Dreifache Produkte von Eigenfunktionen und Spektralgeometrie

[ÜBERPRÜFT] Zuletzt aktualisiert von Joe Schaefer auf So., 28 Apr. 2024    Quelle
 

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Autor

Joe Schaefer

Auszug

Verwendung elementarer Techniken aus der Geometrischen Analyse, partiellen Differentialgleichungen und Abelian CC^* Algebras, Wir entdecken einen neuartigen, aber bekannten, globalen geometrischen Invarianten —

Einführung

Für eine geschlossene Riemannsche Verteiler (M,g)(M,g), die ihre Klasse von nicht-isometrischen, isospektralen Verteilern kennzeichnet, ist eine Art inverses Problem [DH11] in der Spektralgeometrie. Naiv könnte man spekulieren, dass diese Klasse immer leer sein würde. Die akademische Literatur ist jedoch reich an jahrzehntelangen Konstruktionen spezifischer Paarungen von Gegenbeispielen: ab 1964 mit John Milnors 16-dimensionalen Paaren nichtisometrischer, isospektraler flacher Tori [JM64]und weiter [CS92] zur generischen dimensionalen Charakterisierung flacher Tori in Alexander Schiemanns Doktorarbeit von 1993 [AS94] — mit einer computergestützten Suche nach dem Kritischen dim=3\dim = 3 Fall. Eine moderne Übersicht über die ganze flache Tori-Geschichte erscheint in [NRR22].

Auf dem Weg waren aufschlussreiche Offshoots in anspruchsvollere, nicht-euklidische symmetrische Abdeckräume; Konstruieren solcher isospektraler, nicht-isometrischer “duets” mit nicht-trivialen Krümmungs-Tensoren (und ihre spektrumbestimmten Euler-Eigenschaften in Dimension 2) [MS67].) Ein Paradebeispiel für diese Bemühungen war Toshikazu Sunadas 1985. [TS85].

Für inhomogene Riemannsche Metriken entdeckte Carolyn Gordon Duette, die nicht einmal lokal isometrisch sind [CG93].

Die Arbeit wird in vielen verwandten Bereichen fortgesetzt [DH11], wie die Bestimmung der topologischen Eigenschaften der Klasse der isospektralen, nichtisometrischen Verteiler im Allgemeinen (leer) [ST80], endlich [AS94], starr [GK80]und kompakt [GZ97].

Was wir in diesem Artikel anbieten, ist eine neue Perspektive auf ein bekanntes Werkzeug: indexierte Fourier-Koeffizienten von paarweisen Produkten von Eigenfunktionen als diskrete “algebraisch/topologische Invariante”, um die bestehende, diskrete “analytische Invariante” zu ergänzen. — das nichtnegative Spektrum des Laplace-Beltrami-Operators (im Folgenden Laplacian genannt) auf L2(M,g)L^2(M,g)

Ergebnisse


Satz von ####

Bei einer (nicht abnehmenden Eigenwert) orthonormalen Basis von Eigenfunktionen {ei}i=0\set{e^i}_{i=0}^{\infty} für den (nicht-negativen) Laplacian ΔM\Delta_M am L2(M,g)L^2(M,g) verbunden mit einem geschlossenen Riemannschen Verteiler (M,g)(M,g)

Mi,j,k:=Meiejekˉgdx M^{i,j,k} := \int_M e^i e^j \bar{e^k} \sqrt{g} dx

Isometrisch zu (M,g)(M,g), ist es eine notwendige und ausreichende Bedingung für eine andere iosospektrale geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit, um eine orthonormale Grundlage von Eigenfunktionen (für seine Laplacian) zu haben, die beide die zugehörigen Eigenwerte bewahrt und eine Invariante besitzt. {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}


Symmetrie spielt eine wichtige Rolle bei rechnerisch ableitbaren Fällen [TF17] [LS18] [PS94], was in unserem flachen Tori passend dargestellt ist Beispiel.


Vermutung

Wenn jeder Eigenwert eine Vielfalt hat 11, bei einem Paar von Eigenwerten, die orthormale Basen erhalten, wie in der Hypothese des Theorems beschrieben, sind die Mannigfaltigkeiten isometrisch, wenn und nur wenn die {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}


Die Motivation für das Studium von {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}} ist lose aus der Studie der Rolle des linearen Multiplikationsoperators abgeleitet Y:VVV((z))Y:V\otimes V\rightarrow V((z)) in der Definition einer Vertex Operator Algebra [FBZ04] mit einer chiralen konformen Feldtheorie verbunden. Hier VV ist der Vektorraum der Staaten und V((z))V((z)) ist der Raum der formalen Laurent-Serie in zz mit Koeffizienten in VV. Seit VV oft als Hilbert Space mit einer traditionellen orthonormalen Basis der Fourier-Serie ausgestattet, YY Verwendung der Fourier-Basiselemente von VV ist nur etwas stärker beteiligt als die Mi,j,kM^{i,j,k}

Diese Ergebnisse wurden erstmals in einem ähnlich betitelten Vortrag des Autors bei MSRI im Jahr 1997 gezeigt, erscheinen aber hier erstmals in veröffentlichter Form.

Vorbereitungen

Jetzt mit M,g,ei,Mi,j,kM,g,e^i,M^{i,j,k} wie oben, für fC(M)f \in C^\infty(M) und i0i \geq 0

f^(i):=Mf(x)eiˉ(x)g(x)dx    f(x)=i=0f^(i)ei(x).\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}

seit ff ist einzigartig darstellbar als seine schnell konvergierende Fourier Series (ΔM\Delta_M- spezifische Sobolev Embeddings [MT13] [RS75]zusammen mit Weyls asymptotischem Gesetz [HW11], implizieren die Begriffe in der Summe sind o(in)o(i^{-n}) gleichmäßig in xx [LH68], nN\forall n\in\N() Dann sehen wir das für f1,f2C(M)f_1, f_2 \in C^\infty(M), die Fourier-Koeffizienten des Pointwise-Produkts f1f2C(M)f_1 f_2 \in C^\infty(M)

f1f2^(k)=i,jf1^(i)f2^(j)Mi,j,k    f1f2(x)=i,j,kf1^(i)f2^(j)Mi,j,kek(x)f1=f2p, p N    kf1^(k)ek(x)=i1,...,ip,kf2^(i1)...f2^(ip)Mi1,i2,i3Mi2,i3,i4...Mip1,ip,kek(x).\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}

und so, kritisch, jedes multivariate Polynom C[z1,,zl]\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l] (bei reibungslosen Funktionen) kommutiert mit beliebigem Spektrum Δ\Delta-Eigenfunktion orthonormale Basiskarte FF erhalten, {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

C(M, Cl)C(M)FFl timesFC(N, Cl)C(N)\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{F\oplus\dots\oplus F}_{l\space\text{times}}VV @VVFV\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}

Und wenn AMA\subset M ist Borel-messbar, dann halten die obigen Ergebnisse für die charakteristische Funktion von AA überall außer entlang der Grenze von AA: wenn f=f2f = f^2 und A:={xMf(x)=1}A:=\set{x\in M|f(x)=1}

if^(i)ei(x)=i,j,kf^(i)f^(j)Mi,j,kek(x)={1xA˚0xA˚\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}

und durch Einzigartigkeit haben wir die folgende Identität

f^(k)=i,jf^(i)f^(j)Mi,j,k  k0    f=f2 a.e.\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}

Dies bedeutet, dass eine solche Basiskarte wie oben charakteristische Funktionen (als Elemente von L2(M,g)L1(M,g)L^2(M,g)\subset L^1(M,g)

Der Sinn dieser Berechnungen besteht darin, die Tatsache hervorzuheben, dass {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}} Zeichen die harmonische Analyse des Pointwise-Multiplikationsoperators auf C(M)C^\infty(M), eine dichte Subalgebra der Abelianer CC^* Algebra C(M)C(M)

Für die rasche Konvergenz dieser oben genannten Summen Mi,j,kM^{i,j,k}, beachten Sie, dass Produkte mit Eigenfunktionen glatt sind, so dass diese Fourier-Koeffizienten wie oben (in jedem Index) abklingen. Weitere Informationen finden Sie unter Emmett Wymans Arbeit im Jahr 2022 mit diesen Koeffizienten, da sie sich auf die Dreiecksungleichheit auf die Eigenwerte bezieht. [EW22].

Hinweis: Wir können immer davon ausgehen

e0=M0,0,0=1/vol(M)    M0,j,k=Mj,0,k=δjk /vol(M)\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}

wobei δi\delta_i Das Kronecker-Delta. Seit vol(M)vol(M) ist eine spektrale Invariante [HW11].

Theorienachweis

Für die Notwendigkeit, lassen F:(N,h)(M,g)F:(N,h)\rightarrow (M,g) eine Isometrie zwischen verschlossenen Riemannschen Verteilern sein und die orthonormale Zielbasis der Eigenfunktionen auf L2(N,h)L^2(N,h) der Rückzug über FF der orthonormalen Basis {ei}\set{e^i} am (M,g)(M,g)

Mi,j,k=Meiejekˉgdy=Nei(F(x))ej(F(x))ekˉ(F(x))hdx\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}

Wir sind mit dem Argument der Notwendigkeit fertig.

Zur Genügsamkeit betrachten wir nun die lineare, bijektive orthonormale Eigenfunktionsbasiskarte FF von C(M)C^\infty(M) bis C(N)C^\infty(N) und beachten Sie, dass aus den Berechnungen der Vorläufig oben, FF Bewahrt punktgleiche Produkte für glatte Funktionen (und bewahrt charakteristische Funktionen, wenn erweitert um L2(M,g)L^2(M,g)) durch die Prämisse, dass {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

Lemma

F:C(M)C(N)F: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N) behält die einheitliche Norm bei.

Nachweis von Lemma

Lassen Sie {ai}\set{a_i} eine glatte Teilung der Einheit auf MM

1=iai(x)=i,jai^(j)ej(x)=jej(x)iai^(j)\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}

So iai^(j)=δjvol(M)\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}

durch das dominierte Konvergenztheorem,

limpjajp^(k)=˙j{aj=1}ekˉ(x)gdx\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx

die eine charakteristische Funktion der positiven Kennzahl bei jeder disjunktierten Teilmenge ist {xMaj(x)=1}\set{x\in M | a_j(x) = 1}. Dies bedeutet, dass die Lemma für jeden aja_j, da die limitierende charakteristische Funktion eines Satzes mit positiver Maßnahme erhalten bleibt und somit eine einheitliche Norm 1 hat, wie alle ajp, F(ajp)=F(aj)p, pNa_j^p,\space F(a_j^p)=F(a_j)^p,\space p\in\N

Ohne Verlust der Allgemeingültigkeit können wir das Sonderfallergebnis anwenden, das für die reibungslose Teilung der Einheit gezeigt wird. {f/f,1f/f}\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace, wobei {xM f(x)=f} \set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}

Dies bedeutet, dass auf einem dichten Satz von C(M)C(M) (und C(N)C(N)), wir haben FF als Isomorphismus von Abelian CC^* Algebren und somit auf einen Isomorphismus der C(M)C(M) und C(N)C(N)

Nun wenden wir das Gelfand-Naimark-Darstellungstheorem (in kontravarianter Trichterform) für Abelian an CC^* Algebren [JC19] um diesen Isomorphismus durch einen Homeomorphismus zwischen NN und MM

Da dieser nun Diffeomorphismus Eigenwerte und Eigenfunktionen bewahrt (durch Hypothese auf FF), es muss den Laplacian auf glatten Funktionen erhalten. Daher müssen auch die Hauptsymbole dieser elliptischen Operatoren erhalten bleiben. [MT13].

Dies schließt den Beweis des Theorems ab.

Diskussion der Vermutung

Mit {M0i,j,k}\set{M_0^{i,j,k}} und {M1i,j,k}\set{M_1^{i,j,k}} Darstellung der beiden Dreifachproduktsätze für die Basen {e0i}\set{e_0^i} und {e1i}\set{e_1^i}, lassen zi{1,1}z_i \in \set{-1,1} sein Z2\Z_2^\infty Aktion bei einem solchen R\R-bewertete orthonormale Basis {e1i}\set{e_1^i}. Daher müssen wir wählen ziz_i so dass {zie1i}\set{z_ie_1^i} Erträge {M1i,j,k}={zizjzkM0i,j,k}\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}

Wir beobachten notwendigerweise, dass

zk=M0i,i,k/M1i,i,k  i,kN,M0i,i,k0.z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.

Seit kk, M0i,i,kM_0^{i,i,k} kann nicht identisch sein 00 für alle ii, diese Formel für zkz_k erfordert beides iiUnabhängigkeit und Suffizienz, um die Basiskarte zu erstellen e0izie1ie_0^i \mapsto z_i e_1^i Konserven {M0i,j,k}\set{M_0^{i,j,k}}

Beispiel

Lassen Sie {λi}Rn\set{\lambda_i} \subset \R^n indiziert sein, Rang nn Gitter der Lie Algebra Gewichte für die Quotientenraumdarstellung von g=Rn\frak{g}=\Reals^n als Translationsinvariante (d.h. konstante) Vektorfelder auf sich selbst, wenn Rn\R^n wird auch als g\frak{g}’s zugeordnete Lie-Gruppe über einen Torus definiert durch Rn/AZn,AGL(n,R)\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals). Diese Gewichte definieren integrierbare Aufzüge von 1-Form über dem Torus, die sich in lineare Funktionale integrieren <xλi, xRn\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n als ihre Lügengruppe (die den Torus bedeckt) Diese linearen Funktionalitäten können dann gleichmäßig (durch 2π12\pi \sqrt{-1}) und exponentiert, um multiplikative Zeichen zu bilden, die zu einer orthonormalen Grundlage absteigen. L2(Rn/AZn,dx)L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx), mit Lebesgue (Haar) Maß dxdx

Darüber hinaus diagonalisiert diese Basis gleichzeitig den Laplacian des flachen Torus, weil** der Laplacian das Bild eines symmetrischen, negativ-definitiven quadratischen Casimir-Elements unter dieser Quotientenraumdarstellung der universellen Hüllalgebra ist (konstanter linearer Differentialoperator). Daher sind seine Eigenwerte im konstanten Verhältnis (von 4π24\pi^2

Wir sehen derzeit die obige Grundlage

{e2π1xλi/detA}i=0\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty

als unsere theoretisch anwendbare Fourier-Basis von orthonormalen (multiplikativen) Eigenfunktionen (dieser Quotientendarstellung des (negativen) euklidischen Casimir-Elements), die direkt dem {λi}\set{\lambda_i}. Nach unseren Hypothesen müssen wir i<j    λiλji < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert

Jetzt können wir berechnen

Mi,j,k={1/detAλi+λjλk=00otherwiseM^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

Da diese Gleichung linear auf dem Gewichtsgitter ist (A1)tZn={λi}(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}, nur ein L2L^2 orthonormale Eigenfunktionsbasiskarte , die aus einer volumenerhaltenden invertierbaren linearen Karte zwischen zwei solchen indexierten, nn Gewichtsgitter halten den “algebraisch/topologischen” indexierten Datensatz {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

Um unsere SatzEs ist wichtig, dass eine solche lineare Karte BB sein BO(n,R)B\in O(n,\Reals) auf dem Gewichtsgitter, weil die L2L^2

{e2π1xBλi/detA}i=0\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty

müssen auch die “analytischen” Invarianten erhalten — die Casimir-Element induzierte Figur 4π2λi24\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2

Dieses repräsentationstheoretische Konto [AK01] entspricht genau der vorherigen Entwicklung von Gitterkongruenz [NRR22] verwendet, um Isometrieklassen von flachen Tori zu beschreiben. Tatsächlich transponiert die Matrix einer solchen linearen Karte BO(n,R)B\in O(n,\Reals), wie im vorherigen Absatz beschrieben, ist die kontravariante Riemannsche Isometrie zwischen den Tori, wie sie durch Anwendung des Gelfand-Naimark-Darstellungstheorems während der Nachweis unserer Satz.

Bestätigungen

Die ursprüngliche Forschung wurde teilweise durch einen freundlichen James Simons Research Award in den Jahren 1995-1996 und die großzügige Unterstützung eines Alfred P. finanziert. Sloan Dissertation Fellowship in 1996-1997 an der Universität in Stony Brook.

Der Autor dankt auch Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri und insbesondere Leon Takhtajan für ihre technische Unterstützung und Überprüfung bei der Erstellung dieses Manuskripts zur Veröffentlichung.