特徵和光譜幾何的三重產品

作者

Joe Schaefer

供款

到秋天

摘要

使用幾何分析、部分差分方程式和異常中的基本技術$C^*$ 阿格布拉斯，我們發現一個新穎而出且熟悉的全球幾何鑑別 — 即 **Laplace-Beltrami 運營商 **的三項特徵性產品組合的索引集，以精確地描述哪種特徵性封閉的 Riemannian manifold 是幾何的。

產品介紹

對於封閉的 Riemannian manifold $(M,g)$，描述其** 類別 **的非幾何，isospectral manifold 是一種反向問題[DH11] 在光譜幾何中。Naïvely 可能指定此類別永遠為 empty。然而，學術文獻豐富了數十年歷史的反範例配對結構：從 1964 年開始，John Milnor 的 16 維對非幾何，isospectral Flat tori [JM64]，繼續[CS92] 邁向 Alexander Schiemann 1993 博士論文中平坦的通用尺寸特徵化[AS94] — 使用電腦輔助搜尋關鍵功能完成$\dim = 3$ 案例展示現代化的問卷調查將顯示於[NRR22].

在這種方式中，深入了解更複雜、非歐幾里德對稱的覆蓋空間；構建此類等同空間、非幾何”導管” 涉及非傳統曲率張量 (及其在尺寸 2 中的頻譜決定尤拉特徵) [MS67]。) 此工作的主要範例是 Toshikazu Sunada 的 1985 [TS85] 發明一個通用覆蓋空間框架，然後在同一工作中部署，以構建維度 2 和 3 中的雙曲管。

對於不均勻的里曼尼亞指標，卡羅林·戈登發現甚至不屬於本地的飲食[CG93].

在許多相關區域繼續工作[DH11]，例如決定一般 (空白) 中等同位素類別的拓樸特徵、非幾何特徵[ST80]，有限[AS94]，剛性[GK80]，精簡[GZ97]) 作為 Riemannian 度量中不同模數空間的子集。

What we offer in this article is a new perspective on a familiar tool: 分散式特徵函數對相關產品的指數傅立葉係數”代數 / 地質鑑別” 以補充現有、離散”分析不變量” — *Laplace-Beltrami 運算子 *(此處稱為 Laplacian) 的非負數頻譜$ℋ = L^2(M,g)$。組合，我們觀察配對提供”離散全域幾何表示法” 近似同位素類別，閉合裡曼尼亞人。

這不是一個研究單張，而是介紹了熟悉幾何分析、表現理論的進階數學學生的課題。$C^*$ 代數。

結果

認知至關重要$M^{i,j,k}$ 並非基本不變量：在本理論證明後，會詳細探討其具有自然的統一基準變更動作。討論包含一組可能形成一般形容詞的基準不變單數值，其中宣稱排序的單數值會完全描述一組 isospectral manifolds。

無論一般形容詞的充分程度一半，必然就是這種情況。這表示這些由下列定義之單一值的集合：$M^{i,j,k}$ 而且與每一個空間三人相關聯，是一組新的里曼尼亞 **不變量 **。

未來研究的努力是找出這類基礎配對，或判斷這類配對根本無法存在，只要檢查其特性即可$M^{i,j,k}$ 證據。但本白皮書以目標為中心：我們尋求減少 Spectral Theory 的分析幾何問題，以計算有關特徵性產品的可追蹤線性代數問題。

Symmetry 在計算時扮演著重要的角色[TF17] [LS18] [PS94]，這是我們平坦的 tori 中所說明的範例 下方。然而，我們的方法當選人最少數量的里曼尼對稱對稱時，這可能是最佳做法，這種情況是一般的案例。在此情況下，我們提供以下服務：

 

研究的動機$\set{M^{i,j,k}}$ 由研究 雙線性乘法運算子的角色所產生 $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ 在 Vertex 運算子代數的定義中[FBZ04] 與 Chiral Conformal Field Theory 相關聯。這裡$V$ 是美國的向量空間，並且$V((z))$ 是正式 Laurent 系列的空間$z$ 與係數$V$。開始日期$V$ 常被配備為 Hilbert Space 的傳統傅立葉系列正規基礎，索引$Y$ 使用下列項目的傅立葉基礎元素：$V$ 僅比參與項目稍微多$M^{i,j,k}$ 在此研究案例，但在精神上相當類似。不過，詳細比較超出了本文的範圍。

如果我們考慮地圖

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

本白皮書為封閉的里曼尼亞人機組 (最多只能在其域內使用里曼尼亞人) 建立此地圖的注射性。套用這些技術來描述其影像 (和反向) 的進一步結果，就在測量結果的精選模數空間內開始使用[AA25]。Anshul Adve 在 Conformal Field Theory 中使用這些相同的 結構常數 來處理緊密、雙曲雙曲兩曲的單位正切空間。

有些影像可能有助於這裡 。如果我們修正$(M,g)$ 並查看 的 orb $\set{M^{i,j,k}}$ 頻譜保存基底變化單體轉換$\set{e^i}$，我們看到不同等向的軌道$(M,g)$ 配對分割此地圖的影像以及 isometry 類別。

最後，我們證明了 Riemannian 通用公制案例在研究結果中完全具有特色。”對角線” $\set{\lambda_i, M^{i,\bar i,k}}$.

這些結果最初是在 1997 年 MSRI 的作者在類似標題的談話期間進行示範，但初次以公開的形式出現在這裡。

初步

現在使用$M,g,e^i,M^{i,j,k}$ 如上，針對$f \in C^\infty(M)$ 與$i \geq 0$ 請注意 **傅立葉係數 **

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x) \end{aligned}$$

起自$f$ 唯一代表其快速融合 快遞系列 ($\Delta_M$- 特定 Sobolev 嵌入式[MT13] [RS75]，連同 Weyl 的漸近法[HW11]，即總和中的詞彙為$o(i^{-n})$ 均勻輸入$x$ [LH68], $\forall n\in\N$。) 然後我們看到：$f_1, f_2 \in C^\infty(M)$，指向產品的傅立葉係數$f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ 是

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x) \end{aligned}$$

以此類推，* 批評性 *，任何多變量多項式$\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (在平滑功能上) 通勤 附任何頻譜保存$\Delta$- 特徵函數正規基底圖$\vec{F}$ 保存$\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

此外，若$A\subset M$ 為 Borel-measurable，則以上結果為 characteristic 函數的持點$A$ 任何地方，但邊界除外$A$：如果$f = f^2$ 與$A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

本公司擁有以下身份及唯一性：

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

這意味著上述任何基準圖都具有特性函數 (作為下列成員) $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) 以計量保存方式特性函數。

這些運算的重點是強調事實：$\set{M^{i,j,k}}$ 字元化 點數乘法運算子的調和分析$C^\infty(M)$，這是 Abelian 的密集代數$C^*$ 代數$C(M)$，由 Stone-Weierstrass 定理。

上述總和的快速融合涉及$M^{i,j,k}$，請注意，特徵功能的產品很平滑，因此這些傅立葉係數會如上所示 (在每個索引中)。如需詳細資訊，請參閱 Emmett Wyman 在 2022 年的工作與這些係數相關，因為它與特徵上的三角形不相等。[EW22].

Note: 我們可能總是假設

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

位置$\delta_i$ 是 Kronecker delta。開始日期$vol(M)$ 是光譜不變量[HW11]，此資訊已從 isospectrality 考量中取得。

理論證明

需要，讓我們$F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ 是封閉的里曼尼亞人手法之間的幾何，並讓目標正常的特徵基礎$L^2(N,h)$ 是回溯通過$F$ 正規基礎$\set{e^i}$ 開啟$(M,g)$ 以上。開始日期

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

我們以必要的引數完成，原因是$\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

為了充分發揮效率，我們現在考慮線性、雙向正規特徵基準圖$\vec{F}$ 來自$C^\infty(M)$ 至$C^\infty(N)$ 並請注意，從計算中初步 以上，$\vec{F}$ 保留順暢功能的產品 (並在延伸至時保留特性功能) $L^2(M,g)$) 由該處所$\set{M^{i,j,k}}$ 在此對應下不變。

倫馬

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ 保持均勻的規範。

Lemma 證明

開始$\set{a_i}$ 是平順的統一分割$M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

因此$\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (Kronecker delta)。

由主導的收斂定理，

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

這是每個相互子集之正計量的特性函數$\set{x\in M | a_j(x) = 1}$。這表示每個 Lemma 都會得到證明$a_j$，由於保留具有正計量的集合的限制特性函數，因此具有均勻的常規 1，如全部$a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$，依圖 (6)。

如果不失去一般性，我們可能會對統一的平滑分割套用特殊案例結果。$\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$，其中$\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ 有正面的措施，而且 Lemma 完全被證明。

開始日期$\set {\bar e^i}$ 也是下列項目的傅立葉基準：$L^2(M,g)$，從「方程式」(4) 中清楚$\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$。這表示在密集的集合上$C(M)$ (以及$C(N)$)，我們已建立$\vec{F}$ 作為阿貝利安的同型$C^*$ algebras，因此可以延伸至同形$C(M)$ 與$C(N)$ 在相同的類別中。

現在，我們應用 Gelfand-Naimark-Segal 代表定理 (相反的醫生形式) 為首屈一指的 Abelian $C^*$ 代數[JC19] 以家庭型態來表示此同型$F$ 介於$N$ 與$M$。由於它在平滑功能上具有彈性的作用，因此它也必須平滑。

正如現在的異型$F$ 保留特徵和特徵 (通過假設) $\vec{F}(f) = f\circ F$)，它必須保持平順功能的拉普拉克語。因此，它也必須保留這些相同橢圓運算子的主要符號[MT13]。拉普拉克人的主要標誌只是對有問題的人物展現出里曼尼亞人標準的另一種方式。

這完成了理論的證明。

科研成果

使用$\set{M_0^{i,j,k}}$ 與$\set{M_1^{i,j,k}}$ 代表基準的兩個三重產品集$\set{e_0^i}$ 與$\set{e_1^i}$，讓我們$z_i \in U_1$ 是$U_1^\infty$ 在這種正當基礎上採取行動$\set{e_1^i}$。因此，我們將選擇$z_i$ 因此$\set{z_ie_1^i}$ 產量$\set{M_0^{i,j,k}} = \set{z_i z_j \bar z_kM_1^{i,j,k}}$.

為什麼要這樣做？一般而言，對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組，對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組，對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對組對稱組對稱組對組對稱組對稱組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組，組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對稱組，組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組，組對組對組對組對組對組對組對組，組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組，組對組對組對組對組對組對組對組對組對組，組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組$U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ 與投影展開$P_{\mathscr V_\lambda}$ 在有限維特徵空間上$\mathscr V_{\lambda}$ 與每個個別特徵值相關聯$\lambda$ 拉普拉克人。因此

$$\begin{aligned} P_{\mathscr V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathscr V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

是下列項目的影像：$M^{i,j,k}$ 低於$U$的基礎動作$e^i \mapsto U(e^i)$.

現在在珊瑚礁 2 的條件下，每個$\mathscr V_\lambda$ 一維向量空間超過$\Complex$，但這也表示它們是維度向量空間的上方$\Reals$，因此完整的乘對稱群組為$O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

一般而言，相關必備條件”關於產品值中的協議” 只是變成”線性對映的排序單一值集 (以多重性計算) 保留$\mathscr V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathscr V_{\lambda_j}, \mathscr V_{\lambda_k})$ 定義者$\set{M^{i,j,k}}$.” 此處為內部產品$A,B \in Hom(\mathscr V_{\lambda_i}, \mathscr V_{\lambda_j})$ 是$tr (B^*A)$。根據定義，這些單數值在單數轉換的直接總和下不變$\mathscr V_\lambda$.

在 multiplicity-1 spectrum 的情況下，完整的單一值集就是絕對值的一組$M^{i,j,k}$ 這樣，我們仍然可以形容，完全描述這種等離子譜歧管的幾何類別。請參閱「方程式」(23) 以取得此形容詞與「核數 2」之間的關鍵關係。缺少的是充分的引數，如果絕對值一致，則歧義是幾何的；這需要一個引數來消除在左方方方方程式摘要 (23) 中基準之間可能的符號變更取消。

我們對一般形容詞保持真 (在 multiplicity-1 spectrum case 之外) 的信心較不自信，因為它可能透過明確的 Sunada 建構產生反範例 (充分) 。

如果索引表示法混淆編碼了這種狀況，這或許與基礎無關的描述也有助於。請假$v_{\lambda} \in \mathscr V_{\lambda}$ 並考慮表示式

$$P_{\mathscr V_\gamma}(v_\alpha v_\beta)。$$

撤銷每一個$\mathscr V_\lambda$ 是有限尺寸複雜的歐幾里德空間。全部$M^{i,j,k}$ 會提供此與基礎無關之表示式的基礎座標。開始日期$1 = \oplus_\lambda P_{\mathscr V_\lambda}$，理論者說，上述的表式在男性之間是 **相同的 **，如果和只有在男性是幾何的，它應該是震驚，真的沒有人。這些形容詞的足夠半數主要是結合器問題，這些問題只涉及從其單一值分解重新建構這些表示式。

但是，這些基準不變量在解譯涉及證明兩個同位素歧義的複雜案例時可能非常有用 **不是幾何 **，因為顯示它們的單一值在有問題的兩個基礎之間並不相同。

阿塞德

輕巧小 Lie Group 的代表理論$G$ 從方程式和研究中取得明確的 Laplacian 可縮減 表示法$\Phi^{(\alpha)} \in Hom(G,U(\mathscr V_\alpha))$ 朝 Hilbert 空間分解$L^2(G,dg)$ (此處) $dg$ 正規化「Haar 機率測量」$G$) 如 Peter-Weyl Theorem 所述，並遵循上文表情中的相互作用 (透過不分解紅樹林的張量產品)，作為 Lie Theory 的必要構件。[AK01]。相容的 Riemannian 幾何圖形是由二次 Casimir 元素的便利選擇所產生，這些元素位於通用信封代數中心，其重要性低於無償矩陣係數分解$L^2(G,dg)$ 本身 其頻譜分解 是這些正規基準元素的 (較不方便) 重組，因為關聯的 Casimir 元素在每個 irrep 的矩陣係數上都是固定的。

Wigner 氏$3j$ 符號 - $SU(2)$ 是進一步研究的主要範例— 讓我們把我們的一般建築應用在集團旗下。每個有限維度的不可縮回單位表示法$SU(2)$ 以非負值半整數標示$j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$。我們撰寫$\mathscr V_j$ 針對$(2j+1)$此表示法作用中的維度空間。標準正規基準$\mathscr V_j$ 是磁性基礎$\ket{j\ m}$ 取代為$m = -j,-j+1,\dots,j.$

方程式

$$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} :=(-1)^{j_1-j_2-m_3}\frac{1}{\sqrt{2j_3+1}}C^{j_3\ -m_3}_{j_1\ m_1,j_2\ m_2}$$

表示$3j$ 根據 Clebsch-Gordan 係數的符號定義$C^{j\ m}_{j_1\ m_1,j_2\ m_2}:=\bra{j_1\ m_1,j_2\ m_2}\ket{j\ m}$ 分解張量產品表示法$\mathscr V _{j_1}\otimes\mathscr V _{j_2}$ 至於無法再現的元件，其具有封閉式表示式，例如 Racah 的公式，可強化現代數值軟體程式庫[JF16].

一個$3j$ 除非符號虛名$m_1+m_2+m_3=0$，三角形不等式$|j_1-j_2|\le j_3\le j_1+j_2$ 保留與$j_1+j_2+j_3$ 是整數。

從精簡群組的檢視點$SU(2)$, $3j$ 符號是精確的 (適當標準化和階段化) 交錯運算子，可實現三張量產品的唯一 (最大比例) 不變子空間$\mathscr V_{j_1}\otimes \mathscr V_{j_2}\otimes \mathscr V_{j_3}$ 當該產品包含真實表示時。因此，它們是自然的「結構常數」，用於將三個無法縮減的表示法融合至單一。

這與三產品積分所播放的象牙海岸完全類似$M^{i,j,k}$ 在 Riemannian 的操作上：當該產品在 eigenbasis 中被擴展回時，它們是特徵性產品的結構常數。在群組上$SU(2)$ 本身，這些產品整體減少到分階段的產品$3j$- 符號。

人才招聘$D^{j}_{m n}(g)$ 標準 Wigner $D$-fununction (微針捲曲的矩陣係數) $j$ 在磁性正規基礎上$\ket{j\ m}$). 就正規化哈拉機率計量而言$dg$ 一個具有完全相同的公式[VK88]

$$\int_{SU(2)} D^{j_1}_{m_1 n_1}(g)\, D^{j_2}_{m_2 n_2}(g)\, \overline{D^{j_3}_{m_3 n_3}(g)}\,dg = \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ n_1 & n_2 & -n_3 \end{pmatrix} \times (-1)^{m_3+n_3}.$$

(整體階段慣例可由常規的 Condon-Shortley 因素調整；基本要點是將整體因素融入兩個實質產品中$3j$- 符號。) Peter – Weyl 定理提供完全正常的基礎$L^2(SU(2),vol(G)dg)$ 由重新正規化矩陣係數給定 ：

$$e^{j,m,n}(g):=\sqrt{\frac{2j+1}{vol(G)}}\ D^{j}_{mn}(g),$$

索引執行位置

$$j=0,\tfrac12,1,\tfrac32,\dots,\ m,n=-j,-j+1,\dots,j.$$

當然，在 Cartan-Killing Casimir Laplacian 下，$\Delta e^{j,m,n} = \lambda_j e^{j,m,n} = j(j+1)e^{j,m,n}$，它具有$vol(G)=2\pi\ vol(S^2) = 8\pi^2$ 根據其 (計量) 哈爾測量的概念：$\sqrt g dx = 8\pi^2 dg$。在固定於定理慣例的同時結合兩個方程式，一個取得明確的表示式：

$$\begin{aligned} M^{(j_1 m_1 n_1),(j_2 m_2 n_2),(j_3 m_3 n_3)} &= \sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}{8\pi^2}}\\ &\ \times \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ n_1 & n_2 & -n_3 \end{pmatrix} (-1)^{m_3+n_3}. \end{aligned}$$

因此，我們看到 Riemannian Geometry of $SU(2)$ 由 Cartan-Killing Casimir 引進的 Cartan-Killing Casimir 可以利用我們擴增的頻譜數據捕捉到$\set{\lambda_i, M^{i,j,k}}$，可從「方程式」中明確計算 Riemannian 不變量的單一值:

$$\sigma (j_1,j_2,j_3) =\sqrt{\ 追蹤{(2j_1+1) (2j_2+1) (2j_3+1)}{8\pi^2}}\cdot\frac{1 個}{2j_3+1}=\sqrt{\ 追蹤{(2j_1+1) (2j_2+1)}{(2j_3+1) \ 8\pi^2}},$$

每當滿足三角形不等式和同位條件時$j_1, j_2, j_3$，具有多重性 1；以及所有其他單一值零。計算來自觀察，$M^{i,j,k}$ 分解為左 / 右排名 -1 的左 / 右旋轉運算子的張量乘積，每個運算元都有 Hilbert-Schmidt norm $1/\sqrt{2j_3+1}$ (依定義)，因此其非零的單數值 (依上述定義) 是 Peter-Weyl 重新調整那些 Hilbert-Schmidt 規範的產品。然而，自$SU(2)$ 卡坦 - 殺死公制等同於$S^3$，以及$S^n, n\leq 6$，每個等光譜歧管是幾何的[ST80]，此計算單數值大致上是針對$SU(2)$.

對於精簡的 Abelian Lie Groups，這些向量空間$\mathscr V_\alpha$ 全都是一維的，因此它們的情況完全類似於上面的多重率 -1 拉普拉克人的頻譜分解。請參考下方範例中的詳細資訊。

回到 Corollary 1，我們觀察到驗證涉及建立此意涵：

$$z_k = M_0^{i,\bar i,k} / M_1^{i,\bar i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,\bar i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,\bar r,i}M_0^{s,\bar s,j}\bar M_0^{t,\bar t,k}}{M_1^{r,\bar r,i}M_1^{s,\bar s,j}\bar M_1^{t,\bar t,k}}\, .$$

我們可能希望對任何給定者$k>0$, $M_0^{i,\bar i,k}$ 不能相同$0$ 全部$i$，因為它是一般為真條件，但對於如以下範例所涵蓋的扁平 Tori 案例等特定案例，則為假。觀察這種狀況的更高層次方法，就是要注意這種希望違規$k$ 會有$\bar e^k$ 在相鄰地圖的核心中$[M^{i,\bar i,k}]^*$。此外，公式 針對$z_k$ 需要兩者$i$- 獨立性和充分性，建立基礎地圖$e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ 保留$\set{M_0^{i,j,k}}$.

我們在下一組公式下面繪製 Corollary 1 (充分) 的證明。

然而，讓我們計算一些相關的身分，讓未來一些研究人員可以挖掘出一般化的形容詞。這裡$v\cdot w$ 是 Riemannian 的無形組合產品：

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \text {So the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}.\\ \end{aligned}$$

核對證明

Now consider the famous associativity relations from Conformal Field Theory:

$$\begin{aligned} e^ie^je^k = \sum_\ell\bra{e^ie^j}\ket{\bar{e^k}e^\ell}e^\ell &= \sum_{\ell,r} M^{i,j,r}\bar M^{\bar k,\ell,r}e^\ell\\ &= \sum_{\ell,r} M^{i,k,r}\bar M^{\bar j,\ell,r}e^\ell\ \therefore\\ i = \bar j, \ell = k\text{ and relabeling } \implies \\ \sum_r M^{i,\bar i,r}\bar M^{j,\bar j,r} &= \sum_r |M^{i,j,r}|^2 \end{aligned}$$

Corollary 1 遵循的事實$z_k\in U_1$ 完整定義 (亦即，$i$- 因產品上的假設而異，以及先前由代數、界限三線性運算子所定義的觀察$z_iz_j\bar z_kM_1^{i,j,k}$ 與$M_0^{i,j,k}$ 同時也是關聯性，並同意以相交函數乘以特徵函數的絕對值方形，其密集於$\mathscr H$。建立中$\ker\ [M^{i,\bar i,k}]^* = 0$ 完全相等，其中$\mathscr V$ 是所產生的封閉 Hilbert 空間$\set{|e^i|^2}$，和$[M^{i,\bar i,k}]:\mathscr V\rightarrow \mathscr H$ 是基準變更識別對應。

因此，他們在任何地方都同意。

Corollary 2 的效率遵循指出 Corollary 1 中消失的相鄰對映核心條件一般為真。如果選擇了$i,j,k$，產品$M^{i,\bar i,k} \bar M^{j,\bar j,k}$ 在基礎之間不同意，他們會不同意每對基礎。

為什麼？由於一般的歧管也可以被推定為具有 multiplicity-1 頻譜，因此可以將完整的對稱群組減少為$U_1^\infty$ 其中這些產品不變，與定理 1 相反。進一步減少至$\Z_2^\infty$ 透過實值基準，確保產品可進行實值評估。這會建立假設的必要性，並完成證明。

此外，Collary 1 證明中的引數仍然有效，即使手柄是非等向性，所以只有在產品符合上述一般情況時，我們才能將基準圖表示為差異性。等同於這兩種不同型別，即是里曼尼亞群島。

這樣就完成了 Corollaries 的證明。

範例

開始$\set{\alpha_i} \subset \R^n$ 為索引，排名$n$ Lie Algebra 重量的晶格，用於商空間表示$\frak{g}=\Reals^n$ 當翻譯不變量 (即常數) 向量欄位本身時，$\R^n$ 也被視為$\frak{g}$對由其定義的 torus 相關聯的 Lie Group $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$。這些權重定義了與線性函數整合之環形的可整合升降機。$\bra{x} \alpha_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ 作為其 Lie Group (涵蓋 Torus)。然後，這些線性函數可以統一重新調整 (依據$2\pi \sqrt{-1}$) 與指數，以形成相乘字元，其子代為正常基礎$L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$，使用 Lebesgue (哈爾) 量測$dx$.

此外，此基準同時對角線的 Laplacian 因為 Laplacian 是對稱、負明確的二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次因此，其特徵值是固定比例 (屬於) $4\pi^2$) 至於晶格中每個字元重量的 Casimir-element-determined-length-squared。對於非生成負明確二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次三次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次三次三次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次三次三次三次二次三次三次二次二次二次二次二次三次三次二次二次二次二次三次三次三次三次三次三次三次三次二次二次三次二次二次二次三次三次二次三次三次二次三次三次三次三次二次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次二次三次三次三次三次二次二次三次二次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次三次

我們目前檢視上述基準

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\alpha_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

為我們的定理應用傅立葉基礎，直接對應於 (負數) 歐氏卡西米爾元素 (Euclidean Casimir 元素) 的正規特徵特徵特徵 (此量度表示法) $\set{\alpha_i}$。根據理論的假說，我們必須擁有$i < j \implies \lVert\alpha_i\rVert \leq \lVert\alpha_j\rVert$ (以歐幾里德標準的權重為準)。

現在我們可以運算

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \alpha_i + \alpha_j - \alpha_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

作為此方程式 僅視重量晶格本身而定，其為正規基底索引不變量。此外，在重量晶格上的線性轉換下，其僅 *不變$(A^{-1})^t\Z^n = \set{\alpha_i}$，所以只有$L^2$ 正規特徵函數基礎地圖 由保留在兩個索引、等級之間之可逆線性圖所產生$n$ 重量晶格 會保留”代數 / 主題” 索引資料集$\set{M^{i,j,k}}$ 不變。

然而，為了應用我們定理，這對於這樣的線性對映至關重要$B$ 是$B\in SO(n,\Reals)$ 在重量晶格上，因為誘導$L^2$ 特徵函數基底圖

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\alpha_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

也必須保留”分析” 不變量— Casimir-element 引致的數字$\lambda_i = 4\pi^2\lVert\alpha_i\rVert^2$ 對於每個索引的權重，即扁平的利普拉西亞人的個別特徵值。

由於 Milnor 的 duet 顯現，擁有一個保留晶格權重長度的地圖不足以推論地圖位於$SO(n,\Reals)$我們也必須知道地圖會保留晶格加權角度。但這是「方程式」(22) 中所發展公式的後果：

$$-4\pi^2\bra{\alpha_i}\ket{\alpha_j}e^ie^j = de^i\cdot de^j = 2\pi^2\sum_k (\lVert\alpha_i\rVert^2 + \lVert\alpha_j\rVert^2 - \lVert\alpha_k\rVert^2)M^{i,j,k}e^k = 2\pi^2(\lVert\alpha_i\rVert^2 + \lVert\alpha_j\rVert^2 - \lVert\alpha_i + \alpha_j\rVert^2)e^ie^j\ .$$

對這份分析而言，我們已證明在晶格之間沒有 線性 地圖，在沒有 Riemannian isometry 引發地圖的情況下，保留特徵。— 作為理論的結果，而不是因為涉及的明確運算是簡單的極化識別。

此表示法 - 理論科目[AK01] 與 lattice congruence 的先前開發完全相同[NRR22] 傳統上用於描繪平坦的幾何類別。事實上，這種線性圖的矩陣轉向$B\in SO(n,\Reals)$，如上一段所述，** 是 **Riemannian 與 Riemannian 在 Tori 之間有相反的幾何，由應用 *Gelfand-Naimark-Segal 代表定理 *提供。證明 我們的定理.

確認

最初的研究是由 1995-1996 年的傑出詹姆斯·西蒙斯研究獎以及阿爾弗雷德·普爾的支持所資助。Sloan Dissertation Fellowship 1996-1997 在 Stony Brook 的大學。

作者也要感謝 Tanya Christiansen、Carolyn Gordon、Hamid Hezari、Harish Seshadri，特別是 Leon Takhtajan 以尋求技術協助，並檢閱本手稿的準備以進行出版。