固有関数とスペクトルジオメトリのトリプル製品

作成者

Joe Schaefer

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秋まで

抽象画

Geometric Analysis、Partial Differential Equations、Abelianの基本技術$C^*$ 代数、私たちは、小説を発見、まだ馴染みのある、グローバルな幾何学差別 — すなわちLaplace-Beltrami演算子の固有関数の三重積分の指数集合は、どの等分スペクトル閉じたRiemannianマニホールドがアイソメトリックであるかを正確に特徴付ける。

はじめに

閉じたRiemannianマニホールドのため$(M,g)$非アイソメトリックのクラスを特徴付ける、アイソスペクトルのマニホールドは逆問題の一種です[DH11] Spectral Geometryとは単純に、このクラスが常に空であることは推測できるかもしれません。しかし、学術文献は、数十年にわたる反例の特定のペアの構造が豊富です:1964年からジョン・ミルナーの16次元対の非等方性、等分性平坦な通路で始まります[JM64]および継続[CS92] アレキサンダー・シーマンによる1993年の博士論文のフラット・トーリの汎用的な次元特性化に向けて[AS94] — 重要なコンピュータ支援検索で補完$\dim = 3$ ケース。平らな通りの歴史の現代的な調査が、[NRR22].

途中、より洗練された非ユークリッド対称カバースペースへの洞察力に富んだオフシュートでした。そのような等分スペクトル、非アイソメトリックの構築”デュエット” 非微小な曲率テンソル(および次元2におけるスペクトル決定ユーラー特性)を含む[MS67]1985年、この取り組みのもっとも大きな例が、太陽田敏和さんの1985年でした。[TS85] 汎用カバー・スペース・フレームワークの発明で、2次元と3次元で双曲線デュエットを構築するために同じ作業にデプロイしました。

不均質なリーマン指標のために、キャロリン・ゴードンは、局所的なアイソメ化さえしないデュエットを発見した。[CG93].

さまざまな関連分野での取り組み[DH11]イソスペクトルのクラスの位相的特性を決定するような、一般的には非アイソメトリックマニホールド(空) [ST80]、有限[AS94]、堅い[GK80]、コンパクト[GZ97])は、Riemannianメトリックのさまざまなモジュリ空間のサブセットです。

What we offer in this article is a new perspective on a familiar tool: 離散物としての固有関数のペアワイズプロダクトのインデックス付きフーリエ係数”代数的/位相的差別” 既存、個別を補完する”分析不変条件” — Laplace-Beltrami演算子 (ここではLaplacian)の負でないスペクトル$ℋ = L^2(M,g)$。組み合わせて、ペアは、”個別のグローバル幾何表現” isospectralのisometryクラス、閉じたRiemannianマニホールド。

これは研究のモノグラフではなく、幾何学的分析、表現理論に精通した上級数学の学生のための主題の紹介です。$C^*$ 代数

結果

認識することが重要です。$M^{i,j,k}$ is not basis-invariant: there is a natural unitary change-of-basis action on it described in detail after the proof of this Theorem.この定理の証明の後、詳細に議論された、それに関する自然な統一的な基本変更アクションがある。この議論には、ある一定の基準不変の単数値のセットが組み込まれており、これは一組の単数値の順序が同位体多数形の集合を完全に特徴付けていると主張する一般的な予想を形成するかもしれない。

一般的な予想の半分が十分かどうかに関わらず、必然性が常にそうである。これは、次によって定義された単数値の集合を意味します。$M^{i,j,k}$ そして、すべてのアイゲンスペーストリプルに関連することは、リーマン不変の新しいセットです。

今後の研究のためのハードワークは、そのような基準ペアを見つけること、またはそのようなペアがまったく存在できないことを判断すること、単にの性質を調べることである$M^{i,j,k}$ 証拠です。しかし、その標的を前面と中心に置く: スペクトル理論の分析ジオメトリの質問を、固有関数の生成物に関する計算的にトラクタブルな線形代数の質問に減らそうとする。

Symmetryは、計算的に追跡可能なケースにおいて重要な役割を果たします。[TF17] [LS18] [PS94]私たちの平らな通路でよく説明されている例 下。しかし、私たちのアプローチの強さは、おそらく最も少ない数のRiemannian対称性を持つマニホールドの場合、最も顕著です。この例では、次のものを提供します。

 

研究の動機$\set{M^{i,j,k}}$ ビリニア乗算演算子の役割の研究からゆるく導出されます$Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ 頂点演算子代数の定義[FBZ04] 原題はChiral Conformal Field Theory。こちら$V$ 国家のベクトル空間であり、$V((z))$ 正式なLaurentシリーズのスペース$z$ の係数$V$。次以降$V$ 伝統的なフーリエシリーズの正統な基礎を持つヒルバートスペースとして装備され、インデックス作成$Y$ Fourierベース要素の使用$V$ ほんの少しだけ関わっている$M^{i,j,k}$ ここに書いてあるが、精神的に似ている。ただし、詳細な比較はこの記事の範囲外です。

地図を考えるなら

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

閉じたRiemannianマニホールド(その領域ではRiemannian isometryまで)に対するこのマップの注入性を確立した。これらの手法を適用して、そのイメージ(および逆)を説明するさらなる結果は、メトリックの選択モジュリ領域内で開始されます。[AA25]。Anshul Adveは、Conformal Field Theoryと同じ構造定数を使用して、コンパクトで双曲型の2-orbifoldsのユニット接線スペースに厳密に取り組んでいます。

ここで役立つ画像があるかもしれません。修正する場合$(M,g)$ の軌道を見る。$\set{M^{i,j,k}}$ Spectrum-preserving Change-of-basis Unitary Transformationの略。$\set{e^i}$異なったisospectralの軌道を見る$(M,g)$ pairsは、このマップのイメージをisometryクラスに沿って分割します。

最後に、一般的なRiemannianメトリックケースは、次の研究によって完全に特徴付けられていることを証明します”対角線” $\set{\lambda_i, M^{i,\bar i,k}}$.

これらの結果は、1997年にMSRIの著者が同様のタイトルの講演で最初に実証されましたが、それらは初めて公開された形式でここに表示されます。

事前審査

現在$M,g,e^i,M^{i,j,k}$ 上記のように、$f \in C^\infty(M)$ および$i \geq 0$ フーリエ係数

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x) \end{aligned}$$

以降$f$ 急速に収束するFourierシリーズとして一意に表現可能です$\Delta_M$- 特定のソボレフ埋め込み[MT13] [RS75]Weyl’s Asymptotic Lawとは[HW11]は、和の項が$o(i^{-n})$ ユニフォーム$x$ [LH68], $\forall n\in\N$]からのWe See That For $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$、ポイントワイズプロダクトのフーリエ係数$f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ アール

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x) \end{aligned}$$

そして、critically、多変量多項式$\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (スムーズな機能で)任意のスペクトル保存で通勤 $\Delta$-eigenfunction orthonormalベースマップ$\vec{F}$ 保存する$\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

さらに、$A\subset M$ Borel-measurable、そして上の結果は*characteristic機能のためにポイントワイズを握ります$A$*境界線以外のすべての場所$A$次の場合: $f = f^2$ および$A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

独自性により、以下のアイデンティティを有しています。

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

これは、上記のようなベース・マップが特性関数(メンバーとして)を保持することを意味します。$L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$)は、測定保存方式で特徴的な機能に。

これらの計算のポイントは、$\set{M^{i,j,k}}$ 特徴ポイントワイズ乗算演算子の調和解析$C^\infty(M)$アベリア人の密集した代数である。$C^*$ 代数学$C(M)$Stone-Weierstrassの定理

上記の和の急速な収束のために$M^{i,j,k}$固有関数の生成物は滑らかであるので、これらのフーリエ係数は上記のように(各インデックスで)減衰します。詳細については、2022年のEmmett Wymanの固有値に関する三角形の不等式に関するこれらの係数の作業を参照してください。[EW22].

Note: 常に仮定する

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

場所$\delta_i$ Kronecker deltaです。次以降$vol(M)$ スペクトル不変[HW11]この情報は、等分性に関する考慮事項からすでに入手できます。

定理の証明

必要であれば、$F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ 閉じたRiemannianマニホールド間のアイソメトリーであり、固有関数のターゲット正準基準を$L^2(N,h)$ BETHEPULLBACKBY $F$ 「Orthonormal Basis」$\set{e^i}$ 日付$(M,g)$ 上。次以降

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

必要性の議論は、$\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

直線的、生体的直交的固有関数ベースマップを検討した。$\vec{F}$ 場所$C^\infty(M)$ から$C^\infty(N)$ の計算から、事前審査 上、$\vec{F}$ 滑らかな機能のためのポイントワイズなプロダクトを保って下さい(そして延長されたとき特徴的な機能を維持して下さい$L^2(M,g)$という前提で。$\set{M^{i,j,k}}$ この地図では不変です。

レマ

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ 均一な基準を維持します。

レマの証明

許可$\set{a_i}$ ユニティのスムーズなパーティションになる$M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

したがって$\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (クロネッカー デルタ)。

支配的な収束定理によって、

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

これは、各非結合サブセットの正の測定の特徴的な機能です$\set{x\in M | a_j(x) = 1}$。これは、レマがそれぞれに証明されていることを意味します$a_j$正の測定を用いるセットの限定的な特徴的な機能は保たれ、従ってすべてのように均一規範1がありますので、$a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$ダイアグラム(6)

ジェネラリティを失うことなく、統一のスムーズなパーティションに示された特別なケース結果を適用できます$\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$ここで$\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ ポジティブな手段があり、レマは完全に証明されています。

次以降$\set {\bar e^i}$ フーリエの基礎でもある。$L^2(M,g)$という方程式(4)から、$\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$。これは、密集した一連の$C(M)$ および$C(N)$)を確立した。$\vec{F}$ アベリア人の同型$C^*$ 代数は、したがって、同型に拡張することができます$C(M)$ および$C(N)$ 同じカテゴリーで。

ここでは、Gelfand-Naimark-Segal Representation Theorem (in contravariant functor form)をunital Abelianに適用します。$C^*$ 代数学[JC19] ホメオモルフィズムによってこのアイソモルフィズムを表す$F$ 次の間$N$ および$M$。スムーズな機能では形容詞なので、スムーズでなければなりません。

今日のdiffomorphism $F$ 固有値および固有関数を保持します(仮説による) $\vec{F}(f) = f\circ F$)、滑らかな機能でラプラシアンを保持する必要があります。したがって、これらの同じ楕円演算子の主要シンボルも保持する必要があります。[MT13]。Laplacianの主なシンボルは、問題のマニホールドに関するRiemannianメトリックを表現するもう一つの手段です。

これで定理の証明は完了です。

Corollariesについて

次を含む$\set{M_0^{i,j,k}}$ および$\set{M_1^{i,j,k}}$ 基底の2つの三重プロダクトセットを表す$\set{e_0^i}$ および$\set{e_1^i}$Let $z_i \in U_1$ である$U_1^\infty$ このような正統性に基づく行動$\set{e_1^i}$。わたしたちは選ぶ。$z_i$ したがって$\set{z_ie_1^i}$ 降伏$\set{M_0^{i,j,k}} = \set{z_i z_j \bar z_kM_1^{i,j,k}}$.

このケースはなぜですか。一般に、固有関数の正準基底の空間に作用する対称群は、単項演算子の空間である。$U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ プロジェクションと合致する$P_{\mathscr V_\lambda}$ 有限次元異次元空間$\mathscr V_{\lambda}$ 個々の固有値に関連付けられる$\lambda$ Laplacianです。したがって、

$$\begin{aligned} P_{\mathscr V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathscr V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

次のイメージです$M^{i,j,k}$ 真下付き$U$基準処理$e^i \mapsto U(e^i)$.

現在、コロラリー2の条件下では、$\mathscr V_\lambda$ 1次元ベクトル空間$\Complex$しかし、それはまた、それらが一次元ベクトル空間であることを意味する。$\Reals$のように、完全な多重対称グループは$O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

より一般的には、関連する前提条件”製品価値契約について” 単に”線形マップの単数値の順序付きセットの保存(多重度でカウント) $\mathscr V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathscr V_{\lambda_j}, \mathscr V_{\lambda_k})$ 定義者$\set{M^{i,j,k}}$.” ここに内部のプロダクト$A,B \in Hom(\mathscr V_{\lambda_i}, \mathscr V_{\lambda_j})$ 次である$tr (B^*A)$。定義上、これらの単数値は、次の単位変換の直接合計では不変です。$\mathscr V_\lambda$.

multiplicity-1スペクトルの場合、単数値の完全なセットは、$M^{i,j,k}$ それでも、私たちは、そのような等分スペクトルマニホールドの等分量クラスを完全に特徴づける。この予想とコロラリー2の間の重要な関係については、方程式(23)を参照してください。欠けているのは、絶対値が一致した場合、マニホールドはアイソメトリックであり、LHSの方程式要約(23)の基底間の可能な符号変更取消を排除するための引数が必要であるという、十分性の引数です。

我々は、一般的な予想が(多重度1スペクトルの場合を除いて)真であることは、あまり自信がない。なぜなら、それは、明示的なSunada構造を介して(効率の)反例を作り出すことができる可能性があるからである。

インデックス表記が状況を難読化している場合、おそらくこのベースに依存しない説明が役立ちます。取得$v_{\lambda} \in \mathscr V_{\lambda}$ 表現を考える

$$P_{\mathscr V_\ガンマ}(v_\alpha v_\beta)。$$

それぞれを思い出してください。$\mathscr V_\lambda$ 有限次元複合ユークリッド空間である。すべて$M^{i,j,k}$ は、この基準に依存しない式の基準座標を提供します。次以降$1 = \oplus_\lambda P_{\mathscr V_\lambda}$定理が言うことは、上記の表現は、マニホールドがアイソメトリックである場合に限り、マニホールド間のidenticalであり、文字通り誰にもショックとして来るべきであるということです。これらの予測の効率の半分は、これらの表現を単数値の分解から純粋に再構築することを含む複合的な問題です。

ただし、これらの基準不変条件は、2つの等分スペクトルマニホールドを証明するより複雑なケースを解読するのに有用である非等分であり、それらの単数値が問題の2つのベース間で同一でないことを示すことで有用である可能性があります。

除く

コンパクト・ライ・グループの表現理論$G$ 明示的なLaplacianを方程式から取り出し、irreducible表現を研究する$\Phi^{(\alpha)} \in Hom(G,U(\mathscr V_\alpha))$ ヒルバートの宇宙分解$L^2(G,dg)$ こちら$dg$ 正規化されたHaar確率測定値$G$Peter-Weyl Theoremで取り上げられたとおり、上記の表現における彼らのインタープレイを(イレプのテンソル製品の不当な分解によって)Lie Theoryの本質的な成果物として尊重する。[AK01]。多用性があるRiemannianの幾何学は普遍的な封筒代数の中心にある二次Casimirの要素の便利な選択によって作り出されます、それはirrepのマトリックスの係数の分解より少ない重要性です$L^2(G,dg)$ スペクトル分解は、各irrepのマトリックス係数で関連するCasimir要素が一定であるため、これらの直交的な基準要素の(あまり便利ではない)再構築です。

ウィグナーズ$3j$ シンボル$SU(2)$ さらなる研究のための主要な例です— グループマニホールドとして全般的な施工を行います。あらゆる有限次元非還元性単項表現$SU(2)$ 負でない半整数でラベル付けされます。$j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$。書く$\mathscr V_j$ 対象$(2j+1)$- この表現が動作する次元空間。標準の正統基準$\mathscr V_j$ 磁気の基礎$\ket{j\ m}$ 対象$m = -j,-j+1,\dots,j.$

方程式

$$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} :=(-1)^{j_1-j_2-m_3}\frac{1}{\sqrt{2j_3+1}}C^{j_3\ -m_3}_{j_1\ m_1,j_2\ m_2}$$

表す$3j$ Clebsch-Gordan Coefficientsによるシンボル定義$C^{j\ m}_{j_1\ m_1,j_2\ m_2}:=\bra{j_1\ m_1,j_2\ m_2}\ket{j\ m}$ テンソル製品の表現を分解する$\mathscr V _{j_1}\otimes\mathscr V _{j_2}$ 現代の数値ソフトウェアライブラリを支えるRacahの式のような閉じたフォーム式を持つ、非還元性のコンポーネント[JF16].

A $3j$ シンボルの消滅$m_1+m_2+m_3=0$三角形の不等式$|j_1-j_2|\le j_3\le j_1+j_2$ 保留、および$j_1+j_2+j_3$ は整数です。

コンパクトグループの視点から$SU(2)$、$3j$ シンボルは、トリプルテンソル製品のユニークな(スケールまで)不変サブスペースを実現する(適切に正規化され、段階的に)相互結合演算子です$\mathscr V_{j_1}\otimes \mathscr V_{j_2}\otimes \mathscr V_{j_3}$ その製品に些細な表現が含まれている場合。それゆえ、それらは三つの非還元表現をシングルレットに融合させるための自然な「構造定数」である。

これは、トリプル製品積分によって再生されるローレとまったく同じです$M^{i,j,k}$ Riemannian manifold: それらは、その製品が固有バシスで展開されるときの固有関数のポイントワイズ積の構造定数です。グループで$SU(2)$ それ自体、これらの積分は段階的なプロダクトに減らします$3j$- 記号。

WIT、Let $D^{j}_{m n}(g)$ 標準のWigner $D$-functions(スピン不良のマトリックス係数) $j$ 磁気直交的基礎$\ket{j\ m}$). 正規化ハール確率測定に関して$dg$ 正確な式がある[VK88]

$$\int_{SU(2)} D^{j_1}_{m_1 n_1}(g)\, D^{j_2}_{m_2 n_2}(g)\, \overline{D^{j_3}_{m_3 n_3}(g)}\,dg = \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ n_1 & n_2 & -n_3 \end{pmatrix} \times (-1)^{m_3+n_3}.$$

(全体的な相慣習は、通常のコンドン- ショートリー因子によって調整することができます。重要な点は、積分因子が二つの実体積になることです。$3j$-symbol)。Peter-Weyl定理は、完全な正統な基礎を提供します。$L^2(SU(2),vol(G)dg)$ 正規化された行列係数によって与えられる:

$$e^{j,m,n}(g):=\sqrt{\frac{2j+1}{vol(G)}}\ D^{j}_{mn}(g),$$

インデックスの実行場所

$$j=0,\tfrac12,1,\tfrac32,\dots,\ m,n=-j,-j+1,\dots,j.$$

「Cartan-Killing Casimir Laplacian」$\Delta e^{j,m,n} = \lambda_j e^{j,m,n} = j(j+1)e^{j,m,n}$は、$vol(G)=2\pi\ vol(S^2) = 8\pi^2$ 御朱印(御朱印)は、以下の通りです。$\sqrt g dx = 8\pi^2 dg$。定理の規則に固執しながら2つの方程式を組み合せると、1つは明示的な式を取得します。

$$\begin{aligned} M^{(j_1 m_1 n_1),(j_2 m_2 n_2),(j_3 m_3 n_3)} &= \sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}{8\pi^2}}\\ &\ \times \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ n_1 & n_2 & -n_3 \end{pmatrix} (-1)^{m_3+n_3}. \end{aligned}$$

このように、Riemannian Geometryの$SU(2)$ Cartan-Killing Casimirによって誘発される私達の拡張されたスペクトル データを使用して捕獲することができます$\set{\lambda_i, M^{i,j,k}}$から、単数値のRiemannian不変量を等式から明示的に計算できる。:

$$\sigma(j_1,j_2,j_3)=\sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}{8\pi^2}}\cdot\frac{1}{2j_3+1}=\sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)}{(2j_3+1)\ 8\pi^2}},$$

三角形の不等式およびパリティ条件が満たされるたびに、$j_1, j_2, j_3$、多重度1、その他すべての単数値がゼロ。計算は観察から、$M^{i,j,k}$ 左右のランク1の連動演算子のテンソル積に分解し、それぞれHilbert-Schmidtノルム$1/\sqrt{2j_3+1}$ (定義上)、その非ゼロの単数値は、上記の定義に従って、これらのヒルバート・シュミット規範のピーター・ウェイル再スケール積である。ただし、以降$SU(2)$ Cartan-Killingのメートルとのisometricは従来の同質のメートル4倍に$S^3$および$S^n, n\leq 6$、あらゆるisospectの多岐管はisometricです[ST80] (熱カーネルの痕跡の短時間漸近論から一定の断面曲率指標への美しい減少)この単数値の計算は、主に$SU(2)$.

次に対する同質メトリック・ケース以降$n>6$ 現在は未解決で、同じClebsch-Gordon分析を実行します$SO(n+1)$ [BJK78] コンピュータの助けを借りてmightは、スペクトル決定論に関する新しい発見につながる$S^n$ 単数値の観点から[M06].

コンパクトなAbelian Lieグループの場合、これらのベクトル空間$\mathscr V_\alpha$ これらはすべて一次元であるため、その状況は上記の多重度1ラプラシア人のスペクトル分解と完全に似ています。これについては、次の例を参照してください。

Corollary 1に戻ると、この証明には次のような意味があることがわかります。

$$z_k = M_0^{i,\bar i,k} / M_1^{i,\bar i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,\bar i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,\bar r,i}M_0^{s,\bar s,j}\bar M_0^{t,\bar t,k}}{M_1^{r,\bar r,i}M_1^{s,\bar s,j}\bar M_1^{t,\bar t,k}}\, .$$

ご希望の方へ$k>0$, $M_0^{i,\bar i,k}$ 同じにはできません$0$ すべて$i$これは一般的には真の状態ですが、次の例で説明するフラット・トーリ・ケースなどの特定のケースではfalseです。この状態を見るより高度な方法は、そのような希望に違反していることに注意することです$k$ 経験する$\bar e^k$ 隣接マップのカーネル内$[M^{i,\bar i,k}]^*$。さらに、Formula 対象$z_k$ 両方が必要$i$ベースマップを確立するための独立性と効率性$e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ 保存$\set{M_0^{i,j,k}}$.

Corollary 1 (sufficiency)の証明を次の数式セットの下にスケッチします。

それにもかかわらず、いくつかの関連性のあるアイデンティティを計算して、いくつかの困難な将来の研究者が一般化された予想を調べることができます。こちら$v\cdot w$ コタンジェントの束のRiemannian内部プロダクトです:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \text {So the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}.\\ \end{aligned}$$

##カロリーの証明

Now consider the famous associativity relations from Conformal Field Theory:

$$\begin{aligned} e^ie^je^k = \sum_\ell\bra{e^ie^j}\ket{\bar{e^k}e^\ell}e^\ell &= \sum_{\ell,r} M^{i,j,r}\bar M^{\bar k,\ell,r}e^\ell\\ &= \sum_{\ell,r} M^{i,k,r}\bar M^{\bar j,\ell,r}e^\ell\ \therefore\\ i = \bar j, \ell = k\text{ and relabeling } \implies \\ \sum_r M^{i,\bar i,r}\bar M^{j,\bar j,r} &= \sum_r |M^{i,j,r}|^2 \end{aligned}$$

Corollary 1は、$z_k\in U_1$ 明確に定義されています(つまり、$i$- 製品に関する仮説による不変)、および前回の観察では、代数的、境界三線演算子は、$z_iz_j\bar z_kM_1^{i,j,k}$ および$M_0^{i,j,k}$ 両方とも連想的であり、固有関数の絶対値の二乗によるポイントワイズ関数の乗算に同意します。$\mathscr H$。設立$\ker\ [M^{i,\bar i,k}]^* = 0$ 正確には同等です。$\mathscr V$ ヒルバートの閉じた空間$\set{|e^i|^2}$および$[M^{i,\bar i,k}]:\mathscr V\rightarrow \mathscr H$ は、基本の変更IDマップです。

いたるところで同意する。

Corollary 2の効率は、Corollary 1のvanishing adjoint-mapカーネル条件が一般に真であることに注意することによって続きます。If For Some Choiceシングル$i,j,k$製品について$M^{i,\bar i,k} \bar M^{j,\bar j,k}$ 基地の間で意見の相違があり、各基地の間で意見の相違がある。

どうしてですか? 汎用マニホールドは多重度1スペクトルを持つことも想定できるため、完全な対称グループは次のようになります。$U_1^\infty$ これらの製品は不変であり、定理1と矛盾します。さらなる削減$\Z_2^\infty$ 実質価値の基盤によってプロダクトは実質価値が保障されます。これにより、仮説の必要性が確立され、その証明が完成します。

さらに、コロラリー1の証明の引数は、マニホールドが非等分スペクトルであっても有効であるため、前述の汎用的なケースで製品が一致する場合にのみ、ベース・マップを異形として表現できます。Isospectrality then becomes equal to this diffeomorphism being a Riemannian isometry.等分位率は、この異形がリーマン幾何学であることと同等となる。

これでコロラの証明は完了です。

例

許可$\set{\alpha_i} \subset \R^n$ 索引付き、ランク$n$ Lie代数ウェイト(Lie Algebra Weights)の格子$\frak{g}=\Reals^n$ 翻訳不変(定数)ベクトルフィールドとして、$\R^n$ また、次のように表示されます。$\frak{g}$の定義したトーラス上の関連Lieグループ$\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$。これらのウェイトは、線形関数に統合されるトルス上の1フォームの積分可能なリフトを定義します$\bra{x} \alpha_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ Lie Group(ルーシー・グループ) これらの線形関数は、均一に再スケールできます( $2\pi \sqrt{-1}$)および指数関数して、直交的基礎を形成するために降下する多重文字を形成する$L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$レベスゲ(Leebesgue) $dx$.

さらに、この基準は平らなトルスのラプラシア語を同時に対角化します**。ラプラシア語は、この(定数係数線形微分演算子)普遍的なエンベロープ代数の符号空間表現の下の対称的で負の定値四角形カシミール要素のイメージであるためです。したがって、その固有値は一定の割合(of)です$4\pi^2$)は、ラティスにおける各文字の重量のカシミール要素決定長さ2乗。非変性負定値四角形Casimir要素の選択は、(負の)Euclidean要素に対するアイソメトリックであるRiemannian Geometryを生成することを簡単に確認できます。

上記の基準を現在見ています。

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\alpha_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

(負の)ユークリッドカシミール要素(Euclidean Casimir element)を直接対応する正準(multiplicative character)固有関数の定理適用可能なフーリエ基準となるため$\set{\alpha_i}$。理論の仮説によって、私たちは$i < j \implies \lVert\alpha_i\rVert \leq \lVert\alpha_j\rVert$ (重さのユークリッド基準)

計算できるようになりました

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \alpha_i + \alpha_j - \alpha_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

この方程式として 重量格子自体によってのみ決まります、それは正統なbasis索引の不変量です。さらに、重量格子上の線形変換ではのみ不変です$(A^{-1})^t\Z^n = \set{\alpha_i}$ただ、$L^2$ orthonormal eigenfunction basis map これは、このようなインデックス付き、ランク間の体積保持の反転線形マップから誘発されます$n$ 重量格子は保ちます”代数/位相” 索引付きデータ・セット$\set{M^{i,j,k}}$ 不変

ただし、定理そのような線形の地図が不可欠です。$B$ ある$B\in SO(n,\Reals)$ 重さの格子で、なぜなら、$L^2$ 固有関数基準マップ

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\alpha_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

また、”分析” 不変条件— カシミール要素誘起図$\lambda_i = 4\pi^2\lVert\alpha_i\rVert^2$ 各インデックス付き重量、すなわち、フラット通りのラプラシアンの個々の固有値。

ミルナーのデュエットが例示しているように、格子ウェイトの長さを保持するマップを持つことは、マップを推測するのに十分ではありません$SO(n,\Reals)$また、マップが格子重量の角度を保持していることも知っておく必要があります。これは、方程式(22)で開発された式の結果である。

$$-4\pi^2\bra{\alpha_i}\ket{\alpha_j}e^ie^j = de^i\cdot de^j = 2\pi^2\sum_k (\lVert\alpha_i\rVert^2 + \lVert\alpha_j\rVert^2 - \lVert\alpha_k\rVert^2)M^{i,j,k}e^k = 2\pi^2(\lVert\alpha_i\rVert^2 + \lVert\alpha_j\rVert^2 - \lVert\alpha_i + \alpha_j\rVert^2)e^ie^j\ .$$

この分析のきちんとしたことは、地図がトリのリーマンアイソメトリーによって誘導されることなく、固有値を保持する格子間に線形マップがないことが証明されていることです。— 定理の結果として、関与する明示的な計算が単純な偏光IDであるからではない。

この表示- 理論勘定[AK01] は、lattice congruenceの以前の開発とまったく同じです。[NRR22] 伝統的に平らな通路の等量クラスを描写するために使用されます。実際、そのような線形マップのマトリックス転写$B\in SO(n,\Reals)$前項で説明したように、*は、通路間の矛盾したRiemannian等量であり、Gelfand-Naimark-Segal表現定理*の適用によって提供されています。プルーフ 私たちの定理.

確認

最初の研究は、1995年から1996年にかけて優雅なジェームズ・シモンズ研究賞と、アルフレッドPの寛大な支援によって一部資金提供されました。Sloan Dissertation Fellowship in 1996-1997 at the University at Stony Brook(ストニー・ブルック大学)

著者はまた、Tanya Christiansen、Carolyn Gordon、Hamid Hezari、Harish Seshadri、特にLeon Takhtajanの技術的な支援に感謝し、この原稿の出版準備をレビューしたいと考えています。