Тройные продукты собственных функций и спектральной геометрии

[ПОДТВЕРЖДЕНО] Последнее обновление от Joe Schaefer на вс, 28 апр. 2024    источник
 

Минимальная поверхность Лоусона ξ6,1 стереографически спроецирована с S3 на R3

Автор

Шефер, Джо

Абстрактный

Использование элементарных методов геометрического анализа, частичных дифференциальных уравнений и абеля CC^* Алгебры, мы раскрываем новый, но знакомый, глобальный геометрический инвариант —

Введение

За закрытый риманский многообразие (M,g)(M,g), характеризуя его класс неизометрических, изоспектральных многообразий является типом обратной задачи [DH11] в спектральной геометрии. Наивно можно предположить, что этот класс всегда будет пустым. Однако академическая литература богата многолетними конструкциями специфических пар контрпримеров: начиная с 1964 года с 16-мерной пары неизометрических, изоспектральных плоских тори Джона Мильнора. [JM64]и продолжается [CS92] к общей размерной характеристике плоских тори в докторской диссертации Александра Шимана 1993 года [AS94] — заполнить с помощью компьютера поиск критического dim=3\dim = 3 случай. Современный обзор истории плоских тори появляется в [NRR22].

По пути были проницательные ответвления в более сложные, неевклидовые симметричные пространства покрытия; построение таких изоспективных, неизометрических «дуэтов» с участием нетривиальных тензоров кривизны (и их спектральных характеристик Эйлера в измерении 2 [MS67].) Ярким примером этого усилия был Тосикадзу Сунада в 1985 году. [TS85].

Для неоднородных показателей Римана Кэролин Гордон обнаружила дуэты, которые даже не являются изометрическими. [CG93].

Работа продолжается во многих смежных областях [DH11], например, определение топологических характеристик класса изоспектральных, неизометрических многообразий вообще (пусто) [ST80], конечный [AS94], жесткий [GK80], и компактный [GZ97].

То, что мы предлагаем в этой статье, – это новый взгляд на знакомый инструмент: индексированные коэффициенты Фурье парных продуктов собственных функций как дискретный «алгебраический/топологический инвариант», дополняющий существующий дискретный «аналитический инвариант» — неотрицательный спектр оператора Лапласа-Белтрами (далее – Лапласиан) на L2(M,g)L^2(M,g)

результатов


Теорема

При наличии (неуменьшающейся на собственных величинах) ортонормальной основы собственных функций {ei}i=0\set{e^i}_{i=0}^{\infty} для (неотрицательного) лапласиана ΔM\Delta_M включено L2(M,g)L^2(M,g) связан с закрытым риманским многообразием (M,g)(M,g)

Mi,j,k:=Meiejekˉgdx M^{i,j,k} := \int_M e^i e^j \bar{e^k} \sqrt{g} dx

Быть изометрическим (M,g)(M,g), это необходимое и достаточное условие для другого **изоспектрального ** замкнутого риманского многообразия, чтобы иметь ортонормальную основу собственных функций (для его лаплациан), которые оба сохраняют связанные собственные ценности и обладают инвариантом {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}


Симметрия играет важную роль в вычислительных случаях [TF17] [LS18] [PS94], что уместно проиллюстрировано в наших плоских тори Пример.


Гипотеза

Если каждое собственное значение имеет множественность 11, учитывая пару собственных значений, сохраняющих ортормальные основания, как описано в гипотезе Теоремы, многообразия являются изометрическими, если и только если {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}


Мотивация к изучению {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}} является свободно производным от изучения роли оператора линейного умножения Y:VVV((z))Y:V\otimes V\rightarrow V((z)) в определении алгебры оператора вершины [FBZ04] Теория Чирального Конформального Поля. Здесь VV Векторное пространство государств и V((z))V((z)) является пространством формальной серии Лорана в zz с коэффициентами в VV. С VV часто поставляется в качестве пространства Гильберта с традиционной ортонормальной основой серии Фурье, индексирование YY использование базовых элементов Фурье VV только немного больше, чем Mi,j,kM^{i,j,k}

Эти результаты были впервые продемонстрированы во время аналогичного озаглавленного выступления автора в MSRI в 1997 году, но они появляются здесь в опубликованной форме впервые.

Предварительные ограничения

Теперь с M,g,ei,Mi,j,kM,g,e^i,M^{i,j,k} как выше, для fC(M)f \in C^\infty(M) и i0i \geq 0

f^(i):=Mf(x)eiˉ(x)g(x)dx    f(x)=i=0f^(i)ei(x).\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}

начиная с ff является уникальным, поскольку его быстро сходится Fourier Series (ΔM\Delta_M-специфические вставки Соболева [MT13] [RS75]вместе с асимптотическим законом Вейля [HW11], подразумевают условия в сумме o(in)o(i^{-n}) равномерно в xx* [LH68], nN\forall n\in\NЗатем мы видим это для f1,f2C(M)f_1, f_2 \in C^\infty(M), коэффициенты Фурье точечного продукта f1f2C(M)f_1 f_2 \in C^\infty(M)

f1f2^(k)=i,jf1^(i)f2^(j)Mi,j,k    f1f2(x)=i,j,kf1^(i)f2^(j)Mi,j,kek(x)f1=f2p, p N    kf1^(k)ek(x)=i1,...,ip,kf2^(i1)...f2^(ip)Mi1,i2,i3Mi2,i3,i4...Mip1,ip,kek(x).\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}

и т. д., критически, любой многомерный многочлен C[z1,,zl]\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l] (по плавным функциям) выключает с любым сохранением спектра Δ\Delta- карта собственной функции ортонормальной основы FF которые сохраняют {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

C(M, Cl)C(M)FFl timesFC(N, Cl)C(N)\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{F\oplus\dots\oplus F}_{l\space\text{times}}VV @VVFV\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}

Более того, если AMA\subset M Борель-измеряемый, тогда результаты выше удерживают точечно для *характеристической функции AAвезде, кроме границы AA: если f=f2f = f^2 и A:={xMf(x)=1}A:=\set{x\in M|f(x)=1}

if^(i)ei(x)=i,j,kf^(i)f^(j)Mi,j,kek(x)={1xA˚0xA˚\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}

и по уникальности мы имеем следующую идентичность

f^(k)=i,jf^(i)f^(j)Mi,j,k  k0    f=f2 a.e.\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}

Это означает, что любая такая базовая карта, как указано выше, несет характерные функции (как члены L2(M,g)L1(M,g)L^2(M,g)\subset L^1(M,g)

Цель этих вычислений – подчеркнуть тот факт, что {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}} характеризует Гармонический анализ оператора точечного умножения на C(M)C^\infty(M)что является плотной субальгеброй Авеля CC^* алгебра C(M)C(M)

Для быстрого сближения этих вышеуказанных сумм, включающих Mi,j,kM^{i,j,k}Обратите внимание, что продукты собственных функций являются гладкими, поэтому эти коэффициенты Фурье распадаются, как указано выше (в каждом индексе). Более подробно см. работу Эмметта Уаймана в 2022 году с этими коэффициентами, поскольку она связана с треугольным неравенством по собственным ценностям. [EW22].

Примечание: мы всегда можем предположить

e0=M0,0,0=1/vol(M)    M0,j,k=Mj,0,k=δjk /vol(M)\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}

где δi\delta_i Это дельта Кронекера. С vol(M)vol(M) является спектральным инвариантом [HW11].

Доказательство теоремы

По необходимости, пусть F:(N,h)(M,g)F:(N,h)\rightarrow (M,g) быть изометрией между замкнутыми римановскими многообразиями и позволить целевой ортонормальной основе собственных функций на L2(N,h)L^2(N,h) быть откатом через FF ортонормальной основы {ei}\set{e^i} включено (M,g)(M,g)

Mi,j,k=Meiejekˉgdy=Nei(F(x))ej(F(x))ekˉ(F(x))hdx\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}

Мы делаем это с аргументом о необходимости.

Для достаточности, мы теперь рассмотрим линейную, биометрическую ортонормальную основную карту собственной функции FF из C(M)C^\infty(M) по C(N)C^\infty(N) и обратите внимание, что из расчетов в Предварительные ограничения выше, FF сохраняет точечные продукты для гладких функций (и сохраняет характерные функции при расширении до L2(M,g)L^2(M,g)По предположению, что {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

Лемма

F:C(M)C(N)F: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N) сохраняет единую норму.

Доказательство Леммы

Отпустить {ai}\set{a_i} быть гладким разделением единства на MM

1=iai(x)=i,jai^(j)ej(x)=jej(x)iai^(j)\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}

Таким образом iai^(j)=δjvol(M)\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}

господствующей теоремой конвергенции,

limpjajp^(k)=˙j{aj=1}ekˉ(x)gdx\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx

которая является характерной функцией положительного измерения на каждом несвязанном подмножестве {xMaj(x)=1}\set{x\in M | a_j(x) = 1}. Это означает, что Лемма доказана для каждого aja_j, поскольку ограничивающая характерная функция набора с положительной мерой сохраняется, и, следовательно, имеет равномерную норму 1, как и все ajp, F(ajp)=F(aj)p, pNa_j^p,\space F(a_j^p)=F(a_j)^p,\space p\in\N

Без потери общности мы можем применить специальный результат случая, показанный для плавного раздела единства {f/f,1f/f}\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace, где {xM f(x)=f} \set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}

Это означает, что на плотном наборе C(M)C(M)C(N)C(N)), мы установили FF как изоморфизм абеля CC^* алгебры и, таким образом, могут быть расширены до изоморфизма C(M)C(M) и C(N)C(N)

Теперь применим теорему представления Гельфанда-Наймарка (в форме противоположного функтора) к Абеляну. CC^* алгебры [JC19] представлять этот изоморфизм гомеоморфизмом между NN и MM

Поскольку этот теперь диффеоморфизм сохраняет собственные ценности и собственные функции (по гипотезе о FF), он должен сохранять лаплациан на гладких функциях. Следовательно, он также должен сохранить основные символы этих же эллиптических операторов. [MT13].

Это подтверждает теорию.

Обсуждение гипотезы

С {M0i,j,k}\set{M_0^{i,j,k}} и {M1i,j,k}\set{M_1^{i,j,k}} представление двух наборов трех продуктов для баз {e0i}\set{e_0^i} и {e1i}\set{e_1^i}, позвонить zi{1,1}z_i \in \set{-1,1} быть Z2\Z_2^\infty действия по такому R\R-ценная ортонормальная основа {e1i}\set{e_1^i}. Таким образом, мы должны выбрать ziz_i поэтому {zie1i}\set{z_ie_1^i} доходность {M1i,j,k}={zizjzkM0i,j,k}\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}

Мы обязательно видим, что

zk=M0i,i,k/M1i,i,k  i,kN,M0i,i,k0.z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.

С тех пор любой kk, M0i,i,kM_0^{i,i,k} не может быть одинаковым 00 для всех iiФормула для zkz_k требует обоих ii-независимость и достаточность, для установления базисной карты e0izie1ie_0^i \mapsto z_i e_1^i консервы {M0i,j,k}\set{M_0^{i,j,k}}

Пример

Отпустить {λi}Rn\set{\lambda_i} \subset \R^n быть индексированным, рангом nn решетка весов алгебры Ли для пространственного представления коэффициента g=Rn\frak{g}=\Reals^n как трансляционные инвариантные (т.е. постоянные) векторные поля на себе, когда Rn\R^n также рассматривается как g\frak{g}Связанная группа Ли над тором, определенным Rn/AZn,AGL(n,R)\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals). Эти веса определяют интегрируемые лифты 1-форм над тором, которые интегрируются с линейными функциями <xλi, xRn\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n как группа лжи (покрывающая тор). Эти линейные функции затем могут быть равномерно восстановлены (по 2π12\pi \sqrt{-1}) и образовывает мультипликативные символы, которые спускаются для формирования ортонормальной основы L2(Rn/AZn,dx)L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx), с мерой Лебега (Хаар) dxdx

Более того, эта основа одновременно диагонализирует лаплациан плоского тора **потому что **лаплациан представляет собой изображение симметричного, отрицательно-определенного квадратического элемента Казимира под этим (постоянным коэффициентом линейного дифференциального оператора) пространственное представление универсальной обволакивающей алгебры. Следовательно, его собственные величины находятся в постоянной пропорции (из 4π24\pi^2

В настоящее время мы рассматриваем вышеуказанную основу

{e2π1xλi/detA}i=0\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty

быть нашим Теоремоприменимым Фурье основанием ортонормальных (мультипликативного характера) собственных функций (этого условного представления (отрицательного) евклидово-казимирского элемента), непосредственно соответствующих {λi}\set{\lambda_i}. Согласно нашим гипотезам, мы должны иметь i<j    λiλji < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert

Теперь можно вычислить

Mi,j,k={1/detAλi+λjλk=00otherwiseM^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

Поскольку это уравнение является линейным на весовой решетке (A1)tZn={λi}(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}, только L2L^2 ортонормальная собственнофункция базисная карта которая индуцируется из объем-сохранения обратимой линейной карты между двумя такими индексированные, ранга nn весовые решетки сохранят «алгебраический/топологический» индексированный набор данных {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

Для того, чтобы применить ТеоремаОчень важно, чтобы такая линейная карта BB быть BO(n,R)B\in O(n,\Reals) на весовой решетке, потому что L2L^2

{e2π1xBλi/detA}i=0\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty

Необходимо также сохранить «аналитические» инварианты — Казимир-элемент индуцированная фигура 4π2λi24\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2

Теоретический отчет [AK01] точно эквивалентно предшествующей разработке решетчатой конгруэнтности* [NRR22] Традиционно используется для определения классов изометрии плоских тори. На самом деле, матрица переносит такую линейную карту BO(n,R)B\in O(n,\Reals), как описано в предыдущем параграфе, ** представляет собой противоположную римановскую изометрию между торами, как это предусмотрено применением Теоремы представления Гельфанда-Наймарка во время Подтверждение нашего Теорема.

Число подтверждений

Первоначальное исследование было частично профинансировано любезной исследовательской премией Джеймса Саймонса в 1995-1996 годах и щедрой поддержкой Альфреда П. Диссертационная стипендия Слоуна в 1996-1997 годах в Университете Стоуни Брука.

Автор также хотел бы поблагодарить Таню Кристиансен, Кэролин Гордон, Хамида Хезари, Хариша Сешадри и особенно Леона Тахтаджана за их техническую помощь и обзор в подготовке этой рукописи к публикации.