特徵函數和光譜幾何的三重產品

[已驗證 ] 上次更新時間者: Joe Schaefer 上的 週日, 28 4月 2024    來源
 

Lawson 的最小表面面積為 6,1 ,從 S 3 到 R 3

作者

Joe Schaefer

摘要

使用幾何分析、局部差分方程式和 Abelian 等基本技術CC^* 代數、我們發現一個小說,但熟悉的全球幾何不變 —

介紹

封閉式里曼尼亞人(M,g)(M,g),描述其 ** 類別 ** 的非等分法,等分法為「逆向問題」類型[DH11] 在光譜幾何圖形中 。Naïvely 可能會推測此類別永遠為 empty。然而,學術文獻富含數十年的特定對反範例組合結構:從 1964 年開始,由 John Milnor 的 16 維非幾何,等向均方均方[JM64],以及繼續[CS92] 邁向亞歷山大·希曼 1993 年博士論文中平坦森的一般尺寸特性化[AS94] — 使用電腦輔助搜尋來重新刪除嚴重dim=3\dim = 3 個案。現代化的整平 Tori 歷史記錄調查顯示於[NRR22].

在這種方式中,對稱空間較為複雜、非歐幾內亞對稱的洞察力;構建了涉及非傳統曲率張量的等光譜、非幾何「導管」(以及其在第 2 維度中頻譜決定的尤拉特徵) [MS67]。) 此努力的主要例子是 Toshikazu Sunada 的 1985 年[TS85].

Carolyn Gordon 針對不同質的 Riemannian 指標發現即使在本機上也不是幾何圖形的飲食[CG93].

在許多相關區域繼續工作[DH11],如確定等同類、非等位法的拓樸特徵一般 (空的) [ST80],有限[AS94],剛性[GK80],緊湊[GZ97].

我們在此文章中提供的是熟悉工具的新觀點:以個別「代數 / 主題不變量」形式編製特徵函數配對產品的傅立葉係數,以補充現有、離散的「分析不變量」— *Laplace-Beltrami 運算子 * (稱為 Laplacian) 的非負數頻譜L2(M,g)L^2(M,g)

筆結果


定理

指定特徵函數的正規基礎 (未遞減的特徵值) {ei}i=0\set{e^i}_{i=0}^{\infty} (非負數) Laplacian ΔM\Delta_M 開啟L2(M,g)L^2(M,g) 與封閉式里曼尼亞機身相關(M,g)(M,g)

Mi,j,k:=Meiejekˉgdx M^{i,j,k} := \int_M e^i e^j \bar{e^k} \sqrt{g} dx

要是等同於(M,g)(M,g),這是另一個 iosospectral 封閉的 Riemannian manifold 的 * 必要和足夠條件 *,可保留相關特徵且具有不變性的特徵 (Laplacian) 正規基礎{Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}


  • 對稱 * 在計算可行的案例中扮演重要角色[TF17] [LS18] [PS94],這是我們平坦的圖里中說明的範例.

形容詞

如果每個特徵值都有多重性11鑑於一對特徵值保存定理假說中所述的正規基底,則僅當和{Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}


研究的動機{Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}} 是從研究 ** 線性乘法運算子 ** 的角色所衍生的Y:VVV((z))Y:V\otimes V\rightarrow V((z)) 在 Vertex 運算子代數定義中[FBZ04] 與「螺旋正規欄位理論」相關聯。這裡VV 是美國的向量空間,並且V((z))V((z)) 是 Laurent 系列正式的空間zz 內含係數VV繁體中文起自VV 經常配備 Hilbert Space,配備傳統的 Fourier 系列正規基礎,索引YY 使用下列項目的傅立葉基準元素:VV 僅比參與的程度稍微高Mi,j,kM^{i,j,k}

這些結果在作者於 1997 年首次在 MSRI 進行類似標題的談話時進行示範,但他們首次以公佈的形式出現在這裡。

初步計畫

現在使用M,g,ei,Mi,j,kM,g,e^i,M^{i,j,k} 如上,fC(M)f \in C^\infty(M) 以及i0i \geq 0

f^(i):=Mf(x)eiˉ(x)g(x)dx    f(x)=i=0f^(i)ei(x).\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}

起自ff 獨具代表性的快速融合 ** 快遞系列 ** (ΔM\Delta_M- 特定 Sobolev 嵌入[MT13] [RS75],連同魏爾的漸近法[HW11],表示總和中的術語為o(in)o(i^{-n}) * 統一輸入xx* [LH68], nN\forall n\in\N。) 然後我們看到:f1,f2C(M)f_1, f_2 \in C^\infty(M),點狀產品的傅立葉係數f1f2C(M)f_1 f_2 \in C^\infty(M)

f1f2^(k)=i,jf1^(i)f2^(j)Mi,j,k    f1f2(x)=i,j,kf1^(i)f2^(j)Mi,j,kek(x)f1=f2p, p N    kf1^(k)ek(x)=i1,...,ip,kf2^(i1)...f2^(ip)Mi1,i2,i3Mi2,i3,i4...Mip1,ip,kek(x).\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}

等等,* 嚴重 *,任何多變量多項式C[z1,,zl]\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l] (在平滑功能上) ** 使用任何光譜保留的指令 ** Δ\Delta- 特徵函數正規基底圖FF 保留{Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

C(M, Cl)C(M)FFl timesFC(N, Cl)C(N)\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{F\oplus\dots\oplus F}_{l\space\text{times}}VV @VVFV\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}

此外,如果AMA\subset M 是 Borel-measurable,然後就 *characteristic function 的 characteristic function 而言,上述結果為準點AA 除邊界外,任何地方AA:如果f=f2f = f^2 以及A:={xMf(x)=1}A:=\set{x\in M|f(x)=1}

if^(i)ei(x)=i,j,kf^(i)f^(j)Mi,j,kek(x)={1xA˚0xA˚\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}

我們擁有以下的身份,並通過獨特性

f^(k)=i,jf^(i)f^(j)Mi,j,k  k0    f=f2 a.e.\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}

這表示上述任何此類基準對應都具有特性函數 (作為下列成員):L2(M,g)L1(M,g)L^2(M,g)\subset L^1(M,g)

這些運算的重點是強調事實{Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}} ** 字元 ** 點狀乘法運算子的調和分析C(M)C^\infty(M),這是阿貝利安的密集小代數CC^* 代數C(M)C(M)

以上金額的快速融合涉及Mi,j,kM^{i,j,k},請注意特徵函數的產品平滑,因此這些傅立葉係數會如上所示 (在每個索引中) 衰變。如需詳細資訊,請參閱 Emmett Wyman 在 2022 年的工作與這些係數相關,因為它與特徵值上的三角形不等式相關[EW22].

注意:我們可能總是假設

e0=M0,0,0=1/vol(M)    M0,j,k=Mj,0,k=δjk /vol(M)\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}

其中δi\delta_i 是 Kronecker 的差異。起自vol(M)vol(M) 是光譜不變量[HW11].

定理證明

必要,讓我們F:(N,h)(M,g)F:(N,h)\rightarrow (M,g) 是封閉式里曼尼亞人體的幾何圖形,並讓目標的特徵正常基礎L2(N,h)L^2(N,h) 是回溯FF 正規基礎{ei}\set{e^i} 開啟(M,g)(M,g)

Mi,j,k=Meiejekˉgdy=Nei(F(x))ej(F(x))ekˉ(F(x))hdx\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}

我們以必備的論點來完成。

為了充分利用,我們現在考慮了線性、生物彈性的正規特徵基礎圖FF 來自C(M)C^\infty(M) 終止C(N)C^\infty(N) 並請注意,從計算中的初步 以上,FF 保留順暢函數的定點產品 (延長至時保留特性函數) L2(M,g)L^2(M,g)) 由處所{Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

綱要

F:C(M)C(N)F: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N) 會保留均勻規範。

綱要證明

字母{ai}\set{a_i} 為平順的單位分割MM

1=iai(x)=i,jai^(j)ej(x)=jej(x)iai^(j)\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}

因此iai^(j)=δjvol(M)\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}

由主導的收斂定理,

limpjajp^(k)=˙j{aj=1}ekˉ(x)gdx\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx

此為每個不相連子集之正計量特性函數{xMaj(x)=1}\set{x\in M | a_j(x) = 1}繁體中文這表示每個 Lemma 都經過實證aja_j,因為保留具有正計量之集合的限制特性函數,因此具有均勻標準 1,如同ajp, F(ajp)=F(aj)p, pNa_j^p,\space F(a_j^p)=F(a_j)^p,\space p\in\N

在不損失一般性的情況下,我們可能會套用針對單位平滑分割顯示的特殊案例結果{f/f,1f/f}\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace,其中{xM f(x)=f} \set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}

這表示在密集的集合上C(M)C(M) (和C(N)C(N)),我們已建立FF 阿貝利安同形性CC^* 代數,因此可以延伸至同形性C(M)C(M) 以及C(N)C(N)

現在我們把 Gelfand-Naimark 代表定理 (以相反的葬禮形式) 應用於阿貝利安CC^* 代數[JC19] 利用之間的同態性來表示此同型NN 以及MM

如今,差異主義會保留特徵值和特徵函數 (透過假設對FF),它必須在平滑功能上保留拉普拉西亞文。因此,它也必須保留這些相同橢圓運算子的主要符號[MT13].

這樣就完成了理論的證明。

形容詞的討論

使用{M0i,j,k}\set{M_0^{i,j,k}} 以及{M1i,j,k}\set{M_1^{i,j,k}} 代表基準的兩個三重產品集{e0i}\set{e_0^i} 以及{e1i}\set{e_1^i},讓我們zi{1,1}z_i \in \set{-1,1}Z2\Z_2^\infty 此類動作R\R- 估值正規基準{e1i}\set{e_1^i}繁體中文因此,我們需要選擇ziz_i 因此{zie1i}\set{z_ie_1^i} 收益{M1i,j,k}={zizjzkM0i,j,k}\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}

我們必須觀察

zk=M0i,i,k/M1i,i,k  i,kN,M0i,i,k0.z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.

任何給定的開始日期kk, M0i,i,kM_0^{i,i,k} 無法相同00 全部ii,此公式用於zkz_k 需要兩者ii- 獨立與充分性,以建立基準對應e0izie1ie_0^i \mapsto z_i e_1^i 保留{M0i,j,k}\set{M_0^{i,j,k}}

範例

字母{λi}Rn\set{\lambda_i} \subset \R^n 為索引,等級nn Lie Algebra 重量的晶格,用於商太空表示法g=Rn\frak{g}=\Reals^n 當翻譯不變量 (即常數) 向量欄位本身時Rn\R^n 也視為g\frak{g}透過定義者之 torus 的相關 Lie Group Rn/AZn,AGL(n,R)\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)繁體中文這些權重定義了與線性函數整合的 torus 上 1 個格式的可整合升降機<xλi, xRn\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n 作為其利氏集團 (承受托魯斯)。然後,這些線性函數可以統一重新縮放 (依據2π12\pi \sqrt{-1}) 並加以指數化,以形成多重性字元,其後代會形成正規基礎L2(Rn/AZn,dx)L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx),使用 Lebesgue (Haar) 測量dxdx

此外,此基準同時將平面托魯斯的拉普拉西安 ** 因為 ** 拉普拉西安是通用信封代數的對稱、負二次二次卡西米爾的影像 (固定係數線性差動運算子) 象限空間表示法。因此,它的特徵值是固定比例 (of) 4π24\pi^2

我們目前檢視上述基準

{e2π1xλi/detA}i=0\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty

成為我們的理論可應用的傅立葉原理 (多變性字元) 特徵 (此為 (負數) Euclidean Casimir 元素的商數表示法) 直接對應於{λi}\set{\lambda_i}繁體中文依據我們的理論假設,我們必須具備i<j    λiλji < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert

現在我們可以運算

Mi,j,k={1/detAλi+λjλk=00otherwiseM^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

由於此等式 對重量格而言為線性(A1)tZn={λi}(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i},只有一個L2L^2 正規特徵基底圖 ** 從容積保存的可逆線性圖中產生,這兩個索引,排名之間nn 重量晶格 ** 將保留「代數 / 拓樸」索引資料集{Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

不過,為了申請我們定理,對於這類線性地圖至關重要BBBO(n,R)B\in O(n,\Reals) 在重量格子上,因為誘發L2L^2

{e2π1xBλi/detA}i=0\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty

也必須保留「分析」不變量— Casimir- 元素誘發的圖形4π2λi24\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2

此表示法 - 理論科目[AK01] 正好等同於 * 晶格一致性 * 的先前開發[NRR22] 傳統上用來去劃分扁平鋪面幾何類。事實上,該線性圖的矩陣轉置BO(n,R)B\in O(n,\Reals),如上一段所述,** 是 ** 在被應用 *Gelfand-Naimark 表示定理 * 期間,Riemannian 同位素之間的異位。證明 我們的定理.

確認

原本的研究是由 1995-1996 年的傑出詹姆斯·西蒙斯研究獎以及阿爾弗雷德· P 的慷慨支持所資助的。Sloan 1996- 1997 在 Stony Brook 大學辭職團契。

作者也要感謝 Tanya Christiansen、Carolyn Gordon、Hamid Hezari、Harish Seshadri,特別是 Leon Takhtajan 的技術協助,並檢閱本手稿的準備以供出版。