三種特徵函數和光譜幾何產品

羅森的最小曲面 預測從 ₃ 到 R ³ 有 6,1 個刻板印象

作者

Joe Schaefer

摘要

使用幾何分析、部份差分方程式和 Abelian 的基本技術$C^*$ 阿格布拉斯，我們發現一個新奇但熟悉的全球幾何不變 — 亦即 **Laplace-Beltrami 操作員 ** 三項特徵產品的索引集，精確地描述哪些同位素封閉的 Riemannian manifolds 是幾何特性。

介紹

對於關閉的 Riemannian manifold $(M,g)$，描述其非幾何的 ** 類別 **，等譜歧管是一種反向問題[DH11] 在光譜幾何圖形中 。Naïvely 可能推測此類別永遠是 empty。不過，學術文獻有數十年歷史的計數器範例組合：從 1964 年開始，John Milnor 的 16 維對非幾何，isospectral Flat tori [JM64]，並繼續[CS92] 邁向亞歷山大·希曼 (Alexander Schiemann) 1993 年博士論文中平坦托里的通用尺寸特性化[AS94] — 使用電腦輔助搜尋關鍵值重新完成$\dim = 3$ 案例展示現代化的平面通風歷史調查顯示於[NRR22].

在這種方式中，對於更複雜、非歐幾內亞對稱的覆蓋空間有深入的反擊；構建這類包含非傳統曲率張量的同位素、非幾何「雙胞胎」(以及其在尺寸 2 中的頻譜決定尤拉特徵) [MS67]。) 此努力的主要例子是 Toshikazu Sunada 的 1985 年[TS85] 發明一般用途的覆蓋空間框架，然後部署在同一工作中，以構建尺寸 2 和 3 的雙曲雙曲雙曲雙曲雙曲線。

對於不均勻的 Riemannian 指標，Carolyn Gordon 發現甚至不是本地幾何的飲食[CG93].

在許多相關領域繼續工作[DH11]，例如決定同位素類別的拓樸特徵、一般非幾何歧義詞 (空白) [ST80]，有限[AS94], rigid [GK80]，緊湊[GZ97]) 作為 Riemannian 指標的不同模數空間的子集。

在本文中，我們提供的內容是熟悉工具的新觀點：將特徵函數配對產品的傅立葉係數索引為獨立的「代數 / 主題不變」，以補充現有的分散式「分析不變」— *Laplace-Beltrami 運算子 * (稱為 Laplacian) 的非負值頻譜$ℋ = L^2(M,g)$。. . 結合後，我們觀察到這對提供了幾何類同位素、封閉的裡曼尼亞人體「離散的全球幾何表現法」。

筆結果

• 對稱 * 在可計算的案例中扮演著重要的角色[TF17] [LS18] [PS94]，這是在我們平坦的 tori 中展示的範例 下方。不過，在以最少數量的里曼尼亞對稱為男性的情況下，我們的方法的實力或許最明顯，這種情況通常與特徵 * 唯一 * (即沒有非正當的多重性) 一致。在此情況下，我們提供下列服務：

研究的動機$\set{M^{i,j,k}}$ 是從研究 ** 雙線性乘法運算子 ** 的角色大致衍生 ** $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ 在 Vertex 運算子代數定義中[FBZ04] 與螺旋共形場理論相關。這裡$V$ 是美國的向量空間，並且$V((z))$ 是正式 Laurent 系列的空間$z$ 具有係數$V$。. . 起自$V$ 常被配備為希爾伯特空間，傳統傅立葉系列正規，索引化$Y$ 使用下列項目的傅立葉基礎要素：$V$ 只是稍微多涉及$M^{i,j,k}$ 案例在此研究，但精神上相當類似。不過，此文章的詳細比較超出範圍。

如果我們考慮地圖

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

此文件為封閉的里曼尼亞人馬福德 (Riemannian isometry in 其領域) 建立此地圖的注射性。運用這些技術來描述其影像 (和反轉) 的進一步結果，在指標的精選模數空間內剛開始使用[AA25]。. . 在那裡，Anshul Adve 使用這些相同的 ** 結構常數 ** 來自 Conformal Field Theory 的精巧，雙曲 2-orbifolds 的單位相切空間。

這些結果是在作者於 1997 年首次在 MSRI 進行類似標題的談話時進行示範，但這些結果是第一次以已發布的形式出現在這裡。

初步計畫

現在使用$M,g,e^i,M^{i,j,k}$ 以上，針對$f \in C^\infty(M)$ 以及$i \geq 0$ 請注意 ** 傅立葉係數 **

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

起自$f$ 獨有代表其快速融合 ** 快遞系列 ** ($\Delta_M$- 特定 Sobolev 嵌入[MT13] [RS75]，與魏氏漸近法[HW11]，表示總和中的字詞為$o(i^{-n})$ * 統一於$x$* [LH68], $\forall n\in\N$。) 然後我們看到$f_1, f_2 \in C^\infty(M)$，順點產品的傅立葉係數$f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ 是

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}$$

而且，* 關鍵 *，任何多變量多項式$\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (在平滑函數上) ** 通勤 ** 與任何光譜保留$\Delta$- 特徵函數正規基準圖$\vec{F}$ 保留$\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

此外，如果$A\subset M$ 是 Borel-measurable，然後以上結果為 characteristic 函數的保留點$A$ 任何地方，除了邊界$A$：如果$f = f^2$ 以及$A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

我們擁有以下的身份和獨特性

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

這表示上述任何此類基準圖都具有特性函數 (作為成員) $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) 以計量保存的方式使用特性函數。

這些運算的重點在於強調事實：$\set{M^{i,j,k}}$ ** 字元化 ** 點數乘法運算子的「諧波分析」開啟$C^\infty(M)$，是 Abelian 的密集次代數$C^*$ 代數$C(M)$，由 Stone-Weierstrass 定理。

針對上述加總的快速收斂$M^{i,j,k}$請注意，特徵函數的產品是平滑的，因此這些傅立葉係數會如上所示 (在每個索引中) 衰變。如需詳細資訊，請參閱 Emmett Wyman 在 2022 年的工作與這些係數相關，因為它與特徵的三角形不相等性相關[EW22].

注意：我們可能會隨時假設

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

其中$\delta_i$ 是 Kronecker delta。起自$vol(M)$ 是光譜不變量[HW11]，此資訊已可從 isospectrality 考量取得。

定理證明

為必要，讓我們$F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ 是封閉的裡曼尼亞人手法之間的幾何圖形，並讓目標正規的特徵基準$L^2(N,h)$ 是回溯經由$F$ 正規基礎$\set{e^i}$ 開啟$(M,g)$ 以上。起自

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

我們使用必要的引數來完成，因為$\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

為了充分利用，我們現在考慮了線性、彈出式正規特徵基準圖$\vec{F}$ 來自$C^\infty(M)$ 終止$C^\infty(N)$ 並請注意下列項目的計算：初期 以上，$\vec{F}$ 保留順暢函數的順點式產品 (並在延伸至$L^2(M,g)$) 由處所$\set{M^{i,j,k}}$ 不變於此地圖之下。

Lemma

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ 保留均勻的規範。

倫理證明

字母$\set{a_i}$ 是平順的單位劃分在$M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

因此$\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (Kronecker delta)。

由主導的收斂定理，

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

這是每個不相互子集之正向測量的特性函數$\set{x\in M | a_j(x) = 1}$。. . 這表示每個 Lemma 都經過證明$a_j$，由於保留具有正計量之集合的限制特性函數，因此具有均勻的標準 1，如同所有$a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$，依圖表 (5).

若未遺失一般性，我們可能會針對平滑的單位分割套用顯示的特殊案例結果$\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$，其中$\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ 有正面的衡量，而 Lemma 是全面的證明。

起自$\set {\bar e^i}$ 亦為下列項目的傅立葉基準：$L^2(M,g)$，從方程式 (3) 中清楚$\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$。. . 這表示在密集的一組$C(M)$ (和$C(N)$)，我們已成立$\vec{F}$ 作為阿貝利亞的同形性$C^*$ 代數，因此可延伸至同形性$C(M)$ 以及$C(N)$ 在相同類別中。

現在，我們應用 Gelfand-Naimark 的代表定理 (在相反的有趣形式中) 為非生命的阿貝利安$C^*$ 代數[JC19] 以同形態表示此同形態$F$ 介於$N$ 以及$M$。. . 由於它是平滑函數的反彈，因此也必須平滑。

現在有多型$F$ 保留特徵值和特徵函數 (透過假設$\vec{F}(f) = f\circ F$)，它必須保留 Laplacian 的平滑功能。因此也必須保留這些相同橢圓運算子的主要符號。[MT13]。. . 拉普拉西亞的主要象徵只是另一種在有問題的那種歧義上表達裡曼的衡量指標的方法。

這完成了理論的證明。

形容詞討論

取代為$\set{M_0^{i,j,k}}$ 以及$\set{M_1^{i,j,k}}$ 代表基準的兩個三重產品集$\set{e_0^i}$ 以及$\set{e_1^i}$，讓我們$z_i \in \set{-1,1}$ 是$\Z_2^\infty$ 此類動作$\R$- 估值正規基準$\set{e_1^i}$。. . 因此，我們需要選擇$z_i$ 所以$\set{z_ie_1^i}$ 產量$\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$.

我們觀察到：

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.$$

我們可能希望對任何給定$k$, $M_0^{i,i,k}$ 不能相同$0$ 全部$i$。. . 第一次大筆刷時，如果$M$ 具有 “even/odd” 對稱群組，而且$e^k$ 是奇怪的，但希望在下面的平坦值案例中保持真 (不符合均勻的特徵值乘數 = 1 條件)。此外，公式 (11) $z_k$ 需要兩者$i$- 獨立性和充分性，建立基礎地圖$e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ 保留$\set{M_0^{i,j,k}}$。. . 這些方面都不明。

然而，讓我們計算一些相關的身分，這樣一些具有直覺的未來研究者才可以挖進此一形容詞：

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k}\\ \text{Now by polarization}\\ M^{i,j,k} &= \frac{\bra{(e^i+e^j)^2 - (e^i - e^j)^2}\ket{e^k}}{4} = \frac{M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k}}{2},\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\ \\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ df\cdot df = \sum_kQ_k(f,f)e^k &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)M^{i,j,k}e^k\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)(M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k})e^k\\ = g^2 &= \sum_{i,j,k}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k}e^k \implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

注意：對於下面一維的扁平托里案例，$\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ 起自$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$ 是真正的導出。

範例

字母$\set{\lambda_i} \subset \R^n$ 為已編製索引的等級$n$ Lie Algebra 權重的格子，用於商空間表示法$\frak{g}=\Reals^n$ 當翻譯不變量 (例如常數) 向量欄位本身時$\R^n$ 也被視為$\frak{g}$」s associated Lie Group over the torus 定義了$\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$。. . 這些權重定義整合至線性函數的 torus 上 1 個格式的可整合式電梯$\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ 作為其 Lie Group (涵蓋扭曲)。然後，這些線性函數可以統一重新調整 (透過$2\pi \sqrt{-1}$) 並指數化為構成乘法字元，以形成正規基礎$L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$，含 Lebesgue (Haar) 評量$dx$.

此外，此基準會同時對角線 (Laplacian) 的拉普拉西 (Laplacian) ** 因為此 (常數係數線性差動運算子) 通用信封代數的商空間表示法下，Laplacian 是對稱、負二次二次曲線元素的影像。因此，其特徵值處於固定比例 (of) $4\pi^2$) 至格子中每個字元重量的 Casimir-element-determined-length-squared。

我們目前已檢視上述基準

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

作為我們的定理可應用傅立葉的正規 (多重字元) 特徵 (此為 (負數) 歐幾里得安卡西米爾元素的商數表示法) 直接對應於$\set{\lambda_i}$。. . 依據《理論》的假設，我們必須要有$i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (在權重上有歐幾里得的規範)。

現在我們可以運算

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

由於此「方程式」為 only 重量格上線性轉換下的不變$(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$，僅一個$L^2$ 正規特徵基準圖 ** 由容積保存的可逆線性圖在兩個索引，等級之間產生$n$ 加權格 ** 將會保留「代數 / 主題」索引資料集$\set{M^{i,j,k}}$ 不變。

但是，為了應用我們的理論，這對於這類的線性地圖至關重要$B$ 是$B\in SO(n,\Reals)$ 在重量格子上，因為引發的$L^2$ 特徵基準圖

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

必須同時保留「分析」不變量— 卡西米爾元素誘導數字$4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ 每個已編列索引的權重，即扁平托里拉普拉西亞的個別特徵值。

此表示法 - 理論科目[AK01] 正好等同於 lattice congruence 的先前開發[NRR22] 傳統上用來分辨扁平大通的幾何類別。事實上，這種線性圖的矩陣轉置$B\in SO(n,\Reals)$，如前段所述，** 是 ** 在 Tori 之間相異的 Riemannian 幾何，在 *Gelfand-Naimark 表示定理 * 應用時提供。證明 我們的理論.

確認

最初的研究是由一九九五年至一九九六年榮獲「James Simons Research Award」的資助，也是「Alfred P」的慷慨支持。1996-1997 年 Sloan Dissertation Fellowship 在 Stony Brook 大學。

作者也要感謝 Tanya Christiansen、Carolyn Gordon、Hamid Hezari、Harish Seshadri，特別是 Leon Takhtajan 的技術協助，並在準備本手稿以供出版。