טריפל מוצרים של Eigenfunctions ו Spectral Geometry

מחבר

ג’ו שפר

מסירות

עד סתיו

מופשט

שימוש בטכניקות יסודיות מניתוח גיאומטרי, משוואות דיפרנציאליות חלקיות ואבליאן $C^*$ אלגברה, אנו חושפים רומן, אך מוכר, גיאומטרי מפלה — כלומר המערכת הממופתחת של אינטגראלים של מוצרים משולשים של פונקציות הילידים של מפעיל Laplace-Beltrami, כדי לאפיין במדויק איזה סעפת רימאנית סגורה isospectral הם איזומטריים.

מבוא

עבור סעפת רימאנית סגורה $(M,g)$מאפיין מחלקה של סעפות איזוספקטראליות שאינן איזומטריות הוא סוג של בעיה הפוכה. [DH11] בגיאומטריה ספקטרלית. נאיבי אולי משערת שהשיעור הזה תמיד יהיה ריק. עם זאת, הספרות האקדמית עשירה בהרכבים בני עשרות שנים של זיווגים ספציפיים של דוגמאות נגדיות: החל משנת 1964 עם הזוג ה-16-ממדי של ג’ון מילנור לא איזומטרי, טורי שטוח איזוספקטרלי [JM64], והמשך [CS92] לקראת אפיון ממדי כללי של טורי שטוח בתזה הדוקטורט של אלכסנדר שימן משנת 1993 [AS94] — להשלים עם מחשב בעזרת חיפוש קריטי $\dim = 3$ מקרה. סקר מודרני של ההיסטוריה המלאה של טורי שטוח מופיע ב [NRR22].

לאורך הדרך היו ירי תובנות לתוך חללי כיסוי סימטריים מתוחכמים יותר, לא אוקלידיים; בניית איזוספקטרליים כאלה, לא איזומטרי “דואטים” שילוב של טנסורים עקמומיים לא טריוויאליים (והמאפיינים הקבועים שלהם בספקטרום אוילר בממד 2) [MS67]דוגמה עיקרית למאמץ זה הייתה של טושיקאזו סונדה משנת 1985. [TS85] המצאה של מסגרת חלל המכסה למטרה כללית, אותה הוא השתמש באותה עבודה כדי לבנות דואטים היפרבוליים בממדים 2 ו-3.

עבור מדדים רימאניים לא הומוגניים, קרולין גורדון גילתה דואטים שאפילו לא איזומטריים מקומיים. [CG93].

העבודה ממשיכה בתחומים רבים הקשורים [DH11], כגון קביעת מאפיינים טופולוגיים של המעמד של סעפת isospectral, non-isometric באופן כללי (ריק) [ST80], סופי [AS94], נוקשה [GK80], קומפקטי [GZ97]) כתת-קבוצה של מרחבי מודולי שונים של מדדים רימאניים.

What we offer in this article is a new perspective on a familiar tool: מקדמי פורייה ממופתחים של מוצרים זוגיים של פונקציות הילידים כמו דיסקרטי “אבחנה אלגברית/טופולוגית” כדי להשלים את הקיים, דיסקרטי “משתנה אנליטי” — הספקטרום הלא שלילי של האופרטור Laplace-Beltrami (להלן: Laplacian) $ℋ = L^2(M,g)$. יחד, אנו רואים את הזוג מספק “ייצוג גיאומטרי גלובלי בדיד” של המעמדות האיזומטריים של סעפות רימאניות סגורות.

תוצאות

חשוב להכיר $M^{i,j,k}$ זה לא משתנה בסיס: יש פעולה טבעית של שינוי הבסיס על זה דנו בפירוט לאחר ההוכחה של משפט זה. הדיון כולל סטים מסוימים של ערכים ייחודיים משתנים-בסיס שאדם עשוי ליצור השערות כלליות סביבו, הטוענות כי קבוצה מסודרת של ערכים ייחודיים מאפיינת לחלוטין את קבוצת סעפות איזוספקטרליות.

ללא קשר למחצית ההשערה הכללית, הצורך הוא תמיד המקרה. כלומר, אוספים אלה של ערכים ייחודיים המוגדרים על-ידי $M^{i,j,k}$ ומשויך לכל שלישיית eigenspace הם קבוצה חדשה של רימאני משתנים.

העבודה הקשה קדימה למחקר עתידי היא איתור זוגות בסיסים כאלה, או בקביעה כי זוגות כאלה לא יכולים להתקיים בכלל, רק על ידי בחינת המאפיינים של המאפיינים של $M^{i,j,k}$ בעדויות. אבל מאמר זה מעמיד את המטרה הזו בחזית ובמרכז: אנו מבקשים לצמצם את שאלות הגיאומטריה האנליטית של תורת הספקטרל לשאלות אלגברה ליניאריות הניתנות לחישוב על מוצרים של פונקציות עצמיות.

סימטריה ממלאת תפקיד חשוב במקרים חישוביים הניתנים להעברה [TF17] [LS18] [PS94], שמודגם היטב בטורי השטוח שלנו דוגמה למטה. עם זאת, הכוח של הגישה שלנו הוא אולי הכי בולט במקרה של סעפות עם המספר הקטן ביותר של סימטריות רימאניות, וזה המקרה הגנרי. במקרה זה, אנו מציעים את הדברים הבאים:

 

המניע לחקר $\set{M^{i,j,k}}$ הוא נגזר באופן רופף מן המחקר של התפקיד של מפעיל הכפל הבילינארי $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ בהגדרה של אלגברת אופרטור Vertex [FBZ04] קשור לתיאוריית שדה קונפורמי כיראלי. כאן $V$ הוא המרחב הווקטורי של מדינות ו $V((z))$ הוא המרחב של סדרת לורן רשמית ב $z$ עם מקדמים ב $V$. מאז $V$ לעתים קרובות מגיע מצויד כחלל הילברט עם בסיס אורתונורמלי סדרת פורייה מסורתית, מפתוח $Y$ שימוש במרכיבי הבסיס של פורייה $V$ הוא מעורב מעט יותר מאשר $M^{i,j,k}$ המקרה נחקר כאן, אבל די דומה ברוח. עם זאת, השוואה מפורטת אינה בטווח למאמר זה.

אם ניקח בחשבון את המפה

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

מאמר זה קובע את הזריקות של מפה זו עבור סעפת רימאנית סגורה (עד איזומטריה רימאנית בתחום שלה). תוצאות נוספות המחילות טכניקות אלה כדי לתאר את התמונה שלה (והיפוך), בתוך מרחבי מודולי נבחרים של מדדים רק מתחילים [AA25]. שם, Anshul Adve מתמודד בקפדנות עם מרחבים מוחשיים של 2-orbifolds קומפקטיים, היפרבוליים באמצעות אותם קבועים מבנה מתיאוריית שדה קונפורמית.

דימויים מסוימים עשויים להועיל כאן. אם נתקן $(M,g)$ תסתכלו על המסלולים של $\set{M^{i,j,k}}$ בשינויים מאוחדים בשינוי הבסיס של הספקטרום $\set{e^i}$אנו רואים כי המסלולים של איזוספטרלי שונה $(M,g)$ זוגות מחלקים את התמונה של מפה זו לאורך מחלקות איזומטריה.

לבסוף, אנו מוכיחים כי המקרה המדדי הגנרי רימאני מאופיין לחלוטין על ידי חקר של “אלכסוני” $\set{\lambda_i, M^{i,\bar i,k}}$.

תוצאות אלה הודגמו לראשונה במהלך שיחת כותרת דומה על ידי המחבר ב MSRI בשנת 1997, אבל הם מופיעים כאן בצורה שפורסמה בפעם הראשונה.

פריטים ראשוניים

כעת עם $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ כמו למעלה, עבור $f \in C^\infty(M)$ וגם $i \geq 0$ שם מקור: fourier coefficients

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x) \end{aligned}$$

מאז $f$ ניתן לייצג באופן ייחודי כמתכנס במהירות סדרת פורייה ($\Delta_M$- שיבוצי Sobolev ספציפיים [MT13] [RS75]יחד עם החוק האסימפטוטי של וייל [HW11], מרמז על התנאים בסכום הם $o(i^{-n})$ אחיד ב $x$ [LH68], $\forall n\in\N$אז אנחנו רואים את זה בשביל $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, מקדמי פורייה של המוצר Pointwise $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ הם

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x) \end{aligned}$$

וכן, ביקורתית כל פולינום רב-משתני $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (על פונקציות חלקות) מומלץ עם כל שימור ספקטרום $\Delta$-eigenfunction אורתונורמלי בסיס מפה $\vec{F}$ אשר משמר $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

אם $A\subset M$ הוא Borel ניתן למדידה, ואז את התוצאות מעל להחזיק נקודה עבור הפונקציה *characteristic של $A$בכל מקום מלבד הגבול $A$: אם $f = f^2$ וגם $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

ובייחוד יש לנו את הזהות הבאה

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

זה מרמז על כל מפת בסיס כמו לעיל נושאת פונקציות אופייניות (כאיברים של $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) לפונקציות אופייניות באופן שימור-מידה.

הנקודה של חישובים אלה היא להדגיש את העובדה כי $\set{M^{i,j,k}}$ מאפיין את הניתוח ההרמוני של אופרטור הכפל נקודה על $C^\infty(M)$תת-אלגברה צפופה של האבליאן $C^*$ אלגברה $C(M)$משפט סטון-ויירשטראס (Stone-Weierstrass).

עבור ההתכנסות המהירה של אלה לעיל סכומים מעורבים $M^{i,j,k}$, שים לב כי מוצרים של פונקציות הילידים הם חלק, כך מקדמי פורייה אלה דועכים כמו לעיל (בכל אינדקס). לפרטים נוספים, עיין בעבודתו של אמט ווימן בשנת 2022 עם מקדמים אלה כשהוא מתייחס לאי-שוויון המשולש בערכים העצמיים [EW22].

Note: תמיד אפשר להניח

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

היכן $\delta_i$ היא דלתת קרונקר. מאז $vol(M)$ הוא בלתי משתנה ספקטרלי [HW11], מידע זה כבר זמין משיקולי isospectrality.

הוכחת המשפט

לצורך, תן $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ להיות איזומטריה בין סעפת רימאנית סגורה, ולתת את הבסיס אורתונורמלי היעד של פונקציות הילידים על $L^2(N,h)$ להיות אחורה דרך $F$ על בסיס אורתונורמלי $\set{e^i}$ פעיל $(M,g)$ למעלה. מאז

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

עשינו את הטענה הכרחית כי $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

לקבלת יעילות, אנו עכשיו לשקול ליניארי, bijective orthonormal eigenfunction הבסיס מפה $\vec{F}$ מאת $C^\infty(M)$ אל $C^\infty(N)$ ושים לב כי מן החישובים ב פריטים ראשוניים למעלה, $\vec{F}$ שומר על מוצרים עם כיוון נקודה עבור פונקציות חלקות (ומשמר פונקציות אופייניות כאשר הוארך ל $L^2(M,g)$על פי ההנחה כי $\set{M^{i,j,k}}$ הוא בלתי משתנה תחת מפה זו.

למה

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ שומר על הנורמה האחידה.

הוכחת למה

לתת $\set{a_i}$ להיות חלק של אחדות על $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

כך $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (דלתא קרונקר).

על ידי משפט ההתכנסות הנשלט,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

שהיא פונקציה אופיינית של מידה חיובית על כל תת-קבוצה מנותקת $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. משמעות הדבר היא כי Lemma הוכח עבור כל אחד $a_j$מכיוון שתפקוד האופייני המגביל של קבוצה עם מידה חיובית נשמר, ולכן יש לו נורמה אחידה 1, כמו כל $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$על ידי Diagram (6)

ללא אובדן הכלליות, אנו עשויים ליישם את תוצאת המקרה המיוחדת המוצגת עבור חלוקת האחדות החלקה $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, היכן $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ יש לו מידה חיובית, והלמה מוכחת במלואה.

מאז $\set {\bar e^i}$ הוא גם בסיס פורייה עבור $L^2(M,g)$משוואה (4) $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. משמעות הדבר היא כי על קבוצה צפופה של $C(M)$ (וגם) $C(N)$), הקמנו $\vec{F}$ איזומורפיזם של אבליאן $C^*$ אלגבריות, ולכן ניתן להרחיב לאיזומורפיזם של $C(M)$ וגם $C(N)$ באותה קטגוריה.

כעת אנו מיישמים את משפט ייצוג גלפנד-ניימארק-סגל (בצורת פונקטור מנוגד) עבור אבליאן חד-הורית $C^*$ אלגברה [JC19] כדי לייצג איזומורפיזם זה על ידי הומיאומורפיזם $F$ בין $N$ וגם $M$. מכיוון שהוא bijective על פונקציות חלקות, גם זה חייב להיות חלק.

עכשיו זה bilfeomorphism $F$ שומר על ערכים עצמיים ופונקציות (על ידי ההשערה על $\vec{F}(f) = f\circ F$), זה חייב לשמור על Laplacian על פונקציות חלקות. לכן הוא גם חייב לשמור על הסמלים העיקריים של אותם אופרטורים אליפטיים. [MT13]. הסמלים העיקריים של Laplacian הם פשוט אמצעי נוסף לבטא את המדד רימאני על סעפת המדובר.

זה משלים את ההוכחה של המשפט.

דיון על Corollaries

עם $\set{M_0^{i,j,k}}$ וגם $\set{M_1^{i,j,k}}$ ייצוג שתי קבוצות המוצרים המשולשים לבסיסים $\set{e_0^i}$ וגם $\set{e_1^i}$, תן $z_i \in U_1$ להיות $U_1^\infty$ פעולה על בסיס אורתונורמלי כזה $\set{e_1^i}$. לכן, אנו בוחרים $z_i$ כך $\set{z_ie_1^i}$ תשואות $\set{M_0^{i,j,k}} = \set{z_i z_j \bar z_kM_1^{i,j,k}}$.

למה זה המצב? באופן כללי, קבוצת הסימטריה הפועלת על המרחב של בסיסים אורתונורמליים אפשריים של פונקציות עצמיות היא המרחב של מפעילים אוניטאריים. $U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ שמתחברים לתחזיות $P_{\mathscr V_\lambda}$ על המרחבים המימדיים הסופיים $\mathscr V_{\lambda}$ משויך לכל ערך עצמי $\lambda$ של Laplacian. לכן

$$\begin{aligned} P_{\mathscr V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathscr V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

היא התמונה של $M^{i,j,k}$ מתחת $U$פעולת בסיס $e^i \mapsto U(e^i)$.

תחת התנאים של Corollary 2, כל אחד $\mathscr V_\lambda$ מרחבים וקטוריים ממדיים מעל $\Complex$אבל זה גם אומר שהם מרחבים וקטוריים ממדיים אחד מעל $\Reals$וכך, קבוצת הסימטריה הכפולה המלאה היא $O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

באופן כללי יותר, הדרישה המקבילה “בנוגע להסכם בערכי המוצר” פשוט יהפוך “שימור של קבוצה מסודרת של ערכים יחידים (הנספרים עם כפל) של מפות לינאריות מ $\mathscr V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathscr V_{\lambda_j}, \mathscr V_{\lambda_k})$ הוגדר על-ידי $\set{M^{i,j,k}}$.” כאן המוצר הפנימי על $A,B \in Hom(\mathscr V_{\lambda_i}, \mathscr V_{\lambda_j})$ הוא $tr (B^*A)$. לפי ההגדרה, ערכים ייחודיים אלה הם בלתי משתנים תחת סכומים ישירים של טרנספורמציות מאוחדות על $\mathscr V_\lambda$.

במקרה הספקטרום multiplicity-1, קבוצה שלמה של ערכים יחיד הוא פשוט קבוצה של ערכים מוחלטים של $M^{i,j,k}$ אשר, אנו עדיין משערים, מאפיין לחלוטין את המעמדות האיזומטריים של סעפות איזוספקטראליות כאלה. ראה משוואה (22) ליחסי המפתח בין השערה זו לבין Corollary 2. מה שחסר הוא טיעון הספיקה שאם הערכים המוחלטים מסכימים, סעיפי המאניפולס הם איזומטריים; דבר הדורש טיעון לחסל ביטולי שינוי סימן אפשריים בין בסיסים בסכומי משוואה LHS (22).

אנו הרבה פחות בטוחים כי ההשערה הכללית נכונה (מחוץ למקרה הספקטרום multiplicity-1), שכן ייתכן שניתן לייצר דוגמה נגדית (של יעילות) באמצעות בנייה מפורשת של סאנדה.

אם סימון האינדקס מערער את המצב, אולי תיאור בלתי תלוי בסיס זה יעזור. קח $v_{\lambda} \in \mathscr V_{\lambda}$ שקול את הביטוי

$$פ_{\mathscr V_\ גמא}(v_\alpha v_\beta).$$

לזכור שכל אחד $\mathscr V_\lambda$ זהו מרחב אוקלידי מורכב סופי. הכול $M^{i,j,k}$ הוא מספק קואורדינטות בסיס של ביטוי זה שאינו תלוי בסיס. מאז $1 = \oplus_\lambda P_{\mathscr V_\lambda}$המשפט אומר כי הביטוי לעיל הוא identical בין סעפת אם ורק אם סעפת המאניפולד היא איזומטרית; אשר צריך לבוא כהלם פשוטו כמשמעו אף אחד. מחצית מההשערות הללו הן בעיקר בעיות קומבינטוריות הכרוכות בשיקום ביטויים אלה אך ורק מפירוק הערכים הייחודי שלהם.

עם זאת, משתנים בסיסיים אלה עשויים להיות שימושיים בפיענוח מקרים מורכבים יותר הכרוכים בהוכחת שתי סעפות איזוספקטרליות הם לא איזומטריים, על ידי כך שהם מראים כי הערכים הייחודיים שלהם אינם זהים בין שני הבסיסים הנדון.

הצידה

תיאורית הייצוג של קבוצת שקר קומפקטית $G$ הוצאת לפלאסיאן המפורש מהמשוואה ומחקריו ייצוגים בלתי ניתנים להכרה $\Phi^{(\lambda)} \in Hom(G,U(\mathscr V_\lambda))$ הפירוק של החלל הילברט $L^2(G,dg)$ (כאן) $dg$ האם מדד הסתברות האר מנורמל ב- $G$) כפי שמופנה במשפט פיטר וייל, ומכבדת את האינטראקציה שלהם בביטוי לעיל (באמצעות פירוק של תוצרי טנזור של קרניים) כארטיפקטים החיוניים של תאוריית השקר [AK01]. גאומטריות רימאניות תואמות נוצרות על ידי בחירות נוחות של יסודות קזימיר ריבועיים הנמצאים במרכז האלגברה האוניברסלית המעטפת, שהם בעלי חשיבות פחותה מהפירוק הבלתי ניתן להכחשה של האלגברה. $L^2(G,dg)$ עצמו. הפירוק הספקטרלי שלהם הוא הרכבה (פחות נוחה) של רכיבים בלתי מנוצלים אלה, שכן אלמנט קזימיר המקושר הוא קבוע על מקדמי המטריצה של כל ייצוג בלתי מנוצח.

ויגנרס $3j$ סמלים של $SU(2)$ זוהי דוגמה עיקרית למחקר נוסף. — הבה נחיל את הבנייה הכללית שלנו עליה כגוף קבוצתי. כל ייצוג חד-ממדי בלתי מנוצח של $SU(2)$ מסומן על-ידי חצי-מספר שלם שאינו שלילי $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$. אנחנו כותבים $\mathscr V_j$ עבור $(2j+1)$מרחב ממדי שבו ייצוג זה פועל. בסיס אורתונורמלי סטנדרטי של $\mathscr V_j$ הבסיס המגנטי $\ket{j\ m}$ עם $m = -j,-j+1,\dots,j.$

המשוואה

$$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} :=(-1)^{j_1-j_2-m_3}\frac{1}{\sqrt{2j_3+1}}C^{j_3\ -m_3}_{j_1\ m_1,j_2\ m_2}$$

מבטא את $3j$ הגדרת סמלים במונחים של מקדמי קלבש-גורדן $C^{j\ m}_{j_1\ m_1,j_2\ m_2}:=\bra{j_1\ m_1,j_2\ m_2}\ket{j\ m}$ לפרוק את ייצוג המוצר טנזור $\mathscr V _{j_1}\otimes\mathscr V _{j_2}$ לרכיבים בלתי ניתנים להכרה, אשר סגרו ביטויי טופס כגון נוסחת רח”ה שעומדת בבסיס ספריות תוכנה מספריות מודרניות [JF16].

א $3j$ סמל נעלם אלא אם כן $m_1+m_2+m_3=0$אי-שוויון המשולש $|j_1-j_2|\le j_3\le j_1+j_2$ להחזיק, וגם $j_1+j_2+j_3$ הוא מספר שלם.

מנקודת המבט של הקבוצה הקומפקטית $SU(2)$, $3j$ סמלים הם בדיוק האופרטורים (מנורמלים ומרוכזים) המממשים את התת-מרחב הבלתי משתנה הייחודי (עד קנה המידה) של מוצר הטנזור המשולש $\mathscr V_{j_1}\otimes \mathscr V_{j_2}\otimes \mathscr V_{j_3}$ כאשר המוצר מכיל את הייצוג הטריוויאלי. לכן הם “קבועי המבנה” הטבעיים עבור היתוך של שלושה ייצוגים בלתי מנוצחים לסינגלט.

זה בדיוק דומה לRôle שיחק על ידי אינטגראלים מוצר משולש $M^{i,j,k}$ על סעפת רימאנית: הם קבועים המבנה של תוצר נקודה של פונקציות הילידים כאשר מוצר זה מורחב בחזרה באיגנבאזיס. על הקבוצה $SU(2)$ עצמו, אותם אינטגראלים להפחית מוצרים בשלבים של $3j$סמלים.

יאללה, תן $D^{j}_{m n}(g)$ Wigner סטנדרטי $D$-פונקציות (מטריקס מקדמי irrep של ספין) $j$ על בסיס אורתונורמלי מגנטי $\ket{j\ m}$). לגבי מידת ההסתברות הנורמלית של האר $dg$ לאחד יש את הנוסחה המדויקת [VK88]

$$\int_{SU(2)} D^{j_1}_{m_1 n_1}(g)\, D^{j_2}_{m_2 n_2}(g)\, \overline{D^{j_3}_{m_3 n_3}(g)}\,dg = \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ n_1 & n_2 & -n_3 \end{pmatrix} \times (-1)^{m_3+n_3}.$$

(מוסכמת השלב הכוללת יכולה להיות מותאמת על ידי הגורמים הרגילים קונדון-Shortley; הנקודה העיקרית היא כי הגורמים האינטגרליים לתוך תוצר של שני אמיתי) $3j$-סמלים.) משפט פיטר-וייל מספק בסיס אורתונורמלי מלא של $L^2(SU(2),dg)$ ניתן על ידי מקדמי מטריצה מנורמלים מחדש:

$$e^{j,m,n}(g):=\sqrt{2j+1}\ D^{j}_{mn}(g),$$

איפה המדדים לרוץ

$$j=0,\tfrac12,1,\tfrac32,\dots,\ m,n=-j,-j+1,\dots,j.$$

Combining the two equations one obtains the explicit expression:

$$\begin{aligned} M^{(j_1 m_1 n_1),(j_2 m_2 n_2),(j_3 m_3 n_3)} &= \sqrt{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}\\ &\ \times \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ n_1 & n_2 & -n_3 \end{pmatrix} (-1)^{m_3+n_3}. \end{aligned}$$

לקבוצות שקר Abelian קומפקטיות, מרחבים וקטוריים אלה $\mathscr V_\lambda$ הם כולם חד ממדיים, כך המצב שלהם דומה לחלוטין פירוק ספקטרלי של multiplicity-1 Laplacians לעיל. עוד על זה בדוגמה למטה.

בחזרה אל Corollary 1, אנו מבחינים כי ההוכחה כרוכה ביסוס משמעות זו:

$$z_k = M_0^{i,\bar i,k} / M_1^{i,\bar i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,\bar i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,\bar r,i}M_0^{s,\bar s,j}\bar M_0^{t,\bar t,k}}{M_1^{r,\bar r,i}M_1^{s,\bar s,j}\bar M_1^{t,\bar t,k}}\, .$$

אנו מקווים כי לכל $k>0$, $M_0^{i,\bar i,k}$ לא ניתן לזיהוי $0$ לכולם $i$, מכיוון שזהו מצב כללי אמיתי, אבל שקר במקרים מסוימים כמו תיק טורי שטוח מכוסה בדוגמה להלן. דרך גבוהה יותר להסתכל על מצב זה היא לציין כי כזה התקווה-הפרה $k$ היה $\bar e^k$ ב הליבה של המפה adjoint $[M^{i,\bar i,k}]^*$. יתר על כן, הנוסחה עבור $z_k$ דורש שתיהן $i$-עצמאות, ויעילות, להקים את מפת הבסיס $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ משמר $\set{M_0^{i,j,k}}$.

אנו משרטטים הוכחה של Corollary 1 (sufficiency) מתחת לסדרת הנוסחאות הבאה.

עם זאת, הבה נחשוב כמה זהויות רלוונטיות כך שחוקר עתידי מוטרד יוכל לחפור לתוך ההשערה הכללית. כאן $v\cdot w$ הוא התוצר הפנימי של רימאניה על החבילה הקוטנגנטית:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \text {So the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}.\\ \end{aligned}$$

#הוכחת קורולרים

Now consider the famous associativity relations from Conformal Field Theory:

$$\begin{aligned} e^ie^je^k = \sum_\ell\bra{e^ie^j}\ket{\bar{e^k}e^\ell}e^\ell &= \sum_{\ell,r} M^{i,j,r}\bar M^{\bar k,\ell,r}e^\ell\\ &= \sum_{\ell,r} M^{i,k,r}\bar M^{\bar j,\ell,r}e^\ell\ \therefore\\ i = \bar j, \ell = k\text{ and relabeling } \implies \\ \sum_r M^{i,\bar i,r}\bar M^{j,\bar j,r} &= \sum_r |M^{i,j,r}|^2 \end{aligned}$$

סעיף 1 נובע מהעובדה $z_k\in U_1$ הוא מוגדר היטב (כלומר. $i$-משתנה על ידי ההשערות על מוצרים), ואת התצפית הקודמת כי מפעילי trilinear אלגברי, תחום מוגדר על ידי $z_iz_j\bar z_kM_1^{i,j,k}$ וגם $M_0^{i,j,k}$ שניהם אסוציאטיביים ומסכימים עם כפל פונקציה נקודה על ידי ריבועים של ערכים מוחלטים של פונקציות הילידים, אשר צפוף ב $\mathscr H$. מקים $\ker\ [M^{i,\bar i,k}]^* = 0$ שווה ערך, איפה $\mathscr V$ הוא מרחב הילברט הסגור שנוצר על ידי $\set{|e^i|^2}$, וגם $[M^{i,\bar i,k}]:\mathscr V\rightarrow \mathscr H$ היא מפת הזהות של שינוי הבסיס.

הם מסכימים בכל מקום.

יעילות Corollary 2 באה לידי ביטוי בכך שמצב הליבה adjoint-map הנעלם בקורולארי 1 הוא באופן כללי נכון. אם יש בחירה של $i,j,k$, המוצר $M^{i,\bar i,k} \bar M^{j,\bar j,k}$ לא הסכימו בין הבסיסים, הם לא יסכימו בכל זוג בסיסים.

למה? מאחר שניתן להניח כי למניפולדים גנריים יש גם ספקטרום multiplicity-1, הדבר מפחית את קבוצת הסימטריה המלאה ל $U_1^\infty$ כאשר מוצרים אלה הם משתנים, סותרים את המשפט 1. הפחתה נוספת $\Z_2^\infty$ באמצעות בסיסי ערך אמיתי מבטיח את המוצרים הם באמת מוערך. זה קובע את הצורך של ההשערה, ומשלים את ההוכחה.

יתר על כן, הטיעונים בהוכחה של Corollary 1 תקפים גם כאשר סעפת הם nonisospectral, אז אנחנו יכולים לייצג את מפת הבסיס כמו diffeomorphism אם ורק אם המוצרים תואמים במקרה הגנרי לעיל. איזוסקרטיות הופכת להיות מקבילה לאיזומטריה רימאנית.

זה משלים את ההוכחה של הקורולרים.

דוגמה

לתת $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ להיות ממופתח, דירוג $n$ סריג של משקולות אלגברה לי לייצוג מרחב מנה של $\frak{g}=\Reals^n$ כשדות וקטוריים בלתי משתנים בתרגום (כלומר קבועים) על עצמם, כאשר $\R^n$ גם רואים כמו $\frak{g}$’s מקושר קבוצת Lie על טורוס מוגדר על ידי $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. משקולות אלה מגדירים מעליות אינטגראליות של 1 צורות מעל לפיד שמשתלבות לפונקציונלים לינאריים $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ שם הספר בלועזית: The Lie Group (covering the torus) פונקציות ליניאריות אלה ניתן לאחר מכן לבטל באופן אחיד (על ידי $2\pi \sqrt{-1}$) ו- exponentiated ליצירת תווים מכפילים צאצאים ליצירת בסיס אורתונורמלי של $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, עם מידת לבג (האר) $dx$.

יתר על כן, בסיס זה במקביל לאלכסון לפלאציאן של הטורוס השטוח כי לפלאציאן הוא דמות של אלמנט קזימיר ריבועי סימטרי, שלילי מוגדר תחת זה (אופרטור דיפרנציאלי ליניארי מקדם קבוע) ייצוג שטח של אלגברת המעטפות האוניברסלית. לכן, הערכים העצמיים שלו נמצאים בפרופורציה קבועה (של $4\pi^2$) ל-Casimir-element-determ-length-squared של כל דמות במשקל בסריג.

אנו רואים כעת את הבסיס הנ”ל

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

כדי להיות הבסיס הפורייה הישים-משפט שלנו של פונקציות עצמיות אורתונורמליות (כפולות) (של ייצוג זה של אלמנט קזימיר (שלילי) אוקלידי ישירות המקביל $\set{\lambda_i}$. לפי ההשערות של המשפט שלנו, אנחנו חייבים $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (עם הנורמה האוקלידית על המשקולות).

עכשיו אנחנו יכולים לחשב

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

כמשוואה זו תלוי רק בסריג המשקל עצמו, הוא אורתונורמלי-בסיס-אינדקס בלתי משתנה. יתר על כן, הוא רק בלתי משתנה תחת טרנספורמציות ליניאריות על סריג המשקל $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$אז רק a $L^2$ מפת בסיס של תפקוד עצמי אורתונורמלי (Orthonormal eigenfunction base map) הנובעת ממפה לינארית הפיכה בין שתי מפות כאלה, מדורגות וממופתחות. $n$ משקל lattices** ישמור “אלגברי/טופולוגי” סל נתונים ממופתח $\set{M^{i,j,k}}$ בלתי משתנה.

עם זאת, על מנת ליישם את משפטזה חיוני כי מפה לינארית כזו $B$ להיות $B\in SO(n,\Reals)$ על סריג משקל, כי המושרה $L^2$ מפת בסיס פונקציה עצמית

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

צריך גם לשמור על “אנליטי” משתנים — דמותו של קזימיר-אלמנט המושרה $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ עבור כל משקל ממופתח, כלומר, הערכים העצמיים האינדיבידואליים של Laplacian של שטורי.

כפי שהדואט של מילנור מדגים, שיש מפה ששומרת על אורכי משקולות הסריג אינה מספיקה כדי להסיק שהמפה נמצאת ב $SO(n,\Reals)$;עלינו גם לדעת שהמפה שומרת על זוויות משקל סריג. אבל זו תוצאה של הנוסחאות שפותחו במשוואה (21):

$$-4\pi^2\bra{\lambda_i}\ket{\lambda_j}e^ie^j = de^i\cdot de^j = 2\pi^2\sum_k (\lVert\lambda_i\rVert^2 + \lVert\lambda_j\rVert^2 - \lVert\lambda_k\rVert^2)M^{i,j,k}e^k = 2\pi^2(\lVert\lambda_i\rVert^2 + \lVert\lambda_j\rVert^2 - \lVert\lambda_i + \lambda_j\rVert^2)e^ie^j\ .$$

הדבר המסודר בניתוח זה הוא שהוכחנו שאין מפה ליניארית בין סריגים ששומרים על ערכי הילידים מבלי שהמפה תיווצר על ידי איזומטריה רימאנית על הטורי. — כתוצאה מן המשפט, לא משום שהחישובים המפורשים המעורבים הם זהויות קיטוב פשוטות.

חשבון ייצוג-תיאורטי זה [AK01] הוא שווה בדיוק להתפתחות הקודמת של הברכה סריג [NRR22] באופן מסורתי משמש לתיאור מחלקות איזומטריות של טורי שטוח. למעשה, המטריצה של מפה ליניארית כזו $B\in SO(n,\Reals)$כפי שתואר בפסקה הקודמת, הוא האיזומטריה הרימאנית המנוגדת בין הטורי, כפי שסופק על ידי יישום של משפט ייצוג גלפנד-ניימארק-סגל* במהלך פרוף אודותינו משפט.

אישורי קבלה

המחקר המקורי מומן בחלקו על ידי פרס ג’יימס סימונס למחקר אדיב בשנים 1995-1996, והתמיכה הנדיבה של אלפרד פ. מלגת דיסרטציה של סלואן בשנים 1996-1997 באוניברסיטת סטוני ברוק.

המחבר גם רוצה להודות לטניה כריסטיאנסן, קרולין גורדון, חמיד הזארי, חריש סשאדרי, ובמיוחד ליאון טכטאג’אן על עזרתם הטכנית וסקירתם בהכנת כתב היד הזה לפרסום.