Triple productos de autofunciones y geometría espectral

[VERIFICADO] Última actualización realizada por Joe Schaefer en dom., 28 abr. 2024    origen
 

La superficie mínima de Lawson ξ6,1 estereográficamente proyectada de S3 a R3

No de autores

Joe Schaefer

Resumen

Uso de técnicas elementales de análisis geométrico, ecuaciones diferenciales parciales y abeliano CC^* Algebras, descubrimos una invariante geométrica global novedosa pero familiar —

Introducción

Para un colector Riemannian cerrado (M,g)(M,g), caracterizando su clase de colectores isospectrales no isométricos, es un tipo de problema inverso [DH11] en geometría espectral. Uno podría especular ingenuamente que esta clase siempre estaría vacía. Sin embargo, la literatura académica es rica en construcciones de décadas de pares específicos de contraejemplos: a partir de 1964 con el par de 16 dimensiones de tori plano isospectral no isométrico de John Milnor. [JM64]y continuando [CS92] hacia la caracterización dimensional genérica de tori plano en la tesis doctoral de Alexander Schiemann de 1993 [AS94] — repleto de una búsqueda asistida por computadora para la crítica dim=3\dim = 3 caso. Un estudio moderno de la historia completa del tori plano aparece en [NRR22].

A lo largo del camino fueron reveladoras ramificaciones en espacios de cobertura simétrica más sofisticados y no euclidianos; la construcción de tales “duetas” isospectrales y no isométricos que involucran tensores de curvatura no triviales (y sus características de Euler determinadas por el espectro en la dimensión 2) [MS67]Un ejemplo de este esfuerzo fue el de Toshikazu Sunada en 1985. [TS85].

Para métricas riemannianas inhomogéneas, Carolyn Gordon descubrió dúos que ni siquiera son isométricos localmente. [CG93].

Continúa el trabajo en muchas áreas relacionadas [DH11], como determinar las características topológicas de la clase de colectores isospectrales, no isométricos en general (vacío) [ST80], finito [AS94], rígido [GK80]y compacto [GZ97].

Lo que ofrecemos en este artículo es una nueva perspectiva sobre una herramienta familiar: los coeficientes de Fourier indexados de productos pareados de funciones propias como una discreta “invariante algebraica/topológica” para complementar la existente, discreta “invariante analítica” — el espectro no negativo del operador Laplace-Beltrami (en lo sucesivo denominado Laplaciano) en L2(M,g)L^2(M,g)

resultados


Teorema

Dada una (no disminución de los valores propios) base ortonormal de las funciones propias {ei}i=0\set{e^i}_{i=0}^{\infty} para el laplaciano (no negativo) ΔM\Delta_M activado L2(M,g)L^2(M,g) asociado con un múltiple Riemannian cerrado (M,g)(M,g)

Mi,j,k:=Meiejekˉgdx M^{i,j,k} := \int_M e^i e^j \bar{e^k} \sqrt{g} dx

Para ser isométrico (M,g)(M,g), es una condición necesaria y suficiente para que otro iosospectral cerrara el múltiple riemanniano para tener una base ortonormal de autofunciones (para su laplaciano) que tanto preserva los autovalores asociados como posee un invariante {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}


  • La simetría* juega un papel importante en los casos manejables computacionalmente [TF17] [LS18] [PS94], que se ilustra acertadamente en nuestro tori plano Ejemplo.

Conjetura

Si cada valor propio tiene multiplicidad 11, dado un par de bases ortodormales preservadoras de autovalor como se describe en la hipótesis del teorema, los colectores son isométricos si y solo si el {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}


La motivación para el estudio de {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}} se deriva vagamente del estudio del rol del operador de multiplicación lineal Y:VVV((z))Y:V\otimes V\rightarrow V((z)) en la definición de un álgebra de operador de vértice [FBZ04] asociado con una Teoría de Campo Conformal Chiral. Aquí VV es el espacio vectorial de los Estados y V((z))V((z)) es el espacio de la serie formal Laurent en zz con coeficientes en VV. Desde VV a menudo viene equipado como un espacio de Hilbert con una base ortopédica tradicional de la serie Fourier, indexando YY utilizando los elementos básicos de Fourier de VV sólo está ligeramente más implicado que Mi,j,kM^{i,j,k}

Estos resultados se demostraron por primera vez durante una charla similar titulada por el autor en MSRI en 1997, pero aparecen aquí en forma publicada por primera vez.

No de preliminares

Ahora con M,g,ei,Mi,j,kM,g,e^i,M^{i,j,k} como se ha indicado anteriormente, ya que fC(M)f \in C^\infty(M) y i0i \geq 0

f^(i):=Mf(x)eiˉ(x)g(x)dx    f(x)=i=0f^(i)ei(x).\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}

desde ff es singularmente representable como su rápida convergencia Fourier Series (ΔM\Delta_M-incrustaciones específicas de Sobolev [MT13] [RS75]junto con la Ley Asintótica de Weyl [HW11], implican que los términos de la suma son o(in)o(i^{-n}) * uniformemente en xx* [LH68], nN\forall n\in\N.) Entonces vemos que para f1,f2C(M)f_1, f_2 \in C^\infty(M), los coeficientes de Fourier del producto en sentido puntual f1f2C(M)f_1 f_2 \in C^\infty(M)

f1f2^(k)=i,jf1^(i)f2^(j)Mi,j,k    f1f2(x)=i,j,kf1^(i)f2^(j)Mi,j,kek(x)f1=f2p, p N    kf1^(k)ek(x)=i1,...,ip,kf2^(i1)...f2^(ip)Mi1,i2,i3Mi2,i3,i4...Mip1,ip,kek(x).\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}

y así, críticamente, cualquier polinomio multivariante C[z1,,zl]\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l] (en funciones fluidas) se conmuta con cualquier preservación del espectro Δ\Delta-eigenfunction mapa de base ortonormal FF que preserva {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

C(M, Cl)C(M)FFl timesFC(N, Cl)C(N)\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{F\oplus\dots\oplus F}_{l\space\text{times}}VV @VVFV\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}

Además, si AMA\subset M es medible por Borel, entonces los resultados anteriores mantienen la función característica de AA en todas partes excepto a lo largo del límite de AA: si f=f2f = f^2 y A:={xMf(x)=1}A:=\set{x\in M|f(x)=1}

if^(i)ei(x)=i,j,kf^(i)f^(j)Mi,j,kek(x)={1xA˚0xA˚\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}

y por singularidad, tenemos la siguiente identidad

f^(k)=i,jf^(i)f^(j)Mi,j,k  k0    f=f2 a.e.\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}

Esto implica que cualquier mapa de base como el anterior tiene funciones características (como miembros de L2(M,g)L1(M,g)L^2(M,g)\subset L^1(M,g)

El objetivo de estos cálculos es enfatizar el hecho de que {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}} caracteriza el análisis armónico del operador de multiplicación pointwise en C(M)C^\infty(M), que es un denso subalgebra de los abelianos CC^* Álgebra C(M)C(M)

Para la rápida convergencia de estas sumas que implican Mi,j,kM^{i,j,k}, tenga en cuenta que los productos de las funciones propias son suaves, por lo que estos coeficientes de Fourier decaen como arriba (en cada índice). Para más detalles, vea el trabajo de Emmett Wyman en 2022 con estos coeficientes en relación con la desigualdad del triángulo en los valores propios. [EW22].

Nota: siempre podemos asumir

e0=M0,0,0=1/vol(M)    M0,j,k=Mj,0,k=δjk /vol(M)\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}

donde δi\delta_i es el delta de Kronecker. Desde vol(M)vol(M) es una invariable espectral [HW11].

Prueba del teorema

Por necesidad, que F:(N,h)(M,g)F:(N,h)\rightarrow (M,g) ser una isometría entre los colectores Riemannian cerrados, y dejar que la base ortonormal objetivo de las funciones propias en L2(N,h)L^2(N,h) ser el retroceso mediante FF de la base ortonormal {ei}\set{e^i} activado (M,g)(M,g)

Mi,j,k=Meiejekˉgdy=Nei(F(x))ej(F(x))ekˉ(F(x))hdx\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}

hemos terminado con el argumento de la necesidad.

Para la suficiencia, ahora consideramos el mapa de bases ortopédicas lineales y bijetivas FF desde C(M)C^\infty(M) para C(N)C^\infty(N) y señalar que a partir de los cálculos de Preliminar arriba, FF conserva los productos en sentido puntual para funciones suaves (y conserva las funciones características cuando se amplía a L2(M,g)L^2(M,g)) por la premisa de que {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

Lemma

F:C(M)C(N)F: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N) mantiene la norma uniforme.

Prueba de Lemma

Vamos {ai}\set{a_i} ser una división suave de la unidad en MM

1=iai(x)=i,jai^(j)ej(x)=jej(x)iai^(j)\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}

Así iai^(j)=δjvol(M)\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}

Por el teorema de convergencia dominado,

limpjajp^(k)=˙j{aj=1}ekˉ(x)gdx\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx

que es una función característica de la medida positiva en cada subconjunto separado {xMaj(x)=1}\set{x\in M | a_j(x) = 1}. Esto significa que el Lemma está probado para cada aja_j, ya que se conserva la función característica limitante de un conjunto con medida positiva, y por lo tanto tiene norma uniforme 1, al igual que todas las ajp, F(ajp)=F(aj)p, pNa_j^p,\space F(a_j^p)=F(a_j)^p,\space p\in\N

Sin pérdida de generalidad, podemos aplicar el resultado de caso especial mostrado para la división suave de la unidad {f/f,1f/f}\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace, donde {xM f(x)=f} \set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}

Esto significa que en un denso conjunto de C(M)C(M) (y C(N)C(N)), hemos establecido FF como un isomorfismo de Abelian CC^* álgebras, y por lo tanto puede extenderse a un isomorfismo de C(M)C(M) y C(N)C(N)

Ahora aplicamos el teorema de representación de Gelfand-Naimark (en forma de funtor contravariante) para Abelian CC^* álgebras [JC19] representar este isomorfismo por un homeomorfismo entre NN y MM

Como este ahora diffeomorfismo preserva los valores propios y las funciones propias (por hipótesis sobre FF), debe preservar el laplaciano en funciones suaves. Por lo tanto, también debe preservar los símbolos principales de estos mismos operadores elípticos. [MT13].

Esto completa la prueba del teorema.

Discusión de la Conjetura

Con {M0i,j,k}\set{M_0^{i,j,k}} y {M1i,j,k}\set{M_1^{i,j,k}} representando los dos conjuntos de triple producto para las bases {e0i}\set{e_0^i} y {e1i}\set{e_1^i}, dejar zi{1,1}z_i \in \set{-1,1} ser el Z2\Z_2^\infty acción sobre tal R\R-base ortopédica valorada {e1i}\set{e_1^i}. Por lo tanto, tenemos que elegir ziz_i para que {zie1i}\set{z_ie_1^i} rendimiento {M1i,j,k}={zizjzkM0i,j,k}\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}

Observamos necesariamente que

zk=M0i,i,k/M1i,i,k  i,kN,M0i,i,k0.z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.

Desde para cualquier kk, M0i,i,kM_0^{i,i,k} no puede ser idéntico 00 para todos ii, esta fórmula para zkz_k requiere tanto ii-independencia y suficiencia, para establecer el mapa base e0izie1ie_0^i \mapsto z_i e_1^i conservas {M0i,j,k}\set{M_0^{i,j,k}}

Ejemplo ##

Vamos {λi}Rn\set{\lambda_i} \subset \R^n ser una clasificación indexada nn enrejado de los pesos de Lie Algebra para la representación espacial cociente de g=Rn\frak{g}=\Reals^n como campos vectoriales invariantes de traducción (es decir, constantes) en sí mismos, cuando Rn\R^n también se considera g\frak{g}Grupo de Lie asociado sobre un toro definido por Rn/AZn,AGL(n,R)\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals). Estos pesos definen ascensores integrables de 1 forma sobre el toro que se integran a funciones lineales. <xλi, xRn\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n como su grupo de mentiras (que cubre el toro). Estas funciones lineales pueden entonces ser reescaladas uniformemente (por 2π12\pi \sqrt{-1}) y exponenciados para formar caracteres multiplicativos que descienden para formar una base ortonormal de L2(Rn/AZn,dx)L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx), con la medida Lebesgue (Haar) dxdx

Además, esta base diagonaliza simultáneamente el laplaciano del toro plano porque el laplaciano es la imagen de un elemento cuadrático cuadrático simétrico, negativo-definido de Casimir bajo esta (operador diferencial lineal de coeficiente constante) representación del espacio cociente del álgebra envolvente universal. Por lo tanto, sus valores propios están en proporción constante (de 4π24\pi^2

Actualmente vemos la base anterior

{e2π1xλi/detA}i=0\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty

ser nuestra base teórico-aplicable de Fourier de funciones propias ortonormales (carácter multiplicativo) (de esta representación cociente del elemento (negativo) euclidiano Casimir) directamente correspondiente a {λi}\set{\lambda_i}. Por las hipótesis de nuestro teorema, debemos tener i<j    λiλji < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert

Ahora podemos calcular

Mi,j,k={1/detAλi+λjλk=00otherwiseM^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

Como esta ecuación es lineal en la red de peso (A1)tZn={λi}(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}, sólo un L2L^2 mapa de base de función propia ortonormal ** que se induce a partir de un mapa lineal invertible que preserva el volumen entre dos de tales indexados, rango nn las celosías de peso** mantendrán el conjunto de datos indexado “algebraico/topológico” {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

Sin embargo, para aplicar nuestra Teorema, es esencial que este mapa lineal BB ser BO(n,R)B\in O(n,\Reals) en la celosía de peso, porque el L2L^2

{e2π1xBλi/detA}i=0\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty

también deben preservar las invariantes “analíticas” — figura inducida por el elemento Casimir 4π2λi24\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2

Esta cuenta teórica de representación [AK01] es exactamente equivalente al desarrollo previo de congruencia de látex [NRR22] se utiliza de forma comercial para delinear las clases de isometría de tori plano. De hecho, la matriz transpone tal mapa lineal BO(n,R)B\in O(n,\Reals), tal como se describe en el párrafo anterior, es la isometría contravariante de Riemann entre el tori, según lo dispuesto por la aplicación del Teorema de Representación de Gelfand-Naimark durante el Prueba de nuestros Teorema.

No de acuses de recibo

La investigación original fue financiada en parte por un gracioso Premio de Investigación James Simons en 1995-1996, y el generoso apoyo de un Alfred P. Sloan Dissertation Fellowship en 1996-1997 en la Universidad de Stony Brook.

El autor también desea agradecer a Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri, y especialmente a Leon Takhtajan por su asistencia técnica y revisión en la preparación de este manuscrito para su publicación.