Stokastisk spårningsformel för stängda, negativt böjda grenrör

[ARKIVERAD] Senast uppdaterad av Joe Schaefer på Wed, 20 May 2026    källa

 

// tubular trefoil knot -*- asy -*-

import tube;
import graph3;
import palette;

size(0, 8cm);
currentlight=White;
real redPortion = 143 / 256;
real greenPortion = 153 / 256;
real bluePortion = 251 / 156;
pen periwinklePen =  redPortion *red + greenPortion* green + bluePortion *blue;
// currentlight.background = periwinklePen;
currentprojection=perspective(1,1,1,up=-Y);

int e=1;
real x(real t) {return cos(t)+2*cos(2t);}
real y(real t) {return sin(t)-2*sin(2t);}
real z(real t) {return 2*e*sin(3t);}

path3 p=scale3(2)*graph(x,y,z,0,2pi,50,operator ..)&cycle;

pen[] pens=Gradient(6,red,blue,purple);
pens.push(yellow);
for (int i=pens.length-2; i >= 0 ; --i)
  pens.push(pens[i]);

path sec=scale(0.25)*texpath("$\pi$")[0];

coloredpath colorsec=coloredpath(sec, pens,colortype=coloredNodes);

draw(tube(p,colorsec),render(merge=true));

Min 1997 Ph.D. avhandling som blogginlägg.

Det finns bara ett n-dimensionellt Wiener-mått $\mu$

Piecewise linjära approximationer till Brownian Motion

Utvecklingsöversikt DM

Cameron-Martin-formeln

Värmekärnor som Radon-Nicodym Derivat av Weiner Measure

Notation

$M$ är en negativt böjd $\dim=n$ stängd Riemannian grenrör med metrisk $g$, mätetalsanslutning $\nabla$och (icke-negativ) Laplace-Beltrami-operatör $\Delta_M$. Låt $k_{-t\Delta/2}(x,y)$ representerar värmekärnan på $M$.

därför $k_{-t\Delta/2}(x,x) = dDM_*\mu/\sqrt{g}dx$ är Radon-Nicodym-derivatet av n-dimensionell Wiener Measure $\mu$, begränsad till utdragning av kontinuerligt looputrymme $\Omega_t(M)\vert_x$, via inversen av Weiner-måttbevarande utvecklingskarta $DM$. Obs! $DM^{-1}\Omega_t\vert_x$ Det är inte ett loop space i allmänhet.

$\Omega_t^0$ är utrymmet för kontinuerliga kontraktibla slingor på $M$.

$\Omega_t[\gamma]$ är utrymmet för kontinuerliga loopar på $M$ Homotopisk mot den slutna geodetiska $\gamma$. Låt $\gamma_0$ vara dess primitiva kretslopp.

$DM^{-1}\Omega_t^0[\gamma]$ är förebilden för kontinuerliga sammandragbara slingor på $M$ Skrivet som förskjutningar homotopic till $\gamma(s) = DM(\frac{s\ell(\gamma)}{t}\vec{e}^1), 0\leq s \leq t$. Tänk horocykliska koordinater — varje fiber som den geometriska gränsen för periodiska geodetiska sfärer $S_{\gamma_0(s)}^{n-1}(k\ell(\gamma_0)), 0\leq s \leq t, k\rightarrow\infty$, vektoriserad i det normala paketet över $\gamma_0$. Våra krökningsbegränsningar innebär Horocykliska koordinater för varje $\gamma_0$ existerar som en slät, $DM$-kompatibel koordinatkarta för $\Omega_t^0[\gamma]$.
I horocykliska koordinater, $\det{g(\vec{x})} = 1$:

$$\begin{aligned} ds^2 &= dx\odot dx + h(x,y) dx\odot dy + (1+h^2(x,y)) dy\odot dy \\ g(x,0) &= 0,\\ \sigma_1 &= dx + h(x,y)dy \\ \sigma_2 &= h(x,y)dx + (1+h^2(x,y))dy \\ \sigma_1 \wedge \sigma_2 &= dx \wedge dy\\ d\sigma_1 &= \frac{\partial h}{\partial x}dx\wedge dy \\ d\sigma_2 &= (-\frac{\partial h}{\partial y}+2h\frac{\partial h}{\partial x}) dx\wedge dy \\ \end{aligned}$$

Så anslutningen 1-form $\alpha := Adx + Bdy$ uppfyller

$$\begin{aligned} d\sigma_1 &= \alpha \wedge \sigma_1 \\ d\sigma_2 &= \sigma_2 \wedge \alpha \\ \implies \\ A &= \frac{\partial h}{\partial y} - 3h\frac{\partial h}{\partial x} \\ B &= h\frac{\partial h}{\partial y} - (1+3h^2)\frac{\partial h}{\partial x} \\ \\ K &= \frac{\partial B}{\partial x} - \frac{\partial A}{\partial y} \\ &= \frac{\partial h}{\partial x}\frac{\partial h}{\partial y} - 6h\frac{\partial h}{\partial x}^2 - (1+3h^2)\frac{\partial^2 h}{\partial x \partial x} - \frac{\partial^2 h}{\partial y \partial y} + 2h \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y} ,\\ h &= h(y) \implies \\ \alpha &= \frac{\partial }{\partial y} (hdx +\frac{h^2}{2} dy)\\ K(y) &= -\frac{\partial^2 h}{\partial y \partial y}\ \\ \text{has Galilean Symmetry:} \\ h \mapsto h(y,\beta) &= h(y) + \beta y \ .\\ \end{aligned}$$

VIKTIGT Därför när $h=h(y)$Den parallella transportekvationen minskar till $\dot{\vec{c}}(t) = -\alpha(\dot{\gamma}(t))\vec{c}(t) = -\partial_y(h\ dx/dt + h^2/2\ dy/dt)\vec{c}(t)$. Detta har naturligtvis stängt lösningen

$$\vec{c}(t) = exp(-((h+\beta y)\ dx/dt + (h^2/2 + (\beta y)^2/2 + \beta y h) \ dy/dt)|_{x_0,y_0}^{x_t,y_t})\vec{c}(0)$$

som är en funktion av transportkurvan $\gamma$’s slutpunkter ensam. Detta innebär att utvecklingskartan bevarar slingor.

$Z_{-\Delta/2}(t) := \int_M k_{-t\Delta/2}(x,x) \sqrt{g}dx = \sum_{j=0}^\infty e^{-\lambda_i t/2}$ är spåren av värmekärnan.

Finally let us define the following from their Radon-Nicodym derivatives:

$$\begin{aligned} DM_*\mu(\Omega_t) &:= \int_M DM_*\mu(\Omega_t\vert_x \sqrt{g}dx)\\ DM_*\mu(\Omega^0_t) &:= \int_M DM_*\mu(\Omega^0_t\vert_x \sqrt{g}dx)\\ DM_*\mu(\Omega_t[\gamma]) &:= \int_M DM_*\mu(\Omega_t[\gamma]\vert_x \sqrt{g}dx) \\ \end{aligned}$$

Formel för stokastisk spårning

$$\begin{aligned} Z_{-\Delta/2}(t) = DM_*\mu(\Omega_t) &= DM_*\mu(\Omega^0_t) + \sum_{\set{\gamma}} DM_*\mu(\Omega_t[\gamma]) \\ DM_*\mu(\Omega_t^0) &\approx_{t\rightarrow 0} (2\pi t)^{-n/2}(vol(M) + t/6\int_M K(x)\sqrt{g} dx + O(t^2))\space \small\text{by McKean-Singer}\\ DM_*\mu(\Omega_t[\gamma]) &= e^{-\ell(\gamma)^2/2t}\int_M DM_*\mu(e^{\bra{J_BB_t}\ket{B_t}} _t \Omega_t^0[\gamma]\vert_x\sqrt{g}dx)\space\small \text{ by Cameron-Martin}\\ &= e^{-\ell(\gamma)^2/2t}\int_{T_{\gamma_0}M} E(e^{J_B}_{t} | \Omega_t^0[\gamma]\vert_{x(\tau)})dx^1(\tau)\dots dx^n(\tau) d\tau\\ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \text{Horocyclic coordinates}: \\ h&= h(y) \implies \\ &=\frac{\ell(\gamma_0)}{2\pi t}\int_{\Reals}\frac{e^{- (1+h^2(y))\ell(\gamma)^2/2t}}{2\sinh \sqrt{-K(y)}\ell(\gamma)/2}\ell(\gamma) dy\ ,\\ h(y) = y \implies \\ &= \frac{e^{-\ell(\gamma)^2/2t}\ell(\gamma_0)}{2\sqrt{2\pi t}\sinh \sqrt {-K}\ell(\gamma)/2}\int_{\Reals}e^{-y^2\ell(\gamma)^2/2t}{\frac{\ell(\gamma)dy}{\sqrt{2\pi t}}} \end{aligned}$$

Approximation och Selbergs spårningsformel

I $\dim = 2$ konstant krökning $K = -\kappa^2$ ärende

$$\begin{aligned} \det |I-J_\gamma| &= (e^{\kappa\ell(\gamma)} - 1)(1 - e^{-\kappa\ell(\gamma)}) = 2 \sinh \kappa\ell(\gamma)/2\\ \gamma(t) = \gamma_0(kt)\implies \\ DM_*\mu(\Omega_t[\gamma])&=\frac{e^{-k^2\ell(\gamma_0)^2/2t}\ell(\gamma_0)}{2\sqrt{2\pi t}\sinh k\kappa\ell(\gamma_0)/2}\\ \end{aligned}$$

I $\dim=3$ hyperboliskt manifold fall, vi använder komplexa koordinater $(z,\bar{z})$ på det vanliga paketet att skriva

$$\begin{aligned} J_{DM(\vec{x}+(\tau+\ell(\gamma))\vec{e}^1)} &= \begin{pmatrix} e^{\kappa\ell(\gamma)} && 0 && 0\\ 0 && e^{-\kappa\ell(\gamma)+i\theta(\gamma)} && 0 \\ 0 && 0 && e^{-\kappa\ell(\gamma)-i\theta(\gamma)} \\ \end{pmatrix}\\ \implies& \\ \det I-{\perp_{\gamma_0}}^k &= |1-e^{-k(\kappa\ell(\gamma_0)-i\theta(\gamma_0))}|^2 \end{aligned}$$

och sedan $z=x^2+ix^3 \implies d\bar{z}\wedge dz= (dx^2-idx^3)\wedge(dx^2+idx^3) = 2idx^2\wedge dx^3$, blir approximationen i ekvation (2) igen exakt:

$$\begin{aligned} \kappa &= 1 \implies \\ DM_*\mu(\Omega_t[\gamma]) &=\frac{e^{-k^2\ell(\gamma_0)^2/2t}\ell(\gamma_0)}{2\sqrt{2\pi t (1-e^{-k\ell(\gamma_0)})}|e^{k\ell(\gamma_0)/2}-e^{-k(\ell(\gamma_0)/2-i\theta(\gamma_0))}|}\\ \end{aligned}$$