מחבר

ג’ו שפר

מופשט

שימוש בטכניקות יסודיות מניתוח גיאומטרי, משוואות דיפרנציאליות חלקיות ואבליאן $C^*$ אלגברה, אנו חושפים רומן, אך מוכר, גיאומטרי משתנה — כלומר המערכת הממופתחת של אינטגראלים של מוצרים משולשים של פונקציות הילידים של מפעיל Laplace-Beltrami, כדי לאפיין במדויק איזה סעפת רימאנית סגורה isospectral הם איזומטריים.

מבוא

עבור סעפת רימאנית סגורה $(M,g)$מאפיין מחלקה של סעפות איזוספקטראליות שאינן איזומטריות הוא סוג של בעיה הפוכה. [DH11] בגיאומטריה ספקטרלית. נאיבי אולי משערת שהשיעור הזה תמיד יהיה ריק. עם זאת, הספרות האקדמית עשירה בהרכבים בני עשרות שנים של זיווגים ספציפיים של דוגמאות נגדיות: החל משנת 1964 עם הזוג ה-16-ממדי של ג’ון מילנור לא איזומטרי, טורי שטוח איזוספקטרלי [JM64], והמשך [CS92] לקראת אפיון ממדי כללי של טורי שטוח בתזה הדוקטורט של אלכסנדר שימן משנת 1993 [AS94] — להשלים עם מחשב בעזרת חיפוש קריטי $\dim = 3$ מקרה. סקר מודרני של ההיסטוריה המלאה של טורי שטוח מופיע ב [NRR22].

לאורך הדרך היו מגפיים תובנות לתוך חללי כיסוי סימטריים מתוחכמים יותר, לא אוקלידיים; בניית “דואטים” איזוספקטרליים, לא איזומטריים כאלה מעורבים טנזור עקמומיות לא טריוויאלי (והמאפיינים אוילר קבוע הספקטרום שלהם בממד 2. [MS67]דוגמה עיקרית למאמץ זה הייתה של טושיקאזו סונדה משנת 1985. [TS85] המצאה של מסגרת חלל המכסה למטרה כללית, אותה הוא השתמש באותה עבודה כדי לבנות דואטים היפרבוליים בממדים 2 ו-3.

עבור מדדים רימאניים לא הומוגניים, קרולין גורדון גילתה דואטים שאפילו לא איזומטריים מקומיים. [CG93].

העבודה ממשיכה בתחומים רבים הקשורים [DH11], כגון קביעת מאפיינים טופולוגיים של המעמד של סעפת isospectral, non-isometric באופן כללי (ריק) [ST80], סופי [AS94], נוקשה [GK80], קומפקטי [GZ97]) כתת-קבוצה של מרחבי מודולי שונים של מדדים רימאניים.

מה שאנו מציעים במאמר זה הוא פרספקטיבה חדשה על כלי מוכר: מקדמי פורייה ממופתחים של מוצרים זוגיים של פונקציות הילידים כ”משתנה אלגברי/טופולוגי” דיסקרטי כדי להשלים את הקיים, דיסקרטי “משתנה אנליטי” — הספקטרום הלא שלילי של האופרטור Laplace-Beltrami (להלן: Laplacian) $ℋ = L^2(M,g)$. בשילוב, אנו רואים את הזוג מספק “ייצוג גיאומטרי גלובלי נפרד” של המעמדות האיזומטריים של סעפות רימאניות סגורות.

תוצאות

סימטריה ממלאת תפקיד חשוב במקרים הניתנים לחישוב [TF17] [LS18] [PS94], שמודגם היטב בטורי השטוח שלנו דוגמה למטה. עם זאת, כוחו של הגישה שלנו הוא אולי הכי בולט במקרה של סעפת עם המספר הקטן ביותר של סימטריות רימאניות, וזה המקרה הגנרי לעתים קרובות עולה בקנה אחד עם הערכים העצמיים להיות ייחודי (כלומר, ללא ריבוי לא טריוויאלי). במקרה זה, אנו מציעים את הדברים הבאים:

המניע לחקר $\set{M^{i,j,k}}$ הוא נגזר באופן רופף מן המחקר של התפקיד של מפעיל הכפל הבילינארי $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ בהגדרה של אלגברת אופרטור Vertex [FBZ04] קשור לתיאוריית שדה קונפורמי כיראלי. כאן $V$ הוא המרחב הווקטורי של מדינות ו $V((z))$ הוא המרחב של סדרת לורן רשמית ב $z$ עם מקדמים ב $V$. מאז $V$ לעתים קרובות מגיע מצויד כחלל הילברט עם בסיס אורתונורמלי סדרת פורייה מסורתית, מפתוח $Y$ שימוש במרכיבי הבסיס של פורייה $V$ הוא מעורב מעט יותר מאשר $M^{i,j,k}$ המקרה נחקר כאן, אבל די דומה ברוח. עם זאת, השוואה מפורטת אינה בטווח למאמר זה.

אם ניקח בחשבון את המפה

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

מאמר זה קובע את הזריקות של מפה זו עבור סעפת רימאנית סגורה (עד איזומטריה רימאנית בתחום שלה). תוצאות נוספות המחילות טכניקות אלה כדי לתאר את התמונה שלה (והיפוך), בתוך מרחבי מודולי נבחרים של מדדים רק מתחילים [AA25]. שם, Anshul Adve מתמודד בקפדנות עם מרחבים מוחשיים של 2-orbifolds קומפקטיים, היפרבוליים באמצעות אותם קבועים מבנה מתיאוריית שדה קונפורמית.

תוצאות אלה הודגמו לראשונה במהלך שיחת כותרת דומה על ידי המחבר ב MSRI בשנת 1997, אבל הם מופיעים כאן בצורה שפורסמה בפעם הראשונה.

מס’ פריטים ראשוניים

כעת עם $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ כמו למעלה, עבור $f \in C^\infty(M)$ וגם $i \geq 0$ שם מקור: fourier coefficients

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

מאז $f$ ניתן לייצג באופן ייחודי כמתכנס במהירות סדרת פורייה ($\Delta_M$- שיבוצי Sobolev ספציפיים [MT13] [RS75]יחד עם החוק האסימפטוטי של וייל [HW11], מרמז על התנאים בסכום הם $o(i^{-n})$ אחיד ב $x$ [LH68], $\forall n\in\N$אז אנחנו רואים את זה בשביל $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, מקדמי פורייה של המוצר Pointwise $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ הם

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x). \end{aligned}$$

וכן, ביקורתית כל פולינום רב-משתני $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (על פונקציות חלקות) מומלץ עם כל שימור ספקטרום $\Delta$-eigenfunction אורתונורמלי בסיס מפה $\vec{F}$ אשר משמר $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

אם $A\subset M$ הוא Borel ניתן למדידה, ואז את התוצאות מעל להחזיק נקודה עבור הפונקציה *characteristic של $A$בכל מקום מלבד הגבול $A$: אם $f = f^2$ וגם $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

ובייחוד יש לנו את הזהות הבאה

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

זה מרמז על כל מפת בסיס כמו לעיל נושאת פונקציות אופייניות (כאיברים של $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) לפונקציות אופייניות באופן שימור-מידה.

הנקודה של חישובים אלה היא להדגיש את העובדה כי $\set{M^{i,j,k}}$ מאפיין את הניתוח ההרמוני של אופרטור הכפל נקודה על $C^\infty(M)$תת-אלגברה צפופה של האבליאן $C^*$ אלגברה $C(M)$משפט סטון-ויירשטראס (Stone-Weierstrass).

עבור ההתכנסות המהירה של אלה לעיל סכומים מעורבים $M^{i,j,k}$, שים לב כי מוצרים של פונקציות הילידים הם חלק, כך מקדמי פורייה אלה דועכים כמו לעיל (בכל אינדקס). לפרטים נוספים, עיין בעבודתו של אמט ווימן בשנת 2022 עם מקדמים אלה כשהוא מתייחס לאי-שוויון המשולש בערכים העצמיים [EW22].

הערה: אנו עשויים תמיד להניח

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

היכן $\delta_i$ היא דלתת קרונקר. מאז $vol(M)$ הוא בלתי משתנה ספקטרלי [HW11], מידע זה כבר זמין משיקולי isospectrality.

הוכחת משפט

לצורך, תן $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ להיות איזומטריה בין סעפת רימאנית סגורה, ולתת את הבסיס אורתונורמלי היעד של פונקציות הילידים על $L^2(N,h)$ להיות אחורה דרך $F$ על בסיס אורתונורמלי $\set{e^i}$ פעיל $(M,g)$ למעלה. מאז

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

עשינו את הטענה הכרחית כי $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

לקבלת יעילות, אנו עכשיו לשקול ליניארי, bijective orthonormal eigenfunction הבסיס מפה $\vec{F}$ מאת $C^\infty(M)$ אל $C^\infty(N)$ ושים לב כי מן החישובים ב פריטים ראשוניים למעלה, $\vec{F}$ שומר על מוצרים עם כיוון נקודה עבור פונקציות חלקות (ומשמר פונקציות אופייניות כאשר הוארך ל $L^2(M,g)$על פי ההנחה כי $\set{M^{i,j,k}}$ הוא בלתי משתנה תחת מפה זו.

עלמה

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ שומר על הנורמה האחידה.

הוכחת למה

לתת $\set{a_i}$ להיות חלק של אחדות על $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

כך $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (דלתא קרונקר).

על ידי משפט ההתכנסות הנשלט,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

שהיא פונקציה אופיינית של מידה חיובית על כל תת-קבוצה מנותקת $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. משמעות הדבר היא כי Lemma הוכח עבור כל אחד $a_j$מכיוון שתפקוד האופייני המגביל של קבוצה עם מידה חיובית נשמר, ולכן יש לו נורמה אחידה 1, כמו כל $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$על ידי Diagram (5).

ללא אובדן הכלליות, אנו עשויים ליישם את תוצאת המקרה המיוחדת המוצגת עבור חלוקת האחדות החלקה $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, היכן $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ יש לו מידה חיובית, והלמה מוכחת במלואה.

מאז $\set {\bar e^i}$ הוא גם בסיס פורייה עבור $L^2(M,g)$ברור מהמשוואה (3) $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. משמעות הדבר היא כי על קבוצה צפופה של $C(M)$ (וגם) $C(N)$), הקמנו $\vec{F}$ איזומורפיזם של אבליאן $C^*$ אלגבריות, ולכן ניתן להרחיב לאיזומורפיזם של $C(M)$ וגם $C(N)$ באותה קטגוריה.

כעת אנו מיישמים את משפט ייצוג גלפנד-ניימארק (בצורת פונקטור מנוגד) עבור אבליאן חד-הורית $C^*$ אלגברה [JC19] כדי לייצג איזומורפיזם זה על ידי הומיאומורפיזם $F$ בין $N$ וגם $M$. מכיוון שהוא bijective על פונקציות חלקות, גם זה חייב להיות חלק.

עכשיו זה bilfeomorphism $F$ שומר על ערכים עצמיים ופונקציות (על ידי ההשערה על $\vec{F}(f) = f\circ F$), זה חייב לשמור על Laplacian על פונקציות חלקות. לכן הוא גם חייב לשמור על הסמלים העיקריים של אותם אופרטורים אליפטיים. [MT13]. הסמלים העיקריים של Laplacian הם פשוט אמצעי נוסף לבטא את המדד רימאני על סעפת המדובר.

זה משלים את ההוכחה של המשפט.

דיון על השערות

עם $\set{M_0^{i,j,k}}$ וגם $\set{M_1^{i,j,k}}$ ייצוג שתי קבוצות המוצרים המשולשים לבסיסים $\set{e_0^i}$ וגם $\set{e_1^i}$, תן $z_i \in \set{-1,1}$ להיות $\Z_2^\infty$ פעולה על כזה $\R$בסיס אורתונורמלי מוערך $\set{e_1^i}$. לכן, עלינו לבחור $z_i$ כך $\set{z_ie_1^i}$ תשואות $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$.

למה זה המצב? באופן כללי, קבוצת הסימטריה הפועלת על המרחב של בסיסים אורתונורמליים אפשריים של פונקציות עצמיות היא המרחב של מפעילים אוניטאריים. $U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ שמתחברים לתחזיות $P_{\mathcal V_\lambda}$ על המרחבים המימדיים הסופיים $\mathcal V_{\lambda}$ משויך לכל ערך עצמי $\lambda$ של Laplacian. לכן

$$\begin{aligned} P_{\mathcal V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathcal V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

היא התמונה של $M^{i,j,k}$ מתחת $U$פעולת בסיס $e^i \mapsto U(e^i)$.

עכשיו, בתנאים של ההשערה, כל אחד $\mathcal V_\lambda$ מרחבים וקטוריים ממדיים מעל $\Complex$אבל זה גם אומר שהם מרחבים וקטוריים ממדיים אחד מעל $\Reals$וכך, קבוצת הסימטריה הכפולה המלאה היא $O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

ללא אילוץ הריבוי, התנאי המוקדם הקשור של ההשערה “הסכם רישום בערכים מוחלטים” פשוט יהפוך ל”שמירה על קבוצה מסודרת של ערכים יחידים של $\set{M^{i,j,k}}$ (נספר עם ריבוי), כאשר נתפס כאוסף של מפות מ $\mathcal V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathcal V_{\lambda_j}, \mathcal V_{\lambda_k}^*)$”, שהם קבוצה חזקה של חסרי צבא. אנחנו הרבה פחות בטוחים כי ההשערה הכללית הזו נכונה, שכן ייתכן שניתן להפיק דוגמה נגדית באמצעות בנייה מפורשת של סאנדה.

בחזרה להשערה המקורית, אנו מבחינים כי ההוכחה כרוכה בהקמת משמעות זו:

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,r,i}M_0^{s,s,j}M_0^{t,t,k}}{M_1^{r,r,i}M_1^{s,s,j}M_1^{t,t,k}}\, .$$

אנו מקווים כי לכל $k$, $M_0^{i,i,k}$ לא ניתן לזיהוי $0$ לכולם $i$. יתר על כן, הנוסחה של $z_k$ דורש שתיהן $i$-עצמאות, ויעילות, להקים את מפת הבסיס $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ משמר $\set{M_0^{i,j,k}}$. כל אלה עדיין לא ידועים.

עם זאת, הבה נחשוב כמה זהויות רלוונטיות כדי שחוקר עתידי נבוך יוכל לחפור בהשערה זו:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \inf_{f\in \mathscr H_k^\perp} \frac{||df \cdot df||^2}{||f||^2} &= \lambda_{k+1}\text{ , with }f=\pm e^{k+1}\ .\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ \sum_{\ell}Q_\ell(f,f)e^\ell &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)M^{i,j,\ell}e^\ell\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)(M^{i,i,\ell} + M^{j,j,\ell} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^\ell})e^\ell\\ = g^2 &= \sum_{i,j,\ell}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,\ell}e^\ell\implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

הערה: לאותיות חד-ממדיות שטוחות להלן, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ מאז $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$ זה גזירה אמיתית.

דוגמה ##

לתת $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ להיות ממופתח, דירוג $n$ סריג של משקולות אלגברה לי לייצוג מרחב מנה של $\frak{g}=\Reals^n$ כשדות וקטוריים בלתי משתנים בתרגום (כלומר קבועים) על עצמם, כאשר $\R^n$ גם רואים כמו $\frak{g}$’s מקושר קבוצת Lie על טורוס מוגדר על ידי $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. משקולות אלה מגדירים מעליות אינטגראליות של 1 צורות מעל לפיד שמשתלבות לפונקציונלים לינאריים $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ שם הספר בלועזית: The Lie Group (covering the torus) פונקציות ליניאריות אלה ניתן לאחר מכן לבטל באופן אחיד (על ידי $2\pi \sqrt{-1}$) ו- exponentiated ליצירת תווים מכפילים צאצאים ליצירת בסיס אורתונורמלי של $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, עם מידת לבג (האר) $dx$.

יתר על כן, בסיס זה במקביל לאלכסון לפלאציאן של הטורוס השטוח כי לפלאציאן הוא דמות של אלמנט קזימיר ריבועי סימטרי, שלילי מוגדר תחת זה (אופרטור דיפרנציאלי ליניארי מקדם קבוע) ייצוג שטח של אלגברת המעטפות האוניברסלית. לכן, הערכים העצמיים שלו נמצאים בפרופורציה קבועה (של $4\pi^2$) ל-Casimir-element-determ-length-squared של כל דמות במשקל בסריג.

אנו רואים כעת את הבסיס הנ”ל

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

כדי להיות הבסיס הפורייה הישים-משפט שלנו של פונקציות עצמיות אורתונורמליות (כפולות) (של ייצוג זה של אלמנט קזימיר (שלילי) אוקלידי ישירות המקביל $\set{\lambda_i}$. לפי ההשערות של המשפט שלנו, אנחנו חייבים $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (עם הנורמה האוקלידית על המשקולות).

עכשיו אנחנו יכולים לחשב

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

כיוון שמשוואה זו היא משתנה בלבד תחת טרנספורמציות לינאריות בסריג המשקל $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$רק a $L^2$ מפת בסיס של תפקוד עצמי אורתונורמלי (Orthonormal eigenfunction base map) הנובעת ממפה לינארית הפיכה בין שתי מפות כאלה, מדורגות וממופתחות. $n$ סריגי משקל** ישמרו על סל הנתונים הממופתח “אלגברי/טופולוגי” $\set{M^{i,j,k}}$ בלתי משתנה.

עם זאת, על מנת ליישם את משפטזה חיוני כי מפה לינארית כזו $B$ להיות $B\in SO(n,\Reals)$ על סריג משקל, כי המושרה $L^2$ מפת בסיס פונקציה עצמית

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

כמו כן יש לשמור על הפולשים ה”אנליטיים” — דמותו של קזימיר-אלמנט המושרה $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ עבור כל משקל ממופתח, כלומר, הערכים העצמיים האינדיבידואליים של Laplacian של שטורי.

חשבון ייצוג-תיאורטי זה [AK01] הוא שווה בדיוק להתפתחות הקודמת של הברכה * סריג * [NRR22] באופן מסורתי משמש לתיאור מחלקות איזומטריות של טורי שטוח. למעשה, המטריצה של מפה ליניארית כזו $B\in SO(n,\Reals)$כפי שמתואר בפסקה הקודמת, הוא האיזומטריה הרימאנית המנוגדת בין הטורי, כפי שסופק על ידי יישום משפט ייצוג גלפנד-ניימארק* במהלך פרוף אודותינו משפט.

מס’ אישורי קבלה

המחקר המקורי מומן בחלקו על ידי פרס ג’יימס סימונס למחקר אדיב בשנים 1995-1996, והתמיכה הנדיבה של אלפרד פ. מלגת דיסרטציה של סלואן בשנים 1996-1997 באוניברסיטת סטוני ברוק.

המחבר גם רוצה להודות לטניה כריסטיאנסן, קרולין גורדון, חמיד הזארי, חריש סשאדרי, ובמיוחד ליאון טכטאג’אן על עזרתם הטכנית וסקירתם בהכנת כתב היד הזה לפרסום.