Dreifache Produkte von Eigenfunktionen und Spektralgeometrie

Autor

Joe Schaefer

Einsatz

Im Herbst

Kurzbeschreibung

Verwendung elementarer Techniken aus der Geometrischen Analyse, partiellen Differentialgleichungen und Abelian $C^*$ Algebras, Wir entdecken einen neuartigen, aber bekannten, globalen geometrischen Diskriminator — namentlich der indexierte Satz von Integralen von dreifachen Produkten von Eigenfunktionen des Laplace-Beltrami-Operators, um genau zu charakterisieren, welche ispektralen geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten isometrisch sind.

Einführung

Für eine geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$, die ihre Klasse von nicht-isometrischen, isospektralen Mannigfaltigkeiten charakterisiert, ist eine Art inverses Problem [DH11] Spektrale Geometrie. Naïvely könnte man spekulieren, dass diese Klasse immer leer wäre. Die akademische Literatur ist jedoch reich an jahrzehntelangen Konstruktionen spezifischer Gegenbeispiele: ab 1964 mit John Milnors 16-dimensionalen Paar nicht-isometrischer, isospektraler flacher Tori [JM64]und weiter [CS92] zur generischen dimensionalen Charakterisierung flacher Tori in Alexander Schiemanns Doktorarbeit von 1993 [AS94] — mit einer computergestützten Suche nach dem kritischen $\dim = 3$ Fall. Eine moderne Vermessung der gesamten flachen Tori-Geschichte erscheint in [NRR22].

Auf dem Weg waren aufschlussreiche Abschiebungen in raffiniertere, nicht-euklidische symmetrische Abdeckräume; der Aufbau solcher isospektraler, nicht-isometrischer Abdeckräume “Duelle” mit nicht-trivialen Krümmungs-Tensoren (und deren spektral-bestimmten Euler-Eigenschaften in Dimension 2) [MS67].) Ein Paradebeispiel für diese Bemühungen war Toshikazu Sunadas 1985. [TS85] Erfindung eines allgemeinen Abdeckraumgerüsts, das er dann in derselben Arbeit zum Aufbau hyperbolischer Duette in den Dimensionen 2 und 3 einsetzte.

Für inhomogene Riemannsche Metriken entdeckte Carolyn Gordon Duette, die nicht einmal lokal isometrisch sind. [CG93].

Die Arbeit geht in vielen verwandten Bereichen weiter [DH11], wie die Bestimmung der topologischen Eigenschaften der Klasse der isospektralen, nicht-isometrischen Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen (leer [ST80], endlich [AS94], starr [GK80]und kompakt [GZ97]) als Teilmenge verschiedener Modulräume von Riemannschen Metriken.

What we offer in this article is a new perspective on a familiar tool: Indizierte Fourier-Koeffizienten von paarweisen Produkten von Eigenfunktionen als diskrete “algebraisch/topologisch diskriminierend” zur Ergänzung der bestehenden, diskreten “analytisch invariant” — das nicht-negative Spektrum des Betreibers Laplace-Beltrami (im Folgenden als Laplacian bezeichnet) am $ℋ = L^2(M,g)$. Zusammen sehen wir, dass das Paar eine “Diskrete globale geometrische Darstellung” der isometrischen Klassen der isospektralen, geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Dies ist keine Forschungsmonografie, sondern eine Einführung in das Thema für fortgeschrittene Mathematikstudenten, die mit Geometric Analysis, Repräsentationstheorie vertraut sind, und $C^*$ Algebras.

Ergebnisse

Es ist wichtig zu erkennen $M^{i,j,k}$ ist nicht grundinvariant: es gibt eine natürliche einheitliche veränderung der grundlage darauf, die nach dem beweis dieses theorems ausführlich diskutiert wird. Die Diskussion beinhaltet bestimmte Sätze von grundlageninvarianten Singularwerten, die man um eine allgemeine Vermutung herum bilden könnte, die behauptet, dass diese geordnete Gruppe von Singularwerten den Satz von isospektralen Mannigfaltigkeiten vollständig charakterisiert.

Unabhängig von der ausreichenden Hälfte der allgemeinen Vermutung ist die Notwendigkeit immer der Fall. Was bedeutet, dass diese Sammlungen von Einzelwerten definiert durch $M^{i,j,k}$ und jedem Eigenraumdreifach zugeordnet sind, ist ein neuer Satz von Riemannschen Invarianten.

Die harte Arbeit für zukünftige Forschung ist es, solche Basispaare zu finden oder zu bestimmen, dass solche Paare überhaupt nicht existieren können, nur indem man die Eigenschaften der $M^{i,j,k}$ im Beweis. Aber dieser Artikel stellt dieses Ziel in den Mittelpunkt: Wir versuchen, die analytischen Geometriefragen der Spektraltheorie auf rechnerisch traktierbare lineare Algebra-Fragen zu Produkten von Eigenfunktionen zu reduzieren.

Symmetrie spielt eine wichtige Rolle bei rechnerisch traktierbaren Fällen [TF17] [LS18] [PS94], die in unserem flachen Tori passend dargestellt ist Beispiel unten. Die Stärke unseres Ansatzes zeigt sich jedoch vielleicht am besten bei Verteilern mit der geringsten Anzahl an Riemannschen Symmetrien, was der generische Fall ist. In diesem Fall bieten wir folgende

 

Die Motivation für das Studium der $\set{M^{i,j,k}}$ wird lose aus der Untersuchung der Rolle des bilinearen Multiplikationsoperators abgeleitet. $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ in der Definition einer Vertex Operator Algebra [FBZ04] Eine chirale konforme Feldtheorie. Hier $V$ ist der Vektorraum der Staaten und $V((z))$ ist der Raum der formalen Laurent-Serie in $z$ mit Koeffizienten in $V$. Seit $V$ oft als Hilbert-Raum mit einer traditionellen Fourier-Serie orthonormal Basis ausgestattet, Indexierung $Y$ Verwendung der Fourier-Basiselemente von $V$ ist nur etwas mehr beteiligt als die $M^{i,j,k}$ Fall hier studiert, aber ganz ähnlich im Geist. Ein detaillierter Vergleich ist für diesen Artikel jedoch nicht möglich.

Wenn wir die Karte betrachten

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

Diese Arbeit legt die Injektivität dieser Karte für geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeiten (bis zur Riemannschen Isometrie in ihrer Domäne) fest. Weitere Ergebnisse, die diese Techniken anwenden, um ihr Bild (und umgekehrt) innerhalb ausgewählter Modulräume von Metriken zu beschreiben, beginnen gerade erst. [AA25]. Dort greift Anshul Adve mit denselben Strukturkonstanten aus der Conformal Field Theory Tangent Spaces von kompakten, hyperbolischen 2-orbifolds streng an.

Einige Bilder können hier hilfreich sein. Wenn wir reparieren $(M,g)$ Schauen Sie sich die Umlaufbahnen von $\set{M^{i,j,k}}$ bei frequenzerhaltenden Wechsel-of-Basis-Einheitentransformationen auf $\set{e^i}$, sehen wir, dass die Umlaufbahnen der verschiedenen isospektral $(M,g)$ Paare teilen das Bild dieser Karte entlang der Isometrieklassen auf.

Schließlich beweisen wir, dass der generische Riemannsche metrische Fall vollständig durch die Untersuchung der “diagonal” $\set{\lambda_i, M^{i,\bar i,k}}$.

Diese Ergebnisse wurden erstmals 1997 in einem ähnlich betitelten Vortrag des Autors bei MSRI gezeigt, erscheinen hier aber erstmals in veröffentlichter Form.

Vorbereitungen

Jetzt mit $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ wie oben, für $f \in C^\infty(M)$ und $i \geq 0$ Beachten Sie, dass die Fourier Koeffizienten

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x) \end{aligned}$$

seit $f$ ist einzigartig als seine schnell konvergierende Fourier-Serie ($\Delta_M$-spezifische Sobolev-Einbettungen [MT13] [RS75]Zusammen mit Weyls asymptotischem Gesetz [HW11]bedeutet, dass die Begriffe in der Summe $o(i^{-n})$ einheitlich in $x$ [LH68], $\forall n\in\N$Dann sehen wir das für $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, die Fourier-Koeffizienten des Spitzenprodukts $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ sind

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x) \end{aligned}$$

und so kritisch, jedes multivariate Polynom $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (auf glatten Funktionen) kommutiert mit beliebigem Spektrum $\Delta$-Eigenfunktion orthonormale Basiskarte $\vec{F}$ das bewahrt $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

Auch wenn $A\subset M$ ist Borel messbar, dann halten die Ergebnisse oben für die charakteristische Funktion von $A$ überall außer entlang der Grenze von $A$: wenn $f = f^2$ und $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

und durch Einzigartigkeit haben wir folgende Identität

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

Dies bedeutet, dass eine solche Basiskarte wie oben charakteristische Funktionen enthält (als Mitglieder von $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) für charakteristische Funktionen maßhaltig.

Der Zweck dieser Berechnungen ist es, die Tatsache zu betonen, dass $\set{M^{i,j,k}}$ charakterisiert die Harmonische Analyse des Multiplikationsoperators auf $C^\infty(M)$, die eine dichte Subalgebra des Abelian ist $C^*$ Algebra $C(M)$nach dem Satz von Stone-Weierstrass.

Für die rasche Konvergenz dieser vorgenannten Beträge $M^{i,j,k}$, beachten Sie, dass Produkte von Eigenfunktionen glatt sind, so dass diese Fourier-Koeffizienten wie oben (in jedem Index) zerfallen. Weitere Informationen finden Sie in Emmett Wymans Arbeit im Jahr 2022 mit diesen Koeffizienten, da sie sich auf die Dreieckungleichheit auf den Eigenwerten bezieht. [EW22].

Note: Wir können immer annehmen,

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

wobei $\delta_i$ Das Kronecker-Delta. Seit $vol(M)$ ist ein spektraler Invariant [HW11]Diese Informationen sind bereits aus Gründen der Isospektralität verfügbar.

Beweis des Satzes

Für die Notwendigkeit, lassen Sie $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ eine Isometrie zwischen geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten sein und die Ziel-Orthonormalbasis von Eigenfunktionen auf $L^2(N,h)$ der Pullback via $F$ der orthonormalen Basis $\set{e^i}$ am $(M,g)$ oben. Seit

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

Wir sind mit dem Argument der Notwendigkeit fertig, weil $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

Für die Suffizienz betrachten wir nun die lineare, bijektive orthonormale Eigenfunktion. $\vec{F}$ von $C^\infty(M)$ bis $C^\infty(N)$ Beachten Sie, dass aus den Berechnungen in der Vorbereitungen oben, $\vec{F}$ bewahrt Spitzenprodukte für glatte Funktionen (und bewahrt charakteristische Funktionen, wenn sie erweitert werden auf $L^2(M,g)$) durch die Prämisse, dass $\set{M^{i,j,k}}$ ist unter dieser Karte unveränderlich.

Lemma

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ bewahrt die einheitliche Norm.

Nachweis von Lemma

Lassen $\set{a_i}$ eine glatte Teilung der Einheit auf $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

So $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (Kroneckerdelta).

nach dem dominierten Konvergenzsatz,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

eine charakteristische Funktion des positiven Maßes für jede disjunktive Teilmenge $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. Dies bedeutet, dass die Lemma für jede $a_j$, da die limitierende charakteristische Funktion eines Satzes mit positivem Maß erhalten bleibt und somit einheitliche Norm 1 hat, wie alle $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$, nach Diagramm (6).

Ohne Verlust der Allgemeinheit können wir das für die reibungslose Aufteilung der Einheit gezeigte Sonderfallergebnis anwenden $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, wobei $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ hat ein positives Maß, und die Lemma ist vollständig bewiesen.

Seit $\set {\bar e^i}$ ist auch eine Fourier-Basis für $L^2(M,g)$Aus der Gleichung (4) wird deutlich, dass $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. Dies bedeutet, dass auf einem dichten Satz von $C(M)$ (und $C(N)$), haben wir $\vec{F}$ als Isomorphismus des Abelian $C^*$ Algebras und können so zu einem Isomorphismus von $C(M)$ und $C(N)$ in der gleichen Kategorie.

Jetzt wenden wir das Gelfand-Naimark-Segal-Darstellungstheorem (in kontravarianter Funkform) für unitales Abelian an. $C^*$ Algebras [JC19] diesen Isomorphismus durch einen Homomorphismus darzustellen $F$ zwischen $N$ und $M$. Da es bijektiv auf glatte Funktionen ist, muss es auch glatt sein.

Wie jetzt Diffeomorphismus $F$ Eigenwerte und Eigenfunktionen (nach Hypothese auf $\vec{F}(f) = f\circ F$), muss es den Laplacian auf glatten Funktionen bewahren. Daher muss es auch die Hauptsymbole dieser elliptischen Operatoren beibehalten. [MT13]. Die Hauptsymbole des Laplacian sind einfach ein anderes Mittel, um die Riemannsche Metrik auf den fraglichen Mannigfaltigkeiten auszudrücken.

Damit ist der Beweis des Theorems abgeschlossen.

Diskussion von Corollaries

Mit $\set{M_0^{i,j,k}}$ und $\set{M_1^{i,j,k}}$ Darstellung der beiden Dreifach-Produkt-Sets für die Basen $\set{e_0^i}$ und $\set{e_1^i}$, lassen $z_i \in U_1$ sind die $U_1^\infty$ Aktion auf einer solchen orthonormalen Basis $\set{e_1^i}$. So wählen wir $z_i$ so dass $\set{z_ie_1^i}$ Erträge $\set{M_0^{i,j,k}} = \set{z_i z_j \bar z_kM_1^{i,j,k}}$.

Warum ist das der Fall? Im Allgemeinen ist die Symmetriegruppe, die auf den Raum möglicher orthonormaler Grundlagen von Eigenfunktionen wirkt, der Raum von Unitary Operators. $U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ die mit Projektionen pendeln $P_{\mathscr V_\lambda}$ auf die endlichen Eigenräume $\mathscr V_{\lambda}$ für jeden einzelnen Eigenwert $\lambda$ Der Laplacian. Daher

$$\begin{aligned} P_{\mathscr V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathscr V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

ist das Bild von $M^{i,j,k}$ unter $U$’s Basismaßnahme $e^i \mapsto U(e^i)$.

Jetzt unter den Bedingungen von Corollary 2, jeder der $\mathscr V_\lambda$ sind eindimensionale Vektorräume über $\Complex$, aber das bedeutet auch, dass sie eindimensionale Vektorräume über $\Reals$und so ist die vollständige multiplikative Symmetriegruppe $O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

Allgemeiner die damit verbundene Voraussetzung “bezüglich der Übereinstimmung mit den Produktwerten” wird einfach “Beibehaltung des geordneten Satzes von Singularwerten (mit Multiplizität gezählt) der linearen Karten aus $\mathscr V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathscr V_{\lambda_j}, \mathscr V_{\lambda_k})$ definiert durch $\set{M^{i,j,k}}$.” Hier das innere Produkt auf $A,B \in Hom(\mathscr V_{\lambda_i}, \mathscr V_{\lambda_j})$ ist $tr (B^*A)$. Per Definition sind diese Singularwerte unter direkten Summen von einheitlichen Transformationen auf der $\mathscr V_\lambda$.

Im Falle des Multiplizitäts-1-Spektrums ist der vollständige Satz von Singularwerten einfach der Satz von Absolutwerten von $M^{i,j,k}$ die, wie wir immer noch vermuten, die Isometrieklassen solcher isospektraler Mannigfaltigkeiten vollständig charakterisiert. Siehe Gleichung (23) für die Schlüsselbeziehung zwischen dieser Vermutung und Folge 2. Was fehlt, ist das Argument der Suffizienz, dass, wenn die absoluten Werte übereinstimmen, die Mannigfaltigkeiten isometrisch sind; was ein Argument erfordert, um mögliche Zeichenwechselstornierungen zwischen den Basen in den LHS-Gleichungsübersichten (23) zu beseitigen.

Wir sind deutlich weniger zuversichtlich, dass die allgemeine Vermutung wahr ist (außerhalb des Falles mit Multiplizitäts-1-Spektrum), da es möglich sein kann, über explizite Sunada-Konstruktion ein Gegenbeispiel (von Suffizienz) zu erstellen.

Wenn die Indexnotation die Situation verschleiert, wird vielleicht diese grundlagenunabhängige Beschreibung helfen. Nehmen $v_{\lambda} \in \mathscr V_{\lambda}$ und betrachten Sie den Ausdruck

$$P_{\mathscr V_\gamma}(v_\alpha v_\beta).$$

Rückruf $\mathscr V_\lambda$ ist ein endlicher dimensionaler, komplexer euklidischer Raum. Alle $M^{i,j,k}$ ist Basiskoordinaten dieses grundlagenunabhängigen Ausdrucks. Seit $1 = \oplus_\lambda P_{\mathscr V_\lambda}$, was der Satz sagt, ist, dass der obige Ausdruck identisch zwischen Mannigfaltigkeiten ist, wenn und nur, wenn die Mannigfaltigkeiten isometrisch sind; was als Schock für buchstäblich niemand kommen sollte. Die ausreichende Hälfte dieser Vermutungen sind weitgehend kombinatorische Probleme, bei denen diese Ausdrücke rein aus ihrer Singularwertzersetzung rekonstruiert werden.

Diese Basisinvarianten können sich jedoch als nützlich erweisen, um komplexere Fälle zu entschlüsseln, bei denen zwei isospektrale Mannigfaltigkeiten nicht isometrisch sind, indem sie zeigen, dass ihre Singularwerte zwischen den beiden fraglichen Basen nicht identisch sind.

Abgesehen

Die Repräsentationstheorie einer Compact Lie Group $G$ nimmt den expliziten Laplacian aus der Gleichung und Studien irreducible Darstellungen $\Phi^{(\alpha)} \in Hom(G,U(\mathscr V_\alpha))$ zur Hilbert-Raumzersetzung von $L^2(G,dg)$ (hier $dg$ ist die normalisierte Haarwahrscheinlichkeit auf $G$) wie im Peter-Weyl-Theorem angesprochen, und ehrt ihr Zusammenspiel mit dem oben genannten Ausdruck (durch irrep Zersetzung von Tensorprodukten von Irreps) als die wesentlichen Artefakte der Lüge-Theorie [AK01]. Kompatible Riemannsche Geometrien werden durch bequeme Wahl von quadratischen Casimir-Elementen erzeugt, die in der Mitte der universellen umhüllenden Algebra liegen, die von weniger Bedeutung sind als die irrep-Matrix-Koeffizientenzersetzung von $L^2(G,dg)$ Ihre spektrale Zersetzung ist eine (weniger bequeme) Wiederzusammensetzung dieser orthonormalen Basiselemente, da das zugehörige Casimir-Element auf den Matrixkoeffizienten jedes Irp konstant ist.

Wigner’s $3j$ Symbole für $SU(2)$ sind ein Paradebeispiel für weitere Studien — Lassen Sie uns unsere allgemeine Konstruktion als Gruppenverteiler anwenden. Jede endliche, irreduzible, einheitliche Darstellung von $SU(2)$ ist durch eine nicht negative halbe Ganzzahl gekennzeichnet $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$. Wir schreiben $\mathscr V_j$ für die $(2j+1)$-dimensionaler Raum, auf den diese Darstellung wirkt. Eine orthonormale Basis für $\mathscr V_j$ ist die magnetische Basis $\ket{j\ m}$ mit $m = -j,-j+1,\dots,j.$

Die Gleichung

$$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} :=(-1)^{j_1-j_2-m_3}\frac{1}{\sqrt{2j_3+1}}C^{j_3\ -m_3}_{j_1\ m_1,j_2\ m_2}$$

drückt die $3j$ Symboldefinition in Bezug auf Clebsch-Gordan Koeffizienten $C^{j\ m}_{j_1\ m_1,j_2\ m_2}:=\bra{j_1\ m_1,j_2\ m_2}\ket{j\ m}$ die Tensor-Produktdarstellung zersetzen $\mathscr V _{j_1}\otimes\mathscr V _{j_2}$ in irreduzible Komponenten, die geschlossene Formausdrücke wie Racahs Formel haben, die moderne numerische Softwarebibliotheken untermauern [JF16].

A $3j$ Symbol verschwindet, wenn $m_1+m_2+m_3=0$die Dreiecksungleichheiten $|j_1-j_2|\le j_3\le j_1+j_2$ halten und $j_1+j_2+j_3$ ist eine Ganzzahl.

Aus Sicht der Kompaktgruppe $SU(2)$, die $3j$ Symbole sind genau die (richtig normalisierten und phasenweise) ineinandergreifenden Operatoren, die den einzigartigen (bis zu skalierenden) invarianten Unterraum des dreifachen Tensorprodukts realisieren. $\mathscr V_{j_1}\otimes \mathscr V_{j_2}\otimes \mathscr V_{j_3}$ wenn dieses Produkt die triviale Darstellung enthält. Sie sind daher die natürlichen “Strukturkonstanten” für die Verschmelzung von drei irreduziblen Darstellungen zum Singlet.

Dies ist genau analog zu der Rolle, die von den dreifachen Produktintegralen gespielt wird. $M^{i,j,k}$ auf einem Riemannschen Mannigfaltigkeit: Sie sind die Strukturkonstanten des punktuellen Produkts von Eigenfunktionen, wenn dieses Produkt in der Eigenbasis wieder erweitert wird. In der Gruppe $SU(2)$ selbst, reduzieren sich diese Integrale auf phasenweise Produkte der $3j$-Symbole.

Zum Witz, lassen $D^{j}_{m n}(g)$ Standard-Wigner sein $D$-Funktionen (Matrix-Koeffizienten der irrep des Spin $j$ in der magnetischen orthonormalen Basis $\ket{j\ m}$). In Bezug auf die normalisierte Haar Wahrscheinlichkeitsmaß $dg$ Eine hat die genaue Formel [VK88]

$$\int_{SU(2)} D^{j_1}_{m_1 n_1}(g)\, D^{j_2}_{m_2 n_2}(g)\, \overline{D^{j_3}_{m_3 n_3}(g)}\,dg = \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ n_1 & n_2 & -n_3 \end{pmatrix} \times (-1)^{m_3+n_3}.$$

(Die allgemeine Phasenkonvention kann durch die üblichen Condon-Shortley-Faktoren angepasst werden; der wesentliche Punkt ist, dass die integralen Faktoren in ein Produkt von zwei realen $3j$-Symbole.) Das Peter-Weyl-Theorem liefert eine komplette orthonormale Grundlage für $L^2(SU(2),vol(G)dg)$ durch die renormalisierten Matrixkoeffizienten:

$$e^{j,m,n}(g):=\sqrt{\frac{2j+1}{vol(G)}}\ D^{j}_{mn}(g),$$

wo die Indizes überlaufen

$$j=0,\tfrac12,1,\tfrac32,\dots,\ m,n=-j,-j+1,\dots,j.$$

Natürlich unter dem Cartan-Killing Casimir Laplacian, $\Delta e^{j,m,n} = \lambda_j e^{j,m,n} = j(j+1)e^{j,m,n}$, die $vol(G)=2\pi\ vol(S^2) = 8\pi^2$ unter dem Begriff des (metrized) Haarmaßes: $\sqrt g dx = 8\pi^2 dg$. Kombiniert man die beiden Gleichungen, während man sich an die Konventionen des Satzes hält, erhält man den expliziten Ausdruck:

$$\begin{aligned} M^{(j_1 m_1 n_1),(j_2 m_2 n_2),(j_3 m_3 n_3)} &= \sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}{8\pi^2}}\\ &\ \times \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ n_1 & n_2 & -n_3 \end{pmatrix} (-1)^{m_3+n_3}. \end{aligned}$$

Die Riemannsche Geometrie der $SU(2)$ induziert durch den Cartan-Killing Casimir kann mit unseren erweiterten Spektraldaten erfasst werden $\set{\lambda_i, M^{i,j,k}}$, aus denen der Singularwert Riemannsche Invarianten aus der Gleichung explizit berechnet werden kann :

$$\sigma(j_1,j_2,j_3)=\sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}{8\PI^2}}\cdot\frac{1}{2j_3+1}=\sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)}{(2j_3+1)\ 8\pi^2}},$$

wenn die Ungleichheiten des Dreiecks und die Paritätsbedingung erfüllt sind für $j_1, j_2, j_3$mit Multiplizität 1 und allen anderen Einzelwerten Null. Die Berechnung folgt aus der Beobachtung, dass $M^{i,j,k}$ Zersetzt sich in das Tensorprodukt von links/rechts-Rang-1-Verflechtungsoperatoren, jeweils mit Hilbert-Schmidt-Norm $1/\sqrt{2j_3+1}$ (per definitionem), so ist sein nicht-null-singularwert, per definition oben, das peter-weyl-reskalierte produkt dieser Hilbert- Schmidt-normen. Seit $SU(2)$ mit der Cartan-Killing-Metrik isometrisch bis zum 4-fachen der traditionellen homogenen Metrik $S^3$und für $S^n, n\leq 6$, jeder isospektrale Mann ist isometrisch [ST80] (eine schöne Reduktion auf konstante Schnittkrümmungsmetriken aus der kurzzeitigen Asymptotik der Spur des Wärmekerns), diese Berechnung der singulären Werte ist weitgehend akademisch für $SU(2)$.

Da der homogene metrische Fall für $n>6$ ist derzeit unruhig und führt die gleiche Clebsch-Gordon-Analyse durch $SO(n+1)$ [BJK78] mit Hilfe eines Computers könnte zu neuen Entdeckungen über den spektralen Determinismus von $S^n$ in Bezug auf seine singulären Werte [M06].

Für kompakte Abelian Lie-Gruppen, diese Vektorräume $\mathscr V_\alpha$ sind alle eindimensional, so dass ihre Situation ganz ähnlich der spektralen Zersetzung von Multiplizitäts-1 Laplacians oben ist. Mehr dazu im Beispiel unten.

Wenn wir zu Korrespondenz 1 zurückkehren, stellen wir fest, dass der Beweis Folgendes beinhaltet:

$$z_k = M_0^{i,\bar i,k} / M_1^{i,\bar i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,\bar i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,\bar r,i}M_0^{s,\bar s,j}\bar M_0^{t,\bar t,k}}{M_1^{r,\bar r,i}M_1^{s,\bar s,j}\bar M_1^{t,\bar t,k}}\, .$$

Wir hoffen, dass $k>0$, $M_0^{i,\bar i,k}$ kann nicht identisch sein $0$ für alle $i$, da es sich um eine allgemein wahre Bedingung handelt, aber für bestimmte Fälle wie den im folgenden Beispiel abgedeckten flachen Tori-Fall falsch. Eine übergeordnete Möglichkeit, diese Bedingung zu betrachten, ist zu beachten, dass eine solche Hoffnung verletzt $k$ hätte $\bar e^k$ im Kernel der Nebenkarte $[M^{i,\bar i,k}]^*$. Die Formel für $z_k$ erfordert beides $i$- Unabhängigkeit und Angemessenheit, um die Grundkarte zu erstellen $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ Behältnisse $\set{M_0^{i,j,k}}$.

Wir skizzieren einen Nachweis von Corollary 1 (Suffizienz) unter dem nächsten Satz von Formeln.

Lassen Sie uns jedoch einige relevante Identitäten berechnen, so dass einige unerschrockene zukünftige Forscher in die generalisierte Vermutung eingreifen können. Hier $v\cdot w$ ist das Riemannsche Innenprodukt auf dem Kotangentenbündel:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \text {So the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}.\\ \end{aligned}$$

Beweis der Korollarien

Now consider the famous associativity relations from Conformal Field Theory:

$$\begin{aligned} e^ie^je^k = \sum_\ell\bra{e^ie^j}\ket{\bar{e^k}e^\ell}e^\ell &= \sum_{\ell,r} M^{i,j,r}\bar M^{\bar k,\ell,r}e^\ell\\ &= \sum_{\ell,r} M^{i,k,r}\bar M^{\bar j,\ell,r}e^\ell\ \therefore\\ i = \bar j, \ell = k\text{ and relabeling } \implies \\ \sum_r M^{i,\bar i,r}\bar M^{j,\bar j,r} &= \sum_r |M^{i,j,r}|^2 \end{aligned}$$

Folge 1 ist die Tatsache, dass $z_k\in U_1$ ist klar definiert (d.h. $i$-invariant durch die Hypothesen über Produkte), und die vorherige Beobachtung, dass die algebraischen, gebundenen trilinearen Operatoren definiert durch $z_iz_j\bar z_kM_1^{i,j,k}$ und $M_0^{i,j,k}$ sind beide assoziativ und stimmen mit der Multiplikation der pointwise Funktion mit Quadraten von Absolutwerten von Eigenfunktionen überein, die $\mathscr H$. Einrichten $\ker\ [M^{i,\bar i,k}]^* = 0$ ist genau gleichwertig, wobei $\mathscr V$ Ist der geschlossene Hilbert-Raum von $\set{|e^i|^2}$und $[M^{i,\bar i,k}]:\mathscr V\rightarrow \mathscr H$ ist die Change-of-Basis Identity Map.

Sie sind sich überall einig.

Folge 2 Angemessenheit folgt, indem darauf hingewiesen wird, dass der verschwindende Nebenkartenkernzustand in der Folge 1 allgemein wahr ist. Und wenn für eine Auswahl von $i,j,k$, das Produkt $M^{i,\bar i,k} \bar M^{j,\bar j,k}$ Uneinigkeit zwischen den Basen, würden sie in jedem Paar von Basen nicht zustimmen.

Warum? Da von generischen Verteilern auch Multiplizitäts-1-Spektren angenommen werden kann, reduziert dies die volle Symmetriegruppe auf $U_1^\infty$ bei denen es sich um invariante Produkte handelt, die im Widerspruch zu Satz 1 stehen. weitere Reduktion auf $\Z_2^\infty$ über real bewertete Basen stellen sicher, dass die Produkte real bewertet werden. Dies begründet die Notwendigkeit der Hypothese und vervollständigt den Beweis.

Darüber hinaus sind die Argumente im Nachweis von Corollary 1 auch dann gültig, wenn die Verteiler nicht-ispektral sind, so dass wir die Basiskarte als Diffeomorphismus darstellen können, wenn und nur, wenn die Produkte im obigen generischen Fall übereinstimmen. Isospektralität wird dann gleichbedeutend mit diesem Diffeomorphismus als Riemannsche Isometrie.

Dies vervollständigt den Beweis der Corollaries.

Beispiel

Lassen $\set{\alpha_i} \subset \R^n$ ein Index, Rang $n$ Gitter der Lie Algebra Gewichte für die Quotientenraumdarstellung von $\frak{g}=\Reals^n$ als invariante (d. h. konstante) Vektorfelder auf sich selbst, wenn $\R^n$ wird auch als $\frak{g}$Lie Group über einen Torus definiert durch $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. Diese Gewichte definieren integrable Aufzüge von 1-Form über dem Torus, die sich in lineare Funktionen integrieren $\bra{x} \alpha_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ Wie seine Lügengruppe (die den Torus bedeckt). Diese linearen Funktionalitäten können dann gleichmäßig (durch $2\pi \sqrt{-1}$) und exponentiert, um multiplikative Zeichen zu bilden, die zu einer orthonormalen Basis von $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, mit Maß Lebesgue (Haar) $dx$.

Darüber hinaus diagonalisiert diese Basis gleichzeitig den flachen Torus Laplacian weil der Laplacian das Bild eines symmetrischen, negativ-definiten quadratischen Casimir-Elements unter dieser (konstanten Koeffizienten Linear Differential Operator) Quotientenraumdarstellung der universellen Hüllalgebra ist. Die Eigenwerte sind konstant (von $4\pi^2$) zum Casimir-Element-bestimmt-Länge-Quadrat jedes Charakters Gewicht im Gitter. Es ist leicht zu erkennen, dass jede Wahl eines nicht-degenerierten negativ-definiten quadratischen Kasimir-Elements eine Riemannsche Geometrie erzeugt, die isometrisch zur (negativen) euklidischen ist.

Wir betrachten derzeit die obige Basis

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\alpha_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

als unsere theoretisch anwendbare Fourier-Basis orthonormaler (multiplikativer Charakter) Eigenfunktionen (dieser Quotientendarstellung des (negativen) euklidischen Casimir-Elements) direkt entsprechend $\set{\alpha_i}$. Nach den Hypothesen unseres Theorems müssen wir $i < j \implies \lVert\alpha_i\rVert \leq \lVert\alpha_j\rVert$ (mit der euklidischen Norm auf den Gewichten).

Jetzt können wir berechnen

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \alpha_i + \alpha_j - \alpha_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Wie diese Gleichung Es hängt nur vom Gewichtsgitter selbst ab, es ist orthonormal-Basis-Index invariant. Außerdem ist es nur invariant unter linearen Transformationen auf dem Gewichtsgitter. $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\alpha_i}$, also nur eine $L^2$ orthonormale Eigenfunktion Basiskarte , die aus einer volumenerhaltenden invertierbaren linearen Karte zwischen zwei solchen indizierten, Rang induziert wird $n$ Gewichtsgitter halten die “Algebraisch/topologisch” Indexiertes Dataset $\set{M^{i,j,k}}$ invariant.

Um unsere SatzEs ist wichtig, dass eine solche lineare Karte $B$ sein $B\in SO(n,\Reals)$ auf dem Gewichtsgitter, weil die induzierte $L^2$ Eigenfunktion Basiskarte

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\alpha_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

muss auch die “Analytisch” Invarianten — Die Casimir-Element induzierte Figur $\lambda_i = 4\pi^2\lVert\alpha_i\rVert^2$ für jedes indizierte Gewicht, d.h. die einzelnen Eigenwerte des Flat-Tori-Laplacian.

Wie das Duett von Milnor veranschaulicht, reicht es nicht aus, eine Karte zu haben, die die Längen der Gittergewichte behält, um abzuleiten, dass die Karte in $SO(n,\Reals)$; wir müssen auch wissen, dass die Karte Gittergewichtswinkel behält. Dies ist jedoch eine Folge der in Gleichung (22) entwickelten Formeln:

$$-4\pi^2\bra{\alpha_i}\ket{\alpha_j}e^ie^j = de^i\cdot de^j = 2\pi^2\sum_k (\lVert\alpha_i\rVert^2 + \lVert\alpha_j\rVert^2 - \lVert\alpha_k\rVert^2)M^{i,j,k}e^k = 2\pi^2(\lVert\alpha_i\rVert^2 + \lVert\alpha_j\rVert^2 - \lVert\alpha_i + \alpha_j\rVert^2)e^ie^j\ .$$

Das Schöne an dieser Analyse ist, dass wir bewiesen haben, dass es keine lineare Karte zwischen Gittern gibt, die die Eigenwerte behält, ohne dass die Karte durch eine Riemannsche Isometrie auf dem Tori induziert wird. — als Folge des Satzes, nicht weil die expliziten Berechnungen einfache Polarisationsidentitäten sind.

Dieses repräsentationstheoretische Konto [AK01] entspricht genau der vorherigen Entwicklung von Gitterkongruenz [NRR22] Traditionell verwendet, um Isometrieklassen von flachen Tori zu beschreiben. Tatsächlich ist die Matrix-Transpose einer solchen linearen Karte $B\in SO(n,\Reals)$, wie im vorstehenden Absatz beschrieben, ist die kontravariante Riemannsche Isometrie zwischen den Tori, wie sie durch die Anwendung des Gelfand-Naimark-Segal Repräsentationssatzes während der Nachweis von unseren Satz.

Bestätigungen

Die ursprüngliche Forschung wurde 1995-1996 teilweise durch einen freundlichen James Simons Research Award und die großzügige Unterstützung eines Alfred P. finanziert. Sloan Dissertation Fellowship 1996-1997 an der Universität in Stony Brook.

Der Autor möchte sich auch bei Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri und insbesondere bei Leon Takhtajan für ihre technische Unterstützung und Überprüfung bei der Vorbereitung dieses Manuskripts zur Veröffentlichung bedanken.