المنتجات الثلاثية من وظائف Eigenfunctions والهندسة الطيفية

المؤلف

جو شايفر

التفاني

إلى الخريف

مجرّدات

استخدام التقنيات الأولية من التحليل الهندسي، المعادلات التفاضلية الجزئية، و أبيليان $C^*$ الجبرا، نكشف عن رواية، ولكنها مألوفة، تميز هندسي عالمي — وهي مجموعة مفهرسة من التكاملات من المنتجات الثلاثية من eigenfunctions من مشغل Laplace-Beltrami، لتوصيف بدقة أي isospectral مغلقة Riemannian متعددة isometric.

مقدمة

لRiemannian مغلقة متعددة $(M,g)$، الذي يميز كلاسه من غير متساوي القياس، هو نوع من المشاكل العكسية [DH11] في الهندسة الطيفية. يمكن للمرء أن يتكهن بأن هذا الفصل سيكون دائمًا فارغًا*. ومع ذلك، فإن الأدب الأكاديمي غني بالإنشاءات التي عمرها عقود من الاقتران المحدد للأمثلة المضادة: بدءًا من عام 1964 مع زوج جون ميلنور 16-dimensional من التوري المسطح غير المتساوي القياس، والتوري المسطح الأيزوسيبكتري. [JM64]، والمتابعة [CS92] نحو توصيف الأبعاد العامة لتوري شقة في الكسندر شيمان 1993 أطروحة الدكتوراه [AS94] — تمتلئ بالبحث بمساعدة الكمبيوتر عن المهم $\dim = 3$ حالة. يظهر مسح حديث لتاريخ توري المسطح الكامل في [NRR22].

على طول الطريق كانت فروع ثاقبة في مساحات تغطية أكثر تطوراً وغير إقليدية متماثلة ؛ بناء مثل هذه isospectral، غير متساوي القياس “دوالي” تنطوي على موترات انحناء غير حية (وخصائص يولر التي تحددها الطيف في البعد 2 [MS67]مثال رئيسي على هذا الجهد كان توشيكازو سونادا في عام 1985 [TS85] اختراع إطار فضائي عام الغرض، والذي نشر بعد ذلك في نفس العمل لبناء قنوات زائدة في البعدين 2 و 3.

بالنسبة لمقاييس ريمانيان غير المتجانسة، اكتشفت كارولين غوردون قنوات ليست حتى متساوية القياس المحلية [CG93].

يستمر العمل في العديد من المجالات ذات الصلة [DH11]، مثل تحديد الخصائص الطوبولوجية لفئة isospectral، متعددة غير متساوية القياس بشكل عام (فارغة) [ST80]، محدود [AS94]، جامدة [GK80]، و المدمجة [GZ97]) كمجموعة فرعية من المساحات المعيارية المختلفة لمقاييس ريمانيان.

What we offer in this article is a new perspective on a familiar tool: معامِلات فورييه المفهرسة للمنتجات ثنائية الاتجاه من eigenfunctions كمنفصلة “تمييز جبري/طوبولوجي” لاستكمال القائمة، منفصلة “ثابت تحليلي” — طيف غير سلبي من *Laplace-Beltrami المشغل *(يشار إليها هنا باسم Laplacian) على $ℋ = L^2(M,g)$. معًا، نلاحظ أن الزوج يوفر “تمثيل هندسي عالمي منفصل” من الطبقات isometry من isospectral، مغلقة ريمانيان متعددة.

النتائج

من المهم الاعتراف $M^{i,j,k}$ ليس أساسًا متغيرًا: هناك إجراء تغيير وحدوي طبيعي على أساسه تمت مناقشته بالتفصيل بعد إثبات هذه النظرية. وتتضمن المناقشة مجموعات معينة من القيم الفردية التي يمكن للمرء أن يشكل تخمينًا عامًا حولها، والتي تدعي أن تلك المجموعة المرتبة من القيم الفردية تميز تمامًا مجموعة المشعبات الأيزوسفية.

بغض النظر عن النصف الكافي من التخمين العام، فإن الضرورة هي الحال دائمًا. وهذا يعني أن هذه المجموعات من القيم الفردية المحددة بواسطة $M^{i,j,k}$ ومرتبطة بكل ثلاثية eigenspace هي مجموعة جديدة من ريمانيان invariants.

إن العمل الشاق المقبل للبحث المستقبلي هو تحديد أزواج الأساس هذه، أو في تحديد أن مثل هذه الأزواج لا يمكن أن توجد على الإطلاق، فقط من خلال فحص خصائص $M^{i,j,k}$ في الأدلة. لكن هذه الورقة تضع هذا الهدف الأمامي والوسط: نسعى إلى تقليل الأسئلة الهندسية التحليلية للنظرية الطيفية إلى أسئلة الجبر الخطي الحسابية حول منتجات وظائف eigenfunctions.

يلعب التماثل دورًا مهمًا في الحالات القابلة للتداول الحسابي [TF17] [LS18] [PS94]الذي يتضح بشكل مناسب في لدينا شقة توري مثال أدناه. ومع ذلك، فإن قوة نهجنا ربما تكون واضحة على أفضل وجه في حالة تعدد الأشكال مع أقل عدد من التماثل ريمانيان، وهي الحالة العامة. في هذه الحالة، نقدم ما يلي

 

الدافع لدراسة $\set{M^{i,j,k}}$ مستمدة بشكل فضفاض من دراسة دور عامل الضرب الخطي $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ في تعريف الجبر المشغل الرأسي [FBZ04] مرتبط بنظرية الحقل المتوافق الحلزوني. هنا $V$ هو الفضاء المتجه للدول و $V((z))$ هي مساحة سلسلة لوران الرسمية في $z$ مع المعاملات في $V$. منذ $V$ غالبًا ما يأتي مجهزًا بمساحة Hilbert بأساس تقليدي من سلسلة Fourier، وفهرسة $Y$ باستخدام عناصر أساس Fourier من $V$ هو فقط أكثر مشاركة قليلا من $M^{i,j,k}$ دراسة الحالة هنا، ولكن مشابهة جدا في الروح. ومع ذلك، فإن المقارنة التفصيلية خارج نطاق هذه المقالة.

إذا نظرنا إلى الخريطة

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

تحدد هذه الورقة عن طريق الحقن في هذه الخريطة للتشعبات الريمانية المغلقة (حتى قياس ريماني في مجالها). المزيد من النتائج التي تطبق هذه التقنيات لوصف صورتها (والعكس)، ضمن مساحات محددة من المقاييس، بدأت للتو [AA25]. هناك، يعالج Anshul Adve بدقة المساحات الملموسة للوحدة من الثقوب المدمجة والمضخمة 2 باستخدام هذه الثوابت الهيكلية نفسها من نظرية الحقل المطابقة.

قد تكون بعض الصور مفيدة هنا. إذا تم إصلاح $(M,g)$ وانظر إلى مدارات $\set{M^{i,j,k}}$ تحت الحفاظ على تغيير أساس التحولات الوحدوية على الطيف $\set{e^i}$، نرى أن مدارات مختلفة isospectral $(M,g)$ تقسم صورة هذه الخريطة إلى جانب كلاسات isometry.

وأخيرا، نثبت أن حالة القياس ريمانيان العامة تتميز تماما بدراسة “قطري” $\set{\lambda_i, M^{i,\bar i,k}}$.

وقد أظهرت هذه النتائج لأول مرة خلال حديث مماثل من قبل المؤلف في MSRI في عام 1997، لكنها تظهر هنا في شكل منشور لأول مرة.

الحدود الأولية

الآن مع $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ كما سبق، لـ $f \in C^\infty(M)$ و $i \geq 0$ لاحظ أن معاملات فورييه

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x) \end{aligned}$$

منذ $f$ يمكن تمثيلها بشكل فريد لأنها تتقارب بسرعة Fourier Series ($\Delta_M$-Sobolev التضمين محددة [MT13] [RS75]، جنبا إلى جنب مع قانون فايل غير المقارن [HW11]، يعني المصطلحات في المجموع هي $o(i^{-n})$ بشكل منتظم في $x$ [LH68], $\forall n\in\N$ثم نرى ذلك من أجل $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$، معامِلات فورييه للمنتج الخاطئ $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ هي

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x) \end{aligned}$$

وهكذا، *حرج *، أي متعدد المتغيرات متعدد الحدود $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (في وظائف سلسة) يبدأ مع أي الحفاظ على الطيف $\Delta$-eigenfunction أورثورمال أساس خريطة $\vec{F}$ التي تحفظ $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

علاوة على ذلك، إذا $A\subset M$ هو بوريل-قابلة للقياس، ثم النتائج أعلاه عقد في اتجاه عقدي ل وظيفة مميزة من $A$ في كل مكان باستثناء حدود $A$: إذا $f = f^2$ و $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

وبتفردنا، لدينا الهوية التالية

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

وهذا يعني أن أي مخطط أساس من هذا القبيل كما هو موضح أعلاه يحمل وظائف مميزة (كأعضاء في $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) لوظائف مميزة بطريقة الحفاظ على القياس.

الهدف من هذه الحسابات هو التأكيد على حقيقة أن $\set{M^{i,j,k}}$ يميز تشغيل التحليل التوافقي لعامل تشغيل الضرب في اتجاه النقطة $C^\infty(M)$الذي هو تحت جبر كثيف من Abelian $C^*$ علم الجبر $C(M)$بواسطة نظرية ستون-فيرستراس.

من أجل التقارب السريع لهذه المبالغ المذكورة أعلاه التي تنطوي $M^{i,j,k}$لاحظ أن منتجات وظائف eigenfunctions سلسة، لذلك تتحلل معاملات Fourier هذه كما هو موضح أعلاه (في كل مؤشر). لمزيد من التفاصيل، انظر عمل إيميت وايمان في عام 2022 مع هذه المعامِلات من حيث صلتها بتفاوت المثلث في القيم الذاتية. [EW22].

Note: قد نفترض دائما

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

أينَ $\delta_i$ هو دلتا كرونيكر. منذ $vol(M)$ هو متغير طيفي [HW11]، هذه المعلومات متاحة بالفعل من اعتبارات isospectrality.

إثبات النظرية

للضرورة، دعونا $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ أن يكون isometry بين المشعبات ريمانيان مغلقة، والسماح الهدف أورثونورم أساس من eigenfunctions على $L^2(N,h)$ يكون الانسحاب عبر $F$ من اساس orthonormal $\set{e^i}$ يعمل $(M,g)$ فوق. منذ

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

نحن نفعل مع حجة الضرورة لأن $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

من أجل الكفاية، ننظر الآن في الخطي، والخريطة الأساسية لوظيفة تقويم العظام $\vec{F}$ من $C^\infty(M)$ لكي $C^\infty(N)$ ولاحظ أنه من الحسابات في الحدود الأولية فوق، $\vec{F}$ يحافظ على المنتجات الخاطئة للوظائف السلسة (ويحافظ على وظائف الخصائص عند تمديدها إلى $L^2(M,g)$) من قبل فرضية أن $\set{M^{i,j,k}}$ هو ثابت تحت هذه الخريطة.

ليما

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ يحافظ على القاعدة الموحدة.

دليل Lemma

دع $\set{a_i}$ أن يكون تقسيمًا سلسًا للوحدة $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

وهكذا $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (دلتا كرونيكير).

من خلال نظرية التقارب المهيمنة،

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

وهي وظيفة مميزة لقياس إيجابي على كل مجموعة فرعية غير مشتركة $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. وهذا يعني أن ليما ثبت لكل $a_j$، منذ يتم الحفاظ على وظيفة مميزة الحد من مجموعة مع مقياس إيجابي، وبالتالي لديه قاعدة موحدة 1، كما يفعل كل شيء $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$حسب الرسم البياني (6).

دون فقدان العمومية، قد نطبق نتيجة الحالة الخاصة الموضحة لتقسيم الوحدة بسلاسة $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$أين $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ له مقياس إيجابي، وقد ثبت ليما بالكامل.

منذ $\set {\bar e^i}$ هو أيضا أساس فورييه ل $L^2(M,g)$ومن الواضح من المعادلة (4) أن $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. وهذا يعني أنه على مجموعة كثيفة من $C(M)$ (و) $C(N)$)، لقد أنشأنا $\vec{F}$ كإيزومورفيا من أبيليان $C^*$ الجبر، وبالتالي يمكن أن تمتد إلى isomorphism من $C(M)$ و $C(N)$ في نفس الفئة.

الآن نطبق نظرية تمثيل Gelfand-Naimark-Segal (في شكل وظيفة موانع) لأبيليان الأحادية $C^*$ جبرس [JC19] لتمثيل هذا التحول من خلال التحول المنزلي $F$ بين $N$ و $M$. بما أنه حيوي على وظائف سلسة، يجب أن يكون سلسًا أيضًا.

كما هذا الآن مختلف الأشكال $F$ يحافظ على القيم الذاتية ووظائف eigenfunctions (بفرضية على $\vec{F}(f) = f\circ F$)، يجب الحفاظ على لابلاسي على وظائف سلسة. وبالتالي يجب عليه أيضًا الحفاظ على الرموز الرئيسية لنفس عوامل التشغيل البيضاوية. [MT13]. الرموز الرئيسية للLaplacian هي ببساطة وسيلة أخرى للتعبير عن مقياس ريمانيان على المشعبات المعنية.

هذا يكمل دليل النظرية.

مناقشة النتائج المرجانية

مع $\set{M_0^{i,j,k}}$ و $\set{M_1^{i,j,k}}$ تمثل مجموعتي المنتجات الثلاثية للقواعد $\set{e_0^i}$ و $\set{e_1^i}$، دع $z_i \in U_1$ يكون $U_1^\infty$ العمل على مثل هذا الأساس الخوارق $\set{e_1^i}$. وهكذا سنختار $z_i$ لذلك $\set{z_ie_1^i}$ العائدات $\set{M_0^{i,j,k}} = \set{z_i z_j \bar z_kM_1^{i,j,k}}$.

لماذا هذا هو الحال؟ بشكل عام، فإن مجموعة التناظر التي تعمل على مساحة القواعد الخيالية المحتملة لوظائف eigenfunctions هي مساحة المشغلين الوحدويين $U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ التي تنتقل مع التوقعات $P_{\mathscr V_\lambda}$ على مساحات الثعابين محدودة الأبعاد $\mathscr V_{\lambda}$ المرتبطة بكل eigenvalue الفردية $\lambda$ من Laplacian. لذلك

$$\begin{aligned} P_{\mathscr V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathscr V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

هي صورة $M^{i,j,k}$ تحت $U$إجراء الأساس $e^i \mapsto U(e^i)$.

الآن في ظل ظروف Corollary 2، كل من $\mathscr V_\lambda$ هي مساحات متجه أحادية البُعد عبر $\Complex$، ولكن هذا يعني أيضًا أنها مساحات متجهة أحادية البُعد $\Reals$، وبالتالي فإن مجموعة التماثل التعددي الكاملة هي $O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

وبشكل أعم، فإن الشرط المسبق المرتبط “فيما يتعلق بالاتفاق في قيم المنتجات” سيصبح ببساطة “الحفاظ على مجموعة مرتبة من القيم الفردية (يتم حسابها مع تعدد) من الخرائط الخطية من $\mathscr V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathscr V_{\lambda_j}, \mathscr V_{\lambda_k})$ محدد بواسطة $\set{M^{i,j,k}}$.” هنا المنتج الداخلي على $A,B \in Hom(\mathscr V_{\lambda_i}, \mathscr V_{\lambda_j})$ هو $tr (B^*A)$. حسب التعريف، تكون هذه القيم الفردية ثابتة تحت مبالغ مباشرة من التحويلات الوحدوية على $\mathscr V_\lambda$.

في حالة الطيف multiplicity-1، تكون المجموعة الكاملة من القيم المفردة هي ببساطة مجموعة القيم المطلقة لـ $M^{i,j,k}$ التي، ما زلنا نخمن، تميز تماما الطبقات isometry من هذه المشعبات isospectral. انظر المعادلة (22) للعلاقة الرئيسية بين هذا التخمين و Corollary 2. ما هو مفقود هو حجة الكفاية أنه إذا وافقت القيم المطلقة، فإن المتشعبات هي متساوي القياس ؛ مما يتطلب حجة للقضاء على إلغاء تغيير الإشارة المحتمل بين القواعد في ملخصات LHS للمعادلة (22).

نحن أقل ثقة بكثير من أن التخمين العام صحيح (خارج حالة الطيف التعددي-1)، لأنه قد يكون من الممكن إنتاج مثال مضاد (للكفاية) عبر بناء سونادا الصريح.

إذا كان تدوين المؤشر يشوه الوضع، فربما يساعد هذا الوصف المستقل عن الأساس. خذ $v_{\lambda} \in \mathscr V_{\lambda}$ والنظر في التعبير

$$P_{\mathscr V_\gamma}(v_\alpha v_\beta).$$

تذكر أن كل $\mathscr V_\lambda$ هي مساحة إقليدية محدودة الأبعاد معقدة. الكل $M^{i,j,k}$ هو توفير الإحداثيات الأساسية لهذا التعبير المستقل. منذ $1 = \oplus_\lambda P_{\mathscr V_\lambda}$ما تقوله النظرية هو أن التعبير المذكور أعلاه هو عرضي بين التشعبات إذا وفقط إذا كانت التشعبات متساوي القياس ؛ والتي يجب أن تأتي كصدمة لا أحد حرفيا. إن نصف هذه التخمينات الكافية هي إلى حد كبير مشاكل مجمعة تنطوي على إعادة بناء هذه التعبيرات فقط من تحلل قيمتها الفردية.

ومع ذلك، قد تكون هذه الثوابت الأساسية مفيدة في فك تشفير الحالات الأكثر تعقيدًا التي تنطوي على إثبات أن اثنين من المتشعبات الأيزوسفية ليست متساوي القياس، من خلال إظهار أن قيمهما الفردية ليست متطابقة بين القاعدتين المعنيتين.

جانبا

نظرية تمثيل مجموعة كذبة الاتفاق $G$ يأخذ Laplacian الصريح من المعادلة والدراسات تمثيلات غير قابلة للاختزال $\Phi^{(\lambda)} \in Hom(G,U(\mathscr V_\lambda))$ نحو تحلل مساحة هيلبرت $L^2(G,dg)$ هنا $dg$ هو مقياس احتمالية هار الذي تم تطبيعه على $G$) كما تم تناوله في نظرية بيتر-ويل، ويكرم تفاعلهم في التعبير أعلاه (عن طريق التحلل غير المكرر لمنتجات الموتر من الإزعاج) باعتبارها القطع الأثرية الأساسية لنظرية الكذب [AK01]. تتولد الهندسة الريمانية المتوافقة عن طريق الخيارات المريحة لعناصر الكاسيمير الرباعية التي تقع في وسط الجبر المغلف العالمي، والتي هي أقل أهمية من التحلل غير القابل للاختزال من $L^2(G,dg)$ في حد ذاته. تحللها الطيفي هو إعادة تجميع (أقل ملاءمة) لتلك المكونات غير القابلة للاختزال، لأن عنصر Casimir المرتبط ثابت على معاملات المصفوفة لكل تمثيل غير قابل للاختزال.

فيجنر $3j$ رموز لـ $SU(2)$ مثال رئيسي لمزيد من الدراسة — دعونا نطبق بنائنا العام عليه كمجموعة متعددة. كل تمثيل وحدوي محدود الأبعاد وغير قابل للاختزال $SU(2)$ يحمل علامة “نصف عدد صحيح” غير سالب $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$. نحن نكتب $\mathscr V_j$ لـ $(2j+1)$الفضاء الأبعاد التي يعمل عليها هذا التمثيل. أساس عظام قياسي $\mathscr V_j$ هو الأساس المغناطيسي $\ket{j\ m}$ مع $m = -j,-j+1,\dots,j.$

المعادلة

$$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} :=(-1)^{j_1-j_2-m_3}\frac{1}{\sqrt{2j_3+1}}C^{j_3\ -m_3}_{j_1\ m_1,j_2\ m_2}$$

يعبر عن $3j$ تعريف الرمز من حيث معاملات كليبش-الأردن $C^{j\ m}_{j_1\ m_1,j_2\ m_2}:=\bra{j_1\ m_1,j_2\ m_2}\ket{j\ m}$ التي تتحلل تمثيل المنتج الموتر $\mathscr V _{j_1}\otimes\mathscr V _{j_2}$ إلى مكونات غير قابلة للاختزال، والتي تحتوي على تعبيرات شكل مغلقة مثل صيغة راح التي تدعم مكتبات البرمجيات الرقمية الحديثة [JF16].

A $3j$ يختفي الرمز ما لم $m_1+m_2+m_3=0$، عدم المساواة المثلث $|j_1-j_2|\le j_3\le j_1+j_2$ عقد، و $j_1+j_2+j_3$ عدد صحيح.

من وجهة نظر المجموعة المدمجة $SU(2)$، و $3j$ الرموز هي بالضبط المشغلين المتداخلين (المنسقين والمرحليين بشكل صحيح) الذين يدركون المساحة الفرعية الفريدة (حتى الحجم) الثابتة لمنتج الموتر الثلاثي $\mathscr V_{j_1}\otimes \mathscr V_{j_2}\otimes \mathscr V_{j_3}$ عندما يحتوي هذا المنتج على تمثيل تافه. وبالتالي فهي “ثوابت البنية” الطبيعية لدمج ثلاثة تمثيلات غير قابلة للاختزال إلى الفردي.

هذا مشابه تمامًا لـ rôle الذي يلعبه تكامل المنتجات الثلاثية $M^{i,j,k}$ على متعدد ريمانيان: فهي ثوابت هيكل المنتج الحكيمي من وظائف eigenfunctions عندما يتم توسيع هذا المنتج مرة أخرى في قاعدة eigenbasis. في المجموعة $SU(2)$ في حد ذاته، تلك التكاملات تقلل إلى المنتجات على مراحل من $3j$-رموز

إلى wit، دع $D^{j}_{m n}(g)$ كن المعيار Wigner $D$-functions (معاملات مصفوفة من تآكل الدوران) $j$ في الأساس التناظري المغناطيسي $\ket{j\ m}$). فيما يتعلق بقياس احتمالية تطبيع هار $dg$ واحد لديه الصيغة الدقيقة [VK88]

$$\int_{SU(2)} D^{j_1}_{m_1 n_1}(g)\, D^{j_2}_{m_2 n_2}(g)\, \overline{D^{j_3}_{m_3 n_3}(g)}\,dg = \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ n_1 & n_2 & -n_3 \end{pmatrix} \times (-1)^{m_3+n_3}.$$

(يمكن تعديل اتفاقية المرحلة الشاملة من خلال عوامل كوندون شورتلي المعتادة ؛ النقطة الأساسية هي أن العوامل المتكاملة في نتاج اثنين حقيقيين. $3j$-رموز.) توفر نظرية بيتر-ويل أساسًا عتيقًا كاملاً لـ $L^2(SU(2),dg)$ من خلال معاملات المصفوفة المعاد تطبيعها:

$$e^{j,m,n}(g):=\sqrt{2j+1}\ D^{j}_{mn}(g),$$

حيث تسير المؤشرات

$$j=0,\tfrac12,1,\tfrac32,\dots,\ m,n=-j,-j+1,\dots,j.$$

Combining the two equations one obtains the explicit expression:

$$\begin{aligned} M^{(j_1 m_1 n_1),(j_2 m_2 n_2),(j_3 m_3 n_3)} &= \sqrt{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}\\ &\ \times \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ n_1 & n_2 & -n_3 \end{pmatrix} (-1)^{m_3+n_3}. \end{aligned}$$

لمجموعات كذبة أبيليان المدمجة، هذه المساحات المتجهة $\mathscr V_\lambda$ جميعها أحادية البُعد، لذلك فإن حالتها تشبه تمامًا التحلل الطيفي لـ Laplacians Multlicity-1 أعلاه. المزيد حول هذا الموضوع في المثال أدناه.

بالعودة إلى Corollary 1، نلاحظ أن الدليل ينطوي على إثبات هذا التأثير:

$$z_k = M_0^{i,\bar i,k} / M_1^{i,\bar i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,\bar i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,\bar r,i}M_0^{s,\bar s,j}\bar M_0^{t,\bar t,k}}{M_1^{r,\bar r,i}M_1^{s,\bar s,j}\bar M_1^{t,\bar t,k}}\, .$$

ولعلنا نأمل في أن $k>0$, $M_0^{i,\bar i,k}$ لا يمكن أن يكون متطابقًا $0$ للجميع $i$، لأنها حالة حقيقية بشكل عام، ولكنها خاطئة لحالات معينة مثل حالة tori المسطحة المشمولة في المثال أدناه. وهناك طريقة أعلى مستوى للنظر في هذا الشرط هو أن نلاحظ أن مثل هذا ينتهك الأمل $k$ سيكون $\bar e^k$ في نواة الخريطة المشتركة $[M^{i,\bar i,k}]^*$. علاوة على ذلك، فإن الصيغة من أجل $z_k$ يتطلب كلاهما $i$-الاستقلال، والكفاية، لوضع خريطة الأساس $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ يحافظ $\set{M_0^{i,j,k}}$.

نقوم برسم دليل على النتيجة المرجانية 1 (الكفاية) تحت المجموعة التالية من الصيغ.

ومع ذلك، دعونا نحسب بعض الهويات ذات الصلة حتى يتمكن بعض الباحثين المستقبليين الجريئين من البحث في التخمين المعمم. هنا $v\cdot w$ هو المنتج الداخلي ريمانيان على حزمة كوتانجينت:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \text {So the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}.\\ \end{aligned}$$

#دليل على النتائج المرجانية

Now consider the famous associativity relations from Conformal Field Theory:

$$\begin{aligned} e^ie^je^k = \sum_\ell\bra{e^ie^j}\ket{\bar{e^k}e^\ell}e^\ell &= \sum_{\ell,r} M^{i,j,r}\bar M^{\bar k,\ell,r}e^\ell\\ &= \sum_{\ell,r} M^{i,k,r}\bar M^{\bar j,\ell,r}e^\ell\ \therefore\\ i = \bar j, \ell = k\text{ and relabeling } \implies \\ \sum_r M^{i,\bar i,r}\bar M^{j,\bar j,r} &= \sum_r |M^{i,j,r}|^2 \end{aligned}$$

نتيجة 1 يتبع من حقيقة أن $z_k\in U_1$ هو واضح (أي. $i$-invariant من قبل الفرضيات على المنتجات)، والملاحظة السابقة أن جبري، ومحدودة المشغلين ثلاثية محددة من قبل $z_iz_j\bar z_kM_1^{i,j,k}$ و $M_0^{i,j,k}$ كلاهما مترابط، ويتفق مع ضرب وظيفة نقطية عن طريق مربعات من القيم المطلقة ل eigenfunctions، والتي هي كثيفة في $\mathscr H$. إنشاء $\ker\ [M^{i,\bar i,k}]^* = 0$ متكافئ تماماً، حيث $\mathscr V$ هي مساحة Hilbert المغلقة التي تم إنشاؤها بواسطة $\set{|e^i|^2}$، و $[M^{i,\bar i,k}]:\mathscr V\rightarrow \mathscr H$ هو خريطة هوية تغيير الأساس.

لذلك يتفقون في كل مكان.

يتبع كفاية النتيجة 2 من خلال ملاحظة أن حالة kernel للخريطة المشتركة المتلاشية في Corollary 1 صحيحة بشكل عام. وإذا كان لبعض الخيارات $i,j,k$، المنتج $M^{i,\bar i,k} \bar M^{j,\bar j,k}$ خلافًا بين القواعد، سيختلفون في كل زوج من القواعد.

لماذا؟ نظرًا لأنه يمكن افتراض أن المشعبات العامة تحتوي أيضًا على أطياف متعددة 1، فإن هذا يقلل من مجموعة التماثل الكاملة إلى $U_1^\infty$ حيث تكون هذه المنتجات ثابتة، متناقضة مع نظرية 1. تخفيض إضافي إلى $\Z_2^\infty$ من خلال قواعد القيمة الحقيقية يضمن المنتجات ذات القيمة الحقيقية. هذا يحدد ضرورة الفرضية، ويكمل الإثبات.

علاوة على ذلك، فإن الحجج الواردة في دليل النتيجة المرجانية 1 صالحة حتى عندما تكون المشعبات غير مستطيلة، حتى نتمكن من تمثيل خريطة الأساس على أنها مختلفة الأشكال إذا وفقط إذا تطابقت المنتجات في الحالة العامة أعلاه. ثم يصبح الإيزوسبكتريا مكافئًا لهذا الاختلاف في الشكل كونه إيزومتري ريماني.

هذا يكمل دليل المرجعيات.

مثال

دع $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ أن تكون مفهرسة، تصنيف $n$ شعرية الأوزان كذبة الجبر لتمثيل الفضاء حاصل على $\frak{g}=\Reals^n$ كما الترجمة الثابتة (أي ثابت) حقول المتجه على نفسها، عندما $\R^n$ كما ينظر إليها على أنها $\frak{g}$’ مجموعة الكذب المرتبطة على الجذع المحدد بواسطة $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. تحدد هذه الأوزان المصاعد غير الصالحة من أشكال 1 على الجذع الذي يتكامل مع الوظائف الخطية $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ كَذَلِكَ كَذَلِكَ كَذَلِكَ كَذَلِكَ كَذَلِكَ. يمكن بعد ذلك إنقاذ هذه الوظائف الخطية بشكل موحد (بواسطة $2\pi \sqrt{-1}$) و أسندت لتشكيل الحروف المضاعفة التي تنحدر لتشكيل أساس عادي من $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$، مع مقياس Lebesgue (Haar) $dx$.

علاوة على ذلك، فإن هذا الأساس في وقت واحد قطري Laplacian الجذع المسطح لأن Laplacian هي صورة لعنصر Casimir رباعي متماثل وسالب غير محدد تحت هذا (المعامل الثابت الخطي المشغل التفاضلي) تمثيل الفضاء الحاصل للجبر المغلف العالمي. وبالتالي، فإن قيمتها الذاتية في نسبة ثابتة (من $4\pi^2$) إلى Casimir-element-determined-length-squared من وزن كل حرف في شعرية.

ونحن ننظر حاليا إلى الأساس أعلاه

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

أن تكون لدينا نظرية قابلة للتطبيق Fourier الأساس من orthonormal (الطابع المضاعف) eigenfunctions (من هذا التمثيل حاصل القسائم للعنصر (السالب) Euclidean Casimir) المقابلة مباشرة ل $\set{\lambda_i}$. من خلال فرضيات نظرية لدينا، يجب أن يكون لدينا $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (مع قاعدة إقليدية على الأوزان).

الآن يمكننا الحوسبة

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

مثل هذه المعادلة يعتمد فقط على شعرية الوزن نفسها، فهو ثابت لمؤشر أساس عظام. علاوة على ذلك، هو فقط ثابت تحت التحولات الخطية على شعرية الوزن $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$، لذلك فقط $L^2$ أورثونورمال eigenfunction أساس خريطة التي يتم تحفيزها من حجم الحفاظ الخطي عكسها خريطة بين اثنين من هذه المفهرسة، رتبة $n$ شعيرات الوزن ستحافظ على “جبري/طوبولوجي” مجموعة البيانات المفهرسة $\set{M^{i,j,k}}$ ثابت.

ولكن من أجل تطبيق مبرهنة، من الضروري أن مثل هذه الخريطة الخطية $B$ يكون $B\in SO(n,\Reals)$ على شعرية الوزن، لأن المستحث $L^2$ خريطة أساس eigenfunction

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

يجب أيضا الحفاظ على “تحليلي” المتغيرات — الرقم الناجم عن عنصر كازيمير $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ لكل وزن مفهرس، أي القيم الذاتية الفردية لـ Laplacian الخاص بـ Flat-tori.

كما يجسد دويت ميلنور، فإن وجود خريطة تحافظ على أطوال الأوزان الشبكية لا يكفي لاستنتاج أن الخريطة موجودة في $SO(n,\Reals)$يجب أن نعرف أيضا أن الخريطة تحافظ على زوايا وزن شعرية. ولكن هذا هو نتيجة للصيغ التي وضعت في المعادلة (21):

$$-4\pi^2\bra{\lambda_i}\ket{\lambda_j}e^ie^j = de^i\cdot de^j = 2\pi^2\sum_k (\lVert\lambda_i\rVert^2 + \lVert\lambda_j\rVert^2 - \lVert\lambda_k\rVert^2)M^{i,j,k}e^k = 2\pi^2(\lVert\lambda_i\rVert^2 + \lVert\lambda_j\rVert^2 - \lVert\lambda_i + \lambda_j\rVert^2)e^ie^j\ .$$

الشيء الأنيق في هذا التحليل هو أننا أثبتنا أنه لا توجد خطي خريطة بين الشعيرات التي تحافظ على القيم الذاتية دون أن تكون الخريطة ناتجة عن قياس ريمانياني على التوري — نتيجة للنظرية، وليس لأن الحسابات الصريحة المعنية هي هويات الاستقطاب بسيطة.

هذا الحساب النظري التمثيلي [AK01] هو بالضبط ما يعادل التطور السابق ل شعرية التوافق [NRR22] تستخدم تقليديا لتحديد فئات isometry من توري شقة. والواقع أن المصفوفة تنقل مثل هذه الخريطة الخطية $B\in SO(n,\Reals)$، كما هو موضح في الفقرة السابقة، هو القياس النظري ريمانيان موانع بين توري، على النحو المنصوص عليه في تطبيق نظرية التمثيل غلفاند-نيمارك-سيغال *خلال التدقيق من مبرهنة.

الإشعارات

تم تمويل البحث الأصلي جزئياً من خلال جائزة جيمس سيمونز للأبحاث الكريمة في 1995-1996، والدعم السخي من ألفريد ب. زمالة أطروحة سلون في 1996-1997 في جامعة ستوني بروك.

كما يود صاحب البلاغ أن يشكر تانيا كريستيانسن، وكارولين غوردون، وحامد حزاري، وهاريش سيشادري، ولا سيما ليون تختاجان على مساعدتهم التقنية ومراجعتهم في إعداد هذه المخطوطة للنشر.