Тройные продукты собственных функций и спектральной геометрии

Автор

Джо Шефер

Аннотация

Использование элементарных методов геометрического анализа, частичных дифференциальных уравнений и Абеля $C^*$ Алгебры, мы раскрываем роман, но знакомый, глобальный геометрический инвариант — индексированный набор интегралов тройных продуктов собственных функций оператора Лаплас-Белтрами, чтобы точно охарактеризовать, какие изоспектральные замкнутые риманские коллектора являются изометрическими.

Введение

Для закрытого риманского коллектора $(M,g)$, характеризующий свой класс неизометрических изоспектральных коллекторов, является типом обратной задачи [DH11] Спектральная геометрия. Наивно можно предположить, что этот класс всегда будет пустым. Однако академическая литература богата многолетними конструкциями конкретных пар контрпримеров: начиная с 1964 года с 16-мерной пары неизометрических, изоспектральных плоских тори Джона Мильнора [JM64], и продолжается [CS92] к общей размерной характеристике плоских тори в докторской диссертации Александра Шимана 1993 года [AS94] — повторный поиск с помощью компьютера для критического $\dim = 3$ случай. Современный обзор полной плоской истории тори появляется в [NRR22].

По пути были проницательные ответвления в более сложные, неевклидовые симметричные покрытия пространств; построение таких изоспектральных, неизометрических “дуэты” с участием нетривиальных тензоров кривизны (и их спектрально-определяемых характеристик Эйлера в измерении 2) [MS67].) Ярким примером этого усилия был Тосикадзу Сунада 1985 года [TS85] изобретение универсального покрытия космического каркаса, которое он затем развернул в той же работе для построения гиперболических дуэтов в размерах 2 и 3.

Для неоднородных метрик Римана Кэролин Гордон обнаружила дуэты, которые даже не являются локальными изометрическими [CG93].

Работа продолжается во многих смежных областях [DH11], например, определение топологических характеристик класса изоспектральных, неизометрических коллекторов в целом (пусто) [ST80], конечный [AS94], жесткий [GK80], и компактный [GZ97]) как подмножество различных модульных пространств риманских метрик.

What we offer in this article is a new perspective on a familiar tool: индексированные коэффициенты Фурье парных продуктов собственных функций как дискретных “алгебраический/топологический инвариант” в дополнение к существующему, дискретному “аналитический инвариант” — Неотрицательный спектр оператора Лаплас-Белтрами (именуемого в дальнейшем Лапласиан) $ℋ = L^2(M,g)$. В сочетании, мы наблюдаем, как пара обеспечивает “дискретное глобальное геометрическое представление” изометрических классов изоспектральных, закрытых риманских коллекторов.

Результаты

Симметрия играет важную роль в вычислительно трактуемых случаях [TF17] [LS18] [PS94], что уместно проиллюстрировано в нашем плоском тори Пример ниже. Однако сила нашего подхода, пожалуй, лучше всего проявляется в случае многообразий с наименьшим количеством риманновских симметрий, что является общим случаем. В данном случае мы предлагаем:

 

Мотивация к изучению $\set{M^{i,j,k}}$ является следствием изучения роли билинейного оператора умножения $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ в определении алгебры оператора Vertex [FBZ04] Это связано с хиральной теорией формального поля. Здесь $V$ Векторное пространство государств и $V((z))$ это пространство формальной серии Лоран в $z$ с коэффициентами в $V$. С $V$ часто оснащается как пространство Гильберта с традиционной ортонормальной основой серии Фурье, индексируя $Y$ с использованием элементов основы Фурье $V$ Это лишь немного больше, чем $M^{i,j,k}$ Случай изучался здесь, но довольно похож по духу. Однако подробное сравнение выходит за рамки данной статьи.

Если рассматривать карту

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

Настоящая статья устанавливает инъекцию этой карты для закрытых риманских коллекторов (до риманновской изометрии в ее области). Дальнейшие результаты, которые применяют эти методы для описания своего изображения (и обратного), в отдельных модульных пространствах метрик, только начинаются [AA25]. Там Аншул Адве скрупулезно справляется с узловыми касательными пространствами компактных, гиперболических 2-разнообразных, используя те же структурные константы из теории формального поля.

Общий случай метрики Римана полностью характеризуется изучением $\set{\lambda_i, M^{i,\bar i,k}}$.

Эти результаты были впервые продемонстрированы во время аналогичной речи автора в MSRI в 1997 году, но они впервые появляются здесь в опубликованном виде.

Прелиминары

Теперь с $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ как выше, для $f \in C^\infty(M)$ и $i \geq 0$ Обратите внимание, что коэффициенты Фурье

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x) \end{aligned}$$

начиная с $f$ является уникальным, так как его быстро сходящиеся Fourier Series ($\Delta_M$-специфические встраивания Соболева [MT13] [RS75]вместе с асимптотическим законом Вейла [HW11], подразумевают условия в сумме $o(i^{-n})$ однородно в $x$ [LH68], $\forall n\in\N$Тогда мы видим, что для $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, коэффициенты Фурье точечного продукта $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ являются

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x) \end{aligned}$$

и так, критически, любой многомерный полином $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (на плавных функциях) commutes с любым сохранением спектра $\Delta$-собственная функция ортонормальная основа карта $\vec{F}$ которые сохраняют $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

Кроме того, если $A\subset M$ Борель-измеримый, тогда результаты выше держат точечно для характерной функции $A$ везде, кроме границы $A$: если $f = f^2$ и $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

и по уникальности, мы имеем следующую идентичность

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

Это означает, что любая карта базиса, как указано выше, несет характерные функции (как члены $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) для характерных функций в мер-сохранении.

Суть этих вычислений заключается в том, чтобы подчеркнуть тот факт, что $\set{M^{i,j,k}}$ характеризует Гармонический анализ оператора умножения точки на $C^\infty(M)$, который является плотной субальгеброй Авелия $C^*$ алгебра $C(M)$Теорема Стоуна-Вейерштрасса.

Для быстрого сближения вышеуказанных сумм, включающих $M^{i,j,k}$, обратите внимание, что продукты собственных функций гладкие, поэтому эти коэффициенты Фурье распадаются как выше (в каждом индексе). Для получения более подробной информации см. работу Эмметта Уаймана в 2022 году с этими коэффициентами, поскольку она связана с неравенством треугольника на собственных ценностях. [EW22].

Note: Мы всегда можем предположить

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

где $\delta_i$ Это дельта Кронекера. С $vol(M)$ спектральный инвариант [HW11], эта информация уже доступна из соображений изоспектральности.

Доказательство теоремы

В случае необходимости, пусть $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ быть изометрией между замкнутыми римановыми многообразиями и позволять целевой ортонормальной основе собственных функций на $L^2(N,h)$ быть возвратом через $F$ ортонормальной основы $\set{e^i}$ включено $(M,g)$ выше. С

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

Мы делаем аргумент о необходимости, потому что $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

Для достаточности мы теперь рассмотрим линейную, биективную ортонормальную карту основы собственной функции $\vec{F}$ из $C^\infty(M)$ по $C^\infty(N)$ и обратите внимание, что из расчетов в Прелиминары выше, $\vec{F}$ сохраняет точечные продукты для плавных функций (и сохраняет характерные функции при расширении до $L^2(M,g)$В соответствии с предпосылкой, что $\set{M^{i,j,k}}$ Инвариант под этой картой.

Лемма

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ сохраняет единую норму.

Доказательство Леммы

Пусть $\set{a_i}$ быть гладким разделением единства на $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

Таким образом $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (Дельта кронекера).

По доминирующей теории конвергенции,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

которая является характерной функцией положительной меры для каждого несвязанного подмножества $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. Это означает, что Лемма доказана для каждого $a_j$, так как ограничивающая характерная функция множества с положительной мерой сохраняется и, следовательно, имеет единообразную норму 1, как и все $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$Диаграмма (5).

Без потери общности мы можем применить результат особого случая, показанный для гладкого раздела единства $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, где $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ имеет положительную меру, и Лемма доказана в полной мере.

С $\set {\bar e^i}$ также является основой Фурье для $L^2(M,g)$Из уравнения (3) ясно, что $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. Это означает, что на плотном наборе $C(M)$ (и) $C(N)$), мы установили $\vec{F}$ как изоморфизм Абеля $C^*$ алгебры, и, таким образом, могут быть расширены до изоморфизма $C(M)$ и $C(N)$ в той же категории.

Теперь мы применяем теорему представления Гельфанда-Наймарка (в контравариантной форме фанктора) для унитального Абеля $C^*$ алгебры [JC19] представлять этот изоморфизм гомеоморфизмом $F$ между $N$ и $M$. Поскольку он является биективным для гладких функций, он также должен быть гладким.

Как это теперь диффеоморфизм $F$ сохранение собственных значений и собственных функций (по гипотезе о $\vec{F}(f) = f\circ F$), он должен сохранить Лапласиан на плавных функциях. Следовательно, он также должен сохранять основные символы этих же эллиптических операторов. [MT13]. Основные символы лаплацианского языка являются просто еще одним средством выражения римановской метрики на рассматриваемых многообразиях.

Это завершает доказательство теории.

Обсуждение Corollaries

С $\set{M_0^{i,j,k}}$ и $\set{M_1^{i,j,k}}$ представление двух тройных наборов продуктов для баз $\set{e_0^i}$ и $\set{e_1^i}$, пусть $z_i \in U_1$ быть $U_1^\infty$ действия на такой ортонормальной основе $\set{e_1^i}$. Таким образом, мы должны выбрать $z_i$ поэтому $\set{z_ie_1^i}$ доходность $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$.

Почему это так? В целом, группа симметрии, действующая на пространство возможных ортонормальных оснований собственных функций, является пространством унитарных операторов. $U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ которые работают с прогнозами $P_{\mathcal V_\lambda}$ на конечно-мерные пространства $\mathcal V_{\lambda}$ связанное с каждым индивидуальным значением $\lambda$ Лаплацианский. Поэтому

$$\begin{aligned} P_{\mathcal V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathcal V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

это изображение $M^{i,j,k}$ под $U$базовое действие $e^i \mapsto U(e^i)$.

В соответствии со статьей 2, каждый из $\mathcal V_\lambda$ одномерном векторном пространстве над $\Complex$, но это также означает, что они являются одномерными векторными пространствами над $\Reals$, и поэтому полная группа мультипликативной симметрии $O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

В более общем плане соответствующее предварительное условие “о соглашении в абсолютных величинах” просто стать “сохранение упорядоченного набора единичных значений $\set{M^{i,j,k}}$ (считается с множественностью), при просмотре как набор карт из $\mathcal V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathcal V_{\lambda_j}, \mathcal V_{\lambda_k}^*)$”, которые являются надежным набором унитарных инвариантов. Мы значительно менее уверены в том, что эта обобщенная гипотеза верна, так как может быть возможно получить контрпример через явную конструкцию Сунады.

Возвращаясь к Королларию 1, мы видим, что доказательство включает в себя установление этого вывода:

$$z_k = M_0^{i,\bar i,k} / M_1^{i,\bar i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,\bar r,i}M_0^{s,\bar s,j}M_0^{t,\bar t,k}}{M_1^{r,\bar r,i}M_1^{s,\bar s,j}M_1^{t,\bar t,k}}\, .$$

Мы надеемся, что для любого $k>0$, $M_0^{i,i,k}$ не может быть идентичным $0$ для всех $i$, поскольку это общее истинное условие, но ложное для конкретных случаев, таких как случай плоского тори, описанный в примере ниже. Кроме того, формула для $z_k$ требует обоих $i$-независимость и достаточность, чтобы установить основу карты $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ консервы $\set{M_0^{i,j,k}}$.

Мы рисуем доказательство Corollary 1 (достаточность) ниже следующего набора формул.

Тем не менее, давайте вычислим некоторые релевантные личности, чтобы некоторые бесстрашные будущие исследователи могли изучить обобщенную гипотезу:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \inf_{f\in \mathscr H_k^\perp} \frac{||df \cdot df||^2}{||f||^2} &= \lambda_{k+1}\text{ , with }f=\pm e^{k+1}\ .\\ \text {So the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ \sum_{\ell}Q_\ell(f,f)e^\ell &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)M^{i,j,\ell}e^\ell\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)(M^{i,i,\ell} + M^{j,j,\ell} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^\ell})e^\ell\\ = g^2 &= \sum_{i,j,\ell}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,\ell}e^\ell\implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

Примечание: для одномерного случая плоскостори ниже, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ начиная с $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$ является истинным производным.

Доказательство последствий

Now consider the famous associativity relations from Conformal Field Theory:

$$\begin{aligned} e^ie^je^k = \sum_\ell\bra{e^ie^j}\ket{\bar{e^k}e^\ell}e^\ell &= \sum_{\ell,r} M^{i,j,r}\bar M^{\bar k,\ell,r}e^\ell\\ &= \sum_{\ell,r} M^{i,k,r}\bar M^{\bar j,\ell,r}e^\ell\ \therefore\\ i = \bar j, \ell = k\text{ and relabeling } \implies \\ \sum_r M^{i,\bar i,r}\bar M^{j,\bar j,r} &= \sum_r |M^{i,j,r}|^2 \end{aligned}$$

1 из того, что $z_k\in U_1$ четко определен, и предыдущее наблюдение, что алгебраические операторы, определенные $z_iz_jz_kM_0^{i,j,k}$ и $M_1^{i,j,k}$ являются ассоциативными и соглашаются с точечным умножением функции на квадраты абсолютных значений собственных функций, генерируемая алгебра которых также плотна в $L^2(M,g)$ (Опять же Стоун-Вейерштрасс, так как предполагается, что он разделен точками). Создание $\det M^{i,\bar i,k} \ne 0$ бесконечно часто на конечных размерных субматрицах было бы достаточно для этой цели.

Почему? Пусть $\mathscr V$ быть векторным пространством, генерируемым $\set{|e_i|^2}$, и $\mathscr W$ для $\set{e^i}$. Затем коммутативная диаграмма

$$\begin{CD} \mathscr V @>M^{i,i,k}e^k >> \mathscr W\\ @V\set{|e^i|^2(x)}VV @VV\set{e^i(x)}V\\ \Complex^\N @>>M^{i,i,k} > \Complex^\N \end{CD}$$

и суррогатность $M^{i,i,k}$ подразумевает $\ker = 0$ для карты оценки $\set{|e^i|^2(x)}$, так $\mathscr V$ разделяет точки всякий раз, когда держится условие неисчезающего определяющего фактора.

Они соглашаются везде.

$$\forall k>0\ \exists\ i>0\ ⋺ M^{i,\bar i,k} \ne 0.$$

Исходный 2 достаточность следует, отмечая, что уравнение является в целом истинным, как и непрекращающееся определяющее условие в предыдущем пункте. И если для некоторого выбора $i,j,k$, продукт $M^{i,\bar i,k} \bar M^{j,\bar j,k}$ Разногласия между базами, они не согласятся в каждой паре баз.

Почему? Поскольку можно предположить, что общие многообразия также имеют спектры множественности-1, это уменьшает полную группу симметрии до $U_1^\infty$ где эти продукты являются инвариантами, противоречащими теореме 1. Это устанавливает необходимость гипотезы и завершает доказательство.

Это завершает доказательство короллариев.

Пример

Пусть $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ быть индексированным, ранг $n$ решетка весов Lie Algebra для пространственного представления $\frak{g}=\Reals^n$ как перевод инвариантных (т.е. постоянных) векторных полей на себе, когда $\R^n$ также рассматривается как $\frak{g}$Группа Ли над тором, определенным $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. Эти веса определяют интегрируемые подъемы 1-форм по тору, которые интегрируются в линейные функции $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ как группа лжи (покрывающая тора). Эти линейные функции затем могут быть равномерно изменены (по $2\pi \sqrt{-1}$) и выражены, чтобы сформировать мультипликативные символы, которые спускаются, чтобы сформировать ортонормальную основу $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, с мерой Лебега (Хаар) $dx$.

Более того, эта основа одновременно диагонализирует лаплацианский плоский торус потому что лаплациан представляет собой изображение симметричного, отрицательно-определенного квадратичного элемента Казимира под этим (постоянным коэффициентом линейного дифференциального оператора) пространственным представлением универсальной обволакивающей алгебры. Следовательно, его собственные величины находятся в постоянной пропорции (из $4\pi^2$) к казимир-элемент-определенная длина-квадрат вес каждого персонажа в решетке.

В настоящее время мы рассматриваем вышеуказанную основу

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

быть нашей теорем-применимой основой фурье ортонормальных (мультипликативного характера) собственных функций (этого квотного представления (отрицательного) евклидового элемента Казимира), непосредственно соответствующих $\set{\lambda_i}$. По гипотезам теоремы, мы должны иметь $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (с Евклидовой нормой на весах).

Теперь можно вычислить

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Как это уравнение только инвариант под линейными преобразованиями на весовой решетке $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$, только $L^2$ ортонормальная карта основы собственной функции которая индуцируется из объем-сохраняющей инвертируемой линейной карты между двумя такими индексированными, ранжированными $n$ вес решетки будет держать “алгебраический/топологический” индексированный набор данных $\set{M^{i,j,k}}$ инвариант.

Однако для того, чтобы применить наши ТеоремаВажно, чтобы такая линейная карта $B$ быть $B\in SO(n,\Reals)$ на весовой решетке, потому что $L^2$ карта основы собственной функции

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

должен также сохранить “аналитический” инварианты — Казимир-элемент индуцированная фигура $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ для каждого индексированного веса, т.е. отдельных собственных значений лаплациана плоского тори.

Это представление-теоретический счет [AK01] точно эквивалентен предыдущему развитию lattice congruence [NRR22] традиционно используется для определения классов изометрии плоских тори. По сути, матрица представляет собой такую линейную карту. $B\in SO(n,\Reals)$, как описано в предыдущем абзаце, **– контравариантная риманновская изометрия между тори, как это предусмотрено применением теоремы представления Гельфанда-Наймарка во время Подтверждение из нашей Теорема.

Подтверждения

Первоначальное исследование было частично профинансировано любезной премией Джеймса Саймонса в 1995-1996 годах и щедрой поддержкой Альфреда П. Sloan Dissertation Fellowship в 1996-1997 годах в университете в Стоуни-Брук.

Автор также хотел бы поблагодарить Таню Кристиансен, Кэролин Гордон, Хамида Хезари, Хариша Сешадри и особенно Леона Тахтаджана за их техническую помощь и рецензию при подготовке этой рукописи к публикации.