Triple producto de autofunciones y geometría espectral

Autor

Joe Schaefer

Resumen

Uso de técnicas elementales del Análisis Geométrico, Ecuaciones Diferenciales Parciales y Abeliano $C^*$ Algebras, Descubrimos una invariante geométrica global novedosa pero familiar — es decir, el conjunto indexado de integrales de productos triples de funciones propias del operador Laplace-Beltrami, para caracterizar con precisión qué colectores Riemannianos cerrados isospectrales son isométricos.

Introducción

Por un colector Riemanniano cerrado $(M,g)$, caracterizando su clase de colectores isospectrales no isométricos, es un tipo de problema inverso [DH11] en geometría espectral. Se podría especular ingenuamente que esta clase siempre estaría vacía. Sin embargo, la literatura académica es rica en construcciones de décadas de antigüedad de pares específicos de contraejemplos: a partir de 1964 con el par de tori plano isospectral no isométrico de 16 dimensiones de John Milnor. [JM64]y continuando [CS92] hacia la caracterización dimensional genérica de tori plano en la tesis doctoral de Alexander Schiemann de 1993 [AS94] — repleto de una búsqueda asistida por computadora para el crítico $\dim = 3$ caso. Un estudio moderno de la historia completa de los tori planos aparece en [NRR22].

A lo largo del camino fueron vástagos perspicaces en espacios de cobertura simétricos más sofisticados, no euclidianos; construyendo tales espacios isospectrales, no isométricos. “vencimientos” que implican tensores de curvatura no triviales (y sus características de Euler determinadas por el espectro en la dimensión 2 [MS67]Un buen ejemplo de este esfuerzo fue el de Toshikazu Sunada en 1985. [TS85] Invención de un marco espacial de uso general, que luego desplegó en el mismo trabajo para construir dúos hiperbólicos en las dimensiones 2 y 3.

Para las métricas riemannianas no homogéneas, Carolyn Gordon descubrió dúos que ni siquiera son isométricos localmente. [CG93].

El trabajo continúa en muchas áreas relacionadas [DH11], como la determinación de las características topológicas de la clase de colectores isospectrales, no isométricos en general (vacío [ST80], finito [AS94], rígido [GK80]y compacto [GZ97]) como un subconjunto de diferentes espacios modulares de métricas riemannianas.

What we offer in this article is a new perspective on a familiar tool: Coeficientes de Fourier indexados de productos pareados de funciones propias como un “invariable algebraico/topológico” complementar la actual y discreta “invariante analítica” — el espectro no negativo del operador Laplace-Beltrami (en lo sucesivo denominado el laplaciano) en $ℋ = L^2(M,g)$. Combinado, observamos que el par proporciona un “representación geométrica global discreta” de las clases de isometría de los colectores isospectrales, Riemannianos cerrados.

Resultados

La simetría juega un papel importante en los casos computacionalmente trazables [TF17] [LS18] [PS94], que se ilustra adecuadamente en nuestro tori plano Ejemplo abajo. Sin embargo, la fuerza de nuestro enfoque tal vez se haga más evidente en el caso de los colectores con el menor número de simetrías de Riemann, que es el caso genérico. En este caso, ofrecemos lo siguiente:

 

La motivación para el estudio de $\set{M^{i,j,k}}$ se deriva libremente del estudio del papel del operador de multiplicación bilinear $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ en la definición de álgebra de operador de Vertex [FBZ04] Teoría de Campo Conformal Chiral. Aquí $V$ es el espacio vectorial de los Estados y $V((z))$ es el espacio de la serie formal Laurent en $z$ con coeficientes en $V$. Desde $V$ A menudo viene equipado como un espacio de Hilbert con una serie tradicional de Fourier base ortonormal, indexación $Y$ utilizando los elementos básicos de Fourier de $V$ está un poco más implicada que la $M^{i,j,k}$ caso estudiado aquí, pero bastante similar en espíritu. Sin embargo, una comparación detallada está fuera del alcance de este artículo.

Si consideramos el mapa

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

Este artículo establece la inyectividad de este mapa para los colectores de Riemann cerrados (hasta la isometría de Riemann en su dominio). Otros resultados que aplican estas técnicas para describir su imagen (e inversa), dentro de espacios selectos de módulos de métricas, apenas están comenzando [AA25]. Allí, Anshul Adve aborda rigurosamente los espacios tangentes unitarios de 2-orbifolds compactos e hiperbólicos utilizando estas mismas constantes de estructura de la Teoría de Campo Conformal.

El caso genérico métrico de Riemann se caracteriza completamente por el estudio de $\set{\lambda_i, M^{i,\bar i,k}}$.

Estos resultados se demostraron por primera vez durante una charla titulada de manera similar por el autor en MSRI en 1997, pero aparecen aquí en forma publicada por primera vez.

Preliminares

Ahora con $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ como arriba, pues $f \in C^\infty(M)$ y $i \geq 0$ Tenga en cuenta que los coeficientes de Fourier

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x) \end{aligned}$$

desde $f$ es representable de forma única, ya que su convergencia rápida Serie Fourier ($\Delta_M$-incrustaciones específicas de Sobolev [MT13] [RS75]junto con la Ley Asintótica de Weyl [HW11]los términos de la suma son $o(i^{-n})$ uniforme en $x$ [LH68], $\forall n\in\N$.) Entonces vemos que para $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, los coeficientes de Fourier del producto puntual $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ son

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x) \end{aligned}$$

y así, críticamente, cualquier polinomio multivariante $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (en funciones lisas) comuta con cualquier preservación del espectro $\Delta$-eigenfunction orthonormal base mapa $\vec{F}$ que preserva $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

Además, si $A\subset M$ es medible por Borel, luego los resultados anteriores se mantienen en el sentido de la función característica de $A$ en todas partes excepto a lo largo del límite de $A$: si $f = f^2$ y $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

y por singularidad, tenemos la siguiente identidad

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

Esto implica que cualquier mapa de base como el anterior lleva funciones características (como miembros de $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) a las funciones características de una manera que preserva la medida.

El punto de estos cálculos es enfatizar el hecho de que $\set{M^{i,j,k}}$ caracteriza el análisis armónico del operador de multiplicación puntual en $C^\infty(M)$, que es una densa subalgebra del Abeliano $C^*$ álgebra $C(M)$por el teorema Stone-Weierstrass.

Para la rápida convergencia de estas sumas que implican $M^{i,j,k}$, tenga en cuenta que los productos de funciones propias son lisos, por lo que estos coeficientes de Fourier decaen como se indica anteriormente (en cada índice). Para más detalles, véase el trabajo de Emmett Wyman en 2022 con estos coeficientes en relación con la desigualdad del triángulo en los valores propios. [EW22].

Note: siempre podemos asumir

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

donde $\delta_i$ Es el delta de Kronecker. Desde $vol(M)$ es una invariante espectral [HW11], esta información ya está disponible a partir de consideraciones de isospectralidad.

Prueba de teorema

Por necesidad, que $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ ser una isometría entre múltiples Riemannianos cerrados, y dejar que la base ortonormal objetivo de las funciones propias en $L^2(N,h)$ ser el retroceso mediante $F$ de la base ortonormal $\set{e^i}$ activado $(M,g)$ arriba. Desde

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

terminamos con el argumento de la necesidad porque $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

Para la suficiencia, ahora consideramos el mapa lineal, bijetivo de la función propia ortonormal $\vec{F}$ desde $C^\infty(M)$ a $C^\infty(N)$ y tenga en cuenta que a partir de los cálculos Preliminares arriba, $\vec{F}$ Preserva los productos de sentido común para funciones suaves (y preserva las funciones características cuando se extienden a $L^2(M,g)$) con la premisa de que $\set{M^{i,j,k}}$ invariante en este mapa.

Lemma

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ Preserva la norma uniforme.

Prueba de Lemma

Permitir $\set{a_i}$ ser una partición fluida de la unidad en $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

Así pues, $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (delta de Kronecker).

Por el teorema de convergencia dominado,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

que es una función característica de la medida positiva en cada subconjunto separado $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. Esto significa que el Lemma está probado para cada $a_j$, ya que se conserva la función característica limitante de un conjunto con medida positiva, y por lo tanto tiene una norma uniforme 1, como todos los $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$, por Diagrama (5).

Sin pérdida de generalidad, podemos aplicar el resultado de caso especial mostrado para la partición suave de la unidad $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$donde $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ tiene una medida positiva, y el Lemma está probado en su totalidad.

Desde $\set {\bar e^i}$ constituye también una base de Fourier para $L^2(M,g)$, queda claro en la ecuación (3) que $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. Esto significa que en un conjunto denso de $C(M)$ (y $C(N)$), hemos establecido $\vec{F}$ como un isomorfismo de Abeliano $C^*$ álgebras, y por lo tanto puede extenderse a un isomorfismo de $C(M)$ y $C(N)$ en la misma categoría.

Ahora aplicamos el Teorema de Representación de Gelfand-Naimark (en forma de functor contravariante) para unital Abelian $C^*$ álgebras [JC19] para representar este isomorfismo por un homeomorfismo $F$ celebrado entre $N$ y $M$. Dado que es bijetivo en funciones lisas, también debe ser suave.

Como ahora el diffeomorfismo $F$ preserva los valores propios y las funciones propias (por hipótesis sobre $\vec{F}(f) = f\circ F$), debe preservar al laplaciano en funciones suaves. Por lo tanto, también debe preservar los símbolos principales de estos mismos operadores elípticos. [MT13]. Los símbolos principales del Laplaciano son simplemente otro medio de expresar la métrica Riemanniana en los colectores en cuestión.

Esto completa la prueba del teorema.

Discusión de Corolarios

Con $\set{M_0^{i,j,k}}$ y $\set{M_1^{i,j,k}}$ que representan los dos conjuntos de productos triples para las bases $\set{e_0^i}$ y $\set{e_1^i}$, vamos $z_i \in U_1$ ser el $U_1^\infty$ acción sobre una base ortonormal $\set{e_1^i}$. Por lo tanto, tenemos que elegir $z_i$ para que $\set{z_ie_1^i}$ rendimientos $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$.

¿Por qué es este el caso? En general, el grupo de simetría que actúa sobre el espacio de posibles bases ortonormales de funciones propias es el espacio de Operadores Unitarios. $U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ que viajan con proyecciones $P_{\mathcal V_\lambda}$ en los espacios de ocho dimensiones finitas $\mathcal V_{\lambda}$ asociado a cada valor propio individual $\lambda$ de los laplacianos. Por lo tanto

$$\begin{aligned} P_{\mathcal V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathcal V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

es la imagen de $M^{i,j,k}$ bajo $U$acción de base $e^i \mapsto U(e^i)$.

Bajo las condiciones del Corolario 2, cada uno de los $\mathcal V_\lambda$ son espacios vectoriales unidimensionales sobre $\Complex$, pero eso también significa que son espacios vectoriales unidimensionales sobre $\Reals$, por lo que el grupo de simetría multiplicativa completa es $O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

En términos más generales, el requisito previo asociado “con respecto al acuerdo en valores absolutos” serían simplemente “preservación del conjunto ordenado de valores singulares de $\set{M^{i,j,k}}$ (contado con multiplicidad), cuando se ve como una colección de mapas de $\mathcal V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathcal V_{\lambda_j}, \mathcal V_{\lambda_k}^*)$”, que son un conjunto robusto de invariantes unitarios. Estamos significativamente menos seguros de que esta conjetura generalizada es cierta, ya que puede ser posible producir un contraejemplo a través de la construcción explícita de Sunada.

Volviendo al Corolario 1, observamos que la prueba implica establecer esta implicación:

$$z_k = M_0^{i,\bar i,k} / M_1^{i,\bar i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,\bar r,i}M_0^{s,\bar s,j}M_0^{t,\bar t,k}}{M_1^{r,\bar r,i}M_1^{s,\bar s,j}M_1^{t,\bar t,k}}\, .$$

Podemos esperar que por cualquier $k>0$, $M_0^{i,i,k}$ no puede ser idéntico $0$ para todos $i$, ya que es una condición genéricamente verdadera, pero falsa para casos específicos como el caso de tori plano cubierto en el ejemplo a continuación. Además, la fórmula para $z_k$ requiere tanto $i$-independencia, y suficiencia, para establecer el mapa base $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ conserva $\set{M_0^{i,j,k}}$.

Esbozamos una prueba de Corolario 1 (suficiencia) por debajo del siguiente conjunto de fórmulas.

Sin embargo, vamos a calcular algunas identidades relevantes para que algunos intrépidos futuros investigadores puedan profundizar en la conjetura generalizada:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \inf_{f\in \mathscr H_k^\perp} \frac{||df \cdot df||^2}{||f||^2} &= \lambda_{k+1}\text{ , with }f=\pm e^{k+1}\ .\\ \text {So the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ \sum_{\ell}Q_\ell(f,f)e^\ell &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)M^{i,j,\ell}e^\ell\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)(M^{i,i,\ell} + M^{j,j,\ell} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^\ell})e^\ell\\ = g^2 &= \sum_{i,j,\ell}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,\ell}e^\ell\implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

Nota: para el estuche de torsión plana unidimensional a continuación, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ desde $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$ es una verdadera derivación.

Prueba de corolarios

Now consider the famous associativity relations from Conformal Field Theory:

$$\begin{aligned} e^ie^je^k = \sum_\ell\bra{e^ie^j}\ket{\bar{e^k}e^\ell}e^\ell &= \sum_{\ell,r} M^{i,j,r}\bar M^{\bar k,\ell,r}e^\ell\\ &= \sum_{\ell,r} M^{i,k,r}\bar M^{\bar j,\ell,r}e^\ell\ \therefore\\ i = \bar j, \ell = k\text{ and relabeling } \implies \\ \sum_r M^{i,\bar i,r}\bar M^{j,\bar j,r} &= \sum_r |M^{i,j,r}|^2 \end{aligned}$$

Corolario 1 se deriva del hecho de que $z_k\in U_1$ está bien definido, y la observación previa de que los operadores algebraicos definidos por $z_iz_jz_kM_0^{i,j,k}$ y $M_1^{i,j,k}$ son ambos asociativos, y están de acuerdo con la multiplicación de la función puntual por cuadrados de valores absolutos de las funciones propias, cuyo álgebra generada también es densa en $L^2(M,g)$ (de nuevo por Stone-Weierstrass, ya que se presume que separa puntos). Establecimiento $\det M^{i,\bar i,k} \ne 0$ infinitamente a menudo en submatrices de dimensiones finitas sería suficiente para este propósito.

¿Por qué? Permitir $\mathscr V$ ser el espacio vectorial generado por $\set{|e_i|^2}$y $\mathscr W$ para $\set{e^i}$. Luego el diagrama conmutativo

$$\begin{CD} \mathscr V @>M^{i,i,k}e^k >> \mathscr W\\ @V\set{|e^i|^2(x)}VV @VV\set{e^i(x)}V\\ \Complex^\N @>>M^{i,i,k} > \Complex^\N \end{CD}$$

y la surjetividad de $M^{i,i,k}$ implica $\ker = 0$ para el mapa de evaluación $\set{|e^i|^2(x)}$, así que $\mathscr V$ separa puntos siempre que se mantenga la condición determinante no decreciente.

Así que están de acuerdo en todas partes.

$$\forall k>0\ \exists\ i>0\ ⋺ M^{i,\bar i,k} \ne 0.$$

La suficiencia del Corolario 2 sigue observando que la ecuación es genéricamente cierto, al igual que la condición determinante que no desaparece en el párrafo anterior. Y si por alguna elección de $i,j,k$, el producto $M^{i,\bar i,k} \bar M^{j,\bar j,k}$ En desacuerdo entre bases, estarían en desacuerdo en cada par de bases.

¿Por qué? Dado que se puede presumir que los colectores genéricos también tienen espectros de multiplicidad 1, esto reduce el grupo de simetría completo a $U_1^\infty$ donde estos productos son invariantes, contradiciendo el Teorema 1. Esto establece la necesidad de la hipótesis, y completa la prueba.

Esto completa la prueba de los Corolarios.

Ejemplo

Permitir $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ ser una clasificación indexada $n$ enrejado de Lie Algebra pesos para el cociente espacio representación de $\frak{g}=\Reals^n$ como campos vectoriales invariantes de traducción (es decir, constantes) en sí mismos, cuando $\R^n$ también se considera $\frak{g}$el Grupo Lie asociado sobre un toro definido por $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. Estos pesos definen elevadores integrables de 1 forma sobre el toro que se integran a los funcionales lineales. $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ como su grupo de mentiras (que cubre el toro). Estas funciones lineales se pueden volver a escalar uniformemente (por $2\pi \sqrt{-1}$) y exponenciado para formar caracteres multiplicativos que descienden para formar una base ortonormal de $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, con la medida Lebesgue (Haar) $dx$.

Además, esta base diagonaliza simultáneamente el Laplaciano del toro plano porque el Laplaciano es la imagen de un elemento cuadrático simétrico, negativo-definido Casimir bajo este cociente (coeficiente de operador diferencial lineal constante) representación espacial del álgebra envolvente universal. Por lo tanto, sus valores propios están en proporción constante (de $4\pi^2$) al casimir-elemento-determinado-longitud-cuadrado del peso de cada personaje en la red.

Actualmente consideramos la base anterior

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

ser nuestra base de Fourier aplicable al teorema de funciones propias ortonormales (carácter multiplicativo) (de esta representación cociente del elemento (negativo) Euclidiano Casimir) directamente correspondiente a $\set{\lambda_i}$. Por las hipótesis de nuestro teorema, debemos tener $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (con la norma euclidiana sobre los pesos).

Ahora podemos calcular

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Como esta ecuación es solamente invariante bajo transformaciones lineales en la red de pesas $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$, sólo un $L^2$ mapa de base de funciones propias ortonormales que se induce a partir de un mapa lineal invertible que preserva el volumen entre dos de dichos rangos indexados $n$ cerraduras de peso mantendrá “algebraico/topológico” juego de datos indexados $\set{M^{i,j,k}}$ invariante.

Sin embargo, para aplicar nuestra TeoremaEs esencial que este mapa lineal $B$ ser $B\in SO(n,\Reals)$ en la red de pesas, porque el $L^2$ mapa de la base de la función propia

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

debe preservar también “analítico” invariables — la cifra inducida por el elemento Casimir $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ para cada peso indexado, es decir, los valores propios individuales del laplaciano de flat-tori.

Esta representación-cuenta teórica [AK01] es exactamente equivalente al desarrollo previo de congruencia de la rejilla [NRR22] tradicionalmente utilizado para delinear clases de isometría de tori plano. De hecho, la matriz transpone tal mapa lineal $B\in SO(n,\Reals)$, como se describe en el párrafo anterior, es la contravariante isometría riemanniana entre los tori, según lo dispuesto por la aplicación del teorema de representación de Gelfand-Naimark durante la Prueba de nuestra Teorema.

Reconocimientos

La investigación original fue financiada en parte por un gracioso Premio de Investigación James Simons en 1995-1996, y el generoso apoyo de un Alfred P. Sloan Dissertation Fellowship en 1996-1997 en la Universidad de Stony Brook.

El autor también desea dar las gracias a Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri y especialmente a Leon Takhtajan por su asistencia técnica y revisión en la preparación de este manuscrito para su publicación.