Dreifache Produkte von Eigenfunktionen und Spektralgeometrie

Autor

Joe Schaefer

Abstrakt

Verwendung elementarer Techniken aus der Geometrischen Analyse, partiellen Differentialgleichungen und Abelian $C^*$ Algebras, Wir entdecken einen neuartigen, aber bekannten, globalen geometrischen Invarianten — namentlich der indexierte Satz von Integralen von dreifachen Produkten von Eigenfunktionen des Laplace-Beltrami-Operators, um genau zu charakterisieren, welche ispektralen geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten isometrisch sind.

Einführung

Für eine geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$, die ihre Klasse von nicht-isometrischen, isospektralen Mannigfaltigkeiten charakterisiert, ist eine Art inverses Problem [DH11] Spektrale Geometrie. Naïvely könnte man spekulieren, dass diese Klasse immer leer wäre. Die akademische Literatur ist jedoch reich an jahrzehntelangen Konstruktionen spezifischer Gegenbeispiele: ab 1964 mit John Milnors 16-dimensionalen Paar nicht-isometrischer, isospektraler flacher Tori [JM64]und weiter [CS92] zur generischen dimensionalen Charakterisierung flacher Tori in Alexander Schiemanns Doktorarbeit von 1993 [AS94] — mit einer computergestützten Suche nach dem kritischen $\dim = 3$ Fall. Eine moderne Vermessung der gesamten flachen Tori-Geschichte erscheint in [NRR22].

Auf dem Weg waren aufschlussreiche Abschiebungen in raffiniertere, nicht-euklidische symmetrische Abdeckräume; der Aufbau solcher isospektraler, nicht-isometrischer “Düsen” mit nichttrivialen Krümmungstensoren (und deren spektralbestimmte Euler-Eigenschaften in Dimension 2) [MS67].) Ein Paradebeispiel für diese Bemühungen war Toshikazu Sunadas 1985. [TS85] Erfindung eines allgemeinen Abdeckraumgerüsts, das er dann in derselben Arbeit zum Aufbau hyperbolischer Duette in den Dimensionen 2 und 3 einsetzte.

Für inhomogene Riemannsche Metriken entdeckte Carolyn Gordon Duette, die nicht einmal lokal isometrisch sind. [CG93].

Die Arbeit geht in vielen verwandten Bereichen weiter [DH11], wie die Bestimmung der topologischen Eigenschaften der Klasse der isospektralen, nicht-isometrischen Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen (leer [ST80], endlich [AS94], starr [GK80]und kompakt [GZ97]) als Teilmenge verschiedener Modulräume von Riemannschen Metriken.

Was wir in diesem Artikel bieten, ist eine neue Perspektive auf ein vertrautes Werkzeug: indizierte Fourier-Koeffizienten von paarweisen Produkten von Eigenfunktionen als diskreter “algebraischer/topologischer Invariant” zur Ergänzung der bestehenden, diskreten “analytischen Invariant”. — das nicht-negative Spektrum des Betreibers Laplace-Beltrami (im Folgenden als Laplacian bezeichnet) am $ℋ = L^2(M,g)$. In Kombination sehen wir, dass das Paar eine “diskrete globale geometrische Darstellung” der Isometrieklassen isospektraler, geschlossener Riemannschen Mannigfaltigkeiten liefert.

Ergebnisse

Symmetrie spielt eine wichtige Rolle bei rechnerisch traktierbaren Fällen [TF17] [LS18] [PS94], die in unserem flachen Tori passend dargestellt ist Beispiel unten. Die Stärke unseres Ansatzes wird jedoch vielleicht am besten bei Mannigfaltigkeiten mit der geringsten Anzahl von Riemannschen Symmetrien deutlich, was der generische Fall ist, der oft mit den Eigenwerten übereinstimmt, die unique (d.h. ohne nicht-triviale Multiplizität) sind. In diesem Fall bieten wir folgende

Die Motivation für das Studium der $\set{M^{i,j,k}}$ wird lose aus der Untersuchung der Rolle des bilinearen Multiplikationsoperators abgeleitet. $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ in der Definition einer Vertex Operator Algebra [FBZ04] Eine chirale konforme Feldtheorie. Hier $V$ ist der Vektorraum der Staaten und $V((z))$ ist der Raum der formalen Laurent-Serie in $z$ mit Koeffizienten in $V$. Seit $V$ oft als Hilbert-Raum mit einer traditionellen Fourier-Serie orthonormal Basis ausgestattet, Indexierung $Y$ Verwendung der Fourier-Basiselemente von $V$ ist nur etwas mehr beteiligt als die $M^{i,j,k}$ Fall hier studiert, aber ganz ähnlich im Geist. Ein detaillierter Vergleich ist für diesen Artikel jedoch nicht möglich.

Wenn wir die Karte betrachten

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

Diese Arbeit legt die Injektivität dieser Karte für geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeiten (bis zur Riemannschen Isometrie in ihrer Domäne) fest. Weitere Ergebnisse, die diese Techniken anwenden, um ihr Bild (und umgekehrt) innerhalb ausgewählter Modulräume von Metriken zu beschreiben, beginnen gerade erst. [AA25]. Dort greift Anshul Adve mit denselben Strukturkonstanten aus der Conformal Field Theory Tangent Spaces von kompakten, hyperbolischen 2-orbifolds streng an.

Diese Ergebnisse wurden erstmals 1997 in einem ähnlich betitelten Vortrag des Autors bei MSRI gezeigt, erscheinen hier aber erstmals in veröffentlichter Form.

Vorbereitungen

Jetzt mit $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ wie oben, für $f \in C^\infty(M)$ und $i \geq 0$ Beachten Sie, dass die Fourier Koeffizienten

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

seit $f$ ist einzigartig als seine schnell konvergierende Fourier-Serie ($\Delta_M$-spezifische Sobolev-Einbettungen [MT13] [RS75]Zusammen mit Weyls asymptotischem Gesetz [HW11]bedeutet, dass die Begriffe in der Summe $o(i^{-n})$ * einheitlich in $x$* [LH68], $\forall n\in\N$Dann sehen wir das für $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, die Fourier-Koeffizienten des Spitzenprodukts $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ sind

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x). \end{aligned}$$

und so kritisch, jedes multivariate Polynom $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (auf glatten Funktionen) kommutiert mit beliebigem Spektrum $\Delta$-Eigenfunktion orthonormale Basiskarte $\vec{F}$ das bewahrt $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

Auch wenn $A\subset M$ ist Borel messbar, dann halten die Ergebnisse oben für die charakteristische Funktion von $A$ überall außer entlang der Grenze von $A$: wenn $f = f^2$ und $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

und durch Einzigartigkeit haben wir folgende Identität

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

Dies bedeutet, dass eine solche Basiskarte wie oben charakteristische Funktionen enthält (als Mitglieder von $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) für charakteristische Funktionen maßhaltig.

Der Zweck dieser Berechnungen ist es, die Tatsache zu betonen, dass $\set{M^{i,j,k}}$ charakterisiert die Harmonische Analyse des Multiplikationsoperators auf $C^\infty(M)$, die eine dichte Subalgebra des Abelian ist $C^*$ Algebra $C(M)$nach dem Satz von Stone-Weierstrass.

Für die rasche Konvergenz dieser vorgenannten Beträge $M^{i,j,k}$, beachten Sie, dass Produkte von Eigenfunktionen glatt sind, so dass diese Fourier-Koeffizienten wie oben (in jedem Index) zerfallen. Weitere Informationen finden Sie in Emmett Wymans Arbeit im Jahr 2022 mit diesen Koeffizienten, da sie sich auf die Dreieckungleichheit auf den Eigenwerten bezieht. [EW22].

Hinweis: Wir können immer davon ausgehen,

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

wobei $\delta_i$ Das Kronecker-Delta. Seit $vol(M)$ ist ein spektraler Invariant [HW11]Diese Informationen sind bereits aus Gründen der Isospektralität verfügbar.

Beweis des Satzes

Für die Notwendigkeit, lassen Sie $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ eine Isometrie zwischen geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten sein und die Ziel-Orthonormalbasis von Eigenfunktionen auf $L^2(N,h)$ der Pullback via $F$ der orthonormalen Basis $\set{e^i}$ am $(M,g)$ oben. Seit

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

Wir sind mit dem Argument der Notwendigkeit fertig, weil $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

Für die Suffizienz betrachten wir nun die lineare, bijektive orthonormale Eigenfunktion. $\vec{F}$ von $C^\infty(M)$ bis $C^\infty(N)$ Beachten Sie, dass aus den Berechnungen in der Vorbereitungen oben, $\vec{F}$ bewahrt Spitzenprodukte für glatte Funktionen (und bewahrt charakteristische Funktionen, wenn sie erweitert werden auf $L^2(M,g)$) durch die Prämisse, dass $\set{M^{i,j,k}}$ ist unter dieser Karte unveränderlich.

Lemma

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ bewahrt die einheitliche Norm.

Nachweis von Lemma

Lassen $\set{a_i}$ eine glatte Teilung der Einheit auf $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

So $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (Kroneckerdelta).

nach dem dominierten Konvergenzsatz,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

eine charakteristische Funktion des positiven Maßes für jede disjunktive Teilmenge $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. Dies bedeutet, dass die Lemma für jede $a_j$, da die limitierende charakteristische Funktion eines Satzes mit positivem Maß erhalten bleibt und somit einheitliche Norm 1 hat, wie alle $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$, nach Diagramm (5).

Ohne Verlust der Allgemeinheit können wir das für die reibungslose Aufteilung der Einheit gezeigte Sonderfallergebnis anwenden $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, wobei $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ hat ein positives Maß, und die Lemma ist vollständig bewiesen.

Seit $\set {\bar e^i}$ ist auch eine Fourier-Basis für $L^2(M,g)$Aus der Gleichung (3) wird deutlich, dass $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. Dies bedeutet, dass auf einem dichten Satz von $C(M)$ (und $C(N)$), haben wir $\vec{F}$ als Isomorphismus des Abelian $C^*$ Algebras und können so zu einem Isomorphismus von $C(M)$ und $C(N)$ in der gleichen Kategorie.

Jetzt wenden wir den Gelfand-Naimark Repräsentationstheorem (in kontravarianter Funkform) für unitales Abelian an. $C^*$ Algebras [JC19] diesen Isomorphismus durch einen Homomorphismus darzustellen $F$ zwischen $N$ und $M$. Da es bijektiv auf glatte Funktionen ist, muss es auch glatt sein.

Wie jetzt Diffeomorphismus $F$ Eigenwerte und Eigenfunktionen (nach Hypothese auf $\vec{F}(f) = f\circ F$), muss es den Laplacian auf glatten Funktionen bewahren. Daher muss es auch die Hauptsymbole dieser elliptischen Operatoren beibehalten. [MT13]. Die Hauptsymbole des Laplacian sind einfach ein anderes Mittel, um die Riemannsche Metrik auf den fraglichen Mannigfaltigkeiten auszudrücken.

Damit ist der Beweis des Theorems abgeschlossen.

Diskussion der Vermutung

Mit $\set{M_0^{i,j,k}}$ und $\set{M_1^{i,j,k}}$ Darstellung der beiden Dreifach-Produkt-Sets für die Basen $\set{e_0^i}$ und $\set{e_1^i}$, lassen $z_i \in \set{-1,1}$ sind die $\Z_2^\infty$ Aktion auf einer solchen $\R$-bewertete orthonormale Basis $\set{e_1^i}$. Daher müssen wir wählen $z_i$ so dass $\set{z_ie_1^i}$ Erträge $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$.

Warum ist das der Fall? Im Allgemeinen ist die Symmetriegruppe, die auf den Raum möglicher orthonormaler Grundlagen von Eigenfunktionen wirkt, der Raum von Unitary Operators. $U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ die mit Projektionen pendeln $P_{\mathcal V_\lambda}$ auf die endlichen Eigenräume $\mathcal V_{\lambda}$ für jeden einzelnen Eigenwert $\lambda$ Der Laplacian. Daher

$$\begin{aligned} P_{\mathcal V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathcal V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

ist das Bild von $M^{i,j,k}$ unter $U$’s Basismaßnahme $e^i \mapsto U(e^i)$.

Nun, unter den Bedingungen der Vermutung, jeder der $\mathcal V_\lambda$ sind eindimensionale Vektorräume über $\Complex$, aber das bedeutet auch, dass sie eindimensionale Vektorräume über $\Reals$und so ist die vollständige multiplikative Symmetriegruppe $O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

Ohne die Multiplizitätsbeschränkung würde die damit verbundene Voraussetzung der Vermutung “Übereinstimmung in absoluten Werten” einfach zur “Beibehaltung der geordneten Menge von Singularwerten von $\set{M^{i,j,k}}$ (mit Multiplizität gezählt), wenn als eine Sammlung von Karten aus $\mathcal V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathcal V_{\lambda_j}, \mathcal V_{\lambda_k}^*)$”ein robuster Satz von Unitary Invariants. Wir sind deutlich weniger zuversichtlich, dass diese verallgemeinerte Vermutung zutrifft, da es möglich sein könnte, ein Gegenbeispiel über explizite Sunada-Konstruktion zu erstellen.

Wenn wir zur ursprünglichen Vermutung zurückkehren, stellen wir fest, dass der Beweis Folgendes beinhaltet:

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,r,i}M_0^{s,s,j}M_0^{t,t,k}}{M_1^{r,r,i}M_1^{s,s,j}M_1^{t,t,k}}\, .$$

Wir hoffen, dass $k$, $M_0^{i,i,k}$ kann nicht identisch sein $0$ für alle $i$. Die Formel für $z_k$ erfordert beides $i$- Unabhängigkeit und Angemessenheit, um die Grundkarte zu erstellen $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ Behältnisse $\set{M_0^{i,j,k}}$. All diese Aspekte bleiben unbekannt.

Lassen Sie uns jedoch einige relevante Identitäten berechnen, damit einige unerschrockene zukünftige Forscher in diese Vermutung eintauchen können:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \inf_{f\in \mathscr H_k^\perp} \frac{||df \cdot df||^2}{||f||^2} &= \lambda_{k+1}\text{ , with }f=\pm e^{k+1}\ .\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ \sum_{\ell}Q_\ell(f,f)e^\ell &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)M^{i,j,\ell}e^\ell\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)(M^{i,i,\ell} + M^{j,j,\ell} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^\ell})e^\ell\\ = g^2 &= \sum_{i,j,\ell}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,\ell}e^\ell\implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

Hinweis: für das eindimensionale Flat-Tori-Gehäuse unten, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ seit $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$ ist eine wahre Ableitung.

Beispiel

Lassen $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ ein Index, Rang $n$ Gitter der Lie Algebra Gewichte für die Quotientenraumdarstellung von $\frak{g}=\Reals^n$ als invariante (d. h. konstante) Vektorfelder auf sich selbst, wenn $\R^n$ wird auch als $\frak{g}$Lie Group über einen Torus definiert durch $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. Diese Gewichte definieren integrable Aufzüge von 1-Form über dem Torus, die sich in lineare Funktionen integrieren $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ Wie seine Lügengruppe (die den Torus bedeckt). Diese linearen Funktionalitäten können dann gleichmäßig (durch $2\pi \sqrt{-1}$) und exponentiert, um multiplikative Zeichen zu bilden, die zu einer orthonormalen Basis von $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, mit Maß Lebesgue (Haar) $dx$.

Darüber hinaus diagonalisiert diese Basis gleichzeitig den flachen Torus Laplacian weil der Laplacian das Bild eines symmetrischen, negativ-definiten quadratischen Casimir-Elements unter dieser (konstanten Koeffizienten Linear Differential Operator) Quotientenraumdarstellung der universellen Hüllalgebra ist. Die Eigenwerte sind konstant (von $4\pi^2$) zum Casimir-Element-bestimmt-Länge-Quadrat jedes Charakters Gewicht im Gitter.

Wir betrachten derzeit die obige Basis

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

als unsere theoretisch anwendbare Fourier-Basis orthonormaler (multiplikativer Charakter) Eigenfunktionen (dieser Quotientendarstellung des (negativen) euklidischen Casimir-Elements) direkt entsprechend $\set{\lambda_i}$. Nach den Hypothesen unseres Theorems müssen wir $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (mit der euklidischen Norm auf den Gewichten).

Jetzt können wir berechnen

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Da diese Gleichung nur invariant unter linearen Transformationen auf dem Gewichtsgitter ist $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$nur eine $L^2$ orthonormale Eigenfunktion Basiskarte , die aus einer volumenerhaltenden invertierbaren linearen Karte zwischen zwei solchen indizierten, Rang induziert wird $n$ Gewichtsgitter halten den “algebraischen/topologischen” indizierten Datensatz $\set{M^{i,j,k}}$ invariant.

Um unsere SatzEs ist wichtig, dass eine solche lineare Karte $B$ sein $B\in SO(n,\Reals)$ auf dem Gewichtsgitter, weil die induzierte $L^2$ Eigenfunktion Basiskarte

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

müssen auch die “analytischen” Invarianten — Die Casimir-Element induzierte Figur $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ für jedes indizierte Gewicht, d.h. die einzelnen Eigenwerte des Flat-Tori-Laplacian.

Dieses repräsentationstheoretische Konto [AK01] entspricht genau der vorherigen Entwicklung von Gitterkongruenz [NRR22] Traditionell verwendet, um Isometrieklassen von flachen Tori zu beschreiben. Tatsächlich ist die Matrix-Transpose einer solchen linearen Karte $B\in SO(n,\Reals)$, wie im vorstehenden Absatz beschrieben, ist die kontravariante Riemannsche Isometrie zwischen den Tori, wie sie durch die Anwendung des Gelfand-Naimark Repräsentationstheorem während der Nachweis von unseren Satz.

Anzahl Bestätigungen

Die ursprüngliche Forschung wurde 1995-1996 teilweise durch einen freundlichen James Simons Research Award und die großzügige Unterstützung eines Alfred P. finanziert. Sloan Dissertation Fellowship 1996-1997 an der Universität in Stony Brook.

Der Autor möchte sich auch bei Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri und insbesondere bei Leon Takhtajan für ihre technische Unterstützung und Überprüfung bei der Vorbereitung dieses Manuskripts zur Veröffentlichung bedanken.