הרי השטח המינימלי של לוסון _6,1 מתוכנן בצורה סטריאוגרפית מ-S³ ל-R³

מס’ # מחברים

ג’ו שפר

תקציר

שימוש בטכניקות יסודיות מניתוח גיאומטרי, משוואות דיפרנציאליות חלקיות ואבליאן $C^*$ אלגברה, אנו חושפים רומן, אך מוכר, משתנה גיאומטרי גלובלי —

מבוא

עבור סעפת רימנית סגורה $(M,g)$, אפיון המחלקה של סעפת isospectral שאינה איזומטרית היא סוג של בעיה הפוכה. [DH11] בגיאומטריה ספקטרלית. נאיבי אחד יכול לשער כי שיעור זה תמיד יהיה ריק. עם זאת, הספרות האקדמית עשירה עם מבנים בני עשרות שנים של זיווג ספציפי של דוגמאות נגדיות: החל בשנת 1964 עם הזוג של ג’ון מילנור 16-ממדי של לא איזומטרי, isospectral שטוח tori [JM64], והמשך [CS92] לקראת אפיון הממדי הגנרי של טורי שטוח בתזה הדוקטורט של אלכסנדר שימן משנת 1993 [AS94] — להשלים עם מחשב בעזרת חיפוש קריטי $\dim = 3$ תיק. סקר מודרני של ההיסטוריה השטוחה המלאה מופיע ב [NRR22].

לאורך הדרך היו יריעות תובנה לתוך חללי כיסוי סימטריים מתוחכמים יותר, לא אוקלידיים; בניית “דואטים” איזוספקטרליים ולא איזומטריים כאלה הכוללים טנזורות עקמומיות לא טריוויאליות (והמאפיינים של אוילר מוגדר הספקטרום שלהם בממד 2 [MS67]דוגמה עיקרית למאמץ זה הייתה טושיקאזו סונאדה מ-1985. [TS85].

עבור מדדים רימאניים לא הומוגניים, קרולין גורדון גילתה דואטים שאפילו לא איזומטריים מקומיים. [CG93].

העבודה נמשכת בתחומים רבים [DH11], כגון קביעת מאפיינים טופולוגיים של הסוג של סעפת איזוספקטרלית, לא איזומטרית בכלל (ריק) [ST80], סופי [AS94], נוקשה [GK80], וקומפקטי [GZ97].

מה שאנו מציעים במאמר זה הוא פרספקטיבה חדשה על כלי מוכר: מקדמי פורייה ממופתחים של מוצרים בזוג של פונקציות הילידים כמו “אלגברי / טופולוגי משתנים” דיסקרטי כדי להשלים את הקיים, דיסקרטי “משתנה אנליטית” — הספקטרום הלא-שלילי של המפעיל Laplace-Beltrami (המכונה כאן Laplacian) על $L^2(M,g)$

תוצאות

סימטריה ממלאת תפקיד חשוב במקרים הניתנים למעקב חישובי [TF17] [LS18] [PS94]אשר מודגם היטב בטורי השטוח שלנו דוגמה.

המוטיבציה לחקר $\set{M^{i,j,k}}$ הוא נגזר באופן רופף ממחקר התפקיד של מפעיל הכפל הליניארי $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ הגדרה של אלגברת אופרטור Vertex [FBZ04] משויך לתאוריית שדה קונפורמי כיראלי. כאן $V$ זהו מרחב וקטורי של מדינות ו $V((z))$ זהו המרחב של הסדרה הרשמית של לורן ב $z$ עם מקדמים ב- $V$. . מאז $V$ לעתים קרובות מגיע מצויד בחלל הילברט עם בסיס אורתונורמלי סדרת פורייה מסורתית, מפתוח $Y$ שימוש במרכיבי הבסיס של פורייה של $V$ הוא מעורב מעט יותר מאשר $M^{i,j,k}$

תוצאות אלה הודגמו לראשונה במהלך שיחה דומה שכותרתה על ידי המחבר ב MSRI בשנת 1997, אבל הם מופיעים כאן בצורה שפורסמה בפעם הראשונה.

מס’ ראשוני

עכשיו עם $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ כמו למעלה, עבור $f \in C^\infty(M)$ וגם $i \geq 0$

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

מאז $f$ הוא מייצג באופן ייחודי כמו שלה במהירות מתכנסת פורייה סדרה ($\Delta_M$שיבוץ Sobolev ספציפי [MT13] [RS75]יחד עם החוק האסימפטוטי של וייל [HW11], מרמזת על התנאים בסכום $o(i^{-n})$ אחיד ב $x$ [LH68], $\forall n\in\N$אז אנחנו רואים את זה בשביל $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, מקדמי פורייה של המוצר Pointwise $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}$$

וכך, ביקורתית כל פולינום רב-משתני $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (על פונקציות חלקות) מפעיל עם כל שימור ספקטרום $\Delta$-eigenfunction orthonormal מפת בסיס $\vec{F}$ זה שומר $\set{M^{i,j,k}}$

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

אם $A\subset M$ הוא Borel ניתן למדידה, ואז התוצאות מעל נקודת אחיזה עבור הפונקציה *characteristic של $A$*בכל מקום מלבד הגבול של $A$: אם $f = f^2$ וגם $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

ועל ידי ייחודיות, יש לנו את הזהות הבאה

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

זה מרמז על כל מפת בסיס כמו לעיל נושאת פונקציות אופייניות (כמו חברים של $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$

הנקודה של חישובים אלה היא להדגיש את העובדה כי $\set{M^{i,j,k}}$ מאפיין את הניתוח ההרמוני של אופרטור הכפלת Pointwise ב- $C^\infty(M)$תת-אלגברה צפופה של האבלית $C^*$ אלגברה $C(M)$

עבור ההתכנסות המהירה של סכומים אלה לעיל מעורבים $M^{i,j,k}$, שים לב כי מוצרים של eigenfunctions הם חלקים, כך מקדמי פורייה אלה להתרוקן כמו לעיל (בכל אינדקס). לפרטים נוספים, ראו את עבודתו של אמט ויימן בשנת 2022 עם מקדמים אלה כפי שהיא מתייחסת לחוסר השוויון המשולש על ערכי הילידים. [EW22].

הערה: אפשר תמיד להניח

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

היכן $\delta_i$ היא הדלתה של קרונקר. מאז $vol(M)$ הוא בלתי משתנה ספקטרלי [HW11].

הוכחת המשפט

לצורך הצורך, תנו $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ להיות איזומטריה בין סעפת רימאנית סגורה, ולתת בסיס אורתונורמלי היעד של פונקציות הילידים על $L^2(N,h)$ להיות משיכת הגב דרך $F$ על בסיס אורתונורמלי $\set{e^i}$ בשעה $(M,g)$

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

אנחנו עושים את הטיעון ההכרחי כי $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$

עבור יעילות, אנו עכשיו לשקול ליניארי, bijective orthonormal על בסיס פונקציה עצמית מפה $\vec{F}$ מעמוד $C^\infty(M)$ עד $C^\infty(N)$ ושים לב כי מן החישובים תנאים מקדימים מעל, $\vec{F}$ שומר על מוצרים נקודתיים עבור פונקציות חלקות (ומשמר פונקציות אופייניות כאשר הוארך ל $L^2(M,g)$על פי ההנחה כי $\set{M^{i,j,k}}$

אמה

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ שומרת על הנורמה האחידה.

הוכחת למה

תן $\set{a_i}$ להיות מחיצה חלקה של אחדות על $M$

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

כך $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$

על ידי משפט ההתכנסות הנשלט,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

פונקציה אופיינית של מידה חיובית על כל תת-קבוצה לא משותפת $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. . משמעות הדבר היא כי הלמה מוכחת עבור כל אחד $a_j$מאז הפונקציה האופיינית המגבילה של קבוצה עם מידה חיובית נשמרת, ולכן יש נורמה אחידה 1, כמו כל $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$

ללא אובדן הכלליות, אנו עשויים ליישם את תוצאת המקרה המיוחדת המוצגת עבור חלוקה חלקה של אחדות $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, היכן $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$

משמעות הדבר היא כי על סט צפוף של $C(M)$ (וגם) $C(N)$), הקמנו $\vec{F}$ איזומורפיזם של אבליאן $C^*$ אלגברה, וכך ניתן להרחיב לאיזומורפיזם של $C(M)$ וגם $C(N)$

כעת אנו מיישמים את משפט הייצוג של גלפנד-ניימארק (בצורת פונקטור מנוגד) עבור אבליאן $C^*$ אלגבריות [JC19] כדי לייצג איזומורפיזם זה על ידי הומאומורפיזם $F$ בין $N$ וגם $M$

כמו זה עכשיו diffeomorphism $F$ שומר על ערכים עצמיים ופונקציות הילידים (על ידי השערה על $\vec{F}(f) = f\circ F$), הוא חייב לשמור על Laplacian על פונקציות חלקות. לפיכך, יש לשמר את הסמלים העיקריים של אותם אופרטורים אליפטיים. [MT13].

זה מסיים את ההוכחה למשפט.

דיון על השערות

עם $\set{M_0^{i,j,k}}$ וגם $\set{M_1^{i,j,k}}$ מייצג את שתי קבוצות המוצרים המשולשים לבסיסים $\set{e_0^i}$ וגם $\set{e_1^i}$, בואו $z_i \in \set{-1,1}$ להיות $\Z_2^\infty$ פעולה על כזה $\R$-בסיס אורתונורמלי מוערך $\set{e_1^i}$. . לכן, עלינו לבחור $z_i$ כך ש $\set{z_ie_1^i}$ תשואות $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$

אנו רואים בהכרח כי

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.$$

אנו מקווים כי עבור כל נתון $k$, $M_0^{i,i,k}$ לא יכול להיות זהה $0$ לכל $i$. . בסומק הראשון, זה לא נראה בלתי אפשרי אם $M$ יש לה קבוצת סימטריה “אפילו” ו $e^k$ זה מוזר, אבל התקווה נכונה עבור המקרה השטוח-טורי למטה (אשר אינו מספק את הכפלת ערך הילידים האחיד = מצב 1). בנוסף, הנוסחה (11) $z_k$ דורש את שניהם $i$-עצמאות, וסבלנות, כדי לקבוע את מפת הבסיס $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ שימור $\set{M_0^{i,j,k}}$

עם זאת, הבה נחשוב כמה זהויות רלוונטיות, כך שחוקר עתידי לא מוכן יכול לחפור בהשערה זו:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k}\\ \text{Now by polarization}\\ M^{i,j,k} &= \frac{\bra{(e^i+e^j)^2 - (e^i - e^j)^2}\ket{e^k}}{4} = \frac{M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k}}{2},\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\ \\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ df\cdot df = \sum_kQ_k(f,f)e^k &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)M^{i,j,k}e^k\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)(M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k})e^k\\ = g^2 &= \sum_{i,j,k}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k}e^k \implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

הערה: עבור מקרה שטוח-תורי חד ממדי למטה, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ מאז $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$

דוגמה

תן $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ להיות ממופתח, דירוג $n$ סריג של משקלי אלגברה שקר לייצוג המרחב המרווח של $\frak{g}=\Reals^n$ כשדות וקטוריים משתנים (כלומר קבועים) על עצמם, כאשר $\R^n$ הוא גם נתפס כ $\frak{g}$’s הקשורים קבוצת שקר על טורוס שהוגדר על ידי $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. . משקולות אלה מגדירים מעליות משולבות של צורות 1 על פני טורוס המשתלבות לפונקציות לינאריות $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ קבוצת השקר שלה (מסתירה את הטורוס). לאחר מכן ניתן לבטל את הפונקציות הלינאריות הללו באופן אחיד (על ידי $2\pi \sqrt{-1}$) ו-Exponentiated ליצירת תווים מכפילים היורדים ליצירת בסיס אורתונורמלי של $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, עם מדד לבג (האר) $dx$

יתר על כן, בסיס זה בו זמנית אלכסוני לפלאצ’יאן של טורוס שטוח כי לפלאצ’יאן הוא הדימוי של אלמנט קזימיר ריבועי סימטרי, שלילי-מוגדר תחת זה (מפעיל דיפרנציאלי לינארי מקדם קבוע) ייצוג המרחב המרווח של אלגברת המעטפות האוניברסלית. לפיכך, ערכי הילידים שלה הם בפרופורציה קבועה (של $4\pi^2$

אנו רואים כעת את הבסיס שלעיל

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

כדי להיות הבסיס שלנו תיאורטית-יישום פורייה של orthonormal (multiplicative character) eigenfunctions (של ייצוג זה של אלמנט (שלילי) Euclidean Casimir) התואם ישירות $\set{\lambda_i}$. . על פי ההשערות של המשפט שלנו, אנחנו חייבים $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$

כעת ניתן לחשב

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

כיוון שמשוואה זו היא לינארית על סריג המשקל $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$רק א $L^2$ מפת בסיס של תפקוד עצמי אורתונורמלי (Orthonormal eigenfunction) אשר נגרמת ממפה לינארית בלתי הפיכה המשמרת בנפח בין שתי מפות ממופתחות, מדורגות $n$ סריגי משקל ישמרו על סל הנתונים הממופתח “אלגברי/טופולוגי” $\set{M^{i,j,k}}$

עם זאת, כדי ליישם את משפטזה חיוני כי מפה לינארית כזו $B$ להיות $B\in O(n,\Reals)$ על סריג המשקל, כי המושרה $L^2$

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

יש לשמר גם את הפולשים ה”אנליטיים” — דמותו של קזימיר-אלמנט המושרה $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$

ייצוג זה - חשבון תיאורטי [AK01] הוא שווה בדיוק להתפתחות הקודמת של הברכה* [NRR22] בשימוש מסחרי כדי להגדיר את סוגי האיזומטריה של טורי שטוח. למעשה, המטריצה של מפה לינארית כזו $B\in O(n,\Reals)$, כפי שתואר בפסקה הקודמת, הוא האיזומטריה הרימאנית המתנגשת בין הטורי, כפי שסופק על ידי יישום משפט הייצוג של גלפנד-ניימארק* במהלך הוכחה אודותינו משפט.

מס’ אישורי קבלה

המחקר המקורי מומן בחלקו על ידי פרס המחקר ג’יימס סימונס האדיב בשנים 1995-1996, והתמיכה הנדיבה של אלפרד פ. מלגת הדיסרטציה הסלואנית בשנים 1996-1997 באוניברסיטת סטוני ברוק.

המחבר גם רוצה להודות לטניה כריסטיאנסן, קרולין גורדון, חמיד חזרי, חריש סשאדרי, ובמיוחד ליאון טכטאג’אן על הסיוע הטכני שלהם וסקירה בהכנת כתב היד הזה לפרסום.