Dreifache Produkte der Eigenfunktionen und der Spektralgeometrie

Lawsons minimale Oberfläche _6,1 stereografisch von S³ auf R³ projiziert

Autor

Joe Schaefer

Auszug

Verwendung elementarer Techniken aus der Geometrischen Analyse, partiellen Differentialgleichungen und Abelian $C^*$ Algebras, Wir entdecken einen neuartigen, aber bekannten, globalen geometrischen Invarianten —

Einführung

Für eine geschlossene Riemannsche Verteiler $(M,g)$, charakterisiert seine Klasse nicht-isometrischer, isospektraler Verteiler ist eine Art inverses Problem [DH11] in der Spektralgeometrie. Naiv könnte man spekulieren, dass diese Klasse immer leer sein würde. Die akademische Literatur ist jedoch reich an jahrzehntelangen Konstruktionen spezifischer Paarungen von Gegenbeispielen: ab 1964 mit John Milnors 16-dimensionalen Paaren nichtisometrischer, isospektraler flacher Tori [JM64]und weiter [CS92] zur generischen dimensionalen Charakterisierung flacher Tori in Alexander Schiemanns Doktorarbeit von 1993 [AS94] — mit einer computergestützten Suche nach dem kritischen $\dim = 3$ Fall. Eine moderne Übersicht über die ganze flache Tori-Geschichte erscheint in [NRR22].

Auf dem Weg waren aufschlussreiche Offshoots in anspruchsvollere, nicht-euklidische symmetrische Abdeckräume; Konstruieren solcher isospektraler, nicht-isometrischer “duets” mit nicht-trivialen Krümmungs-Tensoren (und ihre spektrumbestimmten Euler-Eigenschaften in Dimension 2) [MS67].) Ein Paradebeispiel für diese Bemühungen war Toshikazu Sunadas 1985. [TS85].

Für inhomogene Riemannsche Metriken entdeckte Carolyn Gordon Duette, die nicht einmal lokal isometrisch sind [CG93].

Die Arbeit wird in vielen verwandten Bereichen fortgesetzt [DH11], wie die Bestimmung der topologischen Eigenschaften der Klasse der isospektralen, nichtisometrischen Verteiler im Allgemeinen (leer) [ST80], endlich [AS94], starr [GK80]und kompakt [GZ97].

Was wir in diesem Artikel anbieten, ist eine neue Perspektive auf ein bekanntes Werkzeug: indexierte Fourier-Koeffizienten von paarweisen Produkten von Eigenfunktionen als diskrete “algebraisch/topologische Invariante”, um die bestehende, diskrete “analytische Invariante” zu ergänzen. — das nichtnegative Spektrum des Laplace-Beltrami-Operators (im Folgenden Laplacian genannt) auf $L^2(M,g)$

Ergebnisse

Symmetrie spielt eine wichtige Rolle bei rechnerisch ableitbaren Fällen [TF17] [LS18] [PS94], was in unserem flachen Tori passend dargestellt ist Beispiel.

Die Motivation für das Studium von $\set{M^{i,j,k}}$ ist lose aus der Studie der Rolle des linearen Multiplikationsoperators abgeleitet $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ in der Definition einer Vertex Operator Algebra [FBZ04] mit einer chiralen konformen Feldtheorie verbunden. Hier $V$ ist der Vektorraum der Staaten und $V((z))$ ist der Raum der formellen Laurent-Serie in $z$ mit Koeffizienten in $V$. Seit $V$ oft als Hilbert Space mit einer traditionellen orthonormalen Basis der Fourier-Serie ausgestattet, $Y$ Verwendung der Fourier-Basiselemente von $V$ ist nur etwas stärker beteiligt als die $M^{i,j,k}$

Diese Ergebnisse wurden erstmals in einem ähnlich betitelten Vortrag des Autors bei MSRI im Jahr 1997 gezeigt, erscheinen aber hier erstmals in veröffentlichter Form.

Vorbereitungen

Jetzt mit $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ wie oben, für $f \in C^\infty(M)$ und $i \geq 0$

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

seit $f$ ist einzigartig darstellbar als seine schnell konvergierende Fourier Series ($\Delta_M$- spezifische Sobolev Embeddings [MT13] [RS75]zusammen mit Weyls asymptotischem Gesetz [HW11], implizieren die Begriffe in der Summe sind $o(i^{-n})$ gleichmäßig in $x$ [LH68], $\forall n\in\N$() Dann sehen wir das für $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, die Fourier-Koeffizienten des Pointwise-Produkts $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}$$

und so, kritisch, jedes multivariate Polynom $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (bei reibungslosen Funktionen) kommutiert mit beliebigem Spektrum $\Delta$-Eigenfunktion orthonormale Basiskarte $\vec{F}$ erhalten, $\set{M^{i,j,k}}$

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

Und wenn $A\subset M$ ist Borel-messbar, dann halten die obigen Ergebnisse für die charakteristische Funktion von $A$ überall außer entlang der Grenze von $A$: wenn $f = f^2$ und $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

und durch Einzigartigkeit haben wir die folgende Identität

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

Dies bedeutet, dass eine solche Basiskarte wie oben charakteristische Funktionen (als Elemente von $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$

Der Sinn dieser Berechnungen besteht darin, die Tatsache hervorzuheben, dass $\set{M^{i,j,k}}$ Zeichen die harmonische Analyse des Pointwise-Multiplikationsoperators auf $C^\infty(M)$, eine dichte Subalgebra der Abelianer $C^*$ Algebra $C(M)$

Für die rasche Konvergenz dieser oben genannten Summen $M^{i,j,k}$, beachten Sie, dass Produkte mit Eigenfunktionen glatt sind, so dass diese Fourier-Koeffizienten wie oben (in jedem Index) abklingen. Weitere Informationen finden Sie unter Emmett Wymans Arbeit im Jahr 2022 mit diesen Koeffizienten, da sie sich auf die Dreiecksungleichheit auf die Eigenwerte bezieht. [EW22].

Hinweis: Wir können immer davon ausgehen

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

wobei $\delta_i$ Das Kronecker-Delta. Seit $vol(M)$ ist eine spektrale Invariante [HW11].

Theorienachweis

Für die Notwendigkeit, lassen $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ eine Isometrie zwischen verschlossenen Riemannschen Verteilern sein und die orthonormale Zielbasis der Eigenfunktionen auf $L^2(N,h)$ der Rückzug über $F$ der orthonormalen Basis $\set{e^i}$ am $(M,g)$

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

Wir sind mit dem notwendigen Argument fertig, weil $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$

Zur Genügsamkeit betrachten wir nun die lineare, bijektive orthonormale Eigenfunktionsbasiskarte $\vec{F}$ von $C^\infty(M)$ bis $C^\infty(N)$ und beachten Sie, dass aus den Berechnungen der Vorläufig oben, $\vec{F}$ Bewahrt punktgleiche Produkte für glatte Funktionen (und bewahrt charakteristische Funktionen, wenn erweitert um $L^2(M,g)$) durch die Prämisse, dass $\set{M^{i,j,k}}$

Lemma

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ behält die einheitliche Norm bei.

Nachweis von Lemma

Lassen Sie $\set{a_i}$ eine glatte Teilung der Einheit auf $M$

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

So $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$

durch das dominierte Konvergenztheorem,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

die eine charakteristische Funktion der positiven Kennzahl bei jeder disjunktierten Teilmenge ist $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. Dies bedeutet, dass die Lemma für jeden $a_j$, da die limitierende charakteristische Funktion eines Satzes mit positiver Maßnahme erhalten bleibt und somit eine einheitliche Norm 1 hat, wie alle $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$

Ohne Verlust der Allgemeingültigkeit können wir das Sonderfallergebnis anwenden, das für die reibungslose Teilung der Einheit gezeigt wird. $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, wobei $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$

Dies bedeutet, dass auf einem dichten Satz von $C(M)$ (und $C(N)$), wir haben $\vec{F}$ als Isomorphismus von Abelian $C^*$ Algebren und somit auf einen Isomorphismus der $C(M)$ und $C(N)$

Jetzt wenden wir das Gelfand-Naimark-Darstellungstheorem (in kontravarianter Trichterform) für Abelian an $C^*$ Algebren [JC19] diesen Isomorphismus durch einen Homöomorphismus darzustellen $F$ zwischen $N$ und $M$

Als dieser jetzt Diffeomorphismus $F$ behält Eigenwerte und Eigenfunktionen (durch Hypothese auf $\vec{F}(f) = f\circ F$), es muss den Laplacian auf glatten Funktionen erhalten. Daher müssen auch die Hauptsymbole dieser elliptischen Operatoren erhalten bleiben. [MT13].

Dies schließt den Beweis des Theorems ab.

Diskussion der Vermutung

Mit $\set{M_0^{i,j,k}}$ und $\set{M_1^{i,j,k}}$ Darstellung der beiden Dreifachproduktsätze für die Basen $\set{e_0^i}$ und $\set{e_1^i}$, lassen $z_i \in \set{-1,1}$ sein $\Z_2^\infty$ Aktion bei einem solchen $\R$-bewertete orthonormale Basis $\set{e_1^i}$. Daher müssen wir wählen $z_i$ so dass $\set{z_ie_1^i}$ Erträge $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$

Wir beobachten notwendigerweise, dass

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.$$

Wir können hoffen, dass für jede gegebene $k$, $M_0^{i,i,k}$ kann nicht identisch sein $0$ für alle $i$. Auf den ersten Blick scheint dies nicht unmöglich, wenn $M$ eine “even/odd”-Symmetriegruppe hat und $e^k$ ist seltsam, aber die Hoffnung gilt für den unten stehenden Flat-Tori-Fall (der die einheitliche Eigenwertvielfalt nicht erfüllt = 1 Bedingung). Die Formel (11) für $z_k$ erfordert beides $i$Unabhängigkeit und Suffizienz, um die Basiskarte zu erstellen $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ Konserven $\set{M_0^{i,j,k}}$

Lassen Sie uns jedoch einige relevante Identitäten berechnen, damit einige unerschrockene zukünftige Forscher diese Vermutung untersuchen können:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k}\\ \text{Now by polarization}\\ M^{i,j,k} &= \frac{\bra{(e^i+e^j)^2 - (e^i - e^j)^2}\ket{e^k}}{4} = \frac{M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k}}{2},\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\ \\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ df\cdot df = \sum_kQ_k(f,f)e^k &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)M^{i,j,k}e^k\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)(M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k})e^k\\ = g^2 &= \sum_{i,j,k}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k}e^k \implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

Hinweis: für den eindimensionalen Flat-Tori-Fall unten, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ seit $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$

Beispiel

Lassen Sie $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ indiziert sein, Rang $n$ Gitter der Lie Algebra Gewichte für die Quotientenraumdarstellung von $\frak{g}=\Reals^n$ als Translationsinvariante (d.h. konstante) Vektorfelder auf sich selbst, wenn $\R^n$ wird auch als $\frak{g}$’s zugeordnete Lie-Gruppe über einen Torus definiert durch $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. Diese Gewichte definieren integrierbare Aufzüge von 1-Form über dem Torus, die sich in lineare Funktionale integrieren $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ als ihre Lügengruppe (die den Torus bedeckt) Diese linearen Funktionalitäten können dann gleichmäßig (durch $2\pi \sqrt{-1}$) und exponentiert, um multiplikative Zeichen zu bilden, die zu einer orthonormalen Grundlage absteigen. $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, mit Lebesgue (Haar) Maß $dx$

Darüber hinaus diagonalisiert diese Basis gleichzeitig den Laplacian des flachen Torus, weil** der Laplacian das Bild eines symmetrischen, negativ-definitiven quadratischen Casimir-Elements unter dieser Quotientenraumdarstellung der universellen Hüllalgebra ist (konstanter linearer Differentialoperator). Daher sind seine Eigenwerte im konstanten Verhältnis (von $4\pi^2$

Wir sehen derzeit die obige Grundlage

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

als unsere theoretisch anwendbare Fourier-Basis von orthonormalen (multiplikativen) Eigenfunktionen (dieser Quotientendarstellung des (negativen) euklidischen Casimir-Elements), die direkt dem $\set{\lambda_i}$. Nach unseren Hypothesen müssen wir $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$

Jetzt können wir berechnen

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Da diese Gleichung linear auf dem Gewichtsgitter ist $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$, nur ein $L^2$ orthonormale Eigenfunktionsbasiskarte , die aus einer volumenerhaltenden invertierbaren linearen Karte zwischen zwei solchen indexierten, $n$ Gewichtsgitter halten den “algebraisch/topologischen” indexierten Datensatz $\set{M^{i,j,k}}$

Um unsere SatzEs ist wichtig, dass eine solche lineare Karte $B$ sein $B\in O(n,\Reals)$ auf dem Gewichtsgitter, weil die $L^2$

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

müssen auch die “analytischen” Invarianten erhalten — die Casimir-Element induzierte Figur $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$

Dieses repräsentationstheoretische Konto [AK01] entspricht genau der vorherigen Entwicklung von Gitterkongruenz [NRR22] verwendet, um Isometrieklassen von flachen Tori zu beschreiben. Tatsächlich transponiert die Matrix einer solchen linearen Karte $B\in O(n,\Reals)$, wie im vorherigen Absatz beschrieben, ist die kontravariante Riemannsche Isometrie zwischen den Tori, wie sie durch Anwendung des Gelfand-Naimark-Darstellungstheorems während der Nachweis unserer Satz.

Bestätigungen

Die ursprüngliche Forschung wurde teilweise durch einen freundlichen James Simons Research Award in den Jahren 1995-1996 und die großzügige Unterstützung eines Alfred P. finanziert. Sloan Dissertation Fellowship in 1996-1997 an der Universität in Stony Brook.

Der Autor dankt auch Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri und insbesondere Leon Takhtajan für ihre technische Unterstützung und Überprüfung bei der Erstellung dieses Manuskripts zur Veröffentlichung.