特徵和光譜幾何的三重產品

作者

Joe Schaefer

摘要

使用幾何分析、部分差分方程式和異常中的基本技術$C^*$ 阿格布拉斯，我們發現一個新穎而出且熟悉的全球幾何不變 — 即 **Laplace-Beltrami 運營商 **的三項特徵性產品組合的索引集，以精確地描述哪種特徵性封閉的 Riemannian manifold 是幾何的。

產品介紹

對於封閉的 Riemannian manifold $(M,g)$，描述其** 類別 **的非幾何，isospectral manifold 是一種反向問題[DH11] 在光譜幾何中。Naïvely 可能指定此類別永遠為 empty。然而，學術文獻豐富了數十年歷史的反範例配對結構：從 1964 年開始，John Milnor 的 16 維對非幾何，isospectral Flat tori [JM64]，繼續[CS92] 邁向 Alexander Schiemann 1993 博士論文中平坦的通用尺寸特徵化[AS94] — 使用電腦輔助搜尋關鍵功能完成$\dim = 3$ 案例展示現代化的問卷調查將顯示於[NRR22].

在這種方式中，深入了解更複雜、非歐幾里德對稱的覆蓋空間；構建此類等同空間、非幾何”導管” 涉及非傳統曲率張量 (及其在尺寸 2 中的頻譜決定尤拉特徵) [MS67]。) 此工作的主要範例是 Toshikazu Sunada 的 1985 [TS85] 發明一個通用覆蓋空間框架，然後在同一工作中部署，以構建維度 2 和 3 中的雙曲管。

對於不均勻的里曼尼亞指標，卡羅林·戈登發現甚至不屬於本地的飲食[CG93].

在許多相關區域繼續工作[DH11]，例如決定一般 (空白) 中等同位素類別的拓樸特徵、非幾何特徵[ST80]，有限[AS94]，剛性[GK80]，精簡[GZ97]) 作為 Riemannian 度量中不同模數空間的子集。

What we offer in this article is a new perspective on a familiar tool: 分散式特徵函數對相關產品的指數傅立葉係數”代數 / 主題不變量” 以補充現有、離散”分析不變量” — *Laplace-Beltrami 運算子 *(此處稱為 Laplacian) 的非負數頻譜$ℋ = L^2(M,g)$。組合，我們觀察配對提供”離散全域幾何表示法” 近似同位素類別，閉合裡曼尼亞人。

結果

Symmetry 在計算時扮演著重要的角色[TF17] [LS18] [PS94]，這是我們平坦的 tori 中所說明的範例 下方。然而，我們的方法當選人最少數量的里曼尼對稱對稱時，這可能是最佳做法，這種情況是一般的案例。在此情況下，我們提供以下服務：

 

研究的動機$\set{M^{i,j,k}}$ 由研究 雙線性乘法運算子的角色所產生 $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ 在 Vertex 運算子代數的定義中[FBZ04] 與 Chiral Conformal Field Theory 相關聯。這裡$V$ 是美國的向量空間，並且$V((z))$ 是正式 Laurent 系列的空間$z$ 與係數$V$。開始日期$V$ 常被配備為 Hilbert Space 的傳統傅立葉系列正規基礎，索引$Y$ 使用下列項目的傅立葉基礎元素：$V$ 僅比參與項目稍微多$M^{i,j,k}$ 在此研究案例，但在精神上相當類似。不過，詳細比較超出了本文的範圍。

如果我們考慮地圖

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

本白皮書為封閉的里曼尼亞人機組 (最多只能在其域內使用里曼尼亞人) 建立此地圖的注射性。套用這些技術來描述其影像 (和反向) 的進一步結果，就在測量結果的精選模數空間內開始使用[AA25]。Anshul Adve 在 Conformal Field Theory 中使用這些相同的 結構常數 來處理緊密、雙曲雙曲兩曲的單位正切空間。

一般 Riemannian 公制案例的特徵是研究$\set{\lambda_i, M^{i,\bar i,k}}$.

這些結果最初是在 1997 年 MSRI 的作者在類似標題的談話期間進行示範，但初次以公開的形式出現在這裡。

初步

現在使用$M,g,e^i,M^{i,j,k}$ 如上，針對$f \in C^\infty(M)$ 與$i \geq 0$ 請注意 **傅立葉係數 **

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x) \end{aligned}$$

起自$f$ 唯一代表其快速融合 快遞系列 ($\Delta_M$- 特定 Sobolev 嵌入式[MT13] [RS75]，連同 Weyl 的漸近法[HW11]，即總和中的詞彙為$o(i^{-n})$ 均勻輸入$x$ [LH68], $\forall n\in\N$。) 然後我們看到：$f_1, f_2 \in C^\infty(M)$，指向產品的傅立葉係數$f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ 是

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x) \end{aligned}$$

以此類推，* 批評性 *，任何多變量多項式$\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (在平滑功能上) 通勤 附任何頻譜保存$\Delta$- 特徵函數正規基底圖$\vec{F}$ 保存$\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

此外，若$A\subset M$ 為 Borel-measurable，則以上結果為 characteristic 函數的持點$A$ 任何地方，但邊界除外$A$：如果$f = f^2$ 與$A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

本公司擁有以下身份及唯一性：

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

這意味著上述任何基準圖都具有特性函數 (作為下列成員) $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) 以計量保存方式特性函數。

這些運算的重點是強調事實：$\set{M^{i,j,k}}$ 字元化 點數乘法運算子的調和分析$C^\infty(M)$，這是 Abelian 的密集代數$C^*$ 代數$C(M)$，由 Stone-Weierstrass 定理。

上述總和的快速融合涉及$M^{i,j,k}$，請注意，特徵功能的產品很平滑，因此這些傅立葉係數會如上所示 (在每個索引中)。如需詳細資訊，請參閱 Emmett Wyman 在 2022 年的工作與這些係數相關，因為它與特徵上的三角形不相等。[EW22].

Note: 我們可能總是假設

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

位置$\delta_i$ 是 Kronecker delta。開始日期$vol(M)$ 是光譜不變量[HW11]，此資訊已從 isospectrality 考量中取得。

理論證明

需要，讓我們$F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ 是封閉的里曼尼亞人手法之間的幾何，並讓目標正常的特徵基礎$L^2(N,h)$ 是回溯通過$F$ 正規基礎$\set{e^i}$ 開啟$(M,g)$ 以上。開始日期

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

我們以必要的引數完成，原因是$\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

為了充分發揮效率，我們現在考慮線性、雙向正規特徵基準圖$\vec{F}$ 來自$C^\infty(M)$ 至$C^\infty(N)$ 並請注意，從計算中初步 以上，$\vec{F}$ 保留順暢功能的產品 (並在延伸至時保留特性功能) $L^2(M,g)$) 由該處所$\set{M^{i,j,k}}$ 在此對應下不變。

倫馬

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ 保持均勻的規範。

Lemma 證明

開始$\set{a_i}$ 是平順的統一分割$M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

因此$\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (Kronecker delta)。

由主導的收斂定理，

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

這是每個相互子集之正計量的特性函數$\set{x\in M | a_j(x) = 1}$。這表示每個 Lemma 都會得到證明$a_j$，由於保留具有正計量的集合的限制特性函數，因此具有均勻的常規 1，如全部$a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$，依圖 (5)。

如果不失去一般性，我們可能會對統一的平滑分割套用特殊案例結果。$\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$，其中$\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ 有正面的措施，而且 Lemma 完全被證明。

開始日期$\set {\bar e^i}$ 也是下列項目的傅立葉基準：$L^2(M,g)$，從「方程式」(3) 中清楚$\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$。這表示在密集的集合上$C(M)$ (以及$C(N)$)，我們已建立$\vec{F}$ 作為阿貝利安的同型$C^*$ algebras，因此可以延伸至同形$C(M)$ 與$C(N)$ 在相同的類別中。

現在，我們應用 Gelfand-Naimark 代表定理 (以相反的葬禮形式) 為首演 Abelian $C^*$ 代數[JC19] 以家庭型態來表示此同型$F$ 介於$N$ 與$M$。由於它在平滑功能上具有彈性的作用，因此它也必須平滑。

正如現在的異型$F$ 保留特徵和特徵 (通過假設) $\vec{F}(f) = f\circ F$)，它必須保持平順功能的拉普拉克語。因此，它也必須保留這些相同橢圓運算子的主要符號[MT13]。拉普拉克人的主要標誌只是對有問題的人物展現出里曼尼亞人標準的另一種方式。

這完成了理論的證明。

科研成果

使用$\set{M_0^{i,j,k}}$ 與$\set{M_1^{i,j,k}}$ 代表基準的兩個三重產品集$\set{e_0^i}$ 與$\set{e_1^i}$，讓我們$z_i \in U_1$ 是$U_1^\infty$ 在這種正當基礎上採取行動$\set{e_1^i}$。因此，我們需要選擇$z_i$ 因此$\set{z_ie_1^i}$ 產量$\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$.

為什麼要這樣做？一般而言，對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組，對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組，對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對稱組對組對稱組對稱組對組對稱組對稱組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組，組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對稱組，組對組對組對組對組對組對稱組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組，組對組對組對組對組對組對組對組，組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組，組對組對組對組對組對組對組對組對組對組，組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組對組$U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ 與投影展開$P_{\mathcal V_\lambda}$ 在有限維特徵空間上$\mathcal V_{\lambda}$ 與每個個別特徵值相關聯$\lambda$ 拉普拉克人。因此

$$\begin{aligned} P_{\mathcal V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathcal V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

是下列項目的影像：$M^{i,j,k}$ 低於$U$的基礎動作$e^i \mapsto U(e^i)$.

現在在珊瑚礁 2 的條件下，每個$\mathcal V_\lambda$ 一維向量空間超過$\Complex$，但這也表示它們是維度向量空間的上方$\Reals$，因此完整的乘對稱群組為$O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

一般而言，相關必備條件”關於絕對值的協議” 只是變成”保留排序的單一值集$\set{M^{i,j,k}}$ 檢視為地圖集合時 (以多重性計算)，$\mathcal V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathcal V_{\lambda_j}, \mathcal V_{\lambda_k}^*)$”，這是一套強大的單體不變量。我們對這種廣義的形容詞有極大的信心，因為可能可以通過明確的 Sunada 建築來產生一個反範例。

回到 Corollary 1，我們觀察到驗證涉及建立此意涵：

$$z_k = M_0^{i,\bar i,k} / M_1^{i,\bar i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,\bar r,i}M_0^{s,\bar s,j}M_0^{t,\bar t,k}}{M_1^{r,\bar r,i}M_1^{s,\bar s,j}M_1^{t,\bar t,k}}\, .$$

我們可能希望對任何給定者$k>0$, $M_0^{i,i,k}$ 不能相同$0$ 全部$i$，因為它是一般為真條件，但對於如以下範例所涵蓋的扁平 Tori 案例等特定案例，則為假。此外，公式 針對$z_k$ 需要兩者$i$- 獨立性和充分性，建立基礎地圖$e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ 保留$\set{M_0^{i,j,k}}$.

我們在下一組公式下面繪製 Corollary 1 (充分) 的證明。

然而，讓我們計算一些相關的身分，讓未來一些研究人員可以挖掘出一般化的形容詞：

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \inf_{f\in \mathscr H_k^\perp} \frac{||df \cdot df||^2}{||f||^2} &= \lambda_{k+1}\text{ , with }f=\pm e^{k+1}\ .\\ \text {So the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ \sum_{\ell}Q_\ell(f,f)e^\ell &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)M^{i,j,\ell}e^\ell\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)(M^{i,i,\ell} + M^{j,j,\ell} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^\ell})e^\ell\\ = g^2 &= \sum_{i,j,\ell}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,\ell}e^\ell\implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

注意：對於下面的一維均一案例，$\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ 起自$\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$ 是真正的衍生。

核數證明

Now consider the famous associativity relations from Conformal Field Theory:

$$\begin{aligned} e^ie^je^k = \sum_\ell\bra{e^ie^j}\ket{\bar{e^k}e^\ell}e^\ell &= \sum_{\ell,r} M^{i,j,r}\bar M^{\bar k,\ell,r}e^\ell\\ &= \sum_{\ell,r} M^{i,k,r}\bar M^{\bar j,\ell,r}e^\ell\ \therefore\\ i = \bar j, \ell = k\text{ and relabeling } \implies \\ \sum_r M^{i,\bar i,r}\bar M^{j,\bar j,r} &= \sum_r |M^{i,j,r}|^2 \end{aligned}$$

Corollary 1 遵循的事實$z_k\in U_1$ 是定義完善的，且先前觀察的是由其定義的代數運算子$z_iz_jz_kM_0^{i,j,k}$ 與$M_1^{i,j,k}$ 同時也是關聯性，並同意將點函數乘以特徵的絕對值方形，產生的代數也密集於$L^2(M,g)$ (再由 Stone-Weierstrass 推定為獨立點)。建立中$\det M^{i,\bar i,k} \ne 0$ 通常在有限維度的次矩陣上會因為此目的而成功。

為什麼？開始$\mathscr V$ 是向量空間產生者$\set{|e_i|^2}$，和$\mathscr W$ 針對$\set{e^i}$。接著是交換圖

$$\begin{CD} \mathscr V @>M^{i,i,k}e^k >> \mathscr W\\ @V\set{|e^i|^2(x)}VV @VV\set{e^i(x)}V\\ \Complex^\N @>>M^{i,i,k} > \Complex^\N \end{CD}$$

及突出$M^{i,i,k}$ 隱含$\ker = 0$ 用於評估對應$\set{|e^i|^2(x)}$，所以$\mathscr V$ 每當非消失的決定因素條件保留時，就會分隔點。

因此，他們在任何地方都同意。

$$\forall k>0\ \exists\ i>0\ ⋺ M^{i,\bar i,k} \ne 0.$$

冠狀動脈 2 充分性遵循指出「方程式」 通常為真，如前段中的不消失的決定因素條件。如果選擇了$i,j,k$，產品$M^{i,\bar i,k} \bar M^{j,\bar j,k}$ 在基礎之間不同意，他們會不同意每對基礎。

為什麼？由於一般的歧管也可以被推定為具有 multiplicity-1 頻譜，因此可以將完整的對稱群組減少為$U_1^\infty$ 其中這些產品不變，與定理 1 相反。這會建立假設的必要性，並完成證明。

這樣就完成了 Corollaries 的證明。

範例

開始$\set{\lambda_i} \subset \R^n$ 為索引，排名$n$ Lie Algebra 重量的晶格，用於商空間表示$\frak{g}=\Reals^n$ 當翻譯不變量 (即常數) 向量欄位本身時，$\R^n$ 也被視為$\frak{g}$對由其定義的 torus 相關聯的 Lie Group $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$。這些權重定義了與線性函數整合之環形的可整合升降機。$\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ 作為其 Lie Group (涵蓋 Torus)。然後，這些線性函數可以統一重新調整 (依據$2\pi \sqrt{-1}$) 與指數，以形成相乘字元，其子代為正常基礎$L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$，使用 Lebesgue (哈爾) 量測$dx$.

此外，此基準同時對角線的 Laplacian 因為 Laplacian 是對稱、負明確的二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次三次二次二次二次二次二次二次二次二次二次二次因此，其特徵值是固定比例 (屬於) $4\pi^2$) 至於晶格中每個字元重量的 Casimir-element-determined-length-squared。

我們目前檢視上述基準

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

為我們的定理應用傅立葉基礎，直接對應於 (負數) 歐氏卡西米爾元素 (Euclidean Casimir 元素) 的正規特徵特徵特徵 (此量度表示法) $\set{\lambda_i}$。根據理論的假說，我們必須擁有$i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (以歐幾里德標準的權重為準)。

現在我們可以運算

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

作為此方程式 僅 在重量晶格的線性轉換下不變$(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$，只有$L^2$ 正規特徵函數基礎地圖 由保留在兩個索引、等級之間之可逆線性圖所產生$n$ 重量晶格 會保留”代數 / 主題” 索引資料集$\set{M^{i,j,k}}$ 不變。

然而，為了應用我們定理，這對於這樣的線性對映至關重要$B$ 是$B\in SO(n,\Reals)$ 在重量晶格上，因為誘導$L^2$ 特徵函數基底圖

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

也必須保留”分析” 不變量— Casimir-element 引致的數字$4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ 對於每個索引的權重，即扁平的利普拉西亞人的個別特徵值。

此表示法 - 理論科目[AK01] 與 lattice congruence 的先前開發完全相同[NRR22] 傳統上用於描繪平坦的幾何類別。事實上，這種線性圖的矩陣轉向$B\in SO(n,\Reals)$，如上一段所述，** 此 **Riemannian 與 Riemannian 在 Tori 之間存在不變的情形，由應用 *Gelfand-Naimark 代表定理 *提供證明 我們的定理.

確認

最初的研究是由 1995-1996 年的傑出詹姆斯·西蒙斯研究獎以及阿爾弗雷德·普爾的支持所資助。Sloan Dissertation Fellowship 1996-1997 在 Stony Brook 的大學。

作者也要感謝 Tanya Christiansen、Carolyn Gordon、Hamid Hezari、Harish Seshadri，特別是 Leon Takhtajan 以尋求技術協助，並檢閱本手稿的準備以進行出版。