Тройные продукты собственных функций и спектральной геометрии

Минимальная поверхность Лоусона ξ_6,1 стереографически проецируется из S³ в R³

Автор

Джо Шефер

Аннотация

Использование элементарных методов из геометрического анализа, частичных дифференциальных уравнений и Абеляна $C^*$ Алгебры, Мы открываем новый, но знакомый, глобальный геометрический инвариант — а именно индексированный набор интегралов тройных продуктов собственных функций оператора Лаплас-Белтрами, точно характеризующих, какие изоспектральные замкнутые риманнские многообразия являются изометрическими.

Введение

Для закрытого риманнского коллектора $(M,g)$, характеризуя свой класс неизометрических, изоспектральных многообразий является типом обратной задачи [DH11] Спектральная геометрия. Наивно можно предположить, что этот класс всегда будет пустым. Тем не менее, академическая литература богата многолетними конструкциями конкретных пар контрпримеров: начиная с 1964 года с 16-мерной пары неизометрических, изоспектральных плоских тори Джона Мильнора. [JM64], и продолжение [CS92] к родовой размерной характеристике плоских тори в докторской диссертации Александра Шимана 1993 года [AS94] — полный компьютерный поиск критических $\dim = 3$ случай. Современный обзор полной истории плоских тори появляется в [NRR22].

По пути были проницательные ответвления в более сложные, неевклидово-симметричные покрывающие пространства; построение таких изоспектральных, неизометрических «дуэтов», включающих нетривиальные тензоры кривизны (и их спектрально определяемые характеристики Эйлера в измерении 2) [MS67]Одним из ярких примеров этих усилий был Тосикадзу Сунада в 1985 году. [TS85] Изобретение универсального покрытия космического каркаса, которое он затем развернул в той же работе для построения гиперболических дуэтов в размерах 2 и 3.

Для неоднородных римановых показателей Кэролин Гордон обнаружила дуэты, которые даже не являются локально изометрическими. [CG93].

Работа продолжается во многих смежных областях [DH11], например, определение топологических характеристик класса изоспектральных, неизометрических коллекторов в целом (пустых) [ST80], конечный [AS94], жесткий [GK80], и компактный [GZ97]) как подмножество различных модульных пространств римановых метрик.

В данной статье мы предлагаем новый взгляд на знакомый инструмент: индексированные коэффициенты Фурье парных продуктов собственных функций как дискретный «алгебраический/топологический инвариант», дополняющий существующий дискретный «аналитический инвариант». — Неотрицательный спектр оператора Laplace-Beltrami (далее – Laplacian) на $ℋ = L^2(M,g)$. В сочетании мы наблюдаем, что пара обеспечивает «дискретное глобальное геометрическое представление» изометрических классов изоспектральных, закрытых римановых коллекторов.

результатов

Симметрия играет важную роль в вычислительно трактабельных случаях. [TF17] [LS18] [PS94], что хорошо проиллюстрировано в нашем плоском тори Пример ниже. Тем не менее, сила нашего подхода, возможно, лучше всего проявляется в случае многообразия с наименьшим количеством симметрий Римана, что является общим случаем, часто совпадающим с собственными ценностями, являющимися уникальными (т.е. без нетривиальной множественности). В данном случае мы предлагаем следующее:

Мотивация к изучению $\set{M^{i,j,k}}$ свободно вытекает из изучения роли билинейного оператора умножения $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ в определении вершинного оператора Алгебра [FBZ04] Связано с Хиральной Конформальной Теорией Поля. Здесь $V$ Векторное пространство государств и $V((z))$ Это пространство формальной серии Лорана в $z$ с коэффициентами в $V$. С $V$ часто комплектуется как пространство Гильберта с традиционной ортонормальной основой серии Фурье, индексируя $Y$ с использованием базовых элементов Фурье $V$ только немного больше, чем $M^{i,j,k}$ Случай изучался здесь, но довольно похож по духу. Однако подробное сравнение выходит за рамки этой статьи.

Если посмотреть карту

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

Эта статья устанавливает инъективность этой карты для закрытых римановых коллекторов (до римановской изометрии в ее области). Дальнейшие результаты, которые применяют эти методы для описания своего изображения (и обратного), в пределах отдельных пространств модулей метрик, только начинаются. [AA25]. Там, Anshul Adve строго занимается единичными касательными пространствами компактных, гиперболических 2-орбифолдов, используя те же структурные константы из Conformal Field Theory.

Эти результаты были впервые продемонстрированы во время одноименного выступления автора в MSRI в 1997 году, но они появляются здесь в опубликованной форме впервые.

Предварительные условия

Теперь с $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ как выше, для $f \in C^\infty(M)$ и $i \geq 0$ Обратите внимание, что Коэффициенты Фурье

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

начиная с $f$ является уникальным, так как его быстро сходящаяся Fourier Series ($\Delta_M$-специфические встраивания Соболева [MT13] [RS75], вместе с асимптотическим законом Вейля [HW11], подразумевают условия в сумме $o(i^{-n})$ * равномерно в $x$* [LH68], $\forall n\in\N$Тогда мы видим, что для $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, коэффициенты Фурье точечного продукта $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ они

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}$$

и так, критически, любой многомерный многочлен $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (по плавным функциям) выполняет с любым сохранением спектра $\Delta$- карта собственной функции ортонормальной основы $\vec{F}$ которые сохраняют $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

Более того, если $A\subset M$ borel-measurable, тогда результаты выше держат точку для характерной функции $A$ везде, кроме границы $A$: если $f = f^2$ и $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

и по уникальности мы имеем следующую идентичность

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

Это подразумевает, что любая базовая карта, как указано выше, несет характерные функции (как члены $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) к характерным функциям в мерно-сохраненной манере.

Суть этих вычислений заключается в том, чтобы подчеркнуть тот факт, что $\set{M^{i,j,k}}$ характеризует Гармонический анализ точечного оператора умножения на $C^\infty(M)$, которая является плотной субалгеброй Абеляна $C^*$ алгебра $C(M)$Теорема Стоун-Вейерштрасса.

Для быстрого сближения указанных выше сумм, включающих $M^{i,j,k}$, обратите внимание, что продукты собственных функций являются гладкими, поэтому эти коэффициенты Фурье распадаются как выше (в каждом индексе). Подробнее см. работу Эмметта Уаймана в 2022 году с этими коэффициентами, поскольку она связана с неравенством треугольника по собственным ценностям [EW22].

Примечание: мы всегда можем предположить

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

где $\delta_i$ Это дельта Кронекера. С $vol(M)$ является спектральным инвариантом [HW11]Эта информация уже доступна из соображений изоспектральности.

Доказательство теоремы

По необходимости, пусть $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ быть изометрией между закрытыми римановыми многообразиями и позволять целевой ортонормальной основе собственных функций на $L^2(N,h)$ быть возвратом через $F$ ортонормального основания $\set{e^i}$ включено $(M,g)$ выше. С

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

Мы делаем это с аргументом необходимости, потому что $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

Для достаточности мы теперь рассмотрим линейную, биъективную ортонормальную карту основы собственной функции $\vec{F}$ из $C^\infty(M)$ по $C^\infty(N)$ Отметим, что из расчетов в Предварительные условия выше, $\vec{F}$ сохраняет точечные продукты для плавных функций (и сохраняет характерные функции при расширении $L^2(M,g)$) по предпосылке, что $\set{M^{i,j,k}}$ Инвариант на этой карте.

Лемма

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ Сохраняет единую норму.

Доказательство Леммы

Разрешить $\set{a_i}$ быть гладким разделом единства на $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

Таким образом $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (дельта Кронекера).

Доминирующей теоремой конвергенции,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

которая является характерной функцией положительной меры на каждом отдельном подмножестве $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. Это означает, что Лемма доказана для каждого $a_j$, поскольку ограничивающая характерная функция набора с положительной мерой сохраняется, и, следовательно, имеет равномерную норму 1, как и все $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$, по диаграмме (5).

Без потери общности мы можем применить специальный результат случая, показанный для плавного раздела единства $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, где $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ имеет положительную меру, и Лемма доказана в полном объеме.

С $\set {\bar e^i}$ Фурье также является основой для $L^2(M,g)$Из уравнения (3) ясно, что $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. Это означает, что на плотном наборе $C(M)$ (и) $C(N)$), мы установили $\vec{F}$ как изоморфизм Абеляна $C^*$ алгебры, и, таким образом, могут быть распространены на изоморфизм $C(M)$ и $C(N)$ в той же категории.

Теперь мы применяем теорему представления Гельфанда-Наймарка (в форме контравариантного функтора) для унитального Абеляна $C^*$ алгебры [JC19] представлять этот изоморфизм гомеоморфизмом $F$ между $N$ и $M$. Поскольку он является биоактивным для гладких функций, он также должен быть гладким.

Как этот ныне диффеоморфизм $F$ сохранение собственных значений и собственных функций (по гипотезе о $\vec{F}(f) = f\circ F$), он должен сохранить Лаплациан на гладких функциях. Следовательно, он также должен сохранять основные символы этих же эллиптических операторов. [MT13]. Главные символы лаплацкого языка – это просто еще одно средство выражения риманновской метрики на рассматриваемых многообразиях.

Это подтверждает теорию.

Обсуждение гипотезы

С $\set{M_0^{i,j,k}}$ и $\set{M_1^{i,j,k}}$ представляющие два набора тройных продуктов для баз $\set{e_0^i}$ и $\set{e_1^i}$, разрешить $z_i \in \set{-1,1}$ быть $\Z_2^\infty$ действия по такому $\R$-ценная ортонормальная основа $\set{e_1^i}$. Таким образом, мы должны выбрать $z_i$ так что $\set{z_ie_1^i}$ доходность $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$.

Мы обязательно наблюдаем, что

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.$$

Мы можем надеяться, что для любого $k$, $M_0^{i,i,k}$ не может быть идентичным $0$ для всех $i$. Сначала краснеет, это не кажется невозможным, если $M$ имеет группу симметрии «четный/нечетный», и $e^k$ это странно, но надежда верна для случая Flat-tori ниже (который не удовлетворяет однородному условию собственной величины = 1). Формула (11) для $z_k$ требует оба $i$-независимость и достаточность для установления базовой карты $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ консервы $\set{M_0^{i,j,k}}$. Все эти аспекты остаются неизвестными.

Тем не менее, давайте вычислим некоторые соответствующие личности, чтобы какой-то бесстрашный будущий исследователь мог копаться в этой гипотезе:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k}\\ \text{Now by polarization}\\ M^{i,j,k} &= \frac{\bra{(e^i+e^j)^2 - (e^i - e^j)^2}\ket{e^k}}{4} = \frac{M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k}}{2},\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\ \\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ df\cdot df = \sum_kQ_k(f,f)e^k &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)M^{i,j,k}e^k\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)(M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k})e^k\\ = g^2 &= \sum_{i,j,k}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k}e^k \implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

Примечание: для одномерного случая плоского тори ниже, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ начиная с $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$ Это истинная деривация.

Пример

Разрешить $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ быть индексированным, ранг $n$ Решетка ли алгебры весов для условного представления пространства $\frak{g}=\Reals^n$ как перевод инвариантных (т.е. постоянных) векторных полей на себе, когда $\R^n$ также рассматривается как $\frak{g}$связанная группа Ли над тором, определяемым $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. Эти веса определяют интегрируемые лифты 1-формы над тором, которые интегрируются с линейными функциями. $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ как его группа Ли (покрытие тора). Затем эти линейные функции могут быть равномерно восстановлены (посредством $2\pi \sqrt{-1}$) и выражены для формирования мультипликативных символов, которые спускаются для формирования ортонормальной основы $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, с мерой Лебега (Хаар) $dx$.

Более того, эта основа одновременно диагонализирует плоский торус Лаплациан потому что Лаплациан представляет собой изображение симметричного, отрицательно-определенного квадратического элемента Казимира под этим (постоянный коэффициент линейного дифференциального оператора) пространственным представлением универсальной обволакивающей алгебры. Следовательно, его собственные ценности находятся в постоянной пропорции (из $4\pi^2$) к казимир-элемент-определенная длина-квадрат веса каждого персонажа в решетке.

В настоящее время мы рассматриваем вышеуказанную основу

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

быть нашей теоремо-применимой основой Фурье ортонормальных (мультипликативного характера) собственных функций (этого цитируемого представления (негативного) евклидового элемента Казимира), непосредственно соответствующих $\set{\lambda_i}$. По нашим теоремам, мы должны иметь $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (с Евклидовой нормой по весу).

Теперь мы можем вычислить

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Поскольку это уравнение является инвариантом только при линейных преобразованиях на решетке веса $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$, только $L^2$ ортонормальная карта основы собственной функции , которая индуцируется из объемно-сохраняющей инвертируемой линейной карты между двумя такими индексированными, рангом $n$ весовые решетки будут хранить «алгебраический/топологический» индексированный набор данных $\set{M^{i,j,k}}$ Инвариант.

Тем не менее, чтобы применить наши ТеоремаОчень важно, чтобы такая линейная карта $B$ быть $B\in SO(n,\Reals)$ на решетке веса, потому что $L^2$ карта основы собственной функции

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

также должны сохранять «аналитические» инварианты — Индуцированная фигура Казимира-элемента $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ для каждого индексированного веса, т.е. индивидуальных собственных значений лаплациана плоского тори.

Это представление-теоретический счет [AK01] Точно эквивалентно предыдущему развитию конгруэнтности решетки [NRR22] Традиционно используется для определения изометрических классов плоских тори. Фактически, матрица перекладывает такую линейную карту $B\in SO(n,\Reals)$, как описано в предыдущем абзаце, -это противоположная риманновская изометрия между тори, как предусмотрено применением теоремы представления Гельфанда-Наймарка во время Подтверждение нашей Теорема.

Число подтверждений

Первоначальное исследование было частично профинансировано благотворительной премией Джеймса Саймонса в 1995-1996 годах и щедрой поддержкой Альфреда П. Слоанская диссертационная стипендия в 1996-1997 годах в Университете Стоуни Брука.

Автор также хотел бы поблагодарить Таню Кристиансена, Кэролин Гордон, Хамида Хезари, Хариша Сешадри и особенно Леона Тахтаджана за их техническую помощь и обзор при подготовке этой рукописи к публикации.