Trippelprodukter av Eigenfunctions och Spectral Geometry

Lawsons minimala yta _6,1 projiceras stereografiskt från S³ till R³

Författare

Joe Schaefer

Sammandrag

Använda elementära tekniker från geometrisk analys, partiella differentialekvationer och abelska $C^*$ Algebror, Vi avslöjar en roman, men bekant, global geometrisk invariant —

Introduktion

För en sluten riemannmångfald $(M,g)$, som karakteriserar dess klass av icke-isometriska, isospektrala grenrör är en typ av inverterat problem [DH11] i spektral geometri. Naiv kan man spekulera i att denna klass alltid skulle vara tom. Den akademiska litteraturen är dock rik på årtionden gamla konstruktioner av specifika parningar av motexempel: från 1964 med John Milnors 16-dimensionella par icke-isometriska, isospektrala platta tori [JM64]och fortsätter [CS92] mot den generiska dimensionella karaktäriseringen av platt tori i Alexander Schiemann doktorsavhandling från 1993 [AS94] — fyll i med en datorstödd sökning efter den kritiska $\dim = 3$ ärende. En modern undersökning av hela den platta tori-historien visas i [NRR22].

Längs vägen var insiktsfulla avskjutningar i mer sofistikerade, icke-euklidiska symmetriska täckningsutrymmen; konstruera sådana isospektrala, icke-isometriska “duetter” som involverar icke-privata kurvaturtensorer (och deras spektrumbestämda Eulers egenskaper i dimension 2 [MS67].) Ett utmärkt exempel på denna insats var Toshikazu Sunadas 1985 [TS85].

För inhomogena Riemannian-mätvärden upptäckte Carolyn Gordon duetter som inte ens är lokalt isometriska. [CG93].

Arbetet fortsätter inom många relaterade områden [DH11], såsom bestämning av topologiska egenskaper hos klassen av isospektrala, icke-isometriska grenrör i allmänhet (tom [ST80], ändlig [AS94], styv [GK80]och kompakt [GZ97].

Vad vi erbjuder i den här artikeln är ett nytt perspektiv på ett välbekant verktyg: indexerade Fourier-koefficienter av parvisa produkter av egenfunktioner som en diskret “algebraisk / topologisk invariant” för att komplettera den befintliga, diskreta “analytiska invarianten” — det icke-negativa spektrumet för operatören Laplace-Beltrami (nedan kallad “Laplacian**”) på $L^2(M,g)$

resultat

Symmetri spelar en viktig roll i beräkningshanterbara fall [TF17] [LS18] [PS94], som är lämpligt illustrerad i vår platta tori Exempel.

Motivationen för studien av $\set{M^{i,j,k}}$ är löst härledd från studien av den linjära multiplikationsoperatorns roll $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ i definitionen av en Vertex Operator Algebra [FBZ04] i samband med en chiral konform fältteori. Här $V$ är statens vektorrum och $V((z))$ är utrymmet för formella Laurent-serien i $z$ med koefficienter i $V$. Sedan $V$ ofta kommer utrustad som ett Hilbert Space med en traditionell Fourier-serie ortonormal grund, indexering $Y$ använda Fourier-baselementen i $V$ är bara något mer involverad än $M^{i,j,k}$

Dessa resultat visades först under ett liknande tal av författaren på ** MRT** 1997, men de visas här i publicerad form för första gången.

Preliminära

Nu med $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ som ovan, för $f \in C^\infty(M)$ och $i \geq 0$

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

sedan $f$ är unikt representabel eftersom dess snabbt konvergerande Fourier-serien ($\Delta_M$-specifika Sobolev Embeddings [MT13] [RS75]tillsammans med Weyls asymptotiska lag [HW11]innebär att villkoren i summan är $o(i^{-n})$ * Likformigt i $x$* [LH68], $\forall n\in\N$Då ser vi att för $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, Fourierkoefficienter för den punktvisa produkten $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}$$

och så, kritiskt, alla multivariat polynom $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (på smidiga funktioner) ** pendlar** med alla spektrumbevarande $\Delta$-Egenfunktion ortonormal bas karta $\vec{F}$ som bevarar $\set{M^{i,j,k}}$

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

Om $A\subset M$ är Borel-mätbar, då resultaten ovan hålla pointwise för karakteristisk funktion av $A$ överallt utom längs gränsen till $A$: om $f = f^2$ och $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

och genom unikhet har vi följande identitet

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

Detta innebär att en sådan baskarta som ovan har karakteristiska funktioner (som medlemmar av $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$

Poängen med dessa beräkningar är att betona det faktum att $\set{M^{i,j,k}}$ karakteriserar den harmoniska analysen av den punktvisa multiplikationsoperatorn på $C^\infty(M)$som är en tät subalgebra av den abelska $C^*$ algebra $C(M)$

För den snabba konvergensen av ovanstående belopp som omfattar $M^{i,j,k}$, notera att produkter av egenfunktioner är smidiga, så dessa Fourier koefficienter sönderfaller som ovan (i varje index). För mer information, se Emmett Wymans arbete 2022 med dessa koefficienter när det gäller triangel ojämlikhet på egenvärdena. [EW22].

Anmärkning: Vi kan alltid anta

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

där $\delta_i$ är Kronecker delta. Sedan $vol(M)$ är en spektral invariant [HW11].

Teorembevis

Av nödvändighet, låt $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ vara en isometri mellan stängda riemanniska grenrör och låta målet ortonormal grund av egenfunktioner på $L^2(N,h)$ vara pullback via $F$ den ortonormala grunden $\set{e^i}$ på $(M,g)$

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

Det är nödvändigt att argumentera för att $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$

För tillräcklighet överväger vi nu den linjära, bijektiva ortonormala eigenfunktionsbaskartan $\vec{F}$ från $C^\infty(M)$ till $C^\infty(N)$ Observera att beräkningarna i Preliminära ovanför, $\vec{F}$ bevarar punktvisa produkter för smidiga funktioner (och bevarar karakteristiska funktioner när de utökas till $L^2(M,g)$) enligt förutsättningen att $\set{M^{i,j,k}}$

Lemma

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ bevarar den enhetliga normen.

Bevis på Lemma

Låt $\set{a_i}$ vara en jämn delning av enhet på $M$

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

Således $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$

genom den dominerade konvergensatsen,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

som är en karakteristisk funktion av positivt mått på varje delad delmängd $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. Detta innebär att Lemma bevisas för varje $a_j$, eftersom den begränsande karakteristiska funktionen hos ett set med positivt mått bevaras, och därmed har enhetlig norm 1, liksom alla $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$

Utan förlust av allmängiltighet kan vi tillämpa det speciella fallresultat som visas för den smidiga uppdelningen av enhet $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, där $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$

Detta innebär att på en $C(M)$ (och $C(N)$), vi har upprättat $\vec{F}$ som en isomorfism av Abelian $C^*$ algebror, och därmed kan utvidgas till en isomorfism av $C(M)$ och $C(N)$

Nu tillämpar vi Gelfand-Naimark representationssatsen (i kontravariant functor form) för Abelian $C^*$ algebra [JC19] att representera denna isomorfism av en homeomorfism $F$ mellan $N$ och $M$

som nu är diffeomorfism $F$ bevarar egenvärden och egenfunktioner (genom hypotes om $\vec{F}(f) = f\circ F$), det måste bevara Laplacian på smidiga funktioner. Därför måste den också bevara de viktigaste symbolerna för dessa samma elliptiska operatörer. [MT13].

Detta kompletterar teoremens bevis.

Diskussion om gissning

Med $\set{M_0^{i,j,k}}$ och $\set{M_1^{i,j,k}}$ som representerar de två treproduktuppsättningarna för baserna $\set{e_0^i}$ och $\set{e_1^i}$, låt $z_i \in \set{-1,1}$ vara $\Z_2^\infty$ åtgärder för en sådan $\R$-värderad ortonormal grund $\set{e_1^i}$. Därför måste vi välja $z_i$ så att $\set{z_ie_1^i}$ avkastning $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$

Vi ser med nödvändighet att

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.$$

Vi hoppas att för varje given $k$, $M_0^{i,i,k}$ kan inte vara identiskt $0$ för alla $i$. Vid första rodnad verkar det inte omöjligt om $M$ har en “jämn/odd” symmetrigrupp, och $e^k$ är udda, men hoppet gäller för flat-torifallet nedan (som inte uppfyller den enhetliga egenvärdesmultiplikiteten = 1 villkor). Formeln (11) för $z_k$ kräver båda $i$-oberoende, och tillräcklig, för att fastställa baskartan $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ konserver $\set{M_0^{i,j,k}}$

Låt oss dock beräkna några relevanta identiteter så att några oförskämda framtida forskare kan gräva i denna gissning:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k}\\ \text{Now by polarization}\\ M^{i,j,k} &= \frac{\bra{(e^i+e^j)^2 - (e^i - e^j)^2}\ket{e^k}}{4} = \frac{M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k}}{2},\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\ \\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ df\cdot df = \sum_kQ_k(f,f)e^k &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)M^{i,j,k}e^k\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)(M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k})e^k\\ = g^2 &= \sum_{i,j,k}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k}e^k \implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

Anmärkning: för det endimensionella flat-torifallet nedan, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ sedan $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$

Exempel

Låt $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ vara indexerad, rangordna $n$ lattice av Lie Algebra vikter för kvotutrymme representation av $\frak{g}=\Reals^n$ som översättningsinvariant (dvs. konstant) vektorfält på sig själv, när $\R^n$ ses också som $\frak{g}$’s associerade Lie Group över en torus definierad av $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. Dessa vikter definierar icke-hållbara lyft av 1-former över torusen som integrerar med linjära funktioner $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ som dess lögngrupp (som täcker torusen). Dessa linjära funktioner kan sedan likformigt skalas om (genom $2\pi \sqrt{-1}$) och exponentierad för att bilda multiplikativa tecken som sjunker till att bilda en ortonormal bas av $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$med måttet Lebesgue (Haar) $dx$

Dessutom diagonaliserar denna bas samtidigt den platta torus Laplacian ** eftersom** Laplacian är bilden av en symmetrisk, negativ-definit kvadratisk Casimir element under denna (konstant koefficient linjär differential operator) kvotutrymme representation av den universella omslutande algebra. Därför är dess egenvärden i konstant proportion (av $4\pi^2$

Vi ser för närvarande ovanstående

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

att vara vår teorem-tillämpliga Fourier-bas av ortonormala (multiplikativa) egenfunktioner (av denna kvotrepresentation av det (negativa) euklidiska Casimir-elementet) som direkt motsvarar $\set{\lambda_i}$. Genom våra hypoteser måste vi ha $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$

Nu kan vi beräkna

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Eftersom denna formel är linjär på viktgitter $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$, endast en $L^2$ ortonormal egenfunktionsbaskarta som induceras från en volymbevarande inverterbar linjär karta mellan två sådana indexerade, rangordnade $n$ viktgitter behåller den “algebraiska/topologiska” indexerade datamängden $\set{M^{i,j,k}}$

För att kunna tillämpa våra SatsenDet är viktigt att en sådan linjär karta $B$ vara $B\in O(n,\Reals)$ på viktgitter, eftersom den inducerade $L^2$

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

måste också bevara de “analytiska” varianterna — Casimir-element inducerad figur $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$

Detta representationsteoretiska konto [AK01] är exakt likvärdig med tidigare utveckling av lattice kongruens [NRR22] traditonally används för att avgränsa isometri klasser av platt tori. I själva verket transponerar matrisen en sådan linjär karta $B\in O(n,\Reals)$, som beskrivs i föregående stycke, **är ** den kontravariant Riemannian isometri mellan tori, som tillhandahålls genom tillämpning av *Gelfand-Naimark Representation Theorem * under Bevis av våra Satsen.

Antal bekräftelser

Den ursprungliga forskningen finansierades delvis av ett nådigt James Simons Research Award 1995-1996, och det generösa stödet från en Alfred P. Sloan Dissertation Fellowship 1996-1997 vid universitetet i Stony Brook.

Författaren vill också tacka Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri och särskilt Leon Takhtajan för deras tekniska hjälp och översyn vid utarbetandet av detta manuskript för publicering.