Produtos Triplos de Autofunções e Geometria Espectral

Autor

Joe Schaefer

Resumo

Usando técnicas elementares de Análise Geométrica, Equações Diferenciais Parciais e Abeliano $C^*$ Álgebras, descobrimos um romance, mas familiar, invariante geométrico global — a saber, o conjunto indexado de integrais de produtos triplos de autofunções do operador Laplace-Beltrami, para caracterizar com precisão quais variedades isospectrais Riemannianas fechadas são isométricas.

Introdução

Para uma variedade Riemanniana fechada $(M,g)$, caracterizando sua classe de manifolds não isométricos, isospectrais é um tipo de Problema Inverso [DH11] em geometria espectral. Naïvely alguém pode especular que esta classe seria sempre vazio. No entanto, a literatura acadêmica é rica em construções de décadas de pares específicos de contra-exemplos: começando em 1964 com John Milnor.’s 16-dimensional par de não-isométrico, tori plana isospectral [JM64], e continua [CS92] para a caracterização dimensional genérica do tori plano em Alexander Schiemann’s tese de doutorado de 1993 [AS94] — repleto de uma busca auxiliada por computador para o crítico $\dim = 3$ caso. Uma pesquisa moderna da história completa do tori plano aparece em [NRR22].

Ao longo do caminho foram ramificações perspicazes em espaços de cobertura simétricos não-euclidianos mais sofisticados; construindo tal isospectral, não isométrico “duplas” envolvendo tensores de curvatura não triviais (e suas características de Euler determinadas pelo espectro na dimensão 2) [MS67]Um exemplo desse esforço foi Toshikazu Sunada.’s 1985 [TS85] invenção de uma estrutura espacial de propósito geral, que ele então implantou no mesmo trabalho para construir duetos hiperbólicos nas dimensões 2 e 3.

Para métricas Riemannianas não homogêneas, Carolyn Gordon descobriu duetos que nem sequer são isométricos localmente. [CG93].

O trabalho continua em muitas áreas relacionadas [DH11], como determinar as características topológicas da classe de variedades isospectrais, não isométricas em geral (vazio [ST80], finito [AS94], rígido [GK80], e compacto [GZ97]) como um subconjunto de diferentes espaços de módulos das métricas Riemannianas.

O que oferecemos neste artigo é uma nova perspectiva sobre uma ferramenta familiar: coeficientes Fourier indexados de produtos em pares de autofunções como um discreto “invariante algébrico/topológico” para complementar o existente, discreto “invariante analítico” — o espectro não negativo do operador Laplace-Beltrami (aqui referido como o Laplacian) em $ℋ = L^2(M,g)$. Combinados, observamos que o par fornece um “representação geométrica global discreta” das classes de isometria de variedades isospectrais, Riemannianas fechadas.

Resultados

*A simetria desempenha um papel importante em casos computacionalmente tratáveis [TF17] [LS18] [PS94], que é apropriadamente ilustrado em nosso tori plano Exemplo abaixo. No entanto, a força de nossa abordagem é talvez melhor feita aparente no caso de variedades com o menor número de simetrias Riemannianas, que é o caso genérico muitas vezes coincidindo com os autovalores sendo *único *(ou seja, sem multiplicidade não trivial). Neste caso, oferecemos o seguinte

A motivação para o estudo de $\set{M^{i,j,k}}$ é vagamente derivado do estudo do papel do operador de multiplicação bilinear $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ na definição de uma álgebra de operador de vértice [FBZ04] associado a uma teoria de campo conformal quiral. Aqui $V$ é o espaço vetorial dos Estados e $V((z))$ é o espaço da série Laurent formal em $z$ com coeficientes em $V$. Desde $V$ muitas vezes vem equipado como um espaço Hilbert com uma base ortonormal tradicional série Fourier, indexação $Y$ utilizando os elementos de base de Fourier do $V$ é um pouco mais envolvido do que o $M^{i,j,k}$ caso estudado aqui, mas bastante semelhante em espírito. No entanto, uma comparação detalhada está fora do escopo deste artigo.

Se considerarmos o mapa

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

este trabalho estabelece a injetividade deste mapa para variedades Riemannianas fechadas (até a isometria Riemanniana em seu domínio). Outros resultados que aplicam essas técnicas para descrever sua imagem (e inversa), dentro de espaços de métricas de módulos selecionados, estão apenas começando [AA25]. Lá, Anshul Adve aborda rigorosamente os espaços tangentes da unidade de 2 orbifolds compactos e hiperbólicos usando essas mesmas constantes de estrutura da Teoria do Campo Conformal.

Estes resultados foram demonstrados pela primeira vez durante uma palestra similarmente intitulada pelo autor em MSRI em 1997, mas eles aparecem aqui em forma publicada pela primeira vez.

Preliminares

Agora com $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ como acima, para $f \in C^\infty(M)$ e $i \geq 0$ Observe que os coeficientes de Fourier

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

desde $f$ é representável exclusivamente como sua convergência rápida Fourier Series ($\Delta_M$-específicos Sobolev Incorporações [MT13] [RS75]em conjunto com Weyl’Lei assintótica [HW11], implica que os termos na soma são $o(i^{-n})$ uniformemente em $x$ [LH68], $\forall n\in\N$Então vemos que para $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, os coeficientes de Fourier do produto pointwise $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ estão

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x). \end{aligned}$$

e assim, criticamente, qualquer polinômio multivariado $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (em funções suaves) comuta com qualquer preservação de espectro $\Delta$-eigenfunction mapa de base ortonormal $\vec{F}$ que preserva $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

Além disso, se $A\subset M$ é mensurável por Borel, então os resultados acima mantêm-se pontuais para a função característica de $A$ em todos os lugares, exceto ao longo da fronteira de $A$: se $f = f^2$ e $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

e pela singularidade, temos a seguinte identidade

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

Isto implica qualquer mapa de base como acima carrega funções características (como membros de $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) para funções características de forma a preservar a medida.

O objetivo desses cálculos é enfatizar o fato de que $\set{M^{i,j,k}}$ caracteriza a Análise Harmônica do operador de multiplicação pontual em $C^\infty(M)$, que é uma subálgebra densa do Abelian $C^*$ álgebra $C(M)$pelo teorema de Stone-Weierstrass.

Para a rápida convergência dessas somas acima envolvendo $M^{i,j,k}$, note que os produtos de autofunções são lisos, de modo que estes coeficientes de Fourier decaem como acima (em cada índice). Para mais detalhes, veja Emmett Wyman’trabalho em 2022 com esses coeficientes no que se refere à desigualdade do triângulo nos autovalores [EW22].

Note: Podemos sempre assumir

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

onde $\delta_i$ É o delta de Kronecker. Desde $vol(M)$ é um invariante espectral [HW11], esta informação já está disponível a partir de considerações de isospectralidade.

Prova de Teorema

Por necessidade, deixe $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ ser uma isometria entre variedades Riemannianas fechadas, e deixar a base ortonormal alvo de autofunções em $L^2(N,h)$ seja o pull-back via $F$ da base ortonormal $\set{e^i}$ em $(M,g)$ acima. Desde

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

Nós somos feitos com o argumento da necessidade porque $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

Para a suficiência, nós consideramos agora o mapa linear, bijective da base da autofunção ortonormal $\vec{F}$ de $C^\infty(M)$ para $C^\infty(N)$ e observe que, a partir dos cálculos no Preliminares acima, $\vec{F}$ preserva produtos pontuais para funções suaves (e preserva funções características quando estendido a $L^2(M,g)$) pela premissa de que $\set{M^{i,j,k}}$ é invariante sob este mapa.

Lemma

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ preserva a norma uniforme.

Prova de Lemma

Deixar $\set{a_i}$ ser uma partição suave da unidade em $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

Assim $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (Kronecker delta).

Pelo teorema da convergência dominada,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

que é uma função característica de medida positiva em cada subconjunto disjuntivo $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. Isso significa que o Lemma é comprovado para cada $a_j$, uma vez que a função característica limitante de um conjunto com medida positiva é preservada, e, portanto, tem norma uniforme 1, assim como $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$, por Diagrama (5).

Sem perda de generalidade, podemos aplicar o resultado de caso especial mostrado para a partição suave da unidade $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, onde $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ tem medida positiva, e o Lemma é provado na íntegra.

Desde $\set {\bar e^i}$ é também uma base de Fourier para $L^2(M,g)$, é claro da Equação (3) que $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. Isso significa que em um conjunto denso de $C(M)$ (e $C(N)$), estabelecemos $\vec{F}$ como um isomorfismo de Abelian $C^*$ álgebras, e assim pode ser estendido a um isomorfismo de $C(M)$ e $C(N)$ na mesma categoria.

Agora, aplicamos o Teorema da Representação de Gelfand-Naimark (em forma de funtor contravariante) para o unital Abeliano. $C^*$ álgebras [JC19] para representar este isomorfismo por um homeomorfismo $F$ entre $N$ e $M$. Como é bijetivo em funções suaves, também deve ser suave.

Como este agora diffeomorfismo $F$ preserva autovalores e autofunções (por hipótese sobre $\vec{F}(f) = f\circ F$), deve preservar o Laplaciano em funções suaves. Por isso, também deve preservar os principais símbolos desses mesmos operadores elípticos. [MT13]. Os principais símbolos do Laplaciano são simplesmente outro meio de expressar a métrica Riemanniana nas variedades em questão.

Isso completa a prova do Teorema.

Discussão da Conjectura

Com $\set{M_0^{i,j,k}}$ e $\set{M_1^{i,j,k}}$ representando os dois conjuntos de triplo produto para as bases $\set{e_0^i}$ e $\set{e_1^i}$, deixe $z_i \in \set{-1,1}$ seja o $\Z_2^\infty$ ação em tal $\R$-base ortonormal valorizada $\set{e_1^i}$. Assim, precisamos escolher $z_i$ para que $\set{z_ie_1^i}$ rendimentos $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$.

Por que é esse o caso? Em geral, o grupo de simetria que atua no espaço de possíveis bases ortonormais de autofunções é o espaço de Operadores Unitários $U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ que se deslocam com projeções $P_{\mathcal V_\lambda}$ para os eigenspaces de dimensão finita $\mathcal V_{\lambda}$ associado a cada autovalor individual $\lambda$ do Laplaciano. Portanto

$$\begin{aligned} P_{\mathcal V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathcal V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

é a imagem de $M^{i,j,k}$ sob $U$’ação base s $e^i \mapsto U(e^i)$.

Agora, sob as condições da conjectura, cada um dos $\mathcal V_\lambda$ são espaços vetoriais unidimensionais sobre $\Complex$, mas isso também significa que eles são espaços vetoriais unidimensionais $\Reals$, e assim o grupo multiplicativo completo da simetria é $O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

Sem a restrição de multiplicidade, a conjectura’s pré-requisito associado “acordo em valores absolutos” simplesmente se tornaria “preservação do conjunto ordenado de valores singulares de $\set{M^{i,j,k}}$ (contado com multiplicidade), quando visto como uma coleção de mapas de $\mathcal V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathcal V_{\lambda_j}, \mathcal V_{\lambda_k}^*)$”, que são um conjunto robusto de invariantes unitários. Estamos significativamente menos confiantes de que esta conjectura generalizada é verdadeira, uma vez que pode ser possível produzir um contra-exemplo através de construção Sunada explícita.

Voltando à conjectura original, observamos que a prova envolve estabelecer esta implicação:

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,r,i}M_0^{s,s,j}M_0^{t,t,k}}{M_1^{r,r,i}M_1^{s,s,j}M_1^{t,t,k}}\, .$$

Podemos esperar que, para qualquer $k$, $M_0^{i,i,k}$ não pode ser idêntico $0$ para todos $i$. Além disso, a fórmula para $z_k$ requer ambos $i$-independência, e suficiência, para estabelecer o mapa base $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ preservas $\set{M_0^{i,j,k}}$. Todos esses aspectos permanecem desconhecidos.

No entanto, vamos calcular algumas identidades relevantes para que algum futuro pesquisador intrépido possa se aprofundar nessa conjectura:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \inf_{f\in \mathscr H_k^\perp} \frac{||df \cdot df||^2}{||f||^2} &= \lambda_{k+1}\text{ , with }f=\pm e^{k+1}\ .\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ \sum_{\ell}Q_\ell(f,f)e^\ell &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)M^{i,j,\ell}e^\ell\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)(M^{i,i,\ell} + M^{j,j,\ell} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^\ell})e^\ell\\ = g^2 &= \sum_{i,j,\ell}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,\ell}e^\ell\implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

Note: para o caso unidimensional do flat-tori abaixo, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ desde $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$ É uma verdadeira derivação.

Exemplo

Deixar $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ ser indexado, classificação $n$ treliça de Lie Algebra pesos para a representação do espaço quociente de $\frak{g}=\Reals^n$ como campos vetoriais invariantes (i.e., constantes) de tradução em si mesmos, quando $\R^n$ também é visto como $\frak{g}$’s associado Grupo Lie sobre um toro definido por $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. Esses pesos definem elevadores integráveis de 1 formas sobre o toro que se integram a funções lineares $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ como seu grupo Lie (cobrindo o torus). Estes funcionais lineares podem então ser uniformemente redimensionados (por $2\pi \sqrt{-1}$) e exponenciado para formar caracteres multiplicativos que descem para formar uma base ortonormal de $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, com medida Lebesgue (Haar) $dx$.

Além disso, esta base diagonaliza simultaneamente o toro plano’Laplaciano porque o Laplaciano é a imagem de um elemento quadrático simétrico, negativo-definido de Casimir sob esta (operador diferencial linear coeficiente constante) representação quociente do espaço da álgebra envolvente universal. Assim, seus autovalores estão em proporção constante (de $4\pi^2$) ao Casimir-elemento-determinado-comprimento-quadrado de cada caractere’peso na rede.

Nós atualmente vemos a base acima

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

ser nossa base de Fourier aplicável em Teorema de autofunções ortonormais (caracteres multiplicativos) (desta representação quociente do elemento Euclidiano Casimir (negativo) diretamente correspondente a $\set{\lambda_i}$. Por nosso Teorema’hipóteses, devemos ter $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (com a norma euclidiana sobre os pesos).

Agora podemos computar

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Como esta equação é only invariante sob transformações lineares na estrutura de peso $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$, somente um $L^2$ Mapa de base de auto-função ortonormal que é induzido a partir de um mapa linear invertível de preservação de volume entre dois desses rank indexados $n$ as redes do peso manterão “algébrico/topológico” conjunto de dados indexados $\set{M^{i,j,k}}$ invariante.

No entanto, para aplicar o nosso TeoremaÉ essencial que um mapa linear $B$ ser $B\in SO(n,\Reals)$ sobre a rede do peso, porque o induzido $L^2$ mapa base de autofunção

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

deve também preservar o “analítico” invariáveis — a figura induzida pelo elemento Casimir $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ para cada peso indexado, ou seja, os autovalores individuais do’Laplaciano.

Esta conta de representação-teórica [AK01] é exatamente equivalente ao desenvolvimento anterior da congruência *lattice *[NRR22] tradicionalmente utilizado para delinear classes de isometria de toros planos. Na verdade, a matriz transpõe tal mapa linear $B\in SO(n,\Reals)$, conforme descrito no parágrafo anterior, é a contravariante isometria Riemanniana entre o tori, conforme previsto pela aplicação do Gelfand-Naimark Representation Theorem durante o Prova do nosso Teorema.

Agradecimentos

A pesquisa original foi financiada em parte por um gracioso Prêmio de Pesquisa James Simons em 1995-1996, e o generoso apoio de um Alfred P. Sloan Dissertation Fellowship em 1996-1997 na Universidade de Stony Brook.

O autor também gostaria de agradecer Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri, e especialmente Leon Takhtajan por sua assistência técnica e revisão na preparação deste manuscrito para publicação.