Динамика, классика и квант

Дифференциальный геометр’подход

Prerequisites:

1. Знакомство со Stokes’ Теорема о дифференциальных наружных тензорных алгебрах $n$-размерные многообразия $M$.

2. Воздействие базовой риманновской геометрии, esp в локальных координатах, включая нотацию Эйнштейна / PAIN.

3. Интерес к гладким и стохастическим динамическим системам, включая броуновское движение и теорию Мартингейла.

Классическая динамика

Гамильтон-Якоби / Лагранжский формализм

Механика котангентных пучков

Определить гладкий Гамильтон $\mathcal H:T_q^{*}M\oplus\Reals\rightarrow\Reals$ как $\mathcal H(p,q,t)$.

Пусть $\theta := p\ dq - \mathcal H(p,q,t)\ dt\in T^*(T^*M\oplus\Reals)$.

Определение $\mathcal S_\mathcal H(\gamma) := \int_\gamma \theta$ для гладкого $\gamma:[0,t]\rightarrow T^{*}M\oplus\Reals$.

Если две такие кривые $\gamma_1, \gamma_2$ имеют одинаковые конечные точки границы, определяют вычитание по обратному составу, поэтому $\gamma_1 - \gamma_2$ представляет собой замкнутый цикл, определенный путем обхода $\gamma_1$ в прямом направлении, и $\gamma_2$ в обратном направлении. Пусть $S$ быть любой 2-размерной поверхностью, ограниченной этой замкнутой петлей: $\gamma_1 - \gamma_2 = \partial S$. Так

$$\begin{aligned} \mathcal S_\mathcal H(\gamma_1) - \mathcal S_\mathcal H(\gamma_2) &= \int_{\gamma_1 - \gamma_2}\theta \\ &= \int_{\partial S}\theta\\ &= \int_S d\theta \end{aligned}$$

по Стоукс’ Теорема.

Независимо от того, является ли такая поверхность $S$ на самом деле существует, для действия $\mathcal S_\mathcal H$ зависеть только от конечных точек $\gamma$, мы обязательно должны иметь условие первого порядка, что $d\theta$ исчезает на $\gamma$.

Пусть $\omega_\mathcal H := d\theta = dp\wedge dq - d\mathcal H \wedge dt\in\bigwedge^2T^*(T^*M\oplus\Reals)$.

$$\begin{aligned} \omega_\mathcal H|_\gamma &= \dot{p}\ dt\wedge dq + \dot{q}\ dp\wedge dt - \frac{\partial \mathcal H}{\partial p}dp\wedge dt - \frac{\partial \mathcal H}{\partial q}dq\wedge dt \\ &= (-\dot{p}_i - \frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i}) dq^i \wedge dt+ (\dot{q}^i - \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i}) dp_i\wedge dt \end{aligned}$$

$\therefore \omega_\mathcal H|_\gamma = 0 \iff \gamma(t)$ удовлетворяет уравнениям Гамильтона-Якоби

$$\begin{aligned} \dot p &= -\frac{\partial \mathcal H}{\partial q} \\ \dot q &= \ \ \ \frac{\partial \mathcal H}{\partial p} \end{aligned}$$

$\iff \gamma:[0,t]\rightarrow T^*M\oplus\R$ стационарная кривая для действия $\mathcal S_\mathcal H(\gamma)=\int_\gamma \theta$.

Преобразование легенды

Когда $\mathcal H$ выпуклый в $p$, $\forall \dot{q} \in T_q M\ \exists !\ p=p_{max}(\dot q)$ удовлетворительный $\dot{q} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial p}(p_{max},q,t)$. Это определяет (вспомогательное) преобразование легенды $\mathcal L$ из $\mathcal H$:

$$\begin{aligned} \mathcal{L}(\dot q,q,t) &:= \max_p p\dot{q} - \mathcal H(p,q,t) \\&= p_{max}(\dot q)\dot q - \mathcal H(p_{max}(\dot q),q,t) \\ \mathcal S_\mathcal{L}(\pi(\gamma)) &= \int_{\pi(\gamma)} \mathcal{L}(\dot q, q, t)\ dt \end{aligned}$$

Лагранжское представление Действия, где $\pi: T^*M\oplus\Reals \rightarrow M\oplus\Reals$ является (забытым) оператором проекции волокна $(p,q,t)\mapsto (q,t)$.

Принцип наименьшего действия

Принцип наименьшего действия просто утверждает, что классическая динамика природы сама стремится выбирать траектории, которые сводят к минимуму. $\mathcal S_\mathcal{L}$.

В целом это утверждение является ложным. Но установленные стационарные кривые $\mathcal S_\mathcal H$ всегда интересно узнать, и они идентичны кривым, которые уходят $\mathcal S_\mathcal{L}$ Стационарный. На местном уровне дифференциальные уравнения для этих стационарных траекторий идентичны, и так далее. $\mathcal S_\mathcal H = \mathcal S_\mathcal{L}$ на этих кривых. В формуле Лагранжа эти ковариантные уравнения известны как Уравнения Эйлера-Лагранжа. $(d\mathcal{L}\wedge dt)|_{\pi(\gamma)} = 0:$

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial q} = \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q}$$

который является ODE второго порядка в $t \mapsto q(t)$, так и есть $2\dim M+1$ начальные условия $(\dot q_0, q_0, t_0)$Как и в случае с контравариантными уравнениями Гамильтона-Якоби. Теорема Пикарда-Линделёфа, эти уравнения имеют локально уникальные решения, когда обрамлены как задача с интиальными ценностями.

Однако интересный аспект $\mathcal S_\mathcal L(\pi\circ\gamma)$ показывает себя, когда мы можем однозначно определить $\pi\circ\gamma$ неявно на основе конечных точек $(q_0, t_0)$ и $(q_f, t_f)$, поэтому мы должны преобразовать эту проблему граничного значения в проблему начального значения. Иными словами, мы должны решить для $\dot q_0$ которые попадут в цель $(q_f, t_f)$ с (уникальной?) стационарной кривой $\pi\circ\gamma$ который решает уравнения Эйлера-Лагранжа. Таким образом, мы можем думать о $\mathcal S = \mathcal S(q_0,t_0, q_f, t_f)$ как переходная функция, при условии, что она не зависит от выбора стационарного $\pi\circ\gamma$, и такой $\gamma$ фактически существует в пространстве решений плавных кривых, соединяющих пару точек перехода. Локально это применение теоремы неявной функции, но во всем мире могут быть топологические препятствия для построения любого такого $\gamma$.

Пусть’сделать шаг назад и определить что-то более простое: уникальный “горизонтальный” лифт $\mathcal A=\dot q\oplus \pi^{-1}:T_{q} M\oplus \Reals \rightarrow T_{q}^{*}M\oplus \Reals$ путем назначения

$$(\dot q, q,t)\mapsto (p_{max}(\dot q), q, t)\ .$$

Теперь у нас есть для любого “прогнозируемый” гладкая кривая (не только стационарная) $\tilde\gamma:[0,t]\rightarrow M\oplus\R$:

$$\begin{aligned} \mathcal S_\mathcal{L}(\tilde\gamma) &= \mathcal S_\mathcal H(\mathcal A\circ \tilde\gamma) \ . \end{aligned}$$

Note: ограничение выпуклости на $\mathcal H$ обеспечивает уникальность $p_{max}(0)$ на любой такой стационарной кривой $\dot q = 0$. Сеть состоит в том, что стационарные кривые $\gamma$ *не имеют устойчивое движение, содержащееся в волокне *$\pi^{-1}$Таким образом, без потери общности мы просто считаем нестационарным $\tilde \gamma$ Поднимите их с $\mathcal A$ как подходящий класс кривых для “интегрировать по” позже.

Квадратичная форма магия, часть 1

Когда $\mathcal H(p,q,t)$’с $p$-зависимость (также известная как компонент кинетической энергии) является недегенеративной, симметричной квадратичной формой, мы можем представить ее как псевдо-риманскую метрику. $[g^{ij}]: M\oplus\Reals\rightarrow TM\odot TM$ с обратной $[g_{ij}]: M\oplus\Reals\rightarrow T^{*}M\odot T^{*}M$. Легендарная трансформация в локальных координатах связывает их так:

$$\begin{aligned} \mathcal H^\mathcal V(p,q,t) &= \frac{1}{2}\ g^{ij}(q,t)\ p_ip_j + \mathcal V(q,t) \implies\\ \mathcal{L}^\mathcal V(q,\dot q, t) &= \frac{1}{2}\ g_{ij}(q,t)\dot{q}^i\dot{q}^j - \mathcal V(q,t)\ . \end{aligned}$$

Связь Леви-Чивиты’Символы Кристоффеля для $g$ Они определяются формулой Кошуля.

$$\begin{aligned} \Gamma^k_{ij} &= \frac{1}{2} g^{ka}(\partial_i g_{ja} + \partial_j g_{ia} - \partial_a g_{ij})\\ \Gamma_k^{ij} &= \frac{1}{2}g_{ka}(\partial^ig^{ja} + \partial^j g^{ia} - \partial^ag^{ij}). \end{aligned}$$

со $\partial_i := \frac{\partial}{\partial q^i}$ и $\partial^i := g^{ij}\partial_j$. Связанный ковариантный производный $\nabla$ в локальных координатах

$$\begin{aligned} \nabla_{a^i\partial_i} b^j\partial_j &=d b^j(a^i\partial_i)\partial_j + \Gamma_{ij}^k a^ib ^j\partial_k\ ,\text{ or}\\ \nabla_{\partial_i}\partial_j &= \Gamma_{ij}^k\partial_k \text{ , and contravariantly}\\ \nabla_{\partial^i}\partial^j &= \Gamma^{ij}_k\partial^k \text{, so} \\ \nabla &= d + \Gamma \end{aligned}$$

для всех тензорных полей. В частности $\Gamma$ симметрично в $(i, j)$; и $\nabla [g_{ij}] = \nabla [g^{ij}] = 0$.

Анекдотально, тензор кривизны Римана-Кристоффеля

$$\mathcal R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }$$

Множители задержки на $\mathcal H$ как бесконечно малые переводы на $\mathcal L$

Кроме того, если $\mathcal H = \mathcal H_B$ имеет дополнительный компонент поля скорости $\mathcal B(q,t)\in T_qM$, то есть линейный функционал на $p\in T^{*}_qM$, мы можем завершить квадрат и пересчитать $\mathcal{L}_B$ в терминах $\mathcal L$:

$$\begin{aligned} \mathcal H_\mathcal B(p,q,t) &= \mathcal H + \mathcal Bp \implies\\ \mathcal L_\mathcal B(\dot q,q,t) &=\max_p p(\dot q - \mathcal B) - \mathcal H\\ &\ \begin{equation} \tag{A}= \mathcal{L}(q,\dot{q}-\mathcal B, t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{equation}\\ \mathcal H_\mathcal B &= \frac{1}{2}\ g^{ij}p_ip_j + p\mathcal B + \mathcal V \implies\\ \mathcal L_\mathcal B &\ \begin{equation}\tag{B}= \mathcal L - g_{ij}\mathcal B^i\dot q^j + \frac{1}{2}\ g_{ij}\mathcal B^i\mathcal B^j\ \ \ \ \ \ \end{equation} \end{aligned}$$

Здесь мы видим связь между множителем Лагранжа $\mathcal B$ включено $\mathcal H$ и его эквивалентное выражение как бесконечно малый дрейф $\mathcal L$. Мы будем контекстуализировать $\mathcal B$ в различных полезных способах в остальной части. Оба выражения $(A)$ и $(B)$ для $\mathcal{L}_\mathcal B$ в уравнении критические.

Горизонтальный подъем $\mathcal A$

С $\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i}(p,q,t) = g^{ij}p_j \implies \frac{\partial^2\mathcal H}{\partial p_i \partial p_j} = g^{ij}$, мы можем вычислить горизонтальный подъем явно

$$\begin{aligned} {p_{max}}_i &= g_{ij}\dot q^j = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}\implies \\ \mathcal A(\dot q, q, t) &= ([g] \dot q, q, t)\ . \end{aligned}$$

Когда $g^{ij}$ является положительно-определенным, так же как и его обратное, что подразумевает компонент кинетической энергии $\mathcal S_\mathcal L(\tilde\gamma) = \mathcal S_\mathcal H(\mathcal A\circ\tilde\gamma)$ локально минимизировано на стационарных кривых, включающих истинные метрики Римана.

По уравнению (12) $(A), (B)$, уравнения Эйлера-Лагранжа для $\mathcal L^\mathcal V_\mathcal B$ стать:

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\partial_i g_{jk}(\dot q^j-\mathcal B^j)(\dot q^k -\mathcal B^k)-\partial_i \mathcal V &= \frac{d}{dt}g_{ij}(q,t)(\dot q^j - \mathcal B^j) = {\dot p^\mathcal B_{max}}_i\ ,\\ - \partial^i \mathcal V &= \frac{1}{2} (\partial^i g_{jk})(\dot q^j-\mathcal B^j) (\dot q^k-\mathcal B^k) - g_{jk}(\partial^i\mathcal B^j)(\dot q^k - \mathcal B^k) + \frac{d}{dt} (\dot q^i - B^i) + g^{ij}\frac{\partial g_{jk}}{\partial t}(\dot q^k -\mathcal B^k)\\ -\nabla\mathcal V(q,t)&\begin{equation}\tag{C}=\nabla_{\dot q-\mathcal B} (\dot q - \mathcal B) -\partial_t \mathcal B +(\partial_t [\log g])(\dot q-\mathcal B) \ .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{equation} \end{aligned}$$

Это точно Ньютон’Законы движения $F/m = a$ со $\partial_t := \frac{\partial}{\partial t}$ Потенциальная энергия $\mathcal V$ и поле скорости $\mathcal B$, в зависимости от времени.

Симплектическая геометрия

Симплектический манифольд $N$ является абстракцией контагентного пучка $T^*(M\oplus \Reals)$, с закрытой, не генерируемой 2-формой $\omega \in \bigwedge^2T^*N$. $N$-изоморфизмы в этой категории сохраняются $\omega$.

Требуется $d\omega = 0$ является локальным условием интеграции для потенциала $\theta$ удовлетворительный $d\theta = \omega$, но могут быть топологические ограничения $\omega$’глобальная интегрируемость.

Что мы заботимся о динамике, так это действие $\mathcal S(\gamma) = \int_\gamma \theta$Итак, мы сосредоточимся на котангентных связках в этой статье. Здесь уместно $\theta$ тривиально классифицировать в терминах функции $\mathcal H$ включено $N$. Безусловно, поворотный $\theta$ на универсальном покрытии $N$ иногда может быть утонченным с условиями интегрируемости на его фазе (т.е. думать о $\theta$ как имеющие значения в комплексном наборе $N$и сосредоточиться на своей воображаемой части), чтобы обеспечить последовательные ценности $e^\mathcal S$ который спускается $N$.

Естественная симплектическая объемная форма $\omega^n/n!$

Пуассон Кронштейн и группы лжи

Квантовая динамика

Если классическая динамика заключается в нахождении кривых, удовлетворяющих принципу наименьшего действия, то квантовая динамика – это экспоненциальное действие, поскольку мы интегрируем его значение по всему классу (обычно) нестационарных кривых с подходящим ограничивающим понятием. “бесконечное измерение Лебега” $\mathcal D_{dt}\tilde \gamma$,

На самом деле, только гауссовы “муфта”

$$\int_{\set{\tilde \gamma}} e^{-\mathcal S_{\mathcal L_\mathcal B^{\mathcal V}}(\gamma)}\mathcal D_{dt}\tilde \gamma$$

требует интерпретации как a (сложное значение) меры для некоторых $\set{\tilde \gamma}$, но эта конструкция, как серия все более сложных примеров, будет нашим фокусом в будущем. Что бы ни случилось, будет ясно, что реальная стоимость $\mathcal S$ На этих кривых будет $\infty$, чтобы отменить $\infty$ из “Нормализатор деления времени” присущей $dt$ элементы $\mathcal D_{dt}\tilde \gamma$. Существует несколько вариантов построения аппроксимаций, влияющих на сближение аппроксимаций, но мы обойдем их все, сосредоточившись на геометрической инвариантности тривиально вычисляемых случаев.

Ценность действий

Не ставить слишком тонкую точку на нем, но классическая механика определяет действие как средство к концу. Он никогда не заботился о том, чтобы прийти к какому-либо пониманию того, что его фактическая ценность значима. Мы просто используем его для построения необходимых дифференциальных уравнений, чтобы мы могли думать о $\mathcal S$ как функция перехода между конечными точками через стационарные кривые. Стационарное требование позволило нам интерпретировать $\mathcal S$ как путь-инвариантное выражение, но мы никогда не заботились о его действительной ценности. Вот почему $\theta \mapsto \theta + df$ для некоторых $f \in C^\infty(T^*M)$ рассматривается как инвариантное преобразование: классические уравнения движения остаются неизменными $f$.

Мы делаем это в Quantum Dynamics!

Естественный (ковариантный) интегральный путь

Завершая квадрат и перевод инвариантности Мера Лебега (в волокне $T^*M$), помните, что:

$$\hbar^n\int_{\Reals^n} e^{ p_i\dot q^i\Delta t - \frac{1}{2}\hbar^2 g^{ij}p_ip_j\Delta t}dp_1\dots dp_n = \hbar^n\int_{\Reals^n} e^{-\frac{1}{2}\hbar^2 g^{ij}(p_i - g_{ik}\dot q^k/\hbar)(p_j - g_{jk}\dot q^k/\hbar)\Delta t} dp_1\dots dp_n \cdot e^{\frac{1}{2\hbar^2}g_{ij}\dot q^i\dot q^j\Delta t} = \frac{e^{\frac{1}{2\hbar^2}g_{ij}\dot q^i\dot q^j\Delta t}}{\sqrt{(2\pi\Delta t)^n \det g^{ij}}}$$

Таким образом, выражения Feynman Path Integral являются морально эквивалентными (но формально бесконечными) в квадратном случае кинетической энергии:

$$\begin{aligned} \int_{\set{\gamma}} e^{\mathcal S_{\mathcal H^\mathcal V_\mathcal B} (\gamma)} \mathcal D_{dt}\gamma &\approx \int_{\Reals^{2n}} e^{(p\dot q - \mathcal H^\mathcal V_\mathcal B(p,q,t))\Delta t}\omega_0^n/n!\\ &= \frac{1}{\sqrt{(2\pi\Delta t)^n}}\int_{\Reals^n}e^{\mathcal L^{\mathcal V}_\mathcal B(\dot q, q, t)\Delta t}\sqrt{\det g_{ij}}\ dq^1...dq^n\\ &\approx \int_{\set{\tilde \gamma}} e^{\mathcal S_{\mathcal L^{\mathcal V}_\mathcal B}(\tilde \gamma)} \mathcal D_{dt}\tilde \gamma \ . \end{aligned}$$

Следовательно, с вращением Wick и векторным изменением постоянной Планка $\hbar = h/2\pi$, отправка $dt\mapsto \hbar/i\ dt, \ p\mapsto \hbar p, \ \dot q\mapsto \dot q/\hbar,\ \mathcal B\mapsto \mathcal B/\hbar$:

$$\begin{aligned} \int_{\set{\gamma}}e^{\hbar/i\ \mathcal S_{\mathcal H_{\mathcal B/\hbar}^{\mathcal V}(\hbar p, q, t)}(\gamma)}\mathcal D_{\hbar/i\ dt}\gamma &\approx \int_{\set{\tilde\gamma}} e^{\hbar/i \ \mathcal S_{\mathcal L_{\mathcal B/\hbar}^{\mathcal V}(\dot q/\hbar,q, t)}(\tilde \gamma)}\mathcal D_{\hbar/i\ dt}\tilde\gamma\\ &= \int_{\set{\tilde \gamma}}e^{-\frac{i}{\hbar}\mathcal S_{\mathcal L^{\hbar^2 \mathcal V}_{\mathcal B}(\dot q, q, t)}(\tilde \gamma)}\mathcal D_{\hbar/i\ dt}\tilde\gamma\ . \end{aligned}$$

Поэтому, когда мы хотим приблизиться к правой стороне уравнения с использованием метода стационарной фазы (он же полуклассический предел) $\hbar\downarrow 0$), мы должны помнить, чтобы решить уравнения Эйлера-Лагранжа (14) $(C)$ со $\mathcal V \mapsto \hbar^2 \mathcal V\approx 0$.

Квантование Шредингера

$$\begin{aligned} \mathcal H(p,q) &\ = \mathcal T(p,q) + \mathcal V(q)\ \text {, where } \mathcal T = \frac{1}{2}g^{ij}(q)p_ip_j \implies \\ e^{-it/\hbar \hat{\mathcal H}}\ket{\psi} &:= e^{-it/\hbar(-\frac{\hbar^2}{2} \Delta_M + \mathcal V)} \ket{\psi} \implies \\ i\hbar \frac{d}{dt}\ket{\psi} &\ = -\frac{\hbar ^2}{2}\Delta_M \ket{\psi} + \mathcal V\ket{\psi} \end{aligned}$$

($\Delta_M$ является оператором Лаплас-Белтрами для $g$) как линейные дифференциальные операторы. Дело в том, что решение аналитическое в $t$ на верхней полуплоскости, и $dt\mapsto i/\hbar\ dt,\ p\mapsto p/\hbar$ Это его уравнение Wick-неповоротной диффузии:

$$\frac{d}{dt}e^{-t\hat{\mathcal H}}\ket{\psi} = (\frac{1}{2}\Delta_M - \mathcal V) e^{-t\hat{\mathcal H}}\ket{\psi} \ .$$

Это форма, поддающаяся стохастическому анализу на основе выборочных путей, и дает нам осмысленный способ согласования пути Фейнмана с аналитическим продолжением решений уравнений эллиптической диффузии со всей правой половиной плоскости. По сути, мы будем иметь четко определенные “меро-теоретический” аналитическая карта из правой половины плоскости в набор ограниченных линейных операторов на $\mathscr H = L^2(M,g)$, и уравнение Шредингера’Оператор Единичной Эволюции – это его граничное значение на воображаемой линии. $it\hbar\ ,t\in\Reals$. Это помогает понять фон-Нейман’Спектральная теорема гармонического разложения закрытых, неограниченных самосопряженных операторов (например, $\Delta_M$) $\mathscr H$,’не требуется для остальной части этой статьи.

Другими словами, достаточно изучить динамику уравнения (17), как только мы проясним тонкости, вовлеченные в явное определение его внушающего пути интегрального выражения.

Вместо того, чтобы заново изобретать полумартигальное исчисление Itô/Stratonovich/Malliavin SDE из цельной ткани, мы собираемся перейти к серии простых (плоскометрических) примеров, которые приведут нас к общей теории.

В конце концов, мы хотим, чтобы Путь Фейнмана-Интегральная Квантизация соответствовала Квантизации Шредингера или, по крайней мере, чтобы понять отклонение. В частности, нам необходимо полуклассическое приближение для генерации PDE Шредингера. $o(t)$ как $t\downarrow 0$.

Как выяснилось, по поводу $\mathcal V$ термин, когда метрика не плоская. Мы исследуем этот вопрос полностью ниже, поскольку он относится к известным формулам суммирования (Selberg like) для неплоских метрик.

Формула Фейнмана-Кака

С $V \in C^\infty(M)$Формула Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа:

$$e^{-it/\hbar -\Delta^\hbar_M/2} e^{-it/\hbar V} = e^{-it/\hbar(-\Delta^\hbar_M /2 + V - it/4\hbar [\Delta^\hbar_M,V] + O(t^2))}$$

Формула Фейнмана-Кака следует из формулы пути-интеграла для Брауновского движения в евклидовом пространстве. В основе этого лежит то, что мы можем сосредоточиться на $\mathcal V = 0$ Так что мы будем двигаться вперед.

Параллельная транспортная изометрия $\hat\Gamma$

Возьмите любой вектор в $v \in T_qM$. Параллельная транспортировка $\hat\Gamma_t(\gamma)v \in T_{\gamma(t)}M$ является вектором, который вы получаете, решая линейный ODE первого порядка:

$$\begin{aligned} v(0) &= v \\ \nabla_{\dot \gamma(t)}\dot v &= 0 \end{aligned}$$

Примечательно $\nabla_{\dot \gamma}\hat\Gamma_t(\gamma) = 0$, и тензор кривизны $\mathcal R(X,Y) = [\nabla_X,\nabla_Y] - \nabla_{[X,Y]}$ измеряет зависимость первого порядка от $\hat \Gamma$ на выбор кривой $\gamma$ подключение конечных точек. $\mathcal R = 0 \iff \hat\Gamma_t$ не зависит от $\gamma$.

Другими словами, если мы попытаемся разложить параллельный транспорт как бесконечное движение вдоль $\mathcal B^\perp$ с бесконечно малым движением вдоль $\mathcal B$, уравнения станут:

$$\begin{aligned} \hat\Gamma(\gamma) &= \hat\Gamma(\gamma|_\mathcal B)\hat\Gamma(\gamma|_{\mathcal B^\perp}) - \frac{1}{2}\mathcal R(\dot{\gamma}|_\mathcal B, \dot{\gamma}|_{\mathcal B^\perp})dt + O(dt^2) \ \\ \nabla_{\dot \gamma}\hat\Gamma(\gamma) &= \nabla_{\dot \gamma|_\mathcal B}\hat\Gamma(\gamma|_{\mathcal B^\perp}) + \nabla_{\dot \gamma|{\mathcal B^\perp}}\hat\Gamma(\gamma|_{\mathcal B}) - \frac{1}{2}\mathcal R(\dot\gamma|_\mathcal B,\dot{\gamma}|_{\mathcal B^\perp}) = 0 \end{aligned}$$

Полуклассическая механика

Семиклассические асимптоты являются точным решением на плоских коллекторах

Правая сторона уравнения (16) представляет собой точную формулировку теплового ядра для постоянного коэффициента (в $q$ метрики $g_{ij}$. Каждый плоский коллектив’универсальная крышка изометрична для евклидового пространства, где $g_{ij} = \delta_{i-j}$.

Это тепловое ядро для стандарта $n$- мерное Браунское движение.

Пусть’s уточните это, отзываем переходную функцию в данном случае: $\mathcal S_\mathcal L(q_0,t_0, q_f, t_f) = \rho^2(q_0, q_f)/2(t_f - t_i)$, где $\rho$ Расстояние между Риманом $q_0$ и $q_f$.
позволить $||q||^2 = q\cdot q$ быть квадратом евклидовой нормы $q$:

$$\begin{aligned} RHS^{16}_t(q_0,q_f) &:= \frac{e^{-\mathcal S_\mathcal L(q_0, 0, q_f, t)}}{\sqrt{(2 \pi t)^n}} \sqrt{g(q_f)}\\ \mathcal R=0 \implies \\ &\ = \frac{e^{\frac{-||q_f - q_i||^2}{2t}}}{\sqrt{(2\pi t)^n}} \\ &\ = \int_{\Reals ^n}RHS^{16}_{s}(q_i, q)\ RHS^{16}_{t-s}(q, q_f)\ dq^1...dq^n\ \forall s\in (0, t) \end{aligned}$$

Почему это последнее уравнение верно? Пусть’смотреть на изображение из пространства пути: у нас есть прямолинейная геодезическая, которая соединяет $q_0$ по $q_f$ время $t$, и сломанной геодезической, которая соединяет их с промежуточной точкой останова, происходящей в $s$. Эффективно мы интегрируем некогда сломанную геодезику, используя формулу Кэмерона-Мартина для представления прямой геодезии как $g$-инвариантное векторное поле $\mathcal B$. Затем мы интегрируем дельты точки останова из этой геодезической ($\dot q-\mathcal B$) с центрированным гауссом для $\Reals^n$.

Явно заданное постоянное векторное поле $\mathcal B_t = (q_f - q_0) / t$когда-то сломанная евклидовая геодезия

$$q(\tau) = \mathcal B_t\tau + q_0 + q\begin{cases} \tau/s & 0\leq\tau\leq s\\ (t - \tau)/(t-s)& s\leq\tau\leq t \end{cases}$$

for fixed $q\in\Reals^n$ representing the “break point” at $s$.

By Equation (12) $(A)$ and $(B)$:

$$\begin{aligned} -\mathcal L(\dot q, q, \tau) &= \begin{equation}\tag{D}-\mathcal L(\dot q(\tau) - \mathcal B_t, q(\tau), \tau) - \mathcal B_t\cdot (\dot q(\tau)-\mathcal B_t) - \frac{1}{2}\mathcal B_t \cdot B_t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{equation}\\ \implies \\ e^{\mathcal -S_\mathcal L(q_0, q, \tau)} &= e^{-\tau||\mathcal B_t||^2/2}e^{-(\mathcal B_t -q_0)\cdot (q(\tau)-\mathcal B_t\tau - q_0) -\mathcal S_{\mathcal L_{\mathcal B_t}(\dot q,q,\tau)}} \\ &= e ^{-\tau||q_f-q_0||^2/2t^2 - \mathcal S_{\mathcal L(\dot q-\mathcal B, q, \tau)}}e^{-(q_f - q_0)/t\ \cdot q \begin{cases} \tau/s & 0\leq\tau\leq s\\ (t-\tau)/(t-s) & s\leq\tau\leq t \end{cases} }\\ \implies\\ \frac{1}{\sqrt{((2\pi)^2 s(t-s))^n}}\int_{\Reals^n} e^{-\mathcal S_{\mathcal L}(q_0,q,s)}e^{\mathcal S_{\mathcal L}(q,q_f,t-s)}dq^1...dq^n &= \frac{e^{-(s+t-s)||q_f - q_0||^2/2t^2}}{\sqrt{((2\pi)^2 s(t-s))^n}} \int_{\Reals^n}e^{-t||q||^2/2s(t-s)} dq^1...dq^n \\ &= \frac{e^{-\rho^2(q_f, q_0)/2t}}{\sqrt{(2\pi t)^n}}\\ &= RHS^{16}_t(q_0,q_f) \ . \end{aligned}$$

Значительно, что мы построили $\mathcal B_t$ поэтому $\dot q - \mathcal B_t$ представляет собой некогда сломанную геодезическую $s$ что началось и закончилось в $q_0$, и мы увидели, что эти кривые по существу $\mathcal N(0,s\wedge t-s)$ распространяется. В остальной части этой статьи мы разложим $\Reals^n=<\mathcal B_t>\oplus \mathcal B_t^\perp$ и интегрировать $<\mathcal B_t>$.

Интегральный дефект интегрального пути интегральной кривой DeWitt на поверхностях Римана

Что делать, если мы попытались использовать “последовательные преобразования” о полуклассическом выражении в уравнении (16) для построения Брауновского движения на отрицательно изогнутом многообразии $M$?

Мы’получить что-то, но это’d быть почти Браунское движение на изогнутых пространствах — Мы должны обратиться к Фейнман-Каку за дефектом в его бесконечно малом генераторе. Оказывается, будет эффективная потенциальная ошибка функции $-\frac{1}{6}\bar{\mathcal R}$, где $\bar{\mathcal R}$ Это скалярная кривизна в каждой точке. Впервые это было обнаружено Брайсом DeWitt в 1950 году.’s и прославился в 1972 году McKean-Singer бумагой о кратковременной асимптотике следа теплового ядра, где этот термин представляет вклад в гессианскую метрическую форму $g_{ij}$ в нормальные координаты. Однако в то время $\dim = 2$ случай, когда вы добавляете полный коррекционный потенциал $\mathcal V = -\frac{1}{6}(\bar{\mathcal R} - \frac{1}{4}\bar{\mathcal R}) = \frac{1}{16}\bar{\mathcal R}$ Гамильтониан, который является Девиттом’с $\frac{1}{6}\bar{\mathcal R}$ объемный термин форма минус наличие поля убийства $\mathcal B$’с $\frac{1}{24}\mathcal{Ric}(\mathcal B/||\mathcal B||, \mathcal B/||\mathcal B||)$ Вклад, этот фактор исключается из полуклассической асимптотики формул трассы Сельберга.

Точнее, при приближении $1/2\ \nabla\vert_0\sqrt{g} = - 1/6\ \mathcal{Ric}_{ij}q^i\partial^j + o(||q||) \implies 1/2\ \nabla\cdot\nabla\vert_0 \sqrt{g} = -1/6\ \bar{\mathcal R}(0)$, мы видим, что первые производные исчезают по происхождению, так что:

$$\sqrt{(2\pi t)^n}(\frac{1}{2}\Delta_M-\mathcal V)\vert_0 e^{-\mathcal L(\dot q, q, t)}\sqrt{g(q)} = (\frac{1}{2}\Delta_{\Reals^n}\vert_0 e^{-1/2t\ g_{ij}q^iq^j}) - \mathcal V(0) - \frac{1}{6}\ \bar{\mathcal R}(0)$$

который **является первоначальным термином Девитта, как он его получил. Как мы предвзято относимся к квантованию в присутствии поля убийства $\mathcal B = \frac{\partial}{\partial x^1}$ , мы принимаем немного измененный потенциальный термин:

$$\sqrt{(2\pi t)^{n}}(\frac{1}{2}\Delta_M-\mathcal V)\vert_{x^1,\vec 0} e^{-\mathcal L_\mathcal B(\dot q, q, t)}\frac{1}{det |I-\mathcal J_\mathcal B|} = (\frac{1}{2}\Delta_{\Reals^n}\vert_{x^1,\vec 0}e^{-x^1x^1/2t}) - \mathcal V(x^1, \vec 0) + \frac{1}{8}\mathcal{Ric}_{11}(x^1, \vec 0).$$

Геометрическая формула Кэмерона-Мартина для $g$-инвариантные (убийственные) векторные поля $\mathcal B$ (Часть 2).

Предположить $\mathcal B$ является $g$-инвариант Убийство) векторное поле включено $M$ Для остальной части этой статьи.

Карта развития $\tilde \gamma = \mathscr D_q[\tilde c]$ для $\tilde c\in C^\infty([0,t],T_qM)$.

Решение для $\tilde \gamma$:

$$\begin{aligned} \tilde \gamma(0) &= q \\ \dot {\tilde \gamma} &= \hat\Gamma(\tilde \gamma)\dot{\tilde c}\\ \end{aligned}$$

$\tilde c(\tau)=\int_0^\tau\hat\Gamma_s^{-1}(\tilde\gamma)\dot{\tilde\gamma} ds$ как обратная карта развития

Эфир’Теорема обеспечивает $d({g^{-1}\mathcal B}) = 0$, так $g^{-1}\mathcal B$ локально интегрируется в $\hat{\mathcal B}$, и его локальные наборы уровней ортогональны $\mathcal B = \nabla \hat{\mathcal B}$. И потому, $\hat \Gamma$ сохраняет метрику, сохраняет $\mathcal B$ и $\mathcal B^\perp$:

$$\begin{aligned} \\ \dot{c}\cdot\mathcal B &= 0 \implies\\ \dot{\gamma}\cdot \mathcal B &= 0 \implies\\ \frac{d\hat{\mathcal B}}{dt} &= 0\ , \end{aligned}$$

поэтому $\gamma$ содержится в наборе уровней $\hat{\mathcal B}$ всегда $c$ полностью содержится внутри $\mathcal B^\perp \subset T_qM$.
Ограничения кривизны на коммутативность параллельного транспорта обеспечивают $\gamma(t) \ne q$ в целом. Кроме того,

$$\begin{aligned} ||\mathcal B_t|| &= \frac{\rho(q_0,q_f)}{t} \implies \\ \tilde{c}(\tau) - c(\tau) &= \frac{t^2}{\rho^2(q_0,q_f)}\mathcal B_t\int_0^\tau \dot{\tilde c} \cdot \mathcal B_t\ ds\\ &= \mathcal B\int_o^\tau\dot{\tilde c}\cdot \mathcal B \ ds\\ &= \mathcal B\cdot \tilde c(\tau)\ \mathcal B\\ &= d\hat{\mathcal B}(\tilde c)\ \mathcal B \ . \end{aligned}$$

Брауновское движение на $M$ является евклидовым измерением Wiener на $\mathscr D^{-1}$

Формула Кэмерона Мартина для теплового ядра $k^{\hat{\mathcal H}}_t(q_0,q_f)$ на отрицательно изогнутом коллекторе $M$, где $\hat{\mathcal H} = -\Delta/2 +\mathcal V$

Пусть $\Omega^\mathcal B_t(q)$ быть пространством непрерывных кривых на $M$ Источник: $q$ и заканчивается в $\exp{t\mathcal B}\ q$, и $\mu_t(\omega)$ Глобальный показатель Wiener включен $\omega\in \Omega^\mathcal B_t := \set{\Omega^\mathcal B_t(q): q\in M}$, с $E_t^\mathcal B (f|A):=\int_{\Omega^\mathcal B_t} f(\omega) d(\mu_t|A)(\omega)$ и $P^\mathcal B_{\mu_t}(A) := \mu_t(A)/\mu_t(\Omega_t^{\mathcal B})\ \forall A\subset\Omega^\mathcal B_t$ . Тогда уравнение (26) $(D) \implies$

$$\begin{equation} \tag{E} k^{\hat{\mathcal H}}_t(q_0,\exp{t\mathcal B_t}\ q_0)\sqrt g(q_0)\ dq = \frac{e^{-\rho^2/2t}}{\sqrt{2 \pi t\det{|I-\mathcal J^{\mathcal B}(q_0)|}}} E^\mathcal B_t({e^{-\int_0^t V(\omega(s))ds\ +\ \int_0^t \bar {\mathcal R}(\omega(s))ds/12\ -\ \int_0^t \mathcal {Ric}(\frac{\mathcal B}{||\mathcal B||},\frac{\mathcal B}{||\mathcal B||})(\omega(s))ds/24}\chi_{\Omega^B_t(q_0)}(\omega)}|d\mathcal B^\perp)d\hat{\mathcal B}(q_0) \ \ \ \ \ \ \ \end{equation}$$

где $\rho=||t\mathcal B_t||=dist(q_0,q_f)$, $\mathcal J^{\mathcal B}(q_0)$ является монодромной матрицей, связанной с фолиацией $M$ вызвано $\hat{\mathcal B}$, вдоль кривой $\tilde \gamma(\lambda) = \exp{\lambda\mathcal B_t}\ (q_0)$, подключение $q_0$ по $q_f$ как $\lambda$ из $0$ по $t$. $\mathcal J^{\mathcal B}$ не зависит от $t$; и ограничение кривизны обеспечивает $I-\mathcal J^\mathcal B$ всегда не генерируется для $q_0 \neq q_f$. Замена $\mathcal B$ со $-\mathcal B$ отменяет роли $q_0$ и $q_f$так ясно, что выражение симметрично между ними, как и ожидалось.

С $\mathcal R$ постоянна вдоль $\tilde \gamma$, и $\gamma$ * является геодезическим (до переномализации длины), $\mathcal J^\mathcal B(q_0)$ является тривиально вычислимым с точки зрения Jacobi Fields $\mathcal J(\lambda)$ вдоль $\tilde \gamma$ которые являются просто решением для постоянного коэффициента второго порядка линейных ОДЭ, оцениваемых после эволюции с течением времени $\lambda=t$.

Доказательство этого уравнения будет grist для статьи препринта, а не этого опроса, но это простое применение формулы Фейнмана-Кака *применяется к $\mathcal V = \frac{1}{12}(\bar{\mathcal R} - \frac{1}{2} \mathcal {Ric}(\mathcal B / ||\mathcal B||, \mathcal B/||\mathcal B||)$, который явным образом вычисляется с обеих сторон уравнения, так как весь расчет сводится к постоянному случаю кривизны в этой точке.

Хорошее следствие происходит в постоянной $\mathcal {Ric}(\frac{\mathcal B}{||\mathcal B||},\frac{\mathcal B}{||\mathcal B||}) = \bar{\mathcal R} / \dim M$ отрицательная гауссова кривизна $-\kappa$ случай, где $\mathcal B$ нисходит в $S^1$ действие на поверхности Римана $M$:

$$\begin{aligned} \det |I - \mathcal J^\mathcal B| = (2 \kappa\sinh(\sqrt{\kappa}\rho/2))^2 \implies \\ \mu_t(\Omega_t^\mathcal B) = \int_{M/S^1\oplus S^1} k^{-\Delta/2}_t(q,\exp{t\mathcal B}\ q) \sqrt g(q)\ dq &= \frac{e^{-\rho^2/2t}}{\sqrt{2\pi t}} \int_{M/S^1\oplus S^1} \frac{1}{2\kappa(q) \sinh \sqrt{\kappa(q)}\rho/2}E^\mathcal B_t(e^{\int_0^t \bar{\mathcal R}(\omega(s))\ ds/16}{\chi_{\Omega^B_t(q)}(\omega)}|d\mathcal B^\perp)d\hat{\mathcal B}(q)\\ &=\frac{e^{-\rho^2/2t\ -\ t\kappa/8}}{\sqrt{2\pi t}\ 2\kappa\sinh \sqrt {\kappa}\rho/2}\ \int_{\mathcal B^\perp\oplus[0,\rho_0]}P^\mathcal B_{\mu_t}(\Omega_t^\mathcal B(d\hat{\mathcal B})|d\mathcal B^\perp), \ \text{ Bayes}\implies\\ &=\frac{e^{-\rho^2/2t\ -\ t\kappa/8}}{\sqrt{2\pi t}\ 2\kappa\sinh \sqrt {\kappa}\rho/2}\ \int_0^{\rho_0} P_{\mu_t}^\mathcal B(\mathcal B^\perp d\hat{\mathcal B}|\Omega_t^\mathcal B(d\hat{\mathcal B}))\frac{P^\mathcal B_{\mu_t}(\Omega_t^\mathcal B(d\hat{\mathcal B}))}{P^\mathcal B_{\mu_t}(\mathcal B^\perp d\hat{\mathcal B})}d\hat{\mathcal B}\\ &=\frac{e^{-\rho^2/2t\ -t\kappa/8}}{\sqrt{2\pi t}\ 2\kappa\sinh \sqrt {\kappa}\rho/2}\ \rho_0\\ \end{aligned}$$

где $\rho = \min_{q\in M}dist(q, \exp t\mathcal B \ q)$ Расстояние самой короткой орбиты, пройденной под $S^1$ действия, и $\rho_0$ это $\rho$ делится на множество связанных с ним орбит. В привычных терминах гиперболической геометрии, $\mathcal B^\perp$ Циклы и $g$-инвариант $S^1$ действие под $\mathcal B$ Говорят, что это гороциклический поток.

Дополнительно рассмотрим уравнение (32) $(E)$ где $B$ представляет собой ротационную $g$-инвариантная симметрия вокруг фиксированной точки $q_0$. Затем с $\Omega^0_t$ набор непрерывных сокращаемых петель:

$$\mu_t(\Omega_t^0) = \frac{vol(M)}{2\pi t}\int_0^\infty \frac{e^{-\rho^2/2t\ -t\kappa/8}}{\sqrt{2\pi t}\ \kappa\sinh \sqrt {\kappa}\rho/2}\ \rho d\rho$$

Поскольку это уравнение является аналитическим в $\kappa$Мы можем видеть, что аналитическое продолжение $\kappa \rightarrow -\kappa$ преобразует это выражение из $\sinh$ по $\sin$ в этом случае мы имеем правильное уравнение для призрачной 2-сферы с постоянной положительной гауссовой кривизной $|\kappa|$.

Другими словами, мы получили 2-мерную формулу трассировки Сельберга с помощью вероятности и геометрии, вместо обычного Гармонического анализа на симметричных пространствах.

Пример нетривиальной кривизны

Для плавного диффеоморфизма реального значения $h:\Reals\rightarrow\Reals$ со $h(0)=0$, пусть $ds^2 = (1+h^2(y)) dx^2 + 2h(y) dx\odot dy + dy^2$. Эта метрика имеет отрицательную кривизну Гаусса $-(\kappa(y)=\frac{d^2}{dy^2}h^2(y)/2)$, которая только постоянна, когда $h(y)$ является родственным; и $\det(ds^2)= 1$. Затем с $\hat{\mathcal B}(x,y) = x$, мы видим

$$\mu_t(\Omega_t^\mathcal B) = \frac{e^{-\rho^2/2t}}{2\pi t}\int_{-\infty}^\infty\frac{\rho_0}{2 \sinh \sqrt{\kappa(y)}\rho/2} \int_{\Omega_t^\mathcal B(0,y)}e^{-\int_0^t\kappa(y(s))ds/8}d(\mu_t|\mathcal B^\perp)/dy \ dy$$

Если взять $h(y) := y\sqrt{2y^2/3 + \kappa(0)} \implies \kappa(y) = 4 y^2 + \kappa(0) \gt 0$, затем уравнение (32) $(E)$ предсказывает, что

$$\mu_t(\Omega_t^\mathcal B) = \frac{e^{-\rho^2/2t -t\kappa(0)/8}}{\sqrt{2\pi t \cosh t}}\int_0^\infty\frac{\rho_0e^{-y^2/2t}}{\sqrt{2\pi t}\sinh \sqrt{4y^2+\kappa(0)}\rho/2 }\ dy$$

который взрывается в $0$Как и ожидалось, если мы $\kappa(0) = 0$. Кроме того, как $t\rightarrow 0$, интеграл также имеет правильное асимптотическое поведение (скопление вокруг постоянной кривизны) $-\kappa(0)$ ситуация, как если бы соответствующий компонент формулы трассировки Сельберга служил ее полуклассическим пределом, как $t\rightarrow 0$).

Наблюдения, уравнение эволюции и Lie Algebras

Действие линейного пакета Черн-Симонса

Заметки о динамике общей теории относительности

• внешняя ось времени искусственная, так как время встраивается в геометрию самого 4-мерного многообразия.
  Это означает, что операторы эволюции’имеет значение; имеет значение только стационарное уравнение Шредингера.
• интегральная формулировка пути взрывается из-за -1 подпись Лоренцианской метрики в время направление. $\det{g}$ является отрицательным, и преобразование Фурье на каждом котангентном пучке’s-волокно также бесконечно в этом направлении, если мы не используем аналитическое продолжение (также известное как вращение Вика на внутреннем время).