動力學、古典與量子

差動測距儀’取向

Prerequisites:

1. 熟悉斯托克斯’ 差動式外側張量代數理論$n$立體歧管$M$.

2. 暴露於基本里曼尼亞幾何，當地座標間諜活動，包括愛因斯坦 /PAIN 表示法。

3. 對包括布朗運動和馬丁堡理論的平滑和隨機動力系統感興趣。

傳統動力學

漢密爾頓 - 賈科比 / 拉格朗日正式主義

矩形束機制

定義順暢的 Hamiltonian $\mathcal H:T_q^{*}M\oplus\Reals\rightarrow\Reals$ 作為$\mathcal H(p,q,t)$.

開始$\theta := p\ dq - \mathcal H(p,q,t)\ dt\in T^*(T^*M\oplus\Reals)$.

定義$\mathcal S_\mathcal H(\gamma) := \int_\gamma \theta$ 平滑$\gamma:[0,t]\rightarrow T^{*}M\oplus\Reals$.

如果兩條此類曲線$\gamma_1, \gamma_2$ 具有完全相同的邊界端點，請依反向組合定義 **減法 **，因此$\gamma_1 - \gamma_2$ 是周遊所定義的封閉迴圈$\gamma_1$ 在正向方向，以及$\gamma_2$ 反轉。開始$S$ 是受此封閉迴路約束的任何二維曲面：$\gamma_1 - \gamma_2 = \partial S$。所以

$$\begin{aligned} \mathcal S_\mathcal H(\gamma_1) - \mathcal S_\mathcal H(\gamma_2) &= \int_{\gamma_1 - \gamma_2}\theta \\ &= \int_{\partial S}\theta\\ &= \int_S d\theta \end{aligned}$$

由 Stokes’ 定理

無論此曲面是否為何$S$ 實際存在，針對動作$\mathcal S_\mathcal H$ 僅視以下項目的端點而定：$\gamma$，我們一定要有第一個訂單條件，$d\theta$ 消失於$\gamma$.

開始$\omega_\mathcal H := d\theta = dp\wedge dq - d\mathcal H \wedge dt\in\bigwedge^2T^*(T^*M\oplus\Reals)$.

$$\begin{aligned} \omega_\mathcal H|_\gamma &= \dot{p}\ dt\wedge dq + \dot{q}\ dp\wedge dt - \frac{\partial \mathcal H}{\partial p}dp\wedge dt - \frac{\partial \mathcal H}{\partial q}dq\wedge dt \\ &= (-\dot{p}_i - \frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i}) dq^i \wedge dt+ (\dot{q}^i - \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i}) dp_i\wedge dt \end{aligned}$$

$\therefore \omega_\mathcal H|_\gamma = 0 \iff \gamma(t)$ 滿足 Hamilton-Jacobi 方程式

$$\begin{aligned} \dot p &= -\frac{\partial \mathcal H}{\partial q} \\ \dot q &= \ \ \ \frac{\partial \mathcal H}{\partial p} \end{aligned}$$

$\iff \gamma:[0,t]\rightarrow T^*M\oplus\R$ 是「動作」的 固定曲線 $\mathcal S_\mathcal H(\gamma)=\int_\gamma \theta$.

Legendre 轉換

時間$\mathcal H$ 凸入$p$, $\forall \dot{q} \in T_q M\ \exists !\ p=p_{max}(\dot q)$ 滿意$\dot{q} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial p}(p_{max},q,t)$。這定義 (絕對) 圖例轉換$\mathcal L$ 總共$\mathcal H$:

$$\begin{aligned} \mathcal{L}(\dot q,q,t) &:= \max_p p\dot{q} - \mathcal H(p,q,t) \\&= p_{max}(\dot q)\dot q - \mathcal H(p_{max}(\dot q),q,t) \\ \mathcal S_\mathcal{L}(\pi(\gamma)) &= \int_{\pi(\gamma)} \mathcal{L}(\dot q, q, t)\ dt \end{aligned}$$

是 Action* 的 Lagrangian 表示法，其中\pi: T^M\oplus\Reals \rightarrow M\oplus\Reals 是 (忘記) 光纖投影運算子$(p,q,t)\mapsto (q,t)$.

最少動作的原則

「最少行動原則」只聲稱「自然的傳統動力學」傾向於選擇最小化的軌跡$\mathcal S_\mathcal{L}$.

一般而言，此宣告為 false。但設定固定曲線的$\mathcal S_\mathcal H$ 一律有興趣尋找，而且它們與離開的曲線相同$\mathcal S_\mathcal{L}$ 固定。本地 **這些固定軌跡的差分方程式相同 **，依此類推$\mathcal S_\mathcal H = \mathcal S_\mathcal{L}$ 在那些曲線上。在拉格朗吉安配方中，這些可變方程式稱為 歐拉格朗吉方程式 $(d\mathcal{L}\wedge dt)|_{\pi(\gamma)} = 0:$

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial q} = \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q}$$

這是 ODE 的第二階$t \mapsto q(t)$，所以有$2\dim M+1$ 初始條件$(\dot q_0, q_0, t_0)$，如同對稱的漢密爾頓 - 賈科比方程式。透過 Picard-Lindelöf Theorem，這些方程式在被框架為初始價值問題時具有當地獨特的解決方案。

然而，有趣的層面$\mathcal S_\mathcal L(\pi\circ\gamma)$ 當我們可以唯一定義時顯示自己$\pi\circ\gamma$ 根據端點隱含$(q_0, t_0)$ 與$(q_f, t_f)$，因此我們需要將此邊界值問題轉換成初始值問題 *。換句話說，我們必須解決一個$\dot q_0$ 將達到目標$(q_f, t_f)$ (唯一？) 固定曲線$\pi\circ\gamma$ 可解決尤拉 - 拉格朗日方程式。以這種方式，我們可以考慮$\mathcal S = \mathcal S(q_0,t_0, q_f, t_f)$ 作為 **轉換函數 **，假設它不依賴選擇固定函數$\pi\circ\gamma$，和這樣的$\gamma$ 實際上存在於連接轉換點配對的平滑曲線解決方案空間中。在本地端，這是隱含函數定理的應用，但全域上可能會有拓樸障礙物來建構任何此類物件$\gamma$.

開始’往回一步並定義更簡單的內容：唯一的”水平” 升降$\mathcal A=\dot q\oplus \pi^{-1}:T_{q} M\oplus \Reals \rightarrow T_{q}^{*}M\oplus \Reals$ 依指定

$$(\dot q, q,t)\mapsto (p_{max}(\dot q), q, t)\ .$$

現在我們有 任何 “預計” 平滑曲線 (不只是固定曲線) $\tilde\gamma:[0,t]\rightarrow M\oplus\R$:

$$\begin{aligned} \mathcal S_\mathcal{L}(\tilde\gamma) &= \mathcal S_\mathcal H(\mathcal A\circ \tilde\gamma) \ . \end{aligned}$$

Note: 凸性限制於$\mathcal H$ 確保有獨特的$p_{max}(0)$ 在任何此類固定曲線 wiith 上$\dot q = 0$。這是固定曲線的淨值 。$\gamma$ 不具有 光纖內所含的持續移動 *$\pi^{-1}$，所以沒有失去一般性，我們只考慮非固定性$\tilde \gamma$ 將它們提升為$\mathcal A$ 做為適合的曲線類別到”整合” 稍後再開啟。

二次形式魔術，第 1 部分

時間$\mathcal H(p,q,t)$’秒鐘$p$-dependence (又稱 Kinetic Energy 組件) 是非生成的對稱二次形式，我們可能將其表示為虛擬 - 里曼尼亞度量$[g^{ij}]: M\oplus\Reals\rightarrow TM\odot TM$ 反相$[g_{ij}]: M\oplus\Reals\rightarrow T^{*}M\odot T^{*}M$。本端座標中的「圖例轉換」與其相關，如下所示：

$$\begin{aligned} \mathcal H^\mathcal V(p,q,t) &= \frac{1}{2}\ g^{ij}(q,t)\ p_ip_j + \mathcal V(q,t) \implies\\ \mathcal{L}^\mathcal V(q,\dot q, t) &= \frac{1}{2}\ g_{ij}(q,t)\dot{q}^i\dot{q}^j - \mathcal V(q,t)\ . \end{aligned}$$

Levi-Civita 連線 Name’s Christoffel 符號 - $g$ 由 Koszul 公式定義

$$\begin{aligned} \Gamma^k_{ij} &= \frac{1}{2} g^{ka}(\partial_i g_{ja} + \partial_j g_{ia} - \partial_a g_{ij})\\ \Gamma_k^{ij} &= \frac{1}{2}g_{ka}(\partial^ig^{ja} + \partial^j g^{ia} - \partial^ag^{ij}). \end{aligned}$$

取代為$\partial_i := \frac{\partial}{\partial q^i}$ 與$\partial^i := g^{ij}\partial_j$。相關聯協變量金融衍生工具$\nabla$ 本地座標為

$$\begin{aligned} \nabla_{a^i\partial_i} b^j\partial_j &=d b^j(a^i\partial_i)\partial_j + \Gamma_{ij}^k a^ib ^j\partial_k\ ,\text{ or}\\ \nabla_{\partial_i}\partial_j &= \Gamma_{ij}^k\partial_k \text{ , and contravariantly}\\ \nabla_{\partial^i}\partial^j &= \Gamma^{ij}_k\partial^k \text{, so} \\ \nabla &= d + \Gamma \end{aligned}$$

所有張數欄位。特別$\Gamma$ 對稱輸入$(i, j)$；和$\nabla [g_{ij}] = \nabla [g^{ij}] = 0$.

無論如何，Riemann-Christoffel Curvature Tensor 都是

$$\mathcal R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }$$

拉格朗日乘數$\mathcal H$ 作為無限翻譯$\mathcal L$

此外，如果$\mathcal H = \mathcal H_B$ 有額外的速度欄位元件$\mathcal B(q,t)\in T_qM$，即線性函數開啟$p\in T^{*}_qM$，我們可以 完成方形 並重新計算$\mathcal{L}_B$ 就下列項目而言$\mathcal L$:

$$\begin{aligned} \mathcal H_\mathcal B(p,q,t) &= \mathcal H + \mathcal Bp \implies\\ \mathcal L_\mathcal B(\dot q,q,t) &=\max_p p(\dot q - \mathcal B) - \mathcal H\\ &\ \begin{equation} \tag{A}= \mathcal{L}(q,\dot{q}-\mathcal B, t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{equation}\\ \mathcal H_\mathcal B &= \frac{1}{2}\ g^{ij}p_ip_j + p\mathcal B + \mathcal V \implies\\ \mathcal L_\mathcal B &\ \begin{equation}\tag{B}= \mathcal L - g_{ij}\mathcal B^i\dot q^j + \frac{1}{2}\ g_{ij}\mathcal B^i\mathcal B^j\ \ \ \ \ \ \end{equation} \end{aligned}$$

在這裡，我們看到 Lagrange 乘數間的連線$\mathcal B$ 開啟$\mathcal H$ 與其對等表示式為無限漂移開啟$\mathcal L$。我們將情境化$\mathcal B$ 在其餘的各種實用方法中。** 兩個表示式$(A)$ 與$(B)$ 針對$\mathcal{L}_\mathcal B$ 在方程式中 重要 **。

水平提升$\mathcal A$

開始日期$\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i}(p,q,t) = g^{ij}p_j \implies \frac{\partial^2\mathcal H}{\partial p_i \partial p_j} = g^{ij}$，我們可以明確地計算水平升降機

$$\begin{aligned} {p_{max}}_i &= g_{ij}\dot q^j = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}\implies \\ \mathcal A(\dot q, q, t) &= ([g] \dot q, q, t)\ . \end{aligned}$$

時間$g^{ij}$ 是正確定的，所以是其反的，意味著以下的動能成分：$\mathcal S_\mathcal L(\tilde\gamma) = \mathcal S_\mathcal H(\mathcal A\circ\tilde\gamma)$ 本地 最小化 涉及真實里曼尼亞指標的固定曲線。

依方程式 (12) $(A), (B)$，Euler-Lagrange 方程式$\mathcal L^\mathcal V_\mathcal B$ 成為：

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\partial_i g_{jk}(\dot q^j-\mathcal B^j)(\dot q^k -\mathcal B^k)-\partial_i \mathcal V &= \frac{d}{dt}g_{ij}(q,t)(\dot q^j - \mathcal B^j) = {\dot p^\mathcal B_{max}}_i\ ,\\ - \partial^i \mathcal V &= \frac{1}{2} (\partial^i g_{jk})(\dot q^j-\mathcal B^j) (\dot q^k-\mathcal B^k) - g_{jk}(\partial^i\mathcal B^j)(\dot q^k - \mathcal B^k) + \frac{d}{dt} (\dot q^i - B^i) + g^{ij}\frac{\partial g_{jk}}{\partial t}(\dot q^k -\mathcal B^k)\\ -\nabla\mathcal V(q,t)&\begin{equation}\tag{C}=\nabla_{\dot q-\mathcal B} (\dot q - \mathcal B) -\partial_t \mathcal B +(\partial_t [\log g])(\dot q-\mathcal B) \ .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{equation} \end{aligned}$$

這些正好是 牛頓’s 動法 $F/m = a$ 取代為$\partial_t := \frac{\partial}{\partial t}$ 受限於潛在能量$\mathcal V$ 與速度場$\mathcal B$，在依時間設定中。

症狀幾何

交感性歧管$N$ 是相切組合的縮減$T^*(M\oplus \Reals)$，具有已關閉且非產生的 2 表單$\omega \in \bigwedge^2T^*N$. $N$此類異形物保留$\omega$.

需要$d\omega = 0$ 是潛在的本機整合性條件$\theta$ 滿意$d\theta = \omega$，但是可能有拓樸限制在$\omega$’s 全球可整合性。

我們關心的動態是行動$\mathcal S(\gamma) = \int_\gamma \theta$，所以我們專注於本文中的無形組合。此處適用$\theta$ 就函數而言是相當重要的分類$\mathcal H$ 開啟$N$。當然，一隻威克龍$\theta$ 通用封面$N$ 有時可能會因其 phase 的整合性條件而感到不適 (亦即，認為$\theta$ 如在複雜行組合中具有值，$N$，並專注於其虛構部分，以提供一致的價值$e^\mathcal S$ 下降至$N$.

自然的徵狀體積形式$\omega^n/n!$

帕森支架及小隊

量子動力學

如果 Classical Dynamics 是關於尋找符合「最少動作原則」的曲線，Quantum Dynamics 是關於「動作」的指數，因為我們整合了整個類別 (通常) 非固定曲線的價值，並具有適當的限制概念”無限尺寸黎巴嫩測量” $\mathcal D_{dt}\tilde \gamma$,

在現實中，只有高斯”耦合”

$$\int_{\set{\tilde \gamma}} e^{-\mathcal S_{\mathcal L_\mathcal B^{\mathcal V}}(\gamma)}\mathcal D_{dt}\tilde \gamma$$

需要解釋為 a (複雜值) 測量$\set{\tilde \gamma}$ 但作為一系列日益複雜的例子，這種建築將是我們未來的重點。無論哪個設定開始，都會清楚明白其實際值$\mathcal S$ 將在這些曲線上$\infty$，以 取消$\infty$ 的”分時標準化程式” 固有於$dt$ 元素$\mathcal D_{dt}\tilde \gamma$。建構影響近似值收斂的近似值時，涉及多種選擇，但我們將聚焦於真正可計算案例的幾何不變之處，以消除它們。

動作的價值

不要在上面放置太細的點，但是「古典力學」將「動作」定義為結束的方法。絕不關心自己對其實際價值 平均 的理解。我們只用它來建構必備的微分方程式，以便我們可以考慮$\mathcal S$ 作為其端點透過 stationary curves 之間的轉換函數。固定要求使我們能夠解釋$\mathcal S$ 作為路徑不變的表示式，但我們從不關心其實際值。這就是為什麼$\theta \mapsto \theta + df$ 對某些$f \in C^\infty(T^*M)$ 被認為是量表不變的轉換：運動的古典方程式維持不變$f$.

我們做在量子動力！

自然 (共變量) 路徑整數量化

完成「黎貝斯格計量」的方形和轉換不變量 (以下列光纖為單位) $T^*M$)，回想一下：

$$\hbar^n\int_{\Reals^n} e^{ p_i\dot q^i\Delta t - \frac{1}{2}\hbar^2 g^{ij}p_ip_j\Delta t}dp_1\dots dp_n = \hbar^n\int_{\Reals^n} e^{-\frac{1}{2}\hbar^2 g^{ij}(p_i - g_{ik}\dot q^k/\hbar)(p_j - g_{jk}\dot q^k/\hbar)\Delta t} dp_1\dots dp_n \cdot e^{\frac{1}{2\hbar^2}g_{ij}\dot q^i\dot q^j\Delta t} = \frac{e^{\frac{1}{2\hbar^2}g_{ij}\dot q^i\dot q^j\Delta t}}{\sqrt{(2\pi\Delta t)^n \det g^{ij}}}$$

因此 Feynman Path Integral 表示式在二次動能案例中具有道德等效 (但正式為無限)：

$$\begin{aligned} \int_{\set{\gamma}} e^{\mathcal S_{\mathcal H^\mathcal V_\mathcal B} (\gamma)} \mathcal D_{dt}\gamma &\approx \int_{\Reals^{2n}} e^{(p\dot q - \mathcal H^\mathcal V_\mathcal B(p,q,t))\Delta t}\omega_0^n/n!\\ &= \frac{1}{\sqrt{(2\pi\Delta t)^n}}\int_{\Reals^n}e^{\mathcal L^{\mathcal V}_\mathcal B(\dot q, q, t)\Delta t}\sqrt{\det g_{ij}}\ dq^1...dq^n\\ &\approx \int_{\set{\tilde \gamma}} e^{\mathcal S_{\mathcal L^{\mathcal V}_\mathcal B}(\tilde \gamma)} \mathcal D_{dt}\tilde \gamma \ . \end{aligned}$$

因此，透過 快速旋轉，並以 Planck 常數重新調整向量 $\hbar = h/2\pi$，傳送$dt\mapsto \hbar/i\ dt, \ p\mapsto \hbar p, \ \dot q\mapsto \dot q/\hbar,\ \mathcal B\mapsto \mathcal B/\hbar$:

$$\begin{aligned} \int_{\set{\gamma}}e^{\hbar/i\ \mathcal S_{\mathcal H_{\mathcal B/\hbar}^{\mathcal V}(\hbar p, q, t)}(\gamma)}\mathcal D_{\hbar/i\ dt}\gamma &\approx \int_{\set{\tilde\gamma}} e^{\hbar/i \ \mathcal S_{\mathcal L_{\mathcal B/\hbar}^{\mathcal V}(\dot q/\hbar,q, t)}(\tilde \gamma)}\mathcal D_{\hbar/i\ dt}\tilde\gamma\\ &= \int_{\set{\tilde \gamma}}e^{-\frac{i}{\hbar}\mathcal S_{\mathcal L^{\hbar^2 \mathcal V}_{\mathcal B}(\dot q, q, t)}(\tilde \gamma)}\mathcal D_{\hbar/i\ dt}\tilde\gamma\ . \end{aligned}$$

因此，當我們想要接近「方程式」的右手邊時 使用固定相位的方法 (亦即半古典極限) $\hbar\downarrow 0$)，我們需要記得解決尤拉 - 拉格朗格方程式 (14) $(C)$ 取代為$\mathcal V \mapsto \hbar^2 \mathcal V\approx 0$.

Schrödinger Quantization

$$\begin{aligned} \mathcal H(p,q) &\ = \mathcal T(p,q) + \mathcal V(q)\ \text {, where } \mathcal T = \frac{1}{2}g^{ij}(q)p_ip_j \implies \\ e^{-it/\hbar \hat{\mathcal H}}\ket{\psi} &:= e^{-it/\hbar(-\frac{\hbar^2}{2} \Delta_M + \mathcal V)} \ket{\psi} \implies \\ i\hbar \frac{d}{dt}\ket{\psi} &\ = -\frac{\hbar ^2}{2}\Delta_M \ket{\psi} + \mathcal V\ket{\psi} \end{aligned}$$

($\Delta_M$ 是 Laplace-Beltrami 操作員$g$) 作為線性差動運算子。此點是解決方案 **分析 **：$t$ 上半平面、$dt\mapsto i/\hbar\ dt,\ p\mapsto p/\hbar$ 它是威克無旋轉擴散方程式：

$$\frac{d}{dt}e^{-t\hat{\mathcal H}}\ket{\psi} = (\frac{1}{2}\Delta_M - \mathcal V) e^{-t\hat{\mathcal H}}\ket{\psi} \ .$$

這是一個能夠以樣本路徑為基礎的隨機分析的形式，讓我們能夠以有意義的方式將 Feynman Path-Integrals 與解決方案的分析延續對齊其整個右半平面。本質上，我們將有明確的定義”測量理論” 從右半平面到一組有界線運算子的分析圖$\mathscr H = L^2(M,g)$，以及史洛丁格方程式’s Unitary Evolution 運算子是虛線的邊界值$it\hbar\ ,t\in\Reals$。雖然它有助於瞭解 von-Neumann’s Spectral 定理用於和諧分解封閉、無邊界的自合運算子 (如$\Delta_M$) 於$\mathscr H$，它’本文的其餘部分不需要。

換句話說，一旦我們釐清其建議路徑積分運算式的明確定義所涉及的子特徵，就足以研究方程式 (17) 的動態。

我們不用把 Itô/Stratonovich/Malliavin SDE semimartingale 計算機重新塑造為一體，而是將繼續執行一系列簡單 (均一公尺) 的範例，並將我們帶入一般理論。

在一天結束時，我們將希望 Feynman Path-Integral Quantization 符合 Schrödinger Quantization，或至少瞭解 **偏差 **。特別是，我們需要半眼鏡近似值來產生施萊丁格 PDE $o(t)$ 作為$t\downarrow 0$.

當它結束時，仍有爭議$\mathcal V$ 度量為非均一的詞彙。我們會在下方完整探討此事項，因為它與已知 (類似 Selberg) 的非均一評量標準總和公式相關。

Feynman-Kac 公式

使用$V \in C^\infty(M)$，由 Baker-Campbell-Hausdorff 方程式：

$$e^{-it/\hbar -\Delta^\hbar_M/2} e^{-it/\hbar V} = e^{-it/\hbar(-\Delta^\hbar_M /2 + V - it/4\hbar [\Delta^\hbar_M,V] + O(t^2))}$$

Feynman-Kac 公式來自於歐幾里德空間布朗尼運動的路徑整體配方。這是我們可以專注於這一點的快照$\mathcal V = 0$ 如有，我們將繼續。

平行傳輸幾何$\hat\Gamma$

將任何向量移入$v \in T_qM$。平行傳輸$\hat\Gamma_t(\gamma)v \in T_{\gamma(t)}M$ 是您透過解決線性一階 ODE 所得到的向量 ：

$$\begin{aligned} v(0) &= v \\ \nabla_{\dot \gamma(t)}\dot v &= 0 \end{aligned}$$

特別$\nabla_{\dot \gamma}\hat\Gamma_t(\gamma) = 0$，和曲率張量$\mathcal R(X,Y) = [\nabla_X,\nabla_Y] - \nabla_{[X,Y]}$ 測量第一個順序的相依性$\hat \Gamma$ 在曲線選擇上$\gamma$ 連接端點。$\mathcal R = 0 \iff \hat\Gamma_t$ 不相依於$\gamma$.

換句話說，如果我們嘗試將平行傳輸分解為非動物性移動$\mathcal B^\perp$ 後面跟著無限的移動$\mathcal B$，方程式會變成：

$$\begin{aligned} \hat\Gamma(\gamma) &= \hat\Gamma(\gamma|_\mathcal B)\hat\Gamma(\gamma|_{\mathcal B^\perp}) - \frac{1}{2}\mathcal R(\dot{\gamma}|_\mathcal B, \dot{\gamma}|_{\mathcal B^\perp})dt + O(dt^2) \ \\ \nabla_{\dot \gamma}\hat\Gamma(\gamma) &= \nabla_{\dot \gamma|_\mathcal B}\hat\Gamma(\gamma|_{\mathcal B^\perp}) + \nabla_{\dot \gamma|{\mathcal B^\perp}}\hat\Gamma(\gamma|_{\mathcal B}) - \frac{1}{2}\mathcal R(\dot\gamma|_\mathcal B,\dot{\gamma}|_{\mathcal B^\perp}) = 0 \end{aligned}$$

半玻璃機械

Semiclassical Asymptotics 是扁平化手柄上的完美解決方案

方程式的右手邊 (16) 是用於固定係數的「熱核心」精確配方 (在$q$ 度量$g_{ij}$。每個平坦歧管’宇宙覆蓋層對歐幾里德空間有幾何，其中$g_{ij} = \delta_{i-j}$.

此 是 標準的「熱核心」$n$-dimensional Brownian Motion

開始’釐清這一點，在這種情況下，請恢復 *轉換功能 *：$\mathcal S_\mathcal L(q_0,t_0, q_f, t_f) = \rho^2(q_0, q_f)/2(t_f - t_i)$，其中$\rho$ 里曼尼亞距離介於$q_0$ 與$q_f$.
讓我們$||q||^2 = q\cdot q$ 是歐氏常數的方形$q$:

$$\begin{aligned} RHS^{16}_t(q_0,q_f) &:= \frac{e^{-\mathcal S_\mathcal L(q_0, 0, q_f, t)}}{\sqrt{(2 \pi t)^n}} \sqrt{g(q_f)}\\ \mathcal R=0 \implies \\ &\ = \frac{e^{\frac{-||q_f - q_i||^2}{2t}}}{\sqrt{(2\pi t)^n}} \\ &\ = \int_{\Reals ^n}RHS^{16}_{s}(q_i, q)\ RHS^{16}_{t-s}(q, q_f)\ dq^1...dq^n\ \forall s\in (0, t) \end{aligned}$$

為何此最後的方程式為真？開始’從路徑空間查看圖片：我們有一個連接的直線幾何圖形$q_0$ 至$q_f$ 時間$t$，以及一個中斷的地理代碼，以中間的中斷點連接它們$s$。我們正在使用 Cameron-Martin 公式 (Cameron-Martin 公式) 將一經破損的地理代碼整合為直線地形$g$- 不變向量場$\mathcal B$。然後我們整合了來自該地理代碼的中斷點差異 ($\dot q-\mathcal B$) 以高斯為中心$\Reals^n$.

明確地指定常數向量欄位$\mathcal B_t = (q_f - q_0) / t$，一次破裂的歐幾里德地形是

$$q(\tau) = \mathcal B_t\tau + q_0 + q\begin{cases} \tau/s & 0\leq\tau\leq s\\ (t - \tau)/(t-s)& s\leq\tau\leq t \end{cases}$$

for fixed $q\in\Reals^n$ representing the “break point” at $s$.

By Equation (12) $(A)$ and $(B)$:

$$\begin{aligned} -\mathcal L(\dot q, q, \tau) &= \begin{equation}\tag{D}-\mathcal L(\dot q(\tau) - \mathcal B_t, q(\tau), \tau) - \mathcal B_t\cdot (\dot q(\tau)-\mathcal B_t) - \frac{1}{2}\mathcal B_t \cdot B_t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{equation}\\ \implies \\ e^{\mathcal -S_\mathcal L(q_0, q, \tau)} &= e^{-\tau||\mathcal B_t||^2/2}e^{-(\mathcal B_t -q_0)\cdot (q(\tau)-\mathcal B_t\tau - q_0) -\mathcal S_{\mathcal L_{\mathcal B_t}(\dot q,q,\tau)}} \\ &= e ^{-\tau||q_f-q_0||^2/2t^2 - \mathcal S_{\mathcal L(\dot q-\mathcal B, q, \tau)}}e^{-(q_f - q_0)/t\ \cdot q \begin{cases} \tau/s & 0\leq\tau\leq s\\ (t-\tau)/(t-s) & s\leq\tau\leq t \end{cases} }\\ \implies\\ \frac{1}{\sqrt{((2\pi)^2 s(t-s))^n}}\int_{\Reals^n} e^{-\mathcal S_{\mathcal L}(q_0,q,s)}e^{\mathcal S_{\mathcal L}(q,q_f,t-s)}dq^1...dq^n &= \frac{e^{-(s+t-s)||q_f - q_0||^2/2t^2}}{\sqrt{((2\pi)^2 s(t-s))^n}} \int_{\Reals^n}e^{-t||q||^2/2s(t-s)} dq^1...dq^n \\ &= \frac{e^{-\rho^2(q_f, q_0)/2t}}{\sqrt{(2\pi t)^n}}\\ &= RHS^{16}_t(q_0,q_f) \ . \end{aligned}$$

重要，我們構建$\mathcal B_t$ 因此$\dot q - \mathcal B_t$ 代表一次破損的地形，位於$s$ 開始與結束時間$q_0$，我們看到這些曲線基本上是$\mathcal N(0,s\wedge t-s)$ 分散式。在本文的其餘部分中，我們將分解$\Reals^n=<\mathcal B_t>\oplus \mathcal B_t^\perp$ 並整合$<\mathcal B_t>$.

DeWitt 定量曲率路徑里曼曲面上的完整瑕疵

如果我們嘗試使用”連續旋積” 在方程式 (16) 中的半古典表達式上，建構在負曲線法上的布朗運動$M$?

我們’得到一些東西，但’d be 幾乎 布朗尼運動在曲面空間— 我們需要尋找 Feynman-Kac 的無限產生器中的缺陷。它指出會有有效的潛在函數錯誤$-\frac{1}{6}\bar{\mathcal R}$，其中$\bar{\mathcal R}$ 是每個點的定量曲率。這是 Bryce DeWitt 在 1950 年首次發現的。’s，在 1972 年 McKean- 辛格紙上以「熱核心」追蹤的短時間漸近點為名，此術語代表對「熱核心」追蹤的「赫西安」的貢獻 $g_{ij}$ 中的正常座標。然而，$\dim = 2$ case，當您新增完整的更正潛力時$\mathcal V = -\frac{1}{6}(\bar{\mathcal R} - \frac{1}{4}\bar{\mathcal R}) = \frac{1}{16}\bar{\mathcal R}$ 到 Hamiltonian，Dewitt’秒鐘$\frac{1}{6}\bar{\mathcal R}$ 體積形式術語 減 *存在終止欄位$\mathcal B$’秒鐘$\frac{1}{24}\mathcal{Ric}(\mathcal B/||\mathcal B||, \mathcal B/||\mathcal B||)$ 貢獻，此因子會從類似 Selberg 之 Trace Formulae 的太陽眼鏡漸近線中消除。

更精確，通過近似$1/2\ \nabla\vert_0\sqrt{g} = - 1/6\ \mathcal{Ric}_{ij}q^i\partial^j + o(||q||) \implies 1/2\ \nabla\cdot\nabla\vert_0 \sqrt{g} = -1/6\ \bar{\mathcal R}(0)$，我們看到第一個衍生工具在原點消失，因此：

$$\sqrt{(2\pi t)^n}(\frac{1}{2}\Delta_M-\mathcal V)\vert_0 e^{-\mathcal L(\dot q, q, t)}\sqrt{g(q)} = (\frac{1}{2}\Delta_{\Reals^n}\vert_0 e^{-1/2t\ g_{ij}q^iq^j}) - \mathcal V(0) - \frac{1}{6}\ \bar{\mathcal R}(0)$$

該* 是他衍生的原始 Dewitt Term。由於我們正逐步量化殺死場的存在$\mathcal B = \frac{\partial}{\partial x^1}$ ，我們採用稍微修改的潛在術語：

$$\sqrt{(2\pi t)^{n}}(\frac{1}{2}\Delta_M-\mathcal V)\vert_{x^1,\vec 0} e^{-\mathcal L_\mathcal B(\dot q, q, t)}\frac{1}{det |I-\mathcal J_\mathcal B|} = (\frac{1}{2}\Delta_{\Reals^n}\vert_{x^1,\vec 0}e^{-x^1x^1/2t}) - \mathcal V(x^1, \vec 0) + \frac{1}{8}\mathcal{Ric}_{11}(x^1, \vec 0).$$

幾何 Cameron-Martin 公式$g$- 不變量 (終止) 向量欄位$\mathcal B$ (又稱「二次式魔術」，第 2 部分).

假設$\mathcal B$ 是一個$g$- 不變量 (aka) 終止) 向量欄位開啟$M$ 本文的其餘部分。

發展地圖$\tilde \gamma = \mathscr D_q[\tilde c]$ 針對$\tilde c\in C^\infty([0,t],T_qM)$.

解決對象$\tilde \gamma$:

$$\begin{aligned} \tilde \gamma(0) &= q \\ \dot {\tilde \gamma} &= \hat\Gamma(\tilde \gamma)\dot{\tilde c}\\ \end{aligned}$$

$\tilde c(\tau)=\int_0^\tau\hat\Gamma_s^{-1}(\tilde\gamma)\dot{\tilde\gamma} ds$ 作為發展地圖的反面

諾瑟’定理確保$d({g^{-1}\mathcal B}) = 0$，所以$g^{-1}\mathcal B$ 本機可整合至$\hat{\mathcal B}$，其本端層次集正交至$\mathcal B = \nabla \hat{\mathcal B}$。因為$\hat \Gamma$ 保留測量結果，它會保留$\mathcal B$ 與$\mathcal B^\perp$:

$$\begin{aligned} \\ \dot{c}\cdot\mathcal B &= 0 \implies\\ \dot{\gamma}\cdot \mathcal B &= 0 \implies\\ \frac{d\hat{\mathcal B}}{dt} &= 0\ , \end{aligned}$$

所以$\gamma$ 包含在層級集合中$\hat{\mathcal B}$ 永遠$c$ 完全包含於$\mathcal B^\perp \subset T_qM$.
平行傳輸對稱性的曲率限制可確保$\gamma(t) \ne q$ 一般而言。此外，

$$\begin{aligned} ||\mathcal B_t|| &= \frac{\rho(q_0,q_f)}{t} \implies \\ \tilde{c}(\tau) - c(\tau) &= \frac{t^2}{\rho^2(q_0,q_f)}\mathcal B_t\int_0^\tau \dot{\tilde c} \cdot \mathcal B_t\ ds\\ &= \mathcal B\int_o^\tau\dot{\tilde c}\cdot \mathcal B \ ds\\ &= \mathcal B\cdot \tilde c(\tau)\ \mathcal B\\ &= d\hat{\mathcal B}(\tilde c)\ \mathcal B \ . \end{aligned}$$

布朗運動開啟$M$ 是歐幾里丹 Wiener 測量$\mathscr D^{-1}$

熱核心的 Cameron Martin 公式$k^{\hat{\mathcal H}}_t(q_0,q_f)$ 在負彎曲的歧管上$M$，其中$\hat{\mathcal H} = -\Delta/2 +\mathcal V$

開始$\Omega^\mathcal B_t(q)$ 是連續曲線的空間$M$ 原始於$q$ 結束於$\exp{t\mathcal B}\ q$，和$\mu_t(\omega)$ 全球 Wiener 測量$\omega\in \Omega^\mathcal B_t := \set{\Omega^\mathcal B_t(q): q\in M}$，使用$E_t^\mathcal B (f|A):=\int_{\Omega^\mathcal B_t} f(\omega) d(\mu_t|A)(\omega)$ 與$P^\mathcal B_{\mu_t}(A) := \mu_t(A)/\mu_t(\Omega_t^{\mathcal B})\ \forall A\subset\Omega^\mathcal B_t$ . 接著方程式 (26) $(D) \implies$

$$\begin{equation} \tag{E} k^{\hat{\mathcal H}}_t(q_0,\exp{t\mathcal B_t}\ q_0)\sqrt g(q_0)\ dq = \frac{e^{-\rho^2/2t}}{\sqrt{2 \pi t\det{|I-\mathcal J^{\mathcal B}(q_0)|}}} E^\mathcal B_t({e^{-\int_0^t V(\omega(s))ds\ +\ \int_0^t \bar {\mathcal R}(\omega(s))ds/12\ -\ \int_0^t \mathcal {Ric}(\frac{\mathcal B}{||\mathcal B||},\frac{\mathcal B}{||\mathcal B||})(\omega(s))ds/24}\chi_{\Omega^B_t(q_0)}(\omega)}|d\mathcal B^\perp)d\hat{\mathcal B}(q_0) \ \ \ \ \ \ \ \end{equation}$$

位置$\rho=||t\mathcal B_t||=dist(q_0,q_f)$, $\mathcal J^{\mathcal B}(q_0)$ 是與摺疊的單色矩陣$M$ 誘導者$\hat{\mathcal B}$，沿著曲線$\tilde \gamma(\lambda) = \exp{\lambda\mathcal B_t}\ (q_0)$，連接$q_0$ 至$q_f$ 作為$\lambda$ 開始日期$0$ 至$t$. $\mathcal J^{\mathcal B}$ 不相依於$t$；和曲率約束可確保$I-\mathcal J^\mathcal B$ 一律不產生$q_0 \neq q_f$。取代$\mathcal B$ 取代為$-\mathcal B$ 撤銷下列項目的角色：$q_0$ 與$q_f$，所以清楚地說，表示式在它們之間是對稱的。

開始日期$\mathcal R$ 是常數沿著$\tilde \gamma$，和$\gamma$ *為大地測量 (最大長度重新命名)，$\mathcal J^\mathcal B(q_0)$ 就 Jacobi Fields 而言，可真正計算$\mathcal J(\lambda)$ 沿著$\tilde \gamma$ 這只是用於常數係數第二階線性 ODE 的解決方案，在經過一段時間演變後進行評估$\lambda=t$.

此方程式的證明 對預印文章，而非這份調查，但這是一種直接應用 Feynman-Kac 公式的 *。$\mathcal V = \frac{1}{12}(\bar{\mathcal R} - \frac{1}{2} \mathcal {Ric}(\mathcal B / ||\mathcal B||, \mathcal B/||\mathcal B||)$，它可以在方程式的兩側明確計算，因為整個計算會減少到該點的常數曲率大小寫。

在常數中會出現一個很好的珊瑚礁$\mathcal {Ric}(\frac{\mathcal B}{||\mathcal B||},\frac{\mathcal B}{||\mathcal B||}) = \bar{\mathcal R} / \dim M$ 高斯負曲率$-\kappa$ 個案，其中$\mathcal B$ 降級為$S^1$ Riemann Surface 的動作$M$:

$$\begin{aligned} \det |I - \mathcal J^\mathcal B| = (2 \kappa\sinh(\sqrt{\kappa}\rho/2))^2 \implies \\ \mu_t(\Omega_t^\mathcal B) = \int_{M/S^1\oplus S^1} k^{-\Delta/2}_t(q,\exp{t\mathcal B}\ q) \sqrt g(q)\ dq &= \frac{e^{-\rho^2/2t}}{\sqrt{2\pi t}} \int_{M/S^1\oplus S^1} \frac{1}{2\kappa(q) \sinh \sqrt{\kappa(q)}\rho/2}E^\mathcal B_t(e^{\int_0^t \bar{\mathcal R}(\omega(s))\ ds/16}{\chi_{\Omega^B_t(q)}(\omega)}|d\mathcal B^\perp)d\hat{\mathcal B}(q)\\ &=\frac{e^{-\rho^2/2t\ -\ t\kappa/8}}{\sqrt{2\pi t}\ 2\kappa\sinh \sqrt {\kappa}\rho/2}\ \int_{\mathcal B^\perp\oplus[0,\rho_0]}P^\mathcal B_{\mu_t}(\Omega_t^\mathcal B(d\hat{\mathcal B})|d\mathcal B^\perp), \ \text{ Bayes}\implies\\ &=\frac{e^{-\rho^2/2t\ -\ t\kappa/8}}{\sqrt{2\pi t}\ 2\kappa\sinh \sqrt {\kappa}\rho/2}\ \int_0^{\rho_0} P_{\mu_t}^\mathcal B(\mathcal B^\perp d\hat{\mathcal B}|\Omega_t^\mathcal B(d\hat{\mathcal B}))\frac{P^\mathcal B_{\mu_t}(\Omega_t^\mathcal B(d\hat{\mathcal B}))}{P^\mathcal B_{\mu_t}(\mathcal B^\perp d\hat{\mathcal B})}d\hat{\mathcal B}\\ &=\frac{e^{-\rho^2/2t\ -t\kappa/8}}{\sqrt{2\pi t}\ 2\kappa\sinh \sqrt {\kappa}\rho/2}\ \rho_0\\ \end{aligned}$$

位置$\rho = \min_{q\in M}dist(q, \exp t\mathcal B \ q)$ 是行進最短軌道的距離$S^1$ 動作，與$\rho_0$ 是$\rho$ 除以其相關軌道的多重性。在熟悉的雙曲幾何術語中，$\mathcal B^\perp$ 週期 和$g$- 不變量$S^1$ 動作下方$\mathcal B$ 據說是 **正環流 **。

此外，請考慮方程式 (32) $(E)$ 位置$B$ 代表旋轉$g$- 固定點周圍的不變對稱$q_0$。然後使用$\Omega^0_t$ 一組連續可承包迴路：

$$\mu_t(\Omega_t^0) = \frac{vol(M)}{2\pi t}\int_0^\infty \frac{e^{-\rho^2/2t\ -t\kappa/8}}{\sqrt{2\pi t}\ \kappa\sinh \sqrt {\kappa}\rho/2}\ \rho d\rho$$

此方程式分析於$\kappa$，我們可以看到分析的延續來源$\kappa \rightarrow -\kappa$ 轉換此表示式來源$\sinh$ 至$\sin$ 在這種情況下，我們對於具有固定正高斯曲率的 最高 2 球 具有正確的方程式$|\kappa|$.

換句話說，我們已透過機率和幾何圖形重新建構二維 Selberg 追蹤公式 **，而不是對稱空間常用的調和分析 **。

非傳統曲率範例

平滑實值型變形$h:\Reals\rightarrow\Reals$ 取代為$h(0)=0$，讓我們$ds^2 = (1+h^2(y)) dx^2 + 2h(y) dx\odot dy + dy^2$。此度量的高斯曲率為負值$-(\kappa(y)=\frac{d^2}{dy^2}h^2(y)/2)$，只有當$h(y)$ 是情感；並且$\det(ds^2)= 1$。然後使用$\hat{\mathcal B}(x,y) = x$，我們看到

$$\mu_t(\Omega_t^\mathcal B) = \frac{e^{-\rho^2/2t}}{2\pi t}\int_{-\infty}^\infty\frac{\rho_0}{2 \sinh \sqrt{\kappa(y)}\rho/2} \int_{\Omega_t^\mathcal B(0,y)}e^{-\int_0^t\kappa(y(s))ds/8}d(\mu_t|\mathcal B^\perp)/dy \ dy$$

如果需要$h(y) := y\sqrt{2y^2/3 + \kappa(0)} \implies \kappa(y) = 4 y^2 + \kappa(0) \gt 0$，然後方程式 (32) $(E)$ 預測

$$\mu_t(\Omega_t^\mathcal B) = \frac{e^{-\rho^2/2t -t\kappa(0)/8}}{\sqrt{2\pi t \cosh t}}\int_0^\infty\frac{\rho_0e^{-y^2/2t}}{\sqrt{2\pi t}\sinh \sqrt{4y^2+\kappa(0)}\rho/2 }\ dy$$

在$0$，如預期，如果我們還需要$\kappa(0) = 0$。此外，如$t\rightarrow 0$，整體也具有適當的漸近行為 (在固定曲率周圍傾斜) $-\kappa(0)$ 與 Selberg Trace 公式的對應元件作為其半古典限制時的情況$t\rightarrow 0$).

可觀察、演化方程式與小代數工具

Chern-Simons 搭售品動作

一般關係的動態注意事項

• 外部時間軸為人工，自時間 嵌入至 4 維 manifold 本身的幾何中。
• 這表示發生演化運算子’t 相關；只有固定的施羅丁格方程式很重要。
• 路徑積分配方會因為-1 內在 Lorenzian 度量的簽章時間 方向。$\det{g}$ 為負數，且每個餘切組合的傅立葉轉換’除非我們使用內在的分析延續 (又稱 Wick Rotation) ，否則光纖在該方向上是無限的。時間).