Triple produit des fonctions propres et de la géométrie spectrale

Surface minimale de Lawson ξ_6,1 projetée stéréographiquement de S³ à R³

Auteur

Joe Schaefer

Résumé

Utilisation des techniques élémentaires de l’analyse géométrique, des équations différentielles partielles et de l’abélien $C^*$ Algèbre, Nous découvrons un roman, mais familier, global géométrique invariant — à savoir l’ensemble indexé d’intégrales de produits triples de fonctions propres de l’opérateur Laplace-Beltrami, pour caractériser précisément quels collecteurs riemanniens fermés isospectraux sont isométriques.

Présentation

Pour un collecteur riemannien fermé $(M,g)$, la caractérisation de sa classe de collecteurs isospectraux non isométriques est un type de problème inverse [DH11] en géométrie spectrale. Naïvement, on pourrait supposer que cette classe serait toujours vide. Cependant, la littérature académique est riche avec des constructions anciennes de plusieurs décennies d’appariements spécifiques de contre-exemples : à partir de 1964 avec la paire 16 dimensions de John Milnor de tori plat non isométrique, isospectral [JM64]et continuer [CS92] vers la caractérisation dimensionnelle générique des tori plats dans la thèse de doctorat d’Alexander Schiemann en 1993 [AS94] — complétée par une recherche assistée par ordinateur pour la critique $\dim = 3$ cas. Une étude moderne de l’histoire complète des tori plats apparaît dans [NRR22].

Le long du chemin ont été des ramifications perspicaces dans des espaces de couverture symétriques plus sophistiqués et non euclidiens ; la construction de tels “duets” isospectraux et non isométriques impliquant des tenseurs de courbure non triviaux (et leurs caractéristiques d’Euler déterminées par le spectre dans la dimension 2 [MS67].) Un excellent exemple de cet effort a été Toshikazu Sunada de 1985 [TS85] l’invention d’un cadre spatial de couverture à usage général, qu’il a ensuite déployé dans le même travail pour construire des duos hyperboliques dans les dimensions 2 et 3.

Pour les métriques riemanniennes inhomogènes, Carolyn Gordon a découvert des duos qui ne sont même pas isométriques localement [CG93].

Les travaux se poursuivent dans de nombreux domaines connexes [DH11], comme la détermination des caractéristiques topologiques de la classe des collecteurs isospectraux, non isométriques en général (vide) [ST80], fini [AS94]rigide [GK80], et compact [GZ97]) en tant que sous-ensemble de différents espaces de modules des métriques riemanniennes.

Ce que nous proposons dans cet article est une nouvelle perspective sur un outil familier : les coefficients de Fourier indexés de produits par paires de fonctions propres comme un “invariant algébrique/topologique” discret pour compléter l’”invariant analytique” existant et discret. — le spectre non négatif de l’opérateur Laplace-Beltrami (ci-après dénommé le Laplacien) sur $ℋ = L^2(M,g)$. Ensemble, nous observons que la paire fournit une “représentation géométrique globale discrète” des classes d’isométrie des collecteurs riemanniens isospectraux fermés.

résultats

La symétrie joue un rôle important dans les cas pouvant être traités par calcul [TF17] [LS18] [PS94], qui est bien illustré dans notre tori plat Exemple ci-dessous. Cependant, la force de notre approche est peut-être mieux mise en évidence dans le cas des manifestes avec le plus petit nombre de symétries riemanniennes, qui est le cas générique coïncidant souvent avec les valeurs propres étant unique (c’est-à-dire sans multiplicité non triviale). Dans ce cas, nous offrons ce qui suit

La motivation pour l’étude de $\set{M^{i,j,k}}$ est vaguement dérivé de l’étude du rôle de l’ opérateur de multiplication bilinéaire $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ dans la définition d’une algèbre d’opérateur Vertex [FBZ04] associé à une théorie de champ conformationnel chiral. Ici $V$ est l’espace vectoriel des États et $V((z))$ est l’espace de la série officielle Laurent en $z$ avec des coefficients en $V$. Depuis $V$ est souvent équipé comme un espace Hilbert avec une base orthonormale traditionnelle de la série Fourier, indexation $Y$ en utilisant les éléments de base de Fourier de $V$ est légèrement plus impliqué que $M^{i,j,k}$ cas étudié ici, mais assez similaire dans l’esprit. Cependant, une comparaison détaillée est hors de portée pour cet article.

Si nous considérons la carte

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

cet article établit l’injectivité de cette carte pour les collecteurs riemanniens fermés (jusqu’à l’isométrie riemannienne dans son domaine). D’autres résultats qui appliquent ces techniques pour décrire son image (et inversement), dans des espaces de mesure sélectionnés, ne font que commencer [AA25]. Là, Anshul Adve s’attaque rigoureusement aux espaces tangents d’unités de 2 orbitales compactes et hyperboliques en utilisant ces mêmes constantes de structure de la théorie de champ conforme.

Ces résultats ont été démontrés pour la première fois au cours d’une présentation similaire de l’auteur à l’ MSRI en 1997, mais ils apparaissent ici sous forme publiée pour la première fois.

préliminaires

Maintenant avec $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ comme ci-dessus, pour $f \in C^\infty(M)$ et $i \geq 0$ Notez que les quatre coefficients

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

depuis $f$ est unique en son genre en raison de sa convergence rapide Série Fourier ($\Delta_M$-spécifique Sobolev Embedings [MT13] [RS75]Avec la loi asymptotique de Weyl [HW11]Les termes de la somme sont $o(i^{-n})$ * uniformément dans $x$* [LH68], $\forall n\in\N$.) Ensuite, nous voyons que $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, les coefficients de Fourier du produit point par point $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ sont

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}$$

et donc, critiquement, tout polynôme multivarié $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (sur les fonctions lisses) commandes avec toute conservation du spectre $\Delta$-carte de base orthonormée à fonction propre $\vec{F}$ qui préserve $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

En outre si $A\subset M$ est mesurable Borel, puis les résultats ci-dessus tiennent point pour la fonction caractéristique de $A$ partout sauf le long de la frontière de $A$ : if $f = f^2$ et $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

et par l’unicité, nous avons l’identité suivante

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

Cela implique une telle carte de base comme ci-dessus porte des fonctions caractéristiques (en tant que membres de $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) aux fonctions caractéristiques de manière à préserver la mesure.

Le but de ces calculs est de souligner le fait que $\set{M^{i,j,k}}$ caractère l’analyse harmonique de l’opérateur de multiplication par points sur $C^\infty(M)$, qui est une sous-algèbre dense de l’Abelian $C^*$ algèbre $C(M)$par le théorème de Stone-Weierstrass.

Pour la convergence rapide de ces sommes ci-dessus impliquant $M^{i,j,k}$, notez que les produits des fonctions propres sont lisses, de sorte que ces coefficients de Fourier se désintègrent comme précédemment (dans chaque indice). Pour plus de détails, voir le travail d’Emmett Wyman en 2022 avec ces coefficients en ce qui concerne l’inégalité triangulaire sur les valeurs propres [EW22].

Remarque : nous pouvons toujours supposer

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

où $\delta_i$ est le delta de Kronecker. Depuis $vol(M)$ est un invariant spectral [HW11], cette information est déjà disponible à partir de considérations d’isospectralité.

Preuve de théorème

Par nécessité, laissez $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ être une isométrie entre des collecteurs riemanniens fermés, et laisser la base orthonormale cible des fonctions propres sur $L^2(N,h)$ être le pull-back via $F$ de la base orthonormale $\set{e^i}$ le $(M,g)$ ci-dessus. Depuis

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

Nous en avons fini avec l’argument de la nécessité parce que $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

Pour la suffisance, nous considérons maintenant la carte linéaire, bijective orthonormale de base propre fonction $\vec{F}$ de $C^\infty(M)$ à $C^\infty(N)$ Notez que les calculs dans la Préliminaires au-dessus, $\vec{F}$ conserve des produits ponctuels pour des fonctions lisses (et conserve des fonctions caractéristiques lorsqu’elles sont étendues à $L^2(M,g)$) par la prémisse que $\set{M^{i,j,k}}$ Il est invariant sous cette carte.

Lemme

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ préserve la norme uniforme.

Preuve de Lemme

Laissez $\set{a_i}$ être une partition harmonieuse de l’unité sur $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

Ainsi $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (Delta de Couronne).

Par le théorème de convergence dominée,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

qui est une fonction caractéristique de mesure positive sur chaque sous-ensemble disjoint $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. Cela signifie que le Lemma est prouvé pour chaque $a_j$, étant donné que la fonction caractéristique limitative d’un ensemble avec mesure positive est préservée, et a donc une norme uniforme 1, comme tous les $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$, par diagramme (5).

Sans perte de généralité, nous pouvons appliquer le résultat de cas spécial indiqué pour la partition harmonieuse de l’unité $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, où $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ a une mesure positive, et le Lemme est prouvé dans son intégralité.

Depuis $\set {\bar e^i}$ est également une base de Fourier pour $L^2(M,g)$, il ressort clairement de l’équation (3) que $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. Cela signifie que sur un ensemble dense de $C(M)$ (et $C(N)$), nous avons établi $\vec{F}$ comme isomorphisme d’Abelian $C^*$ algébres, et peut donc être étendu à un isomorphisme de $C(M)$ et $C(N)$ dans la même catégorie.

Maintenant, nous appliquons le théorème de représentation de Gelfand-Naimark (sous forme de foncteur contravariant) pour Abelian unital $C^*$ algèbres [JC19] pour représenter cet isomorphisme par un homéomorphisme $F$ entre $N$ et $M$. Comme il est bijectif sur les fonctions lisses, il doit également être lisse.

Comme ce diffeomorphisme $F$ préserve les valeurs propres et les fonctions propres (par hypothèse sur $\vec{F}(f) = f\circ F$), il doit préserver le Laplacien sur des fonctions lisses. Il doit donc aussi préserver les symboles principaux de ces mêmes opérateurs elliptiques [MT13]. Les principaux symboles du Laplacien sont simplement un autre moyen d’exprimer la métrique riemannienne sur les manifestes en question.

Ceci complète la preuve du théorème.

Discussion sur la conjecture

Avec $\set{M_0^{i,j,k}}$ et $\set{M_1^{i,j,k}}$ représentant les deux ensembles triple produit pour les bases $\set{e_0^i}$ et $\set{e_1^i}$, laissez $z_i \in \set{-1,1}$ être le $\Z_2^\infty$ action sur une telle $\R$-base orthonormée évaluée $\set{e_1^i}$. Nous devons donc choisir $z_i$ ainsi que $\set{z_ie_1^i}$ rendements $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$.

Nous observons nécessairement que

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.$$

Nous pouvons espérer que pour tout $k$, $M_0^{i,i,k}$ ne peut pas être identique $0$ pour tous $i$. Au début, cela ne semble pas impossible si $M$ a un groupe de symétrie “pair/impair”, et $e^k$ est étrange, mais l’espoir est vrai pour le cas flat-tori ci-dessous (qui ne satisfait pas à la condition uniforme de la multiplicité de la valeur propre = 1). La formule (11) pour $z_k$ nécessite les deux $i$- indépendance, et suffisance, pour établir la carte de base $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ Préserve $\set{M_0^{i,j,k}}$. Tous ces aspects restent inconnus.

Néanmoins, calculons certaines identités pertinentes afin que certains futurs chercheurs intrépides puissent creuser dans cette conjecture :

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k}\\ \text{Now by polarization}\\ M^{i,j,k} &= \frac{\bra{(e^i+e^j)^2 - (e^i - e^j)^2}\ket{e^k}}{4} = \frac{M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k}}{2},\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\ \\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ df\cdot df = \sum_kQ_k(f,f)e^k &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)M^{i,j,k}e^k\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)(M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k})e^k\\ = g^2 &= \sum_{i,j,k}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k}e^k \implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

Note : pour le cas de flat-tori unidimensionnel ci-dessous, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ depuis $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$ C’est une vraie dérivation.

Exemple

Laissez $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ être indexé, classer $n$ treillis de poids d’algèbre de Lie pour la représentation spatiale quotient de $\frak{g}=\Reals^n$ comme champs vectoriels invariants de traduction (c’est-à-dire constants) sur lui-même, lorsque $\R^n$ est également considéré comme $\frak{g}$Groupe de Lie associé sur un tore défini par $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. Ces poids définissent des ascenseurs intégrables de 1 forme sur le tore qui s’intègrent aux fonctions linéaires $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ comme son groupe de Lie (couvrant le tore). Ces fonctions linéaires peuvent alors être uniformément réparées (par $2\pi \sqrt{-1}$) et exponenti pour former des caractères multiplicatifs qui descendent pour former une base orthonormale de $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, avec mesure Lebesgue (Haar) $dx$.

De plus, cette base diagonalise simultanément le Laplacien du tore plat parce que le Laplacien est l’image d’un élément quadratique Casimir symétrique et défini négatif sous cette représentation spatiale du quotient (opérateur différentiel linéaire à coefficient constant) de l’algèbre enveloppante universelle. Par conséquent, ses valeurs propres sont en proportion constante (de $4\pi^2$) au carré de longueur déterminée par l’élément Casimir du poids de chaque personnage dans le treillis.

Nous considérons actuellement la base ci-dessus

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

être notre base de Fourier théorique-applicable des fonctions propres orthonormales (caractère multiplicatif) (de cette représentation quotient de l’élément Casimir (négatif) euclidien) correspondant directement à $\set{\lambda_i}$. Par les hypothèses de notre théorème, nous devons avoir $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (avec la norme euclidienne sur les poids).

Maintenant, nous pouvons calculer

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Etant donné que cette équation est uniquement invariante sous des transformations linéaires sur le réseau de poids $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$, uniquement un $L^2$ carte de base orthonormée de fonction propre qui est induite à partir d’une carte linéaire inversible préservant le volume entre deux tels indexés, rang $n$ les réseaux de poids conserveront l’ensemble de données indexé “algébrique/topologique” $\set{M^{i,j,k}}$ invariant.

Cependant, afin d’appliquer notre Théorème, il est essentiel qu’une telle carte linéaire $B$ être $B\in SO(n,\Reals)$ sur le réseau de poids, parce que la $L^2$ carte de base propre

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

doit également préserver les invariants “analytiques” — la figure induite par Casimir-element $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ pour chaque poids indexé, c’est-à-dire les valeurs propres individuelles du Laplacien de Flat-tori.

Ce compte de représentation théorique [AK01] est exactement l’équivalent du développement antérieur de la congruence du réseau * [NRR22] traditionnellement utilisé pour délimiter des classes d’isométrie de tori plat. En effet, la matrice transpose une telle carte linéaire $B\in SO(n,\Reals)$, comme décrit dans le paragraphe précédent, est la contrevariante isométrie riemannienne entre les tori, comme prévu par l’application du théorème de représentation duelfand-Naimark au cours de la Preuve de notre Théorème.

Remerciements

La recherche originale a été financée en partie par un gracieux James Simons Research Award en 1995-1996, et le soutien généreux d’un Alfred P. Bourse Sloan Dissertation en 1996-1997 à l’Université de Stony Brook.

L’auteur tient également à remercier Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri, et surtout Leon Takhtajan pour leur assistance technique et leur examen dans la préparation de ce manuscrit pour publication.