $\dim = 3$ случай. Современный обзор истории плоских тори появляется в [NRR22].

По пути были проницательные ответвления в более сложные, неевклидовые симметричные пространства покрытия; построение таких изоспективных, неизометрических «дуэтов» с участием нетривиальных тензоров кривизны (и их спектральных характеристик Эйлера в измерении 2 [MS67].) Ярким примером этого усилия был Тосикадзу Сунада в 1985 году. [TS85].

Для неоднородных показателей Римана Кэролин Гордон обнаружила дуэты, которые даже не являются изометрическими. [CG93].

Работа продолжается во многих смежных областях [DH11], например, определение топологических характеристик класса изоспектральных, неизометрических многообразий вообще (пусто) [ST80], конечный [AS94], жесткий [GK80], и компактный [GZ97].

То, что мы предлагаем в этой статье, – это новый взгляд на знакомый инструмент: индексированные коэффициенты Фурье парных продуктов собственных функций как дискретный «алгебраический/топологический инвариант», дополняющий существующий дискретный «аналитический инвариант» — неотрицательный спектр оператора Лапласа-Белтрами (далее – Лапласиан) на $L^2(M,g)$

результатов

Симметрия играет важную роль в вычислительных случаях [TF17] [LS18] [PS94], что уместно проиллюстрировано в наших плоских тори Пример.

Мотивация к изучению $\set{M^{i,j,k}}$ является свободно производным от изучения роли оператора линейного умножения $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ в определении алгебры оператора вершины [FBZ04] Теория Чирального Конформального Поля. Здесь $V$ Векторное пространство государств и $V((z))$ является пространством формальной серии Лорана в $z$ с коэффициентами в $V$. С $V$ часто поставляется в качестве пространства Гильберта с традиционной ортонормальной основой серии Фурье, индексирование $Y$ использование базовых элементов Фурье $V$ только немного больше, чем $M^{i,j,k}$

Эти результаты были впервые продемонстрированы во время аналогичного озаглавленного выступления автора в MSRI в 1997 году, но они появляются здесь в опубликованной форме впервые.

Предварительные ограничения

Теперь с $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ как выше, для $f \in C^\infty(M)$ и $i \geq 0$

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

начиная с $f$ является уникальным, поскольку его быстро сходится Fourier Series ($\Delta_M$-специфические вставки Соболева [MT13] [RS75]вместе с асимптотическим законом Вейля [HW11], подразумевают условия в сумме $o(i^{-n})$ равномерно в $x$* [LH68], $\forall n\in\N$Затем мы видим это для $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, коэффициенты Фурье точечного продукта $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}$$

и т. д., критически, любой многомерный многочлен $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (по плавным функциям) выключает с любым сохранением спектра $\Delta$- карта собственной функции ортонормальной основы $\vec{F}$ которые сохраняют $\set{M^{i,j,k}}$

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

Более того, если $A\subset M$ Борель-измеряемый, тогда результаты выше удерживают точечно для *характеристической функции $A$везде, кроме границы $A$: если $f = f^2$ и $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

и по уникальности мы имеем следующую идентичность

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

Это означает, что любая такая базовая карта, как указано выше, несет характерные функции (как члены $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$

Цель этих вычислений – подчеркнуть тот факт, что $\set{M^{i,j,k}}$ характеризует Гармонический анализ оператора точечного умножения на $C^\infty(M)$что является плотной субальгеброй Авеля $C^*$ алгебра $C(M)$

Для быстрого сближения этих вышеуказанных сумм, включающих $M^{i,j,k}$Обратите внимание, что продукты собственных функций являются гладкими, поэтому эти коэффициенты Фурье распадаются, как указано выше (в каждом индексе). Более подробную информацию см. в работе Эмметта Уаймана в 2022 году с этими коэффициентами, поскольку это связано с неравенством треугольника на собственных оценках. [EW22].

Примечание: мы всегда можем предположить

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

где $\delta_i$ Это дельта Кронекера. С $vol(M)$ является спектральным инвариантом [HW11].

Доказательство теоремы

По необходимости, пусть $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ быть изометрией между замкнутыми римановскими многообразиями и позволить целевой ортонормальной основе собственных функций на $L^2(N,h)$ быть откатом через $F$ ортонормальной основы $\set{e^i}$ включено $(M,g)$

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

Мы делаем это с аргументом необходимости, потому что $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$

Для достаточности, мы теперь рассмотрим линейную, биометрическую ортонормальную основную карту собственной функции $\vec{F}$ из $C^\infty(M)$ по $C^\infty(N)$ и обратите внимание, что из расчетов в Предварительные ограничения выше, $\vec{F}$ сохраняет точечные продукты для гладких функций (и сохраняет характерные функции при расширении до $L^2(M,g)$По предположению, что $\set{M^{i,j,k}}$

Лемма

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ сохраняет единую норму.

Доказательство Леммы

Отпустить $\set{a_i}$ быть гладким разделением единства на $M$

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

Таким образом $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$

господствующей теоремой конвергенции,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

которая является характерной функцией положительного измерения на каждом несвязанном подмножестве $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. Это означает, что Лемма доказана для каждого $a_j$, поскольку ограничивающая характерная функция набора с положительной мерой сохраняется, и, следовательно, имеет равномерную норму 1, как и все $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$

Без потери общности мы можем применить специальный результат случая, показанный для плавного раздела единства $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, где $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$

Это означает, что на плотном наборе $C(M)$ (и $C(N)$), мы установили $\vec{F}$ как изоморфизм абеля $C^*$ алгебры и, таким образом, могут быть расширены до изоморфизма $C(M)$ и $C(N)$

Теперь применим теорему представления Гельфанда-Наймарка (в форме противоположного функтора) к Абеляну. $C^*$ алгебры [JC19] представлять этот изоморфизм гомеоморфизмом $F$ между $N$ и $M$

Как это теперь отличается $F$ сохранение собственных значений и собственных функций (по гипотезе о $\vec{F}(f) = f\circ F$), он должен сохранять лаплациан на гладких функциях. Следовательно, он также должен сохранить основные символы этих же эллиптических операторов. [MT13].

Это подтверждает теорию.

Обсуждение гипотезы

С $\set{M_0^{i,j,k}}$ и $\set{M_1^{i,j,k}}$ представление двух наборов трех продуктов для баз $\set{e_0^i}$ и $\set{e_1^i}$, позвонить $z_i \in \set{-1,1}$ быть $\Z_2^\infty$ действия по такому $\R$-ценная ортонормальная основа $\set{e_1^i}$. Таким образом, мы должны выбрать $z_i$ поэтому $\set{z_ie_1^i}$ доходность $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$

Мы обязательно видим, что

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.$$

Мы надеемся, что для любого $k$, $M_0^{i,i,k}$ не может быть одинаковым $0$ для всех $i$. На первый взгляд, это не кажется невозможным, если $M$ имеет группу симметрии «давно/нечетно», и $e^k$ Странно, но надежда верна для случая плоского тори ниже (который не удовлетворяет однородному условию собственной ценности = 1). Формула (11) для $z_k$ требует обоих $i$-независимость и достаточность, для установления базисной карты $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ консервы $\set{M_0^{i,j,k}}$

Тем не менее, давайте вычислим некоторые соответствующие идентичности, чтобы некоторые бесстрашные будущие исследователи могли копаться в этой гипотезе:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k}\\ \text{Now by polarization}\\ M^{i,j,k} &= \frac{\bra{(e^i+e^j)^2 - (e^i - e^j)^2}\ket{e^k}}{4} = \frac{M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k}}{2},\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\ \\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ df\cdot df = \sum_kQ_k(f,f)e^k &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)M^{i,j,k}e^k\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)(M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k})e^k\\ = g^2 &= \sum_{i,j,k}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k}e^k \implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

Примечание: для одномерного плоского корпуса ниже, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ начиная с $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$

Пример

Отпустить $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ быть индексированным, рангом $n$ решетка весов алгебры Ли для пространственного представления коэффициента $\frak{g}=\Reals^n$ как трансляционные инвариантные (т.е. постоянные) векторные поля на себе, когда $\R^n$ также рассматривается как $\frak{g}$Связанная группа Ли над тором, определенным $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. Эти веса определяют интегрируемые лифты 1-форм над тором, которые интегрируются с линейными функциями $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ как группа лжи (покрывающая тор). Эти линейные функции затем могут быть равномерно восстановлены (по $2\pi \sqrt{-1}$) и образовывает мультипликативные символы, которые спускаются для формирования ортонормальной основы $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, с мерой Лебега (Хаар) $dx$

Кроме того, эта основа одновременно диагонализирует лаплациан плоского тора **потому что **лаплациан представляет собой изображение симметричного, отрицательно-определенного квадратического элемента Казимира под этим (постоянный коэффициент линейного дифференциального оператора) пространственное представление универсальной обволакивающей алгебры. Следовательно, его собственные величины находятся в постоянной пропорции (из $4\pi^2$

В настоящее время мы рассматриваем вышеуказанную основу

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

быть нашим Теоремоприменимым Фурье основанием ортонормальных (мультипликативного характера) собственных функций (этого условного представления (отрицательного) евклидово-казимирского элемента), непосредственно соответствующих $\set{\lambda_i}$. Согласно нашим гипотезам, мы должны иметь $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$

Теперь можно вычислить

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Поскольку это уравнение является линейным на весовой решетке $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$, только $L^2$ ортонормальная собственнофункция базисная карта которая индуцируется из объем-сохранения обратимой линейной карты между двумя такими индексированные, ранга $n$ весовые решетки сохранят «алгебраический/топологический» индексированный набор данных $\set{M^{i,j,k}}$

Для того, чтобы применить ТеоремаОчень важно, чтобы такая линейная карта $B$ быть $B\in O(n,\Reals)$ на весовой решетке, потому что $L^2$

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

Необходимо также сохранить «аналитические» инварианты — Казимир-элемент индуцированная фигура $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$

Теоретический отчет [AK01] точно эквивалентно предшествующей разработке решетчатой конгруэнтности* [NRR22] Традиционно используется для определения классов изометрии плоских тори. На самом деле, матрица переносит такую линейную карту $B\in O(n,\Reals)$, как описано в предыдущем параграфе, ** представляет собой противоположную римановскую изометрию между торами, как это предусмотрено применением Теоремы представления Гельфанда-Наймарка во время Подтверждение нашего Теорема.

Число подтверждений

Первоначальное исследование было частично профинансировано любезной исследовательской премией Джеймса Саймонса в 1995-1996 годах и щедрой поддержкой Альфреда П. Диссертационная стипендия Слоуна в 1996-1997 годах в Университете Стоуни Брука.

Автор также хотел бы поблагодарить Таню Кристиансен, Кэролин Гордон, Хамида Хезари, Хариша Сешадри и особенно Леона Тахтаджана за их техническую помощь и обзор в подготовке этой рукописи к публикации.