Produtos Triplos de Autofunções e Geometria Espectral

Autor

Joe Schaefer

Dedicação

Para o outono

Resumo

Usando técnicas elementares de Análise Geométrica, Equações Diferenciais Parciais e Abeliano $C^*$ Álgebras, descobrimos um novo, mas familiar, discriminante geométrico global — a saber, o conjunto indexado de integrais de produtos triplos de autofunções do operador Laplace-Beltrami, para caracterizar com precisão quais variedades isospectrais Riemannianas fechadas são isométricas.

Introdução

Para uma variedade Riemanniana fechada $(M,g)$, caracterizando sua classe de manifolds não isométricos, isospectrais é um tipo de Problema Inverso [DH11] em geometria espectral. Naïvely alguém pode especular que esta classe seria sempre vazio. No entanto, a literatura acadêmica é rica em construções de décadas de idade de emparelhamentos específicos de contra-exemplos: começando em 1964 com o par de 16 dimensões de John Milnor não-isométrico, tori plana isospectral [JM64], e continua [CS92] para a caracterização dimensional genérica do tori plano na tese de doutorado de Alexander Schiemann em 1993 [AS94] — repleto de uma busca auxiliada por computador para o crítico $\dim = 3$ caso. Uma pesquisa moderna da história completa do tori plano aparece em [NRR22].

Ao longo do caminho foram ramificações perspicazes em espaços de cobertura simétricos não-euclidianos mais sofisticados; construindo tal isospectral, não isométrico “duplas” envolvendo tensores de curvatura não triviais (e suas características de Euler determinadas pelo espectro na dimensão 2) [MS67]Um excelente exemplo deste esforço foi Toshikazu Sunada’s 1985 [TS85] invenção de uma estrutura espacial de propósito geral, que ele então implantou no mesmo trabalho para construir duetos hiperbólicos nas dimensões 2 e 3.

Para métricas Riemannianas não homogêneas, Carolyn Gordon descobriu duetos que nem sequer são isométricos localmente. [CG93].

O trabalho continua em muitas áreas relacionadas [DH11], como determinar as características topológicas da classe de variedades isospectrais, não isométricas em geral (vazio [ST80], finito [AS94], rígido [GK80], e compacto [GZ97]) como um subconjunto de diferentes espaços de módulos das métricas Riemannianas.

What we offer in this article is a new perspective on a familiar tool: coeficientes de Fourier indexados de produtos em pares de autofunções como um “discriminante algébrico/topológico” para complementar o existente, discreto “invariante analítico” — o espectro não negativo do operador Laplace-Beltrami (aqui referido como o Laplacian) em $ℋ = L^2(M,g)$. Combinados, observamos que o par fornece um “representação geométrica global discreta” das classes de isometria de variedades isospectrais, Riemannianas fechadas.

Resultados

É importante reconhecer $M^{i,j,k}$ não é invariante de base: há uma ação natural unitária de mudança de base nela discutida em detalhes após a prova deste Teorema. A discussão incorpora certos conjuntos de valores singulares invariantes de base que se pode formar uma conjectura geral em torno, que afirma que o conjunto ordenado de valores singulares caracteriza completamente o conjunto de variedades isospectrais.

Independentemente da metade da suficiência da conjectura geral, a necessidade é sempre o caso. O que significa essas coleções de valores singulares definidos por $M^{i,j,k}$ e associado a cada triplo eigenspace estão um novo conjunto de Riemannian invariantes.

O trabalho árduo pela frente para futuras pesquisas está em localizar tais pares de base, ou em determinar que tais pares não podem existir em tudo, apenas examinando as propriedades dos pares de base. $M^{i,j,k}$ em evidência. Mas este artigo coloca esse alvo na frente e no centro: buscamos reduzir as questões de geometria analítica da Teoria Espectral para questões de álgebra linear computacionalmente tratável sobre produtos de autofunções.

*A simetria desempenha um papel importante em casos computacionalmente tratáveis [TF17] [LS18] [PS94], que é apropriadamente ilustrado em nosso tori plano Exemplo abaixo. No entanto, a força de nossa abordagem talvez seja melhor evidenciada no caso de variedades com o menor número de simetrias Riemannianas, que é o caso genérico. Neste caso, oferecemos o seguinte

 

A motivação para o estudo de $\set{M^{i,j,k}}$ é vagamente derivado do estudo do papel do operador de multiplicação bilinear $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ na definição de uma álgebra de operador de vértice [FBZ04] associado a uma teoria de campo conformal quiral. Aqui $V$ é o espaço vetorial dos Estados e $V((z))$ é o espaço da série Laurent formal em $z$ com coeficientes em $V$. Desde $V$ muitas vezes vem equipado como um espaço Hilbert com uma base ortonormal tradicional série Fourier, indexação $Y$ utilizando os elementos de base de Fourier do $V$ é um pouco mais envolvido do que o $M^{i,j,k}$ caso estudado aqui, mas bastante semelhante em espírito. No entanto, uma comparação detalhada está fora do escopo deste artigo.

Se considerarmos o mapa

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

este trabalho estabelece a injetividade deste mapa para variedades Riemannianas fechadas (até a isometria Riemanniana em seu domínio). Outros resultados que aplicam essas técnicas para descrever sua imagem (e inversa), dentro de espaços de métricas de módulos selecionados, estão apenas começando [AA25]. Lá, Anshul Adve aborda rigorosamente os espaços tangentes da unidade de 2 orbifolds compactos e hiperbólicos usando essas mesmas constantes de estrutura da Teoria do Campo Conformal.

Algumas imagens podem ser úteis aqui. Se corrigirmos $(M,g)$ Veja as órbitas de $\set{M^{i,j,k}}$ sob as transformações unitárias da mudança de base de preservação do espectro em $\set{e^i}$, vemos que as órbitas de diferentes isospectrais $(M,g)$ pares partilham a imagem deste mapa ao longo de classes de isometria.

Finalmente, provamos que o caso métrico Riemanniano genérico é completamente caracterizado pelo estudo do “diagonal” $\set{\lambda_i, M^{i,\bar i,k}}$.

Estes resultados foram demonstrados pela primeira vez durante uma palestra similarmente intitulada pelo autor em MSRI em 1997, mas eles aparecem aqui em forma publicada pela primeira vez.

Preliminares

Agora com $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ como acima, para $f \in C^\infty(M)$ e $i \geq 0$ Observe que os coeficientes de Fourier

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x) \end{aligned}$$

desde $f$ é representável exclusivamente como sua convergência rápida Fourier Series ($\Delta_M$-específicos Sobolev Incorporações [MT13] [RS75], juntamente com a Lei Assintótica de Weyl [HW11], implica que os termos na soma são $o(i^{-n})$ uniformemente em $x$ [LH68], $\forall n\in\N$Então vemos que para $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, os coeficientes de Fourier do produto pointwise $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ estão

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x) \end{aligned}$$

e assim, criticamente, qualquer polinômio multivariado $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (em funções suaves) comuta com qualquer preservação de espectro $\Delta$-eigenfunction mapa de base ortonormal $\vec{F}$ que preserva $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

Além disso, se $A\subset M$ é mensurável por Borel, então os resultados acima mantêm-se pontuais para a função característica de $A$ em todos os lugares, exceto ao longo da fronteira de $A$: se $f = f^2$ e $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

e pela singularidade, temos a seguinte identidade

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

Isto implica qualquer mapa de base como acima carrega funções características (como membros de $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) para funções características de forma a preservar a medida.

O objetivo desses cálculos é enfatizar o fato de que $\set{M^{i,j,k}}$ caracteriza a Análise Harmônica do operador de multiplicação pontual em $C^\infty(M)$, que é uma subálgebra densa do Abelian $C^*$ álgebra $C(M)$pelo teorema de Stone-Weierstrass.

Para a rápida convergência dessas somas acima envolvendo $M^{i,j,k}$, note que os produtos de autofunções são lisos, de modo que estes coeficientes de Fourier decaem como acima (em cada índice). Para mais detalhes, veja o trabalho de Emmett Wyman em 2022 com esses coeficientes no que se refere à desigualdade do triângulo nos autovalores [EW22].

Note: Podemos sempre assumir

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

onde $\delta_i$ É o delta de Kronecker. Desde $vol(M)$ é um invariante espectral [HW11], esta informação já está disponível a partir de considerações de isospectralidade.

Prova de Teorema

Por necessidade, deixe $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ ser uma isometria entre variedades Riemannianas fechadas, e deixar a base ortonormal alvo de autofunções em $L^2(N,h)$ seja o pull-back via $F$ da base ortonormal $\set{e^i}$ em $(M,g)$ acima. Desde

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

Nós somos feitos com o argumento da necessidade porque $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

Para a suficiência, nós consideramos agora o mapa linear, bijective da base da autofunção ortonormal $\vec{F}$ de $C^\infty(M)$ para $C^\infty(N)$ e observe que, a partir dos cálculos no Preliminares acima, $\vec{F}$ preserva produtos pontuais para funções suaves (e preserva funções características quando estendido a $L^2(M,g)$) pela premissa de que $\set{M^{i,j,k}}$ é invariante sob este mapa.

Lemma

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ preserva a norma uniforme.

Prova de Lemma

Deixar $\set{a_i}$ ser uma partição suave da unidade em $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

Assim $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (Kronecker delta).

Pelo teorema da convergência dominada,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

que é uma função característica de medida positiva em cada subconjunto disjuntivo $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. Isso significa que o Lemma é comprovado para cada $a_j$, uma vez que a função característica limitante de um conjunto com medida positiva é preservada, e, portanto, tem norma uniforme 1, assim como $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$, por Diagrama (6).

Sem perda de generalidade, podemos aplicar o resultado de caso especial mostrado para a partição suave da unidade $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, onde $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ tem medida positiva, e o Lemma é provado na íntegra.

Desde $\set {\bar e^i}$ é também uma base de Fourier para $L^2(M,g)$, é claro da Equação (4) que $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. Isso significa que em um conjunto denso de $C(M)$ (e $C(N)$), estabelecemos $\vec{F}$ como um isomorfismo de Abelian $C^*$ álgebras, e assim pode ser estendido a um isomorfismo de $C(M)$ e $C(N)$ na mesma categoria.

Agora aplicamos o Teorema da Representação Gelfand-Naimark-Segal (em forma de funtor contravariante) para Abeliano unital. $C^*$ álgebras [JC19] para representar este isomorfismo por um homeomorfismo $F$ entre $N$ e $M$. Como é bijetivo em funções suaves, também deve ser suave.

Como este agora diffeomorfismo $F$ preserva autovalores e autofunções (por hipótese sobre $\vec{F}(f) = f\circ F$), deve preservar o Laplaciano em funções suaves. Por isso, também deve preservar os principais símbolos desses mesmos operadores elípticos. [MT13]. Os principais símbolos do Laplaciano são simplesmente outro meio de expressar a métrica Riemanniana nas variedades em questão.

Isso completa a prova do Teorema.

Discussão dos Corolários

Com $\set{M_0^{i,j,k}}$ e $\set{M_1^{i,j,k}}$ representando os dois conjuntos de triplo produto para as bases $\set{e_0^i}$ e $\set{e_1^i}$, deixe $z_i \in U_1$ seja o $U_1^\infty$ ação em tal base ortonormal $\set{e_1^i}$. Assim, escolheremos $z_i$ para que $\set{z_ie_1^i}$ rendimentos $\set{M_0^{i,j,k}} = \set{z_i z_j \bar z_kM_1^{i,j,k}}$.

Por que é esse o caso? Em geral, o grupo de simetria que atua no espaço de possíveis bases ortonormais de autofunções é o espaço de Operadores Unitários $U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ que se deslocam com projeções $P_{\mathscr V_\lambda}$ para os eigenspaces de dimensão finita $\mathscr V_{\lambda}$ associado a cada autovalor individual $\lambda$ do Laplaciano. Portanto

$$\begin{aligned} P_{\mathscr V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathscr V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

é a imagem de $M^{i,j,k}$ sob $U$ação base $e^i \mapsto U(e^i)$.

Agora, nas condições do Corolário 2, cada um dos $\mathscr V_\lambda$ são espaços vetoriais unidimensionais sobre $\Complex$, mas isso também significa que eles são espaços vetoriais unidimensionais $\Reals$, e assim o grupo multiplicativo completo da simetria é $O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

Mais geralmente, o prerrequisito associado “acordo sobre os valores dos produtos” simplesmente se tornaria “preservação do conjunto ordenado de valores singulares (contados com multiplicidade) dos mapas lineares $\mathscr V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathscr V_{\lambda_j}, \mathscr V_{\lambda_k})$ definido por $\set{M^{i,j,k}}$.” Aqui o produto interno em $A,B \in Hom(\mathscr V_{\lambda_i}, \mathscr V_{\lambda_j})$ é $tr (B^*A)$. Por definição, esses valores singulares são invariantes sob somas diretas de transformações unitárias na $\mathscr V_\lambda$.

No caso do espectro da multiplicidade-1, o conjunto completo de valores singulares é simplesmente o conjunto de valores absolutos de $M^{i,j,k}$ que, ainda conjecturamos, caracteriza completamente as classes de isometria de tais variedades isospectrais. Ver Equação (22) para a relação chave entre esta conjectura e Corolário 2. O que falta é o argumento de suficiência de que, se os valores absolutos concordarem, as variedades são isométricas; o que requer um argumento para eliminar possíveis cancelamentos de mudança de sinal entre as bases nos summands LHS da Equação (22).

Estamos significativamente menos confiantes de que a conjectura geral é verdadeira (fora do caso do espectro da multiplicidade-1), uma vez que pode ser possível produzir um contra-exemplo (de suficiência) através de construção Sunada explícita.

Se a notação de índice estiver ofuscando a situação, talvez essa descrição independente da base ajude. Utilização $v_{\lambda} \in \mathscr V_{\lambda}$ e considere a expressão

$$P_{\mathscr V_\gamma}(v_\alpha v_\beta).$$

Lembre-se de que cada $\mathscr V_\lambda$ é um espaço euclidiano complexificado dimensional finito. Todos $M^{i,j,k}$ é fornecer coordenadas de base desta expressão independente de base. Desde $1 = \oplus_\lambda P_{\mathscr V_\lambda}$, o que o Teorema diz é que a expressão acima é idêntica entre variedades se e somente se as variedades forem isométricas; o que deve ser um choque para literalmente ninguém. A metade da suficiência dessas conjecturas são, em grande parte, problemas combinatórios que envolvem a reconstrução dessas expressões puramente a partir de sua decomposição de valor singular.

No entanto, esses invariantes de base podem ser úteis na decifração de casos mais complexos envolvendo a prova de que duas variedades isospectrais são não isométricas, mostrando que seus valores singulares não são idênticos entre as duas bases em questão.

Além

A Teoria da Representação de um Grupo de Mentiras Compacto $G$ tira o Laplaciano explícito da equação e estuda representações irredutíveis $\Phi^{(\lambda)} \in Hom(G,U(\mathscr V_\lambda))$ para a decomposição do espaço de Hilbert de $L^2(G,dg)$ (aqui) $dg$ é a Medida de Probabilidade Haar normalizada em $G$) como abordado no Teorema de Peter-Weyl, e honra sua interação na expressão acima (via decomposição irrep de produtos tensores de irreps) como os artefatos essenciais da Teoria de Lie [AK01]. As geometrias Riemannianas compatíveis são geradas por escolhas convenientes de elementos de Casimir quadráticos que se encontram no centro da álgebra envolvente universal, que são de menor importância do que a decomposição irredutível de $L^2(G,dg)$ A sua decomposição espectral é uma remontagem (menos conveniente) desses componentes irredutíveis, uma vez que o elemento Casimir associado é constante nos coeficientes de matriz de cada representação irredutível.

Wigner’s $3j$ símbolos para $SU(2)$ são um excelente exemplo para mais estudos — Vamos aplicar a nossa construção geral a ele como uma variedade de grupos. Toda representação unitária irredutível de dimensão finita de $SU(2)$ é rotulado por um meio inteiro não negativo $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$. Nós escrevemos $\mathscr V_j$ para o $(2j+1)$espaço dimensional no qual essa representação atua. Uma base ortonormal padrão de $\mathscr V_j$ é a base magnética $\ket{j\ m}$ com $m = -j,-j+1,\dots,j.$

A equação

$$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} :=(-1)^{j_1-j_2-m_3}\frac{1}{\sqrt{2j_3+1}}C^{j_3\ -m_3}_{j_1\ m_1,j_2\ m_2}$$

expressa o $3j$ Definição de símbolo em termos de Coeficientes de Clebsch-Gordan $C^{j\ m}_{j_1\ m_1,j_2\ m_2}:=\bra{j_1\ m_1,j_2\ m_2}\ket{j\ m}$ que decompõem a representação do produto tensor $\mathscr V _{j_1}\otimes\mathscr V _{j_2}$ em componentes irredutíveis, que têm expressões de forma fechada, como a fórmula de Racah que sustenta as bibliotecas modernas de software numérico [JF16].

A $3j$ símbolo desaparece a menos que $m_1+m_2+m_3=0$, as desigualdades do triângulo $|j_1-j_2|\le j_3\le j_1+j_2$ aguarde, e $j_1+j_2+j_3$ é um inteiro.

Do ponto de vista do grupo compacto $SU(2)$, o $3j$ símbolos são precisamente os operadores entrelaçados (corretamente normalizados e em fases) que percebem o subespaço invariante único (até à escala) do produto de tensor triplo $\mathscr V_{j_1}\otimes \mathscr V_{j_2}\otimes \mathscr V_{j_3}$ quando esse produto contém a representação trivial. São, portanto, as “constantes estruturais” naturais para a fusão de três representações irredutíveis ao singlet.

Isto é exatamente análogo ao papel desempenhado pelas integrais de triplo produto. $M^{i,j,k}$ em uma variedade Riemannian: são as constantes da estrutura do produto pontual de autofunções quando esse produto é expandido de volta na autobase. No grupo $SU(2)$ em si, essas integrais reduzem a produtos em fases do $3j$- símbolos.

Para saber, deixe $D^{j}_{m n}(g)$ ser o Wigner padrão $D$-funções (coeficientes de matriz da irrep de spin) $j$ na base ortonormal magnética $\ket{j\ m}$). Com relação à medida de probabilidade Haar normalizada $dg$ um tem a fórmula exata [VK88]

$$\int_{SU(2)} D^{j_1}_{m_1 n_1}(g)\, D^{j_2}_{m_2 n_2}(g)\, \overline{D^{j_3}_{m_3 n_3}(g)}\,dg = \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ n_1 & n_2 & -n_3 \end{pmatrix} \times (-1)^{m_3+n_3}.$$

(A convenção de fase geral pode ser ajustada pelos fatores condon-shortley habituais; o ponto essencial é que os fatores integrais em um produto de dois fatores reais) $3j$- símbolos.) O teorema de Peter-Weyl fornece uma base ortonormal completa de $L^2(SU(2),dg)$ dados pelos coeficientes de matriz renormalizados:

$$e^{j,m,n}(g):=\sqrt{2j+1}\ D^{j}_{mn}(g),$$

onde os índices passam

$$j=0,\tfrac12,1,\tfrac32,\dots,\ m,n=-j,-j+1,\dots,j.$$

Combining the two equations one obtains the explicit expression:

$$\begin{aligned} M^{(j_1 m_1 n_1),(j_2 m_2 n_2),(j_3 m_3 n_3)} &= \sqrt{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}\\ &\ \times \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ n_1 & n_2 & -n_3 \end{pmatrix} (-1)^{m_3+n_3}. \end{aligned}$$

Para grupos compactos Abelian Lie, estes espaços vetoriais $\mathscr V_\lambda$ são todos unidimensionais, de modo que sua situação é inteiramente semelhante à decomposição espectral da multiplicidade-1 Laplacianos acima. Mais sobre isso no Exemplo abaixo.

Voltando ao Corolário 1, observamos que a prova envolve estabelecer essa implicação:

$$z_k = M_0^{i,\bar i,k} / M_1^{i,\bar i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,\bar i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,\bar r,i}M_0^{s,\bar s,j}\bar M_0^{t,\bar t,k}}{M_1^{r,\bar r,i}M_1^{s,\bar s,j}\bar M_1^{t,\bar t,k}}\, .$$

Podemos esperar que, para qualquer $k>0$, $M_0^{i,\bar i,k}$ não pode ser idêntico $0$ para todos $i$, uma vez que é uma condição genericamente verdadeira, mas falsa para casos específicos como a caixa de tori plana coberta no Exemplo abaixo. Uma maneira de nível superior de olhar para esta condição é notar que tal esperança-violação $k$ teria $\bar e^k$ no kernel do mapa adjacente $[M^{i,\bar i,k}]^*$. Além disso, a fórmula para $z_k$ requer ambos $i$-independência, e suficiência, para estabelecer o mapa base $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ preservas $\set{M_0^{i,j,k}}$.

Nós esboçamos uma prova de Corolário 1 (suficiência) abaixo do próximo conjunto de fórmulas.

No entanto, vamos calcular algumas identidades relevantes para que algum pesquisador futuro intrépido possa cavar a conjectura generalizada. Aqui $v\cdot w$ é o produto interno Riemanniano no pacote cotangente:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \text {So the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}.\\ \end{aligned}$$

Prova de Corolários

Now consider the famous associativity relations from Conformal Field Theory:

$$\begin{aligned} e^ie^je^k = \sum_\ell\bra{e^ie^j}\ket{\bar{e^k}e^\ell}e^\ell &= \sum_{\ell,r} M^{i,j,r}\bar M^{\bar k,\ell,r}e^\ell\\ &= \sum_{\ell,r} M^{i,k,r}\bar M^{\bar j,\ell,r}e^\ell\ \therefore\\ i = \bar j, \ell = k\text{ and relabeling } \implies \\ \sum_r M^{i,\bar i,r}\bar M^{j,\bar j,r} &= \sum_r |M^{i,j,r}|^2 \end{aligned}$$

O Corolário 1 vem do fato de que $z_k\in U_1$ é bem definida (i.e. $i$-invariante por hipóteses sobre produtos), e a observação prévia de que os operadores algébricos, delimitados trilinear definido por $z_iz_j\bar z_kM_1^{i,j,k}$ e $M_0^{i,j,k}$ são ambos associativos, e concordam com a multiplicação de função pontual por quadrados de valores absolutos de autofunções, que é densa em $\mathscr H$. Definindo $\ker\ [M^{i,\bar i,k}]^* = 0$ é exatamente equivalente, onde $\mathscr V$ é o espaço fechado de Hilbert gerado por $\set{|e^i|^2}$, e $[M^{i,\bar i,k}]:\mathscr V\rightarrow \mathscr H$ é o mapa de identidade de mudança de base.

Então eles concordam em todos os lugares.

A suficiência do Corolário 2 segue observando que a condição do kernel do mapa adjacente desaparecendo no Corolário 1 é genericamente verdadeira. E se para alguma escolha de $i,j,k$, o produto $M^{i,\bar i,k} \bar M^{j,\bar j,k}$ discordavam entre bases, discordavam em cada par de bases.

Por que? Uma vez que as variedades genéricas também podem ter espectros de multiplicidade-1, isso reduz o grupo de simetria total para $U_1^\infty$ onde esses produtos são invariantes, contradizendo o Teorema 1. Mais redução para $\Z_2^\infty$ através de bases real-valued garante que os produtos são real-valued. Isso estabelece a necessidade da hipótese e completa a prova.

Além disso, os argumentos na prova do Corolário 1 são válidos mesmo quando as variedades não são isospectrais, por isso podemos representar o mapa de base como um diffeomorfismo se e somente se os produtos corresponderem no caso genérico acima. A isospectralidade torna-se então equivalente a este diffeomorfismo ser uma isometria Riemanniana.

Isso completa a prova dos Corolários.

Exemplo

Deixar $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ ser indexado, classificação $n$ treliça de Lie Algebra pesos para a representação do espaço quociente de $\frak{g}=\Reals^n$ como campos vetoriais invariantes (i.e., constantes) de tradução em si mesmos, quando $\R^n$ também é visto como $\frak{g}$Grupo Lie associado a um toro definido por $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. Esses pesos definem elevadores integráveis de 1 formas sobre o toro que se integram a funções lineares $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ como seu grupo Lie (cobrindo o torus). Estes funcionais lineares podem então ser uniformemente redimensionados (por $2\pi \sqrt{-1}$) e exponenciado para formar caracteres multiplicativos que descem para formar uma base ortonormal de $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, com medida Lebesgue (Haar) $dx$.

Além disso, essa base diagonaliza simultaneamente o Laplaciano do toro plano porque o Laplaciano é a imagem de um elemento quadrático simétrico e negativo-definido de Casimir sob esta (operador diferencial linear coeficiente constante) representação quociente do espaço da álgebra envolvente universal. Assim, seus autovalores estão em proporção constante (de $4\pi^2$) ao casimir-elemento-determinado-comprimento-quadrado do peso de cada personagem na estrutura.

Nós atualmente vemos a base acima

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

ser nossa base de Fourier aplicável em Teorema de autofunções ortonormais (caracteres multiplicativos) (desta representação quociente do elemento Euclidiano Casimir (negativo) diretamente correspondente a $\set{\lambda_i}$. Pelas hipóteses do nosso Teorema, devemos ter $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (com a norma euclidiana sobre os pesos).

Agora podemos computar

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Como esta equação apenas depende da própria rede de peso, é invariante de índice de base ortonormal. Além disso, é único invariante sob transformações lineares na estrutura de peso $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$, então apenas um $L^2$ Mapa de base de auto-função ortonormal ** que é induzido a partir de um mapa linear invertível de preservação de volume entre dois desses rank indexados $n$ as redes do peso manterão “algébrico/topológico” conjunto de dados indexados $\set{M^{i,j,k}}$ invariante.

No entanto, para aplicar o nosso TeoremaÉ essencial que um mapa linear $B$ ser $B\in SO(n,\Reals)$ sobre a rede do peso, porque o induzido $L^2$ mapa base de autofunção

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

deve também preservar o “analítico” invariáveis — a figura induzida pelo elemento Casimir $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ para cada peso indexado, ou seja, os autovalores individuais do Laplaciano do tori plano.

Como o dueto de Milnor exemplifica, ter um mapa que preserva os comprimentos dos pesos da rede não é suficiente para deduzir que o mapa está em $SO(n,\Reals)$; também devemos saber que o mapa preserva os ângulos de peso da rede. Mas esta é uma consequência das fórmulas desenvolvidas na Equação (21):

$$-4\pi^2\bra{\lambda_i}\ket{\lambda_j}e^ie^j = de^i\cdot de^j = 2\pi^2\sum_k (\lVert\lambda_i\rVert^2 + \lVert\lambda_j\rVert^2 - \lVert\lambda_k\rVert^2)M^{i,j,k}e^k = 2\pi^2(\lVert\lambda_i\rVert^2 + \lVert\lambda_j\rVert^2 - \lVert\lambda_i + \lambda_j\rVert^2)e^ie^j\ .$$

A coisa legal sobre esta análise é que provamos que não há mapa linear entre as redes que preservam os autovalores sem que o mapa seja induzido por uma isometria Riemanniana no tori. — como consequência do Teorema, não porque os cálculos explícitos envolvidos sejam identidades de polarização simples.

Esta conta de representação-teórica [AK01] é exatamente equivalente ao desenvolvimento anterior da congruência *lattice *[NRR22] tradicionalmente utilizado para delinear classes de isometria de toros planos. Na verdade, a matriz transpõe tal mapa linear $B\in SO(n,\Reals)$, conforme descrito no parágrafo anterior, é a contravariante isometria Riemanniana entre o tori, conforme previsto pela aplicação do Gelfand-Naimark-Segal Representation Theorem durante o Prova do nosso Teorema.

Agradecimentos

A pesquisa original foi financiada em parte por um gracioso Prêmio de Pesquisa James Simons em 1995-1996, e o generoso apoio de um Alfred P. Sloan Dissertation Fellowship em 1996-1997 na Universidade de Stony Brook.

O autor também gostaria de agradecer Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri, e especialmente Leon Takhtajan por sua assistência técnica e revisão na preparação deste manuscrito para publicação.