Dinâmica, Clássica e Quântica

Um geômetro diferencial’s abordagem

Prerequisites:

1. Familiaridade com Stokes’ Teorema sobre álgebras diferenciais do Tensor Exterior de $n$distribuidores dimensionais $M$.

2. Exposição à Geometria Riemanniana básica, esp em coordenadas locais, incluindo Einstein/PAIN Notation.

3. Interesse em Sistemas Dinâmicos Suaves e Estocásticos, incluindo Brownian Motion e Martingale Theory.

Dinâmica Clássica

Hamilton-Jacobi/Formalismo Lagrange

A Mecânica dos Pacotes Cotangentes

Definir o suave Hamiltonian $\mathcal H:T_q^{*}M\oplus\Reals\rightarrow\Reals$ como $\mathcal H(p,q,t)$.

Deixar $\theta := p\ dq - \mathcal H(p,q,t)\ dt\in T^*(T^*M\oplus\Reals)$.

Definir $\mathcal S_\mathcal H(\gamma) := \int_\gamma \theta$ para suave $\gamma:[0,t]\rightarrow T^{*}M\oplus\Reals$.

Se duas dessas curvas $\gamma_1, \gamma_2$ tem exatamente os mesmos pontos finais de limite, defina subtração por composição inversa, portanto $\gamma_1 - \gamma_2$ é um loop fechado definido pela travessia $\gamma_1$ na direção da frente, e $\gamma_2$ ao contrário. Deixar $S$ ser qualquer superfície 2-dimensonal delimitada por este circuito fechado: $\gamma_1 - \gamma_2 = \partial S$. Mais

$$\begin{aligned} \mathcal S_\mathcal H(\gamma_1) - \mathcal S_\mathcal H(\gamma_2) &= \int_{\gamma_1 - \gamma_2}\theta \\ &= \int_{\partial S}\theta\\ &= \int_S d\theta \end{aligned}$$

por Stokes’ Teorema.

Independentemente de essa superfície ser ou não $S$ realmente existe, para a ação $\mathcal S_\mathcal H$ para depender apenas dos pontos finais de $\gamma$necessariamente deve ter a condição de primeira ordem que $d\theta$ desaparecer em $\gamma$.

Deixar $\omega_\mathcal H := d\theta = dp\wedge dq - d\mathcal H \wedge dt\in\bigwedge^2T^*(T^*M\oplus\Reals)$.

$$\begin{aligned} \omega_\mathcal H|_\gamma &= \dot{p}\ dt\wedge dq + \dot{q}\ dp\wedge dt - \frac{\partial \mathcal H}{\partial p}dp\wedge dt - \frac{\partial \mathcal H}{\partial q}dq\wedge dt \\ &= (-\dot{p}_i - \frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i}) dq^i \wedge dt+ (\dot{q}^i - \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i}) dp_i\wedge dt \end{aligned}$$

$\therefore \omega_\mathcal H|_\gamma = 0 \iff \gamma(t)$ satisfaz as equações de Hamilton-Jacobi

$$\begin{aligned} \dot p &= -\frac{\partial \mathcal H}{\partial q} \\ \dot q &= \ \ \ \frac{\partial \mathcal H}{\partial p} \end{aligned}$$

$\iff \gamma:[0,t]\rightarrow T^*M\oplus\R$ é uma curva estacionária para a Ação $\mathcal S_\mathcal H(\gamma)=\int_\gamma \theta$.

Transformação de Lendas

Quando $\mathcal H$ é convexo em $p$, $\forall \dot{q} \in T_q M\ \exists !\ p=p_{max}(\dot q)$ satisfazendo $\dot{q} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial p}(p_{max},q,t)$. Isso define a Transformação Legendre (involutiva) $\mathcal L$ de $\mathcal H$:

$$\begin{aligned} \mathcal{L}(\dot q,q,t) &:= \max_p p\dot{q} - \mathcal H(p,q,t) \\&= p_{max}(\dot q)\dot q - \mathcal H(p_{max}(\dot q),q,t) \\ \mathcal S_\mathcal{L}(\pi(\gamma)) &= \int_{\pi(\gamma)} \mathcal{L}(\dot q, q, t)\ dt \end{aligned}$$

é a representação Lagrangiana da Ação, onde $\pi: T^*M\oplus\Reals \rightarrow M\oplus\Reals$ é o operador de projeção de fibra (esquecido) $(p,q,t)\mapsto (q,t)$.

O Princípio da Menos Ação

O Princípio da Menos Ação simplesmente afirma que a Dinâmica Clássica da Natureza em si mesma tende a selecionar trajetórias que minimizam a $\mathcal S_\mathcal{L}$.

Em geral, essa reivindicação é falsa. Mas as curvas estacionárias do $\mathcal S_\mathcal H$ são sempre interessantes de descobrir, e são idênticas às curvas que saem $\mathcal S_\mathcal{L}$ estacionário. Localmente, as equações diferenciais para essas trajetórias estacionárias são idênticas, e assim por diante $\mathcal S_\mathcal H = \mathcal S_\mathcal{L}$ nessas curvas. Na formulação Lagrangiana, essas equações covariantes são conhecidas como Euler-Lagrange Equations $(d\mathcal{L}\wedge dt)|_{\pi(\gamma)} = 0:$

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial q} = \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q}$$

que é um ODE de segunda ordem em $t \mapsto q(t)$, então tem $2\dim M+1$ condições iniciais $(\dot q_0, q_0, t_0)$assim como as contravariantes equações de Hamilton-Jacobi. Pelo Teorema de Picard-Lindelöf, essas equações têm soluções únicas localmente quando enquadradas como um problema de valor inicial.

No entanto, um aspecto interessante do $\mathcal S_\mathcal L(\pi\circ\gamma)$ revela-se quando podemos definir exclusivamente $\pi\circ\gamma$ implicitamente baseado nos pontos finais $(q_0, t_0)$ e $(q_f, t_f)$, então precisamos transformar esse problema de valor limite em um problema de valor inicial. Em outras palavras, devemos resolver por um $\dot q_0$ que vai atingir o alvo $(q_f, t_f)$ com uma curva (única?) estacionária $\pi\circ\gamma$ que resolve as equações de Euler-Lagrange. Desta forma podemos pensar em $\mathcal S = \mathcal S(q_0,t_0, q_f, t_f)$ como uma função de transição, supondo que não dependa da escolha de estacionário $\pi\circ\gamma$e tal um $\gamma$ existe no Espaço de Solução de curvas suaves conectando o par de pontos de transição. Localmente, esta é uma aplicação do Teorema da Função Implícita, mas globalmente, pode haver obstruções topológicas para a construção de qualquer tal teoria. $\gamma$.

Deixar’damos um passo atrás e definimos algo mais simples: um “horizontal” elevador $\mathcal A=\dot q\oplus \pi^{-1}:T_{q} M\oplus \Reals \rightarrow T_{q}^{*}M\oplus \Reals$ atribuindo

$$(\dot q, q,t)\mapsto (p_{max}(\dot q), q, t)\ .$$

Agora temos, para qualquer “projetado” curva lisa (não apenas as estacionárias) $\tilde\gamma:[0,t]\rightarrow M\oplus\R$:

$$\begin{aligned} \mathcal S_\mathcal{L}(\tilde\gamma) &= \mathcal S_\mathcal H(\mathcal A\circ \tilde\gamma) \ . \end{aligned}$$

Note: a restrição de convexidade em $\mathcal H$ garante que haja um único $p_{max}(0)$ em qualquer dessas curvas estacionárias $\dot q = 0$. A rede disso é que as curvas estacionárias $\gamma$ não tem movimento sustentado contido dentro de uma fibra de $\pi^{-1}$, portanto, sem perda de generalidade, simplesmente consideramos não estacionário $\tilde \gamma$ e levantá-los com $\mathcal A$ como uma classe adequada de curvas para “integrar sobre” mais tarde.

Forma quadrática mágica, parte 1

Quando $\mathcal H(p,q,t)$’s $p$-dependência (também conhecido como o componente de energia cinética) é uma forma quadrática simétrica não degenerada, podemos representá-la como uma métrica pseudo-Riemanniana. $[g^{ij}]: M\oplus\Reals\rightarrow TM\odot TM$ com inverso $[g_{ij}]: M\oplus\Reals\rightarrow T^{*}M\odot T^{*}M$. A Transformação Legendre em coordenadas locais relaciona-as assim:

$$\begin{aligned} \mathcal H^\mathcal V(p,q,t) &= \frac{1}{2}\ g^{ij}(q,t)\ p_ip_j + \mathcal V(q,t) \implies\\ \mathcal{L}^\mathcal V(q,\dot q, t) &= \frac{1}{2}\ g_{ij}(q,t)\dot{q}^i\dot{q}^j - \mathcal V(q,t)\ . \end{aligned}$$

A conexão Levi-Civita’s Símbolos de Christoffel para $g$ são simplesmente definidos pela Fórmula Koszul

$$\begin{aligned} \Gamma^k_{ij} &= \frac{1}{2} g^{ka}(\partial_i g_{ja} + \partial_j g_{ia} - \partial_a g_{ij})\\ \Gamma_k^{ij} &= \frac{1}{2}g_{ka}(\partial^ig^{ja} + \partial^j g^{ia} - \partial^ag^{ij}). \end{aligned}$$

com $\partial_i := \frac{\partial}{\partial q^i}$ e $\partial^i := g^{ij}\partial_j$. O Derivativo Covariante associado $\nabla$ nas coordenadas locais é

$$\begin{aligned} \nabla_{a^i\partial_i} b^j\partial_j &=d b^j(a^i\partial_i)\partial_j + \Gamma_{ij}^k a^ib ^j\partial_k\ ,\text{ or}\\ \nabla_{\partial_i}\partial_j &= \Gamma_{ij}^k\partial_k \text{ , and contravariantly}\\ \nabla_{\partial^i}\partial^j &= \Gamma^{ij}_k\partial^k \text{, so} \\ \nabla &= d + \Gamma \end{aligned}$$

para todos os campos tensores. Em particular $\Gamma$ é simétrico em $(i, j)$; e $\nabla [g_{ij}] = \nabla [g^{ij}] = 0$.

Anecdotally, o Tensor da Curvatura de Riemann-Christoffel é

$$\mathcal R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }$$

Multiplicadores de intervalo em $\mathcal H$ Como traduções infinitesimais em $\mathcal L$

Além disso, se $\mathcal H = \mathcal H_B$ tem um componente de campo de velocidade adicional $\mathcal B(q,t)\in T_qM$, ou seja, um funcional linear em $p\in T^{*}_qM$, podemos completar o quadrado e recalcular $\mathcal{L}_B$ em termos de $\mathcal L$:

$$\begin{aligned} \mathcal H_\mathcal B(p,q,t) &= \mathcal H + \mathcal Bp \implies\\ \mathcal L_\mathcal B(\dot q,q,t) &=\max_p p(\dot q - \mathcal B) - \mathcal H\\ &\ \begin{equation} \tag{A}= \mathcal{L}(q,\dot{q}-\mathcal B, t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{equation}\\ \mathcal H_\mathcal B &= \frac{1}{2}\ g^{ij}p_ip_j + p\mathcal B + \mathcal V \implies\\ \mathcal L_\mathcal B &\ \begin{equation}\tag{B}= \mathcal L - g_{ij}\mathcal B^i\dot q^j + \frac{1}{2}\ g_{ij}\mathcal B^i\mathcal B^j\ \ \ \ \ \ \end{equation} \end{aligned}$$

Aqui vemos a conexão entre o Multiplicador de Lagrange $\mathcal B$ em $\mathcal H$ e sua expressão equivalente como uma deriva infinitesimal em $\mathcal L$. Vamos contextualizar $\mathcal B$ em uma variedade de maneiras úteis no restante. Ambas as expressões $(A)$ e $(B)$ para $\mathcal{L}_\mathcal B$ em Equação são críticos.

O elevador horizontal $\mathcal A$

Desde $\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i}(p,q,t) = g^{ij}p_j \implies \frac{\partial^2\mathcal H}{\partial p_i \partial p_j} = g^{ij}$, podemos calcular o elevador horizontal explicitamente

$$\begin{aligned} {p_{max}}_i &= g_{ij}\dot q^j = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}\implies \\ \mathcal A(\dot q, q, t) &= ([g] \dot q, q, t)\ . \end{aligned}$$

Quando $g^{ij}$ é positivo-definido, assim é seu inverso, que implica o Componente de Energia Cinética de $\mathcal S_\mathcal L(\tilde\gamma) = \mathcal S_\mathcal H(\mathcal A\circ\tilde\gamma)$ é localmente minimizado em curvas estacionárias envolvendo métricas reais de Riemann.

Por equação (12) $(A), (B)$, Equações de Euler-Lagrange para $\mathcal L^\mathcal V_\mathcal B$ tornar-se:

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\partial_i g_{jk}(\dot q^j-\mathcal B^j)(\dot q^k -\mathcal B^k)-\partial_i \mathcal V &= \frac{d}{dt}g_{ij}(q,t)(\dot q^j - \mathcal B^j) = {\dot p^\mathcal B_{max}}_i\ ,\\ - \partial^i \mathcal V &= \frac{1}{2} (\partial^i g_{jk})(\dot q^j-\mathcal B^j) (\dot q^k-\mathcal B^k) - g_{jk}(\partial^i\mathcal B^j)(\dot q^k - \mathcal B^k) + \frac{d}{dt} (\dot q^i - B^i) + g^{ij}\frac{\partial g_{jk}}{\partial t}(\dot q^k -\mathcal B^k)\\ -\nabla\mathcal V(q,t)&\begin{equation}\tag{C}=\nabla_{\dot q-\mathcal B} (\dot q - \mathcal B) -\partial_t \mathcal B +(\partial_t [\log g])(\dot q-\mathcal B) \ .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{equation} \end{aligned}$$

Estes são exatamente Newton’Leis do Movimento $F/m = a$ com $\partial_t := \frac{\partial}{\partial t}$ sujeito a uma energia potencial $\mathcal V$ e campo de velocidade $\mathcal B$, em uma configuração dependente de tempo.

Geometria Simplética

Uma variedade simpática $N$ é uma abtração do feixe contangente $T^*(M\oplus \Reals)$, com um formulário 2 fechado e não degenerado $\omega \in \bigwedge^2T^*N$. $N$-isomorfismos nesta categoria preservam $\omega$.

Necessário $d\omega = 0$ é uma condição de integrabilidade local para um potencial $\theta$ satisfazendo $d\theta = \omega$, mas pode haver restrições topológicas em $\omega$’integrabilidade global.

O que nos preocupa com a dinâmica é a ação $\mathcal S(\gamma) = \int_\gamma \theta$, então nos concentramos em pacotes cotangentes neste artigo. Aqui, um apropriado $\theta$ é trivial para classificar em termos de uma função $\mathcal H$ em $N$. Claro, um Wick-rotated $\theta$ sobre a cobertura universal de $N$ pode às vezes ser finessed com condições de integrabilidade em sua *fase *(ou seja, pensar em $\theta$ como tendo valores em um pacote de linhas complexas $N$, e se concentrar em sua parte imaginária), a fim de fornecer valores consistentes de $e^\mathcal S$ que descem para $N$.

A forma natural do volume simpático $\omega^n/n!$

Poisson Bracket e grupos de mentiras

Dinâmica Quântica

Se Dinâmica Clássica é sobre encontrar curvas que satisfaçam o Princípio da Menos Ação, Dinâmica Quântica é sobre o exponencial da Ação como nós integramos seu valor sobre uma classe inteira de (tipicamente) curvas não estacionárias, com uma noção limitante adequada de um “Medida Lebesgue dimensional infinita” $\mathcal D_{dt}\tilde \gamma$,

Na realidade, apenas o Gaussiano “acoplamento”

$$\int_{\set{\tilde \gamma}} e^{-\mathcal S_{\mathcal L_\mathcal B^{\mathcal V}}(\gamma)}\mathcal D_{dt}\tilde \gamma$$

precisa de interpretação como medida a (complex-valued) em alguns $\set{\tilde \gamma}$, mas esta construção, como uma série de exemplos cada vez mais sofisticados, será o nosso foco no futuro. O que quer que seja, será claro que o valor real de $\mathcal S$ nessas curvas será $\infty$, para cancelar o $\infty$* do “Normalizador da Divisão de Tempo” inerente ao $dt$ elementos de $\mathcal D_{dt}\tilde \gamma$. Existem várias opções envolvidas na construção das aproximações que afetam a convergência das aproximações, mas vamos contornar todas elas, concentrando-nos na invariância geomética de casos trivialmente computáveis.

O valor da ação importa

Não para colocar um ponto muito fino sobre ele, mas a Mecânica Clássica define a Ação como um meio para um fim. Nunca se preocupou em chegar a qualquer entendimento do que seu valor real significa. Nós apenas o usamos para construir equações diferenciais necessárias para que possamos pensar $\mathcal S$ como função de transição entre seus endpoints por meio de curvas stationary. A exigência estacionária nos permitiu interpretar $\mathcal S$ como uma expressão invariante de caminhos, mas nunca nos importamos com seu valor real. É por isso que $\theta \mapsto \theta + df$ para alguns $f \in C^\infty(T^*M)$ é considerada uma transformação invariante de gauge: as Equações Clássicas de Movimento permanecem inalteradas por $f$.

Bem, nós fazemos em dinâmica quântica!

Quantização Integral do Caminho Natural (Covariante).

Completando o quadrado e a invariância da tradução de Lebesgue Measure (em uma fibra de $T^*M$), lembre-se que:

$$\hbar^n\int_{\Reals^n} e^{ p_i\dot q^i\Delta t - \frac{1}{2}\hbar^2 g^{ij}p_ip_j\Delta t}dp_1\dots dp_n = \hbar^n\int_{\Reals^n} e^{-\frac{1}{2}\hbar^2 g^{ij}(p_i - g_{ik}\dot q^k/\hbar)(p_j - g_{jk}\dot q^k/\hbar)\Delta t} dp_1\dots dp_n \cdot e^{\frac{1}{2\hbar^2}g_{ij}\dot q^i\dot q^j\Delta t} = \frac{e^{\frac{1}{2\hbar^2}g_{ij}\dot q^i\dot q^j\Delta t}}{\sqrt{(2\pi\Delta t)^n \det g^{ij}}}$$

então as expressões Feynman Path Integral são moralmente equivalentes (ainda formalmente infinitas) no caso da Energia Cinética quadrática:

$$\begin{aligned} \int_{\set{\gamma}} e^{\mathcal S_{\mathcal H^\mathcal V_\mathcal B} (\gamma)} \mathcal D_{dt}\gamma &\approx \int_{\Reals^{2n}} e^{(p\dot q - \mathcal H^\mathcal V_\mathcal B(p,q,t))\Delta t}\omega_0^n/n!\\ &= \frac{1}{\sqrt{(2\pi\Delta t)^n}}\int_{\Reals^n}e^{\mathcal L^{\mathcal V}_\mathcal B(\dot q, q, t)\Delta t}\sqrt{\det g_{ij}}\ dq^1...dq^n\\ &\approx \int_{\set{\tilde \gamma}} e^{\mathcal S_{\mathcal L^{\mathcal V}_\mathcal B}(\tilde \gamma)} \mathcal D_{dt}\tilde \gamma \ . \end{aligned}$$

Assim, com uma rotação Wick e uma redimensionamento vetorial pela constante de Planck $\hbar = h/2\pi$, enviando $dt\mapsto \hbar/i\ dt, \ p\mapsto \hbar p, \ \dot q\mapsto \dot q/\hbar,\ \mathcal B\mapsto \mathcal B/\hbar$:

$$\begin{aligned} \int_{\set{\gamma}}e^{\hbar/i\ \mathcal S_{\mathcal H_{\mathcal B/\hbar}^{\mathcal V}(\hbar p, q, t)}(\gamma)}\mathcal D_{\hbar/i\ dt}\gamma &\approx \int_{\set{\tilde\gamma}} e^{\hbar/i \ \mathcal S_{\mathcal L_{\mathcal B/\hbar}^{\mathcal V}(\dot q/\hbar,q, t)}(\tilde \gamma)}\mathcal D_{\hbar/i\ dt}\tilde\gamma\\ &= \int_{\set{\tilde \gamma}}e^{-\frac{i}{\hbar}\mathcal S_{\mathcal L^{\hbar^2 \mathcal V}_{\mathcal B}(\dot q, q, t)}(\tilde \gamma)}\mathcal D_{\hbar/i\ dt}\tilde\gamma\ . \end{aligned}$$

Então, quando queremos aproximar o lado direito da Equação usando o método de fase estacionária (também conhecido como o limite semi-clássico $\hbar\downarrow 0$), precisamos nos lembrar de resolver as equações de Euler-Lagrange (14) $(C)$ com $\mathcal V \mapsto \hbar^2 \mathcal V\approx 0$.

Quantização de Schrödinger

$$\begin{aligned} \mathcal H(p,q) &\ = \mathcal T(p,q) + \mathcal V(q)\ \text {, where } \mathcal T = \frac{1}{2}g^{ij}(q)p_ip_j \implies \\ e^{-it/\hbar \hat{\mathcal H}}\ket{\psi} &:= e^{-it/\hbar(-\frac{\hbar^2}{2} \Delta_M + \mathcal V)} \ket{\psi} \implies \\ i\hbar \frac{d}{dt}\ket{\psi} &\ = -\frac{\hbar ^2}{2}\Delta_M \ket{\psi} + \mathcal V\ket{\psi} \end{aligned}$$

($\Delta_M$ é o operador de Laplace-Beltrami para $g$) como operadores diferenciais lineares. A questão é que a solução é analítica no $t$ no meio plano superior, e $dt\mapsto i/\hbar\ dt,\ p\mapsto p/\hbar$ é sua equação de difusão não rotacionada de Wick:

$$\frac{d}{dt}e^{-t\hat{\mathcal H}}\ket{\psi} = (\frac{1}{2}\Delta_M - \mathcal V) e^{-t\hat{\mathcal H}}\ket{\psi} \ .$$

Esta é uma forma passível de análise estocástica baseada em amostragem, e nos dá uma maneira significativa de alinhar Feynman Path-Integrals com a continuação analítica de soluções para equações de difusão elíptica para todo o seu meio plano direito. Em essência, teremos um bem definido “medida-teórica” mapa analítico do meio plano direito em um conjunto de operadores lineares delimitados em $\mathscr H = L^2(M,g)$e a equação de Schrödinger’O operador de Evolução Unitária é o seu valor limite na linha imaginária $it\hbar\ ,t\in\Reals$. Enquanto isso ajuda a entender von-Neumann’Teorema Espectral para a decomposição harmônica de operadores auto-adjuntos fechados e ilimitados (como $\Delta_M$) em $\mathscr H$,’Não é necessário para o restante deste artigo.

Em outras palavras, basta estudar a dinâmica da Equação (17), uma vez que esclarecemos as sutilezas envolvidas em uma definição explícita de sua expressão integral de caminho sugestivo.

Em vez de reinventar o cálculo semimartingale de Itô/Stratonovich/Malliavin SDE de todo o tecido, vamos proceder com uma série de exemplos simples (flat-metric) que nos levarão à teoria geral.

No final do dia, queremos que a Quantização Integral do Caminho de Feynman corresponda à Quantização Schrödinger, ou pelo menos entender o desvio. Em particular, precisamos da Aproximação Semiclássica para gerar a PDE de Schrödinger para $o(t)$ como $t\downarrow 0$.

Como se vê, ainda há controvérsia sobre o $\mathcal V$ prazo quando a métrica for não uniforme. Nós exploramos este assunto na íntegra abaixo, uma vez que se refere a fórmulas de soma conhecidas (como Selberg) para métricas não planas.

Fórmula Feynman-Kac

Com $V \in C^\infty(M)$, pela Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff:

$$e^{-it/\hbar -\Delta^\hbar_M/2} e^{-it/\hbar V} = e^{-it/\hbar(-\Delta^\hbar_M /2 + V - it/4\hbar [\Delta^\hbar_M,V] + O(t^2))}$$

A Fórmula Feynman-Kac segue a formulação integral do caminho para o Movimento Browniano no espaço euclidiano. O resultado disso é que podemos nos concentrar no $\mathcal V = 0$ caso, então vamos em frente.

A Isometria de Transporte Paralelo $\hat\Gamma$

Tome qualquer vetor em $v \in T_qM$. Transporte Paralelo $\hat\Gamma_t(\gamma)v \in T_{\gamma(t)}M$ é o vetor que você obtém resolvendo o ODE linear de primeira ordem:

$$\begin{aligned} v(0) &= v \\ \nabla_{\dot \gamma(t)}\dot v &= 0 \end{aligned}$$

Notavelmente $\nabla_{\dot \gamma}\hat\Gamma_t(\gamma) = 0$, e o tensor da curvatura $\mathcal R(X,Y) = [\nabla_X,\nabla_Y] - \nabla_{[X,Y]}$ mede a dependência de primeira ordem de $\hat \Gamma$ na escolha da curva $\gamma$ conectando os pontos finais. $\mathcal R = 0 \iff \hat\Gamma_t$ não depende de $\gamma$.

Em outras palavras, se tentássemos decompor o transporte paralelo como movimento infintesimal ao longo $\mathcal B^\perp$ seguido pelo movimento infintitesimal ao longo $\mathcal B$, as equações se tornariam:

$$\begin{aligned} \hat\Gamma(\gamma) &= \hat\Gamma(\gamma|_\mathcal B)\hat\Gamma(\gamma|_{\mathcal B^\perp}) - \frac{1}{2}\mathcal R(\dot{\gamma}|_\mathcal B, \dot{\gamma}|_{\mathcal B^\perp})dt + O(dt^2) \ \\ \nabla_{\dot \gamma}\hat\Gamma(\gamma) &= \nabla_{\dot \gamma|_\mathcal B}\hat\Gamma(\gamma|_{\mathcal B^\perp}) + \nabla_{\dot \gamma|{\mathcal B^\perp}}\hat\Gamma(\gamma|_{\mathcal B}) - \frac{1}{2}\mathcal R(\dot\gamma|_\mathcal B,\dot{\gamma}|_{\mathcal B^\perp}) = 0 \end{aligned}$$

Mecânica Semiclássica

Asymptotics Semiclassical são uma solução exata em Flat Manifolds

O lado direito da equação (16) é a formulação precisa do núcleo de calor para o coeficiente constante (em $q$ métricas $g_{ij}$. Cada coletor plano’a cobertura universal é isométrica ao espaço euclidiano, onde $g_{ij} = \delta_{i-j}$.

Este é o Kernel de Calor padrão $n$Movimento Browniano -dimensional.

Deixar’s esclarece isso, esteja lembrando a função transition neste caso: $\mathcal S_\mathcal L(q_0,t_0, q_f, t_f) = \rho^2(q_0, q_f)/2(t_f - t_i)$, onde $\rho$ é a distância Riemannian entre $q_0$ e $q_f$.
deixar $||q||^2 = q\cdot q$ ser o quadrado da norma euclidiana de $q$:

$$\begin{aligned} RHS^{16}_t(q_0,q_f) &:= \frac{e^{-\mathcal S_\mathcal L(q_0, 0, q_f, t)}}{\sqrt{(2 \pi t)^n}} \sqrt{g(q_f)}\\ \mathcal R=0 \implies \\ &\ = \frac{e^{\frac{-||q_f - q_i||^2}{2t}}}{\sqrt{(2\pi t)^n}} \\ &\ = \int_{\Reals ^n}RHS^{16}_{s}(q_i, q)\ RHS^{16}_{t-s}(q, q_f)\ dq^1...dq^n\ \forall s\in (0, t) \end{aligned}$$

Por que essa última equação é verdadeira? Deixar’s olhar para a imagem do espaço do caminho: temos uma geodésica linha reta que conecta $q_0$ para $q_f$ no tempo $t$, e uma geodésica quebrada que os conecta com o ponto de ruptura intermediário que ocorre em $s$. Efetivamente, estamos integrando a geodésica uma vez quebrada usando a Fórmula Cameron-Martin para representar a geodésica linear como um $g$-campo vetorial invariante $\mathcal B$. Em seguida, integramos os deltas do ponto de ruptura dessa geodésica ($\dot q-\mathcal B$) com um gaussiano centrado para $\Reals^n$.

Explicitamente, dado campo vetorial constante $\mathcal B_t = (q_f - q_0) / t$uma vez quebrada geodésica euclidiana são

$$q(\tau) = \mathcal B_t\tau + q_0 + q\begin{cases} \tau/s & 0\leq\tau\leq s\\ (t - \tau)/(t-s)& s\leq\tau\leq t \end{cases}$$

for fixed $q\in\Reals^n$ representing the “break point” at $s$.

By Equation (12) $(A)$ and $(B)$:

$$\begin{aligned} -\mathcal L(\dot q, q, \tau) &= \begin{equation}\tag{D}-\mathcal L(\dot q(\tau) - \mathcal B_t, q(\tau), \tau) - \mathcal B_t\cdot (\dot q(\tau)-\mathcal B_t) - \frac{1}{2}\mathcal B_t \cdot B_t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{equation}\\ \implies \\ e^{\mathcal -S_\mathcal L(q_0, q, \tau)} &= e^{-\tau||\mathcal B_t||^2/2}e^{-(\mathcal B_t -q_0)\cdot (q(\tau)-\mathcal B_t\tau - q_0) -\mathcal S_{\mathcal L_{\mathcal B_t}(\dot q,q,\tau)}} \\ &= e ^{-\tau||q_f-q_0||^2/2t^2 - \mathcal S_{\mathcal L(\dot q-\mathcal B, q, \tau)}}e^{-(q_f - q_0)/t\ \cdot q \begin{cases} \tau/s & 0\leq\tau\leq s\\ (t-\tau)/(t-s) & s\leq\tau\leq t \end{cases} }\\ \implies\\ \frac{1}{\sqrt{((2\pi)^2 s(t-s))^n}}\int_{\Reals^n} e^{-\mathcal S_{\mathcal L}(q_0,q,s)}e^{\mathcal S_{\mathcal L}(q,q_f,t-s)}dq^1...dq^n &= \frac{e^{-(s+t-s)||q_f - q_0||^2/2t^2}}{\sqrt{((2\pi)^2 s(t-s))^n}} \int_{\Reals^n}e^{-t||q||^2/2s(t-s)} dq^1...dq^n \\ &= \frac{e^{-\rho^2(q_f, q_0)/2t}}{\sqrt{(2\pi t)^n}}\\ &= RHS^{16}_t(q_0,q_f) \ . \end{aligned}$$

Significativamente, construímos $\mathcal B_t$ para que $\dot q - \mathcal B_t$ representou uma geodésica uma vez quebrada em $s$ que começou e terminou em $q_0$e vimos que essas curvas são essencialmente $\mathcal N(0,s\wedge t-s)$ distribuído. No restante deste artigo, vamos decompor $\Reals^n=<\mathcal B_t>\oplus \mathcal B_t^\perp$ e integrar $<\mathcal B_t>$.

O Defeito Integral do Caminho de Curvatura Escalar DeWitt nas Superfícies de Riemann

E se tentássemos usar “sucessivas convoluções” sobre a expressão semi-clássica em Equação (16) para construir o Movimento Browniano em uma variedade curva negativa $M$?

Nós’d obter algo, mas ele’d ser quase Brownian Motion em espaços curvos — precisamos olhar para Feynman-Kac para o defeito em seu gerador infinitesimal. Acontece que haverá um erro de função potencial eficaz $-\frac{1}{6}\bar{\mathcal R}$, onde $\bar{\mathcal R}$ é a curvatura escalar em cada ponto. Foi descoberto pela primeira vez por Bryce DeWitt em 1950.’s, e tornou-se famoso no artigo 1972 McKean-Singer sobre a assintótica de curto prazo do traço do Kernel de Calor, onde este termo representa a contribuição para o Hessian de *a forma métrica *$g_{ij}$ em coordenadas normais. No entanto, na época $\dim = 2$ caso, quando você adiciona todo o potencial corretivo $\mathcal V = -\frac{1}{6}(\bar{\mathcal R} - \frac{1}{4}\bar{\mathcal R}) = \frac{1}{16}\bar{\mathcal R}$ O Hamiltoniano, que é Dewitt’s $\frac{1}{6}\bar{\mathcal R}$ menos a presença de um Campo de Matança $\mathcal B$’s $\frac{1}{24}\mathcal{Ric}(\mathcal B/||\mathcal B||, \mathcal B/||\mathcal B||)$ contribuição, este fator é eliminado da assintótica semiclássica de Selberg-like Trace Formulae.

Mais precisamente, aproximando $1/2\ \nabla\vert_0\sqrt{g} = - 1/6\ \mathcal{Ric}_{ij}q^i\partial^j + o(||q||) \implies 1/2\ \nabla\cdot\nabla\vert_0 \sqrt{g} = -1/6\ \bar{\mathcal R}(0)$, vemos que os primeiros derivados desaparecem na origem, assim:

$$\sqrt{(2\pi t)^n}(\frac{1}{2}\Delta_M-\mathcal V)\vert_0 e^{-\mathcal L(\dot q, q, t)}\sqrt{g(q)} = (\frac{1}{2}\Delta_{\Reals^n}\vert_0 e^{-1/2t\ g_{ij}q^iq^j}) - \mathcal V(0) - \frac{1}{6}\ \bar{\mathcal R}(0)$$

que é o termo original de Dewitt como ele o derivou. Como estamos tendenciosos em quantização na presença de um campo de matança $\mathcal B = \frac{\partial}{\partial x^1}$ , nós tomamos um termo potencial ligeiramente modificado:

$$\sqrt{(2\pi t)^{n}}(\frac{1}{2}\Delta_M-\mathcal V)\vert_{x^1,\vec 0} e^{-\mathcal L_\mathcal B(\dot q, q, t)}\frac{1}{det |I-\mathcal J_\mathcal B|} = (\frac{1}{2}\Delta_{\Reals^n}\vert_{x^1,\vec 0}e^{-x^1x^1/2t}) - \mathcal V(x^1, \vec 0) + \frac{1}{8}\mathcal{Ric}_{11}(x^1, \vec 0).$$

A fórmula geométrica de Cameron-Martin para $g$Campos vetoriais -invariant (Killing) $\mathcal B$ (também conhecido como Quadratic Form Magic, Parte 2).

Assumir $\mathcal B$ é uma $g$-invariante (aka Matança) campo vetorial ativado $M$ pelo restante deste artigo.

Mapa de Desenvolvimento $\tilde \gamma = \mathscr D_q[\tilde c]$ para $\tilde c\in C^\infty([0,t],T_qM)$.

Resolver para $\tilde \gamma$:

$$\begin{aligned} \tilde \gamma(0) &= q \\ \dot {\tilde \gamma} &= \hat\Gamma(\tilde \gamma)\dot{\tilde c}\\ \end{aligned}$$

$\tilde c(\tau)=\int_0^\tau\hat\Gamma_s^{-1}(\tilde\gamma)\dot{\tilde\gamma} ds$ Como o Inverso do Mapa de Desenvolvimento

Noether’s Theorem garante $d({g^{-1}\mathcal B}) = 0$, assim $g^{-1}\mathcal B$ é integrável localmente para $\hat{\mathcal B}$, e seus conjuntos de nível local são ortogonais para $\mathcal B = \nabla \hat{\mathcal B}$. E porque $\hat \Gamma$ preserva a métrica, preserva $\mathcal B$ e $\mathcal B^\perp$:

$$\begin{aligned} \\ \dot{c}\cdot\mathcal B &= 0 \implies\\ \dot{\gamma}\cdot \mathcal B &= 0 \implies\\ \frac{d\hat{\mathcal B}}{dt} &= 0\ , \end{aligned}$$

mais $\gamma$ está contido em um conjunto de níveis de $\hat{\mathcal B}$ sempre $c$ está inteiramente contido dentro de $\mathcal B^\perp \subset T_qM$.
As restrições de curvatura sobre a comutatividade do transporte paralelo garantem que $\gamma(t) \ne q$ em geral. Além disso,

$$\begin{aligned} ||\mathcal B_t|| &= \frac{\rho(q_0,q_f)}{t} \implies \\ \tilde{c}(\tau) - c(\tau) &= \frac{t^2}{\rho^2(q_0,q_f)}\mathcal B_t\int_0^\tau \dot{\tilde c} \cdot \mathcal B_t\ ds\\ &= \mathcal B\int_o^\tau\dot{\tilde c}\cdot \mathcal B \ ds\\ &= \mathcal B\cdot \tilde c(\tau)\ \mathcal B\\ &= d\hat{\mathcal B}(\tilde c)\ \mathcal B \ . \end{aligned}$$

Movimento Brownian em $M$ Euclidean Wiener Measure em $\mathscr D^{-1}$

Fórmula Cameron Martin para o núcleo de calor $k^{\hat{\mathcal H}}_t(q_0,q_f)$ em uma variedade curva negativa $M$, onde $\hat{\mathcal H} = -\Delta/2 +\mathcal V$

Deixar $\Omega^\mathcal B_t(q)$ seja o espaço de curvas contínuas em $M$ originário de $q$ e terminando em $\exp{t\mathcal B}\ q$, e $\mu_t(\omega)$ Seja Global Wiener Measure on $\omega\in \Omega^\mathcal B_t := \set{\Omega^\mathcal B_t(q): q\in M}$, com $E_t^\mathcal B (f|A):=\int_{\Omega^\mathcal B_t} f(\omega) d(\mu_t|A)(\omega)$ e $P^\mathcal B_{\mu_t}(A) := \mu_t(A)/\mu_t(\Omega_t^{\mathcal B})\ \forall A\subset\Omega^\mathcal B_t$ . Equação (26) $(D) \implies$

$$\begin{equation} \tag{E} k^{\hat{\mathcal H}}_t(q_0,\exp{t\mathcal B_t}\ q_0)\sqrt g(q_0)\ dq = \frac{e^{-\rho^2/2t}}{\sqrt{2 \pi t\det{|I-\mathcal J^{\mathcal B}(q_0)|}}} E^\mathcal B_t({e^{-\int_0^t V(\omega(s))ds\ +\ \int_0^t \bar {\mathcal R}(\omega(s))ds/12\ -\ \int_0^t \mathcal {Ric}(\frac{\mathcal B}{||\mathcal B||},\frac{\mathcal B}{||\mathcal B||})(\omega(s))ds/24}\chi_{\Omega^B_t(q_0)}(\omega)}|d\mathcal B^\perp)d\hat{\mathcal B}(q_0) \ \ \ \ \ \ \ \end{equation}$$

onde $\rho=||t\mathcal B_t||=dist(q_0,q_f)$, $\mathcal J^{\mathcal B}(q_0)$ é a matriz de monodromia associada à foliação em $M$ induzido por $\hat{\mathcal B}$ao longo da curva $\tilde \gamma(\lambda) = \exp{\lambda\mathcal B_t}\ (q_0)$, conectando $q_0$ para $q_f$ como $\lambda$ vai de $0$ para $t$. $\mathcal J^{\mathcal B}$ não depende de $t$; e a restrição de curvatura garante $I-\mathcal J^\mathcal B$ é sempre não degenerado para $q_0 \neq q_f$. Substituindo $\mathcal B$ com $-\mathcal B$ reverte as funções de $q_0$ e $q_f$, tão claramente a expressão é simétrica entre eles como esperado.

Desde $\mathcal R$ é constante ao longo $\tilde \gamma$, e $\gamma$ *é uma geodésica (renomalização até o comprimento), $\mathcal J^\mathcal B(q_0)$ é trivialmente computável em termos de Campos Jacobi $\mathcal J(\lambda)$ junto $\tilde \gamma$ que são meramente a solução para os ODEs lineares de segunda ordem do coeficiente constante, avaliados após a evolução ao longo do tempo $\lambda=t$.

Prova desta equação será grist para um artigo preprint, não esta pesquisa, mas é uma aplicação direta da fórmula Feynman-Kac *aplicado a $\mathcal V = \frac{1}{12}(\bar{\mathcal R} - \frac{1}{2} \mathcal {Ric}(\mathcal B / ||\mathcal B||, \mathcal B/||\mathcal B||)$, que é explicitamente computável em ambos os lados da equação, uma vez que todo o cálculo se reduz ao caso de curvatura constante nesse ponto.

Um bom corolário ocorre na constante $\mathcal {Ric}(\frac{\mathcal B}{||\mathcal B||},\frac{\mathcal B}{||\mathcal B||}) = \bar{\mathcal R} / \dim M$ curvatura Gaussiana negativa $-\kappa$ caso, onde $\mathcal B$ desce para um $S^1$ ação em uma superfície de Riemann $M$:

$$\begin{aligned} \det |I - \mathcal J^\mathcal B| = (2 \kappa\sinh(\sqrt{\kappa}\rho/2))^2 \implies \\ \mu_t(\Omega_t^\mathcal B) = \int_{M/S^1\oplus S^1} k^{-\Delta/2}_t(q,\exp{t\mathcal B}\ q) \sqrt g(q)\ dq &= \frac{e^{-\rho^2/2t}}{\sqrt{2\pi t}} \int_{M/S^1\oplus S^1} \frac{1}{2\kappa(q) \sinh \sqrt{\kappa(q)}\rho/2}E^\mathcal B_t(e^{\int_0^t \bar{\mathcal R}(\omega(s))\ ds/16}{\chi_{\Omega^B_t(q)}(\omega)}|d\mathcal B^\perp)d\hat{\mathcal B}(q)\\ &=\frac{e^{-\rho^2/2t\ -\ t\kappa/8}}{\sqrt{2\pi t}\ 2\kappa\sinh \sqrt {\kappa}\rho/2}\ \int_{\mathcal B^\perp\oplus[0,\rho_0]}P^\mathcal B_{\mu_t}(\Omega_t^\mathcal B(d\hat{\mathcal B})|d\mathcal B^\perp), \ \text{ Bayes}\implies\\ &=\frac{e^{-\rho^2/2t\ -\ t\kappa/8}}{\sqrt{2\pi t}\ 2\kappa\sinh \sqrt {\kappa}\rho/2}\ \int_0^{\rho_0} P_{\mu_t}^\mathcal B(\mathcal B^\perp d\hat{\mathcal B}|\Omega_t^\mathcal B(d\hat{\mathcal B}))\frac{P^\mathcal B_{\mu_t}(\Omega_t^\mathcal B(d\hat{\mathcal B}))}{P^\mathcal B_{\mu_t}(\mathcal B^\perp d\hat{\mathcal B})}d\hat{\mathcal B}\\ &=\frac{e^{-\rho^2/2t\ -t\kappa/8}}{\sqrt{2\pi t}\ 2\kappa\sinh \sqrt {\kappa}\rho/2}\ \rho_0\\ \end{aligned}$$

onde $\rho = \min_{q\in M}dist(q, \exp t\mathcal B \ q)$ é a distância da órbita mais curta percorrida sob o $S^1$ ação, e $\rho_0$ é que $\rho$ dividido pela multiplicidade de sua órbita associada. Nos termos familiares da geometria hiperbólica, $\mathcal B^\perp$ são horociclos e o $g$-invariante $S^1$ ação em $\mathcal B$ É dito ser o fluxo hormonal.

Além disso, considere Equação (32) $(E)$ onde $B$ representa uma rotação $g$-simetria invariante em torno de um ponto fixo $q_0$. Depois com $\Omega^0_t$ o conjunto de loops contratáveis contínuos:

$$\mu_t(\Omega_t^0) = \frac{vol(M)}{2\pi t}\int_0^\infty \frac{e^{-\rho^2/2t\ -t\kappa/8}}{\sqrt{2\pi t}\ \kappa\sinh \sqrt {\kappa}\rho/2}\ \rho d\rho$$

Como esta equação é analítica em $\kappa$, podemos ver que a continuação analítica de $\kappa \rightarrow -\kappa$ transforma esta expressão de $\sinh$ para $\sin$ nesse caso temos a equação correta para um fantasma 2-esfera com curvatura Gaussiana positiva constante $|\kappa|$.

Em outras palavras, nós re-derivamos a Fórmula Selberg Trace 2-dimensional via Probabilidade e Geometria, em vez da análise harmônica usual em espaços simétricos.

Exemplo de Curvatura Não Trivial

Para o diffeomorfismo real-valorizado liso $h:\Reals\rightarrow\Reals$ com $h(0)=0$, deixe $ds^2 = (1+h^2(y)) dx^2 + 2h(y) dx\odot dy + dy^2$. Esta métrica tem curvatura Gaussiana negativa $-(\kappa(y)=\frac{d^2}{dy^2}h^2(y)/2)$, que só é constante quando $h(y)$ afeto; e $\det(ds^2)= 1$. Depois com $\hat{\mathcal B}(x,y) = x$, vemos que

$$\mu_t(\Omega_t^\mathcal B) = \frac{e^{-\rho^2/2t}}{2\pi t}\int_{-\infty}^\infty\frac{\rho_0}{2 \sinh \sqrt{\kappa(y)}\rho/2} \int_{\Omega_t^\mathcal B(0,y)}e^{-\int_0^t\kappa(y(s))ds/8}d(\mu_t|\mathcal B^\perp)/dy \ dy$$

Se tomarmos $h(y) := y\sqrt{2y^2/3 + \kappa(0)} \implies \kappa(y) = 4 y^2 + \kappa(0) \gt 0$, então Equação (32) $(E)$ prevê que

$$\mu_t(\Omega_t^\mathcal B) = \frac{e^{-\rho^2/2t -t\kappa(0)/8}}{\sqrt{2\pi t \cosh t}}\int_0^\infty\frac{\rho_0e^{-y^2/2t}}{\sqrt{2\pi t}\sinh \sqrt{4y^2+\kappa(0)}\rho/2 }\ dy$$

que explodem em $0$, como esperado, se também tomarmos $\kappa(0) = 0$. Além disso, como $t\rightarrow 0$, a integral também tem o comportamento assintótico adequado (clumping em torno da curvatura constante $-\kappa(0)$ como se o componente correspondente da Fórmula Selberg Trace estivesse servindo como seu limite semiclássico como $t\rightarrow 0$).

Observáveis, Equação de Evolução e Álgebras de Mentiras

Ação Line-Bundle de Chern-Simons

Notas sobre a dinâmica da relatividade geral

• o eixo de tempo externo é artificial, uma vez que tempo é incorporado na geometria do próprio colector 4-dimensional.
• isso significa que os operadores de evolução estão’t libervaant; somente a equação estacionária de Schrodinger importa.
• a formulação integral do caminho explode por causa do -1 assinatura da métrica Lorenziana no intrínseco tempo direção. $\det{g}$ é negativo, e a Transformação de Fourier em cada pacote de cotangentes’a fibra de s é infinita nessa direção também, a menos que usemos a continuação analítica (aka Rotação de Wick no intrínseco tempo).