特徵和光譜幾何的三重產品

Lawson 的最小表面面積為 _6,1 ，從 S ³ 到 R ³

作者

Joe Schaefer

摘要

使用幾何分析、局部差分方程式和 Abelian 等基本技術$C^*$ 代數、我們發現一個小說，但熟悉的全球幾何不變 —

介紹

封閉式里曼尼亞人$(M,g)$，描述其 ** 類別 ** 的非等分法，等分法為「逆向問題」類型[DH11] 在光譜幾何圖形中 。Naïvely 可能會推測此類別永遠為 empty。然而，學術文獻富含數十年的特定對反範例組合結構：從 1964 年開始，由 John Milnor 的 16 維非幾何，等向均方均方[JM64]，以及繼續[CS92] 邁向亞歷山大·希曼 1993 年博士論文中平坦森的一般尺寸特性化[AS94] — 使用電腦輔助搜尋來重新刪除嚴重$\dim = 3$ 個案。現代化的整平 Tori 歷史記錄調查顯示於[NRR22].

在這種方式中，對稱空間較為複雜、非歐幾內亞對稱的洞察力；構建了涉及非傳統曲率張量的等光譜、非幾何「導管」(以及其在第 2 維度中頻譜決定的尤拉特徵) [MS67]。) 此努力的主要例子是 Toshikazu Sunada 的 1985 年[TS85].

Carolyn Gordon 針對不同質的 Riemannian 指標發現即使在本機上也不是幾何圖形的飲食[CG93].

在許多相關區域繼續工作[DH11]，如確定等同類、非等位法的拓樸特徵一般 (空的) [ST80]，有限[AS94]，剛性[GK80]，緊湊[GZ97].

我們在此文章中提供的是熟悉工具的新觀點：以個別「代數 / 主題不變量」形式編製特徵函數配對產品的傅立葉係數，以補充現有、離散的「分析不變量」— *Laplace-Beltrami 運算子 * (稱為 Laplacian) 的非負數頻譜$L^2(M,g)$

筆結果

• 對稱 * 在計算可行的案例中扮演重要角色[TF17] [LS18] [PS94]，這是我們平坦的圖里中說明的範例.

研究的動機$\set{M^{i,j,k}}$ 是從研究 ** 線性乘法運算子 ** 的角色所衍生的$Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ 在 Vertex 運算子代數定義中[FBZ04] 與「螺旋正規欄位理論」相關聯。這裡$V$ 是美國的向量空間，並且$V((z))$ 是 Laurent 系列正式的空間$z$ 內含係數$V$繁體中文起自$V$ 經常配備 Hilbert Space，配備傳統的 Fourier 系列正規基礎，索引$Y$ 使用下列項目的傅立葉基準元素：$V$ 僅比參與的程度稍微高$M^{i,j,k}$

這些結果在作者於 1997 年首次在 MSRI 進行類似標題的談話時進行示範，但他們首次以公佈的形式出現在這裡。

初步計畫

現在使用$M,g,e^i,M^{i,j,k}$ 如上，$f \in C^\infty(M)$ 以及$i \geq 0$

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

起自$f$ 獨具代表性的快速融合 ** 快遞系列 ** ($\Delta_M$- 特定 Sobolev 嵌入[MT13] [RS75]，連同魏爾的漸近法[HW11]，表示總和中的術語為$o(i^{-n})$ * 統一輸入$x$* [LH68], $\forall n\in\N$。) 然後我們看到：$f_1, f_2 \in C^\infty(M)$，點狀產品的傅立葉係數$f_1 f_2 \in C^\infty(M)$

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}$$

等等，* 嚴重 *，任何多變量多項式$\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (在平滑功能上) ** 使用任何光譜保留的指令 ** $\Delta$- 特徵函數正規基底圖$\vec{F}$ 保留$\set{M^{i,j,k}}$

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

此外，如果$A\subset M$ 是 Borel-measurable，然後就 *characteristic function 的 characteristic function 而言，上述結果為準點$A$ 除邊界外，任何地方$A$：如果$f = f^2$ 以及$A:=\set{x\in M|f(x)=1}$

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

我們擁有以下的身份，並通過獨特性

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

這表示上述任何此類基準對應都具有特性函數 (作為下列成員)：$L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$

這些運算的重點是強調事實$\set{M^{i,j,k}}$ ** 字元 ** 點狀乘法運算子的調和分析$C^\infty(M)$，這是阿貝利安的密集小代數$C^*$ 代數$C(M)$

以上金額的快速融合涉及$M^{i,j,k}$，請注意特徵函數的產品平滑，因此這些傅立葉係數會如上所示 (在每個索引中) 衰變。如需詳細資訊，請參閱 Emmett Wyman 在 2022 年的工作與這些係數相關，因為它與特徵值上的三角形不等式相關[EW22].

注意：我們可能總是假設

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

其中$\delta_i$ 是 Kronecker 的差異。起自$vol(M)$ 是光譜不變量[HW11].

定理證明

必要，讓我們$F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ 是封閉式里曼尼亞人體的幾何圖形，並讓目標的特徵正常基礎$L^2(N,h)$ 是回溯$F$ 正規基礎$\set{e^i}$ 開啟$(M,g)$

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

我們是用必需的論點來完成，因為$\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$

為了充分利用，我們現在考慮了線性、生物彈性的正規特徵基礎圖$\vec{F}$ 來自$C^\infty(M)$ 終止$C^\infty(N)$ 並請注意，從計算中的初步 以上，$\vec{F}$ 保留順暢函數的定點產品 (延長至時保留特性函數) $L^2(M,g)$) 由處所$\set{M^{i,j,k}}$

綱要

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ 會保留均勻規範。

綱要證明

字母$\set{a_i}$ 為平順的單位分割$M$

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

因此$\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$

由主導的收斂定理，

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

此為每個不相連子集之正計量特性函數$\set{x\in M | a_j(x) = 1}$繁體中文這表示每個 Lemma 都經過實證$a_j$，因為保留具有正計量之集合的限制特性函數，因此具有均勻標準 1，如同$a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$

在不損失一般性的情況下，我們可能會套用針對單位平滑分割顯示的特殊案例結果$\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$，其中$\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$

這表示在密集的集合上$C(M)$ (和$C(N)$)，我們已建立$\vec{F}$ 阿貝利安同形性$C^*$ 代數，因此可以延伸至同形性$C(M)$ 以及$C(N)$

現在我們把 Gelfand-Naimark 代表定理 (以相反的葬禮形式) 應用於阿貝利安$C^*$ 代數[JC19] 以家庭型態表示此同型$F$ 介於$N$ 以及$M$

如今，這種多型$F$ 保存特徵值和特徵函數 (透過假說$\vec{F}(f) = f\circ F$)，它必須在平滑功能上保留拉普拉西亞文。因此，它也必須保留這些相同橢圓運算子的主要符號[MT13].

這樣就完成了理論的證明。

形容詞的討論

使用$\set{M_0^{i,j,k}}$ 以及$\set{M_1^{i,j,k}}$ 代表基準的兩個三重產品集$\set{e_0^i}$ 以及$\set{e_1^i}$，讓我們$z_i \in \set{-1,1}$ 是$\Z_2^\infty$ 此類動作$\R$- 估值正規基準$\set{e_1^i}$繁體中文因此，我們需要選擇$z_i$ 因此$\set{z_ie_1^i}$ 收益$\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$

我們必須觀察

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.$$

我們可能希望對任何給定的$k$, $M_0^{i,i,k}$ 無法相同$0$ 全部$i$繁體中文第一個筆刷，如果$M$ 具有 “even/odd” 對稱群組，並且$e^k$ 為奇數，但希望對於以下的均一大小寫保持真 (不滿足均勻特徵值多重性 = 1 條件)。此外，公式 (11) $z_k$ 需要兩者$i$- 獨立與充分性，以建立基準對應$e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ 保留$\set{M_0^{i,j,k}}$

然而，讓我們計算一些相關的身份，以便一些未來的研究人員可以挖到這個形容詞：

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k}\\ \text{Now by polarization}\\ M^{i,j,k} &= \frac{\bra{(e^i+e^j)^2 - (e^i - e^j)^2}\ket{e^k}}{4} = \frac{M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k}}{2},\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\ \\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ df\cdot df = \sum_kQ_k(f,f)e^k &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)M^{i,j,k}e^k\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)(M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k})e^k\\ = g^2 &= \sum_{i,j,k}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k}e^k \implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

注：對於下面的一維扁平鋪面案例，$\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ 起自$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$

範例

字母$\set{\lambda_i} \subset \R^n$ 為索引，等級$n$ Lie Algebra 重量的晶格，用於商太空表示法$\frak{g}=\Reals^n$ 當翻譯不變量 (即常數) 向量欄位本身時$\R^n$ 也視為$\frak{g}$透過定義者之 torus 的相關 Lie Group $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$繁體中文這些權重定義了與線性函數整合的 torus 上 1 個格式的可整合升降機$\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ 作為其利氏集團 (承受托魯斯)。然後，這些線性函數可以統一重新縮放 (依據$2\pi \sqrt{-1}$) 並加以指數化，以形成多重性字元，其後代會形成正規基礎$L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$，使用 Lebesgue (Haar) 測量$dx$

此外，此基準同時將平面托魯斯的拉普拉西安 ** 因為 ** 拉普拉西安是通用信封代數的對稱、負二次二次卡西米爾的影像 (固定係數線性差動運算子) 象限空間表示法。因此，它的特徵值是固定比例 (of) $4\pi^2$

我們目前檢視上述基準

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

成為我們的理論可應用的傅立葉原理 (多變性字元) 特徵 (此為 (負數) Euclidean Casimir 元素的商數表示法) 直接對應於$\set{\lambda_i}$繁體中文依據我們的理論假設，我們必須具備$i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$

現在我們可以運算

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

由於此等式 對重量格而言為線性$(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$，只有一個$L^2$ 正規特徵基底圖 ** 從容積保存的可逆線性圖中產生，這兩個索引，排名之間$n$ 重量晶格 ** 將保留「代數 / 拓樸」索引資料集$\set{M^{i,j,k}}$

不過，為了申請我們定理，對這類線性地圖至關重要$B$ 是$B\in O(n,\Reals)$ 在重量格子上，因為誘發$L^2$

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

也必須保留「分析」不變量— Casimir- 元素誘發的圖形$4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$

此表示法 - 理論科目[AK01] 正好等同於 * 晶格一致性 * 的先前開發[NRR22] 傳統上用來去劃分扁平鋪面幾何類。事實上，該線性圖的矩陣轉置$B\in O(n,\Reals)$，如上一段所述，** 是 ** 在被應用 *Gelfand-Naimark 表示定理 * 期間，Riemannian 同位素之間的異位。證明 我們的定理.

確認

原本的研究是由 1995-1996 年的傑出詹姆斯·西蒙斯研究獎以及阿爾弗雷德· P 的慷慨支持所資助的。Sloan 1996- 1997 在 Stony Brook 大學辭職團契。

作者也要感謝 Tanya Christiansen、Carolyn Gordon、Hamid Hezari、Harish Seshadri，特別是 Leon Takhtajan 的技術協助，並檢閱本手稿的準備以供出版。