Dreifache Produkte von Eigenfunktionen und spektraler Geometrie

Lawsons minimale Oberfläche ω_6,1 stereographisch von S³ auf R³ projiziert

Autor

Joe Schaefer

Abstrakt

Verwendung von elementaren Techniken aus der geometrischen Analyse, partiellen Differentialgleichungen und Abelian $C^*$ Algebren, Wir entdecken einen neuartigen, aber vertrauten, globalen geometrischen Invarianten — nämlich der indizierte Satz von Integralen dreifacher Produkte von Eigenfunktionen des Laplace-Beltrami-Operators, um genau zu charakterisieren, welche isospektralen geschlossenen Riemannschen Verteiler isometrisch sind.

Einführung

Für eine geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$, die ihre Klasse nicht-isometrischer, isospektraler Verteiler kennzeichnet, ist eine Art inverses Problem [DH11] Spektrale Geometrie. Naiv könnte man spekulieren, dass diese Klasse immer leer wäre. Die wissenschaftliche Literatur ist jedoch reich an jahrzehntelangen Konstruktionen bestimmter Gegenbeispiele: ab 1964 mit John Milnors 16-dimensionalen Paar nichtisometrischer, isospektraler flacher Tori. [JM64], und weiter [CS92] zur generischen dimensionalen Charakterisierung von Flat Tori in Alexander Schiemanns Doktorarbeit von 1993 [AS94] — mit einer computergestützten Suche nach dem kritischen $\dim = 3$ Fall. Ein moderner Überblick über die gesamte flache Tori-Geschichte erscheint in [NRR22].

Auf dem Weg waren aufschlussreiche Ableger in anspruchsvollere, nicht-euklidische symmetrische Abdeckräume; Konstruktion solcher isospektralen, nicht-isometrischen “Düsen” mit nicht-trivialen Krümmungstensoren (und deren spektrumbestimmten Euler-Eigenschaften in Dimension 2) [MS67].) Ein Paradebeispiel für diese Bemühungen war Toshikazu Sunadas 1985 [TS85] Erfindung eines universellen Abdeckraumgerüstes, das er dann in der gleichen Arbeit zum Aufbau von hyperbolischen Duetten in den Abmessungen 2 und 3 einsetzte.

Für inhomogene Riemannsche Metriken entdeckte Carolyn Gordon Duette, die nicht einmal lokal isometrisch sind [CG93].

Arbeit wird in vielen verwandten Bereichen fortgesetzt [DH11], wie die Bestimmung topologischer Merkmale der Klasse der isospektralen, nicht-isometrischen Verteiler im Allgemeinen (leer) [ST80], endlich [AS94], starr [GK80], und kompakt [GZ97]) als Teilmenge verschiedener Modulräume von Riemannschen Metriken.

Was wir in diesem Artikel anbieten, ist eine neue Perspektive auf ein bekanntes Werkzeug: indexierte Fourier-Koeffizienten von paarweisen Produkten von Eigenfunktionen als diskrete “algebraische/topologische Invariante” zur Ergänzung des bestehenden, diskreten “analytischen Invarianten”. — das nicht-negative Spektrum des Laplace-Beltrami-Betreibers (im Folgenden Laplacian) auf $ℋ = L^2(M,g)$. Zusammen stellen wir fest, dass das Paar eine “diskrete globale geometrische Darstellung” der Isometrieklassen isospektraler, geschlossener Riemannschen Mannigfaltigkeiten liefert.

Ergebnisse

Symmetrie spielt eine wichtige Rolle in rechnerisch traktierbaren Fällen [TF17] [LS18] [PS94], die in unserem flachen Tori treffend dargestellt ist Beispiel unten. Die Stärke unseres Ansatzes lässt sich jedoch am besten bei Mannigfaltigkeiten mit der geringsten Anzahl von Riemannschen Symmetrien erkennen, was der generische Fall oft damit zusammenfällt, dass die Eigenwerte einzigartig sind (d.h. ohne nichttriviale Multiplikation). In diesem Fall bieten wir Folgendes an:

Die Motivation für das Studium von $\set{M^{i,j,k}}$ wird lose aus der Untersuchung der Rolle des bilinearen Multiplikationsoperators abgeleitet $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ in der Definition einer Vertex Operator Algebra [FBZ04] Eine chirale konforme Feldtheorie. Hier $V$ ist der Vektorraum der Staaten und $V((z))$ ist der Raum der formalen Laurent-Serie in $z$ mit Koeffizienten in $V$. Seit $V$ oft als Hilbert Space mit einer traditionellen Fourier Serie orthonormal Basis ausgestattet, Indexierung $Y$ Verwendung der Fourier-Basiselemente von $V$ ist nur etwas stärker beteiligt als die $M^{i,j,k}$ Fall hier studiert, aber ganz ähnlich im Geist. Ein detaillierter Vergleich ist jedoch für diesen Artikel nicht möglich.

Wenn wir die Karte betrachten

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

In diesem Beitrag wird die Injektivität dieser Karte für geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeiten (bis zur Riemannschen Isometrie in ihrer Domäne) ermittelt. Weitere Ergebnisse, die diese Techniken anwenden, um sein Bild (und umgekehrt) innerhalb ausgewählter Modulräume von Metriken zu beschreiben, beginnen gerade erst [AA25]. Dort greift Anshul Adve Tangentenräume von kompakten, hyperbolischen 2-orbifolds mit denselben Strukturkonstanten aus der Conformal Field Theory rigoros an.

Diese Ergebnisse wurden erstmals 1997 in einem ähnlich betitelten Vortrag des Autors bei MSRI gezeigt, erscheinen aber hier erstmals in veröffentlichter Form.

Vorläufig

Jetzt mit $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ wie oben, für $f \in C^\infty(M)$ und $i \geq 0$ Beachten Sie, dass die Fourier-Koeffizienten

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

seit $f$ ist als schnell konvergierende Fourier Series ($\Delta_M$-spezifische Sobolev-Einbettungen [MT13] [RS75]zusammen mit Weyls asymptotischem Gesetz [HW11], implizieren die Bedingungen in der Summe sind $o(i^{-n})$ gleichmäßig in $x$ [LH68], $\forall n\in\N$Dann sehen wir das für $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, die Fourierkoeffizienten des pointwise Produktes $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ sind

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}$$

und so, kritisch, jedes multivariate Polynom $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (bei reibungslosen Funktionen) Kommt mit beliebigem Spektrum $\Delta$-eigenfunktion orthonormale Basiskarte $\vec{F}$ die bewahrt $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

Und wenn $A\subset M$ ist Borel messbar, dann halten die Ergebnisse oben pointwise für die charakteristische Funktion von $A$ überall außer entlang der Grenze von $A$: wenn $f = f^2$ und $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

und durch Einzigartigkeit haben wir die folgende Identität

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

Dies bedeutet, dass eine solche Basiskarte wie oben charakteristische Funktionen hat (als Mitglieder von $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) zu charakteristischen Funktionen maßhaltig.

Der Sinn dieser Berechnungen ist es, die Tatsache zu betonen, dass $\set{M^{i,j,k}}$ ** kennzeichnet** die harmonische Analyse des pointwise Multiplikationsoperators auf $C^\infty(M)$, die eine dichte Subalgebra der Abelian $C^*$ Algebra $C(M)$nach dem Stein-Weierstrass-Theorem.

Für die rasche Konvergenz dieser oben genannten Beträge $M^{i,j,k}$Beachten Sie, dass Produkte von Eigenfunktionen glatt sind, so dass diese Fourierkoeffizienten wie oben (in jedem Index) abklingen. Weitere Details finden Sie in Emmett Wymans Arbeit im Jahr 2022 mit diesen Koeffizienten, da sie sich auf die Dreiecksungleichheit der Eigenwerte bezieht [EW22].

Hinweis: Wir können immer davon ausgehen

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

wobei $\delta_i$ Das Kronecker-Delta. Seit $vol(M)$ ist ein spektraler Invariant [HW11], diese Informationen sind bereits aus isospektralen Erwägungen verfügbar.

Theoremnachweis

Notwendigkeit, lassen $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ eine Isometrie zwischen geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeiten sein und die Zielorthonormalbasis von Eigenfunktionen auf $L^2(N,h)$ Sei der Rückzug über $F$ der orthonormalen Basis $\set{e^i}$ am $(M,g)$ oben. Seit

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

mit dem Argument der Notwendigkeit, weil $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

Zur Suffizienz betrachten wir nun die lineare, bijektive orthonormale Eigenfunktionsbasiskarte $\vec{F}$ von $C^\infty(M)$ bis $C^\infty(N)$ Beachten Sie, dass aus den Berechnungen in der Vorläufig oben, $\vec{F}$ bewahrt pointwise Produkte für glatte Funktionen (und bewahrt charakteristische Funktionen, wenn erweitert, um $L^2(M,g)$) unter der Prämisse, dass $\set{M^{i,j,k}}$ ist unveränderlich unter dieser Karte.

Lemma

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ bewahrt die einheitliche Norm.

Nachweis von Lemma

Lassen $\set{a_i}$ eine glatte Teilung der Einheit auf $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

So $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (Kronecker-Delta).

durch den dominierten Konvergenzsatz,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

eine charakteristische Funktion des positiven Maßes für jede einzelne Teilmenge $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. Das bedeutet, dass das Lemma für jeden $a_j$, da die limitierende charakteristische Funktion eines Satzes mit positivem Maß erhalten bleibt und daher eine einheitliche Norm 1 aufweist, wie alle $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$, nach Diagramm (5).

Ohne Verlust der Allgemeinheit können wir das für die reibungslose Teilung der Einheit gezeigte Sonderfallergebnis anwenden. $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, wobei $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ hat ein positives Maß, und das Lemma ist voll bewiesen.

Seit $\set {\bar e^i}$ ist auch eine Fourier-Basis für $L^2(M,g)$Aus Gleichung (3) geht hervor, dass $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. Dies bedeutet, dass auf einem dichten Satz von $C(M)$ (und $C(N)$), wir haben festgestellt, $\vec{F}$ als Isomorphismus von Abelian $C^*$ Algebren und somit auf einen Isomorphismus von $C(M)$ und $C(N)$ in derselben Kategorie.

Nun wenden wir das Gelfand-Naimark-Repräsentationstheorem (in kontravarianter Funkform) für unitalen Abelian an $C^*$ Algebras [JC19] um diesen Isomorphismus durch einen Homöomorphismus darzustellen $F$ zwischen $N$ und $M$. Da es sich bei glatten Funktionen um ein Bijektiv handelt, muss es auch glatt sein.

Als dieser jetzt Diffeomorphismus $F$ Eigenwerte und Eigenfunktionen (durch Hypothese auf $\vec{F}(f) = f\circ F$), es muss den Laplacian auf glatten Funktionen erhalten. Daher müssen auch die Hauptsymbole dieser elliptischen Operatoren beibehalten werden. [MT13]. Die Hauptsymbole des Laplacian sind einfach ein weiteres Mittel, um die Riemannsche Metrik auf den betreffenden Mannigfaltigkeiten auszudrücken.

Damit ist der Nachweis des Theorems abgeschlossen.

Diskussion der Vermutung

Mit $\set{M_0^{i,j,k}}$ und $\set{M_1^{i,j,k}}$ die zwei Dreifachproduktsätze für die Basen darstellen $\set{e_0^i}$ und $\set{e_1^i}$, lassen $z_i \in \set{-1,1}$ Sei der $\Z_2^\infty$ Aktion auf solche $\R$-Bewertete orthonormale Basis $\set{e_1^i}$. Daher müssen wir wählen $z_i$ so dass $\set{z_ie_1^i}$ Erträge $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$.

Wir beobachten notwendigerweise, dass

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.$$

Wir können hoffen, dass jeder $k$, $M_0^{i,i,k}$ kann nicht identisch sein $0$ für alle $i$. Auf den ersten Blick scheint dies nicht unmöglich, wenn $M$ hat eine “even/odd” Symmetriegruppe und $e^k$ ist seltsam, aber die Hoffnung gilt für den flachen Tori-Fall unten (der die einheitliche Eigenwertvielfalt = 1 Bedingung nicht erfüllt). Die Formel (11) für $z_k$ erfordert beide $i$-Unabhängigkeit und Suffizienz zur Erstellung der Basiskarte $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ Konservierungen $\set{M_0^{i,j,k}}$. All diese Aspekte bleiben unbekannt.

Lassen Sie uns jedoch einige relevante Identitäten berechnen, damit einige unerschrockene zukünftige Forscher diese Vermutung untersuchen können:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k}\\ \text{Now by polarization}\\ M^{i,j,k} &= \frac{\bra{(e^i+e^j)^2 - (e^i - e^j)^2}\ket{e^k}}{4} = \frac{M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k}}{2},\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\ \\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ df\cdot df = \sum_kQ_k(f,f)e^k &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)M^{i,j,k}e^k\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)(M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k})e^k\\ = g^2 &= \sum_{i,j,k}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k}e^k \implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

Anmerkung: für das eindimensionale flache Tori-Gehäuse unten, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ seit $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$ ist eine echte Ableitung.

Beispiel

Lassen $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ ein indexierter Rang sein $n$ Gitter von Lie Algebra Gewichten für die Quotientenraumdarstellung $\frak{g}=\Reals^n$ als invariante (d.h. konstante) Vektorfelder auf sich selbst, wenn $\R^n$ wird auch als $\frak{g}$’s zugehörige Lie-Gruppe über einen Torus definiert durch $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. Diese Gewichte definieren integrierbare Aufzüge von 1-Formen über den Torus, die sich in lineare Funktionen integrieren $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ als seine Lügengruppe (die den Torus bedeckt). Diese linearen Funktionen können dann gleichmäßig neu skaliert werden (durch $2\pi \sqrt{-1}$) und exponentiert, um multiplikative Zeichen zu bilden, die zu einer orthonormalen Basis von $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, mit Lebesgue (Haar) Maßnahme $dx$.

Darüber hinaus diagonalisiert diese Basis gleichzeitig den Laplacian des flachen Torus weil der Laplacian das Bild eines symmetrischen, negativ-definitiven quadratischen Casimir-Elements unter dieser (konstanten Koeffizienten linearen Differentialoperator) Quotientenraumdarstellung der universellen Hüllalgebra ist. Daher sind seine Eigenwerte in konstantem Verhältnis (von $4\pi^2$) zum Casimir-Element-bestimmten-Längen-Quadrat des Gewichts jedes Charakters im Gitter.

Wir sehen derzeit die obige Basis

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

als unsere theoretisch anwendbare Fourier-Basis von orthonormalen (multiplikativen) Eigenfunktionen (dieser Quotientendarstellung des (negativen) euklidischen Casimir-Elements), die direkt dem $\set{\lambda_i}$. Nach den Hypothesen unseres Theorems müssen wir $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (mit der euklidischen Norm über die Gewichte).

Jetzt können Sie berechnen

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Da diese Gleichung unter linearen Transformationen auf dem Gewichtsgitter nur unveränderlich ist $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$, nur eine $L^2$ orthonormale Eigenfunktions-Basiskarte die aus einer volumenerhaltenden invertierbaren linearen Karte zwischen zwei solchen indizierten, Rang hervorgerufen wird $n$ Gewichtsgitter halten den “algebraischen/topologischen” indexierten Datensatz $\set{M^{i,j,k}}$ invariant.

Um unsere SatzEs ist wichtig, dass eine solche lineare Karte $B$ sein $B\in SO(n,\Reals)$ auf dem Gewichtsgitter, weil die induzierte $L^2$ Eigenfunktion Basiskarte

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

müssen auch die “analytischen” Invarianten erhalten — die Casimir-Element-induzierte Figur $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ für jedes indizierte Gewicht, d.h. die einzelnen Eigenwerte des Laplacian des Flat-Tori.

Dieses darstellungstheoretische Konto [AK01] entspricht genau der vorherigen Entwicklung von Gitterkongruenz [NRR22] Traditionell verwendet, um Isometrieklassen von flachen Tori zu beschreiben. Tatsächlich ist die Matrix-Transpose einer solchen linearen Karte $B\in SO(n,\Reals)$, wie im vorherigen Absatz beschrieben, ist die kontravariante Riemannsche Isometrie zwischen den Tori, wie sie durch Anwendung des Gelfand-Naimark-Darstellungstheorems während der Nachweis von unserer Satz.

Anzahl Bestätigungen

Die ursprüngliche Forschung wurde zum Teil durch einen gütigen James Simons Research Award in den Jahren 1995-1996 und die großzügige Unterstützung eines Alfred P. finanziert. Sloan Dissertation Fellowship in 1996-1997 an der Universität in Stony Brook.

Der Autor dankt auch Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri und insbesondere Leon Takhtajan für ihre technische Unterstützung und Überprüfung bei der Erstellung dieses Manuskripts zur Veröffentlichung.