Tredubbla produkter av egenfunktioner och spektral geometri

[VERIFIERAD] Senast uppdaterad av Joe Schaefer den Sun, 28 Apr 2024    källa
 

Lawsons minimala yta 6,1 projiceras stereografiskt från S3 till R3

Författare

Joe Schaefer

Sammandrag

Använda elementära tekniker från geometrisk analys, partiella differentialekvationer och abelska CC^* Algebror, Vi avslöjar en roman, men bekant, global geometrisk invariant —

Introduktion

För en sluten riemannmångfald (M,g)(M,g), som karakteriserar dess klass av icke-isometriska, isospektrala grenrör är en typ av inverterat problem [DH11] i spektral geometri. Naiv kan man spekulera i att denna klass alltid skulle vara tom. Den akademiska litteraturen är dock rik på årtionden gamla konstruktioner av specifika parningar av motexempel: från 1964 med John Milnors 16-dimensionella par icke-isometriska, isospektrala platta tori [JM64]och fortsätter [CS92] mot den generiska dimensionella karaktäriseringen av platt tori i Alexander Schiemann doktorsavhandling från 1993 [AS94] — fyll i med en datorstödd sökning efter den kritiska dim=3\dim = 3 ärende. En modern undersökning av hela den platta tori-historien visas i [NRR22].

Längs vägen var insiktsfulla avskjutningar i mer sofistikerade, icke-euklidiska symmetriska täckningsutrymmen; konstruera sådana isospektrala, icke-isometriska “duetter” som involverar icke-privata kurvaturtensorer (och deras spektrumbestämda Eulers egenskaper i dimension 2 [MS67].) Ett utmärkt exempel på denna insats var Toshikazu Sunadas 1985 [TS85].

För inhomogena Riemannian-mätvärden upptäckte Carolyn Gordon duetter som inte ens är lokalt isometriska. [CG93].

Arbetet fortsätter inom många relaterade områden [DH11], såsom bestämning av topologiska egenskaper hos klassen av isospektrala, icke-isometriska grenrör i allmänhet (tom [ST80], ändlig [AS94], styv [GK80]och kompakt [GZ97].

Vad vi erbjuder i den här artikeln är ett nytt perspektiv på ett välbekant verktyg: indexerade Fourier-koefficienter av parvisa produkter av egenfunktioner som en diskret “algebraisk / topologisk invariant” för att komplettera den befintliga, diskreta “analytiska invarianten” — det icke-negativa spektrumet för operatören Laplace-Beltrami (nedan kallad “Laplacian**”) på L2(M,g)L^2(M,g)

resultat


Satsen

Med tanke på en (icke-minskande på egenvärdena) ortonormal grund av egenfunktioner {ei}i=0\set{e^i}_{i=0}^{\infty} för (icke-negativa) Lappland ΔM\Delta_ML2(M,g)L^2(M,g) i samband med en stängd Riemannian mångfald (M,g)(M,g)

Mi,j,k:=Meiejekˉgdx M^{i,j,k} := \int_M e^i e^j \bar{e^k} \sqrt{g} dx

Att vara isometrisk till (M,g)(M,g), är det ett nödvändigt och tillräckligt villkor för en annan iospektral stängd Riemannian mångfald att ha en ortonormal grund av egenfunktioner (för dess laplacian) som både bevarar de tillhörande egenvärdena och har en oföränderlig {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}


Symmetri spelar en viktig roll i beräkningshanterbara fall [TF17] [LS18] [PS94], som är lämpligt illustrerad i vår platta tori Exempel.


Förmodan

Om varje egenvärde har mångfald 11Med tanke på ett par egenvärdesbevarande ortormala baser som beskrivs i teoremens hypotes är mångfaldarna isometriska om och endast om {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}


Motivationen för studien av {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}} är löst härledd från studien av den linjära multiplikationsoperatorns roll Y:VVV((z))Y:V\otimes V\rightarrow V((z)) i definitionen av en Vertex Operator Algebra [FBZ04] i samband med en chiral konform fältteori. Här VV är statens vektorrum och V((z))V((z)) är utrymmet för formella Laurent-serien i zz med koefficienter i VV. Sedan VV ofta kommer utrustad som ett Hilbert Space med en traditionell Fourier-serie ortonormal grund, indexering YY använda Fourier-baselementen i VV är bara något mer involverad än Mi,j,kM^{i,j,k}

Dessa resultat visades först under ett liknande tal av författaren på ** MRT** 1997, men de visas här i publicerad form för första gången.

Preliminära

Nu med M,g,ei,Mi,j,kM,g,e^i,M^{i,j,k} som ovan, för fC(M)f \in C^\infty(M) och i0i \geq 0

f^(i):=Mf(x)eiˉ(x)g(x)dx    f(x)=i=0f^(i)ei(x).\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}

sedan ff är unikt representabel eftersom dess snabbt konvergerande Fourier-serien (ΔM\Delta_M-specifika Sobolev Embeddings [MT13] [RS75]tillsammans med Weyls asymptotiska lag [HW11]innebär att villkoren i summan är o(in)o(i^{-n}) * Likformigt i xx* [LH68], nN\forall n\in\NDå ser vi att för f1,f2C(M)f_1, f_2 \in C^\infty(M), Fourierkoefficienter för den punktvisa produkten f1f2C(M)f_1 f_2 \in C^\infty(M)

f1f2^(k)=i,jf1^(i)f2^(j)Mi,j,k    f1f2(x)=i,j,kf1^(i)f2^(j)Mi,j,kek(x)f1=f2p, p N    kf1^(k)ek(x)=i1,...,ip,kf2^(i1)...f2^(ip)Mi1,i2,i3Mi2,i3,i4...Mip1,ip,kek(x).\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}

och så, kritiskt, alla multivariat polynom C[z1,,zl]\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l] (på smidiga funktioner) ** pendlar** med alla spektrumbevarande Δ\Delta-Egenfunktion ortonormal bas karta FF som bevarar {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

C(M, Cl)C(M)FFl timesFC(N, Cl)C(N)\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{F\oplus\dots\oplus F}_{l\space\text{times}}VV @VVFV\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}

Om AMA\subset M är Borel-mätbar, då resultaten ovan hålla pointwise för karakteristisk funktion av AA överallt utom längs gränsen till AA: om f=f2f = f^2 och A:={xMf(x)=1}A:=\set{x\in M|f(x)=1}

if^(i)ei(x)=i,j,kf^(i)f^(j)Mi,j,kek(x)={1xA˚0xA˚\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}

och genom unikhet har vi följande identitet

f^(k)=i,jf^(i)f^(j)Mi,j,k  k0    f=f2 a.e.\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}

Detta innebär att en sådan baskarta som ovan har karakteristiska funktioner (som medlemmar av L2(M,g)L1(M,g)L^2(M,g)\subset L^1(M,g)

Poängen med dessa beräkningar är att betona det faktum att {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}} karakteriserar den harmoniska analysen av den punktvisa multiplikationsoperatorn på C(M)C^\infty(M)som är en tät subalgebra av den abelska CC^* algebra C(M)C(M)

För den snabba konvergensen av ovanstående belopp som omfattar Mi,j,kM^{i,j,k}, notera att produkter av egenfunktioner är smidiga, så dessa Fourier koefficienter sönderfaller som ovan (i varje index). För mer information, se Emmett Wymans arbete 2022 med dessa koefficienter när det gäller triangel ojämlikhet på egenvärdena. [EW22].

Anmärkning: Vi kan alltid anta

e0=M0,0,0=1/vol(M)    M0,j,k=Mj,0,k=δjk /vol(M)\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}

där δi\delta_i är Kronecker delta. Sedan vol(M)vol(M) är en spektral invariant [HW11].

Teorembevis

Av nödvändighet, låt F:(N,h)(M,g)F:(N,h)\rightarrow (M,g) vara en isometri mellan stängda riemanniska grenrör och låta målet ortonormal grund av egenfunktioner på L2(N,h)L^2(N,h) vara pullback via FF den ortonormala grunden {ei}\set{e^i}(M,g)(M,g)

Mi,j,k=Meiejekˉgdy=Nei(F(x))ej(F(x))ekˉ(F(x))hdx\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}

Vi är klara med nödvändighetsargumentet.

För tillräcklighet överväger vi nu den linjära, bijektiva ortonormala eigenfunktionsbaskartan FF från C(M)C^\infty(M) till C(N)C^\infty(N) Observera att beräkningarna i Preliminära ovanför, FF bevarar punktvisa produkter för smidiga funktioner (och bevarar karakteristiska funktioner när de utökas till L2(M,g)L^2(M,g)) enligt förutsättningen att {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

Lemma

F:C(M)C(N)F: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N) bevarar den enhetliga normen.

Bevis på Lemma

Låt {ai}\set{a_i} vara en jämn delning av enhet på MM

1=iai(x)=i,jai^(j)ej(x)=jej(x)iai^(j)\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}

Således iai^(j)=δjvol(M)\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}

genom den dominerade konvergensatsen,

limpjajp^(k)=˙j{aj=1}ekˉ(x)gdx\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx

som är en karakteristisk funktion av positivt mått på varje delad delmängd {xMaj(x)=1}\set{x\in M | a_j(x) = 1}. Detta innebär att Lemma bevisas för varje aja_j, eftersom den begränsande karakteristiska funktionen hos ett set med positivt mått bevaras, och därmed har enhetlig norm 1, liksom alla ajp, F(ajp)=F(aj)p, pNa_j^p,\space F(a_j^p)=F(a_j)^p,\space p\in\N

Utan förlust av allmängiltighet kan vi tillämpa det speciella fallresultat som visas för den smidiga uppdelningen av enhet {f/f,1f/f}\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace, där {xM f(x)=f} \set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}

Detta innebär att på en C(M)C(M) (och C(N)C(N)), vi har upprättat FF som en isomorfism av Abelian CC^* algebror, och därmed kan utvidgas till en isomorfism av C(M)C(M) och C(N)C(N)

Nu tillämpar vi Gelfand-Naimark representationssatsen (i kontravariant functor form) för Abelian CC^* algebra [JC19] att representera denna isomorfism genom en homeomorfism mellan NN och MM

Eftersom detta nu diffeomorfism bevarar egenvärden och egenfunktioner (genom hypoteser om FF), det måste bevara Laplacian på smidiga funktioner. Därför måste den också bevara de viktigaste symbolerna för dessa samma elliptiska operatörer. [MT13].

Detta kompletterar teoremens bevis.

Diskussion om gissning

Med {M0i,j,k}\set{M_0^{i,j,k}} och {M1i,j,k}\set{M_1^{i,j,k}} som representerar de två treproduktuppsättningarna för baserna {e0i}\set{e_0^i} och {e1i}\set{e_1^i}, låt zi{1,1}z_i \in \set{-1,1} vara Z2\Z_2^\infty åtgärder för en sådan R\R-värderad ortonormal grund {e1i}\set{e_1^i}. Därför måste vi välja ziz_i så att {zie1i}\set{z_ie_1^i} avkastning {M1i,j,k}={zizjzkM0i,j,k}\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}

Vi ser med nödvändighet att

zk=M0i,i,k/M1i,i,k  i,kN,M0i,i,k0.z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.

Sedan för varje given kk, M0i,i,kM_0^{i,i,k} kan inte vara identiskt 00 för alla iiDenna formel för zkz_k kräver båda ii-oberoende, och tillräcklig, för att fastställa baskartan e0izie1ie_0^i \mapsto z_i e_1^i konserver {M0i,j,k}\set{M_0^{i,j,k}}

Exempel

Låt {λi}Rn\set{\lambda_i} \subset \R^n vara indexerad, rangordna nn lattice av Lie Algebra vikter för kvotutrymme representation av g=Rn\frak{g}=\Reals^n som översättningsinvariant (dvs. konstant) vektorfält på sig själv, när Rn\R^n ses också som g\frak{g}’s associerade Lie Group över en torus definierad av Rn/AZn,AGL(n,R)\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals). Dessa vikter definierar icke-hållbara lyft av 1-former över torusen som integrerar med linjära funktioner <xλi, xRn\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n som dess lögngrupp (som täcker torus). Dessa linjära funktioner kan sedan likformigt skalas om (genom 2π12\pi \sqrt{-1}) och exponentierad för att bilda multiplikativa tecken som sjunker till att bilda en ortonormal bas av L2(Rn/AZn,dx)L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)med måttet Lebesgue (Haar) dxdx

Dessutom diagonaliserar denna bas samtidigt den platta torus Laplacian ** eftersom** Laplacian är bilden av en symmetrisk, negativ-definit kvadratisk Casimir element under denna (konstant koefficient linjär differential operator) kvotutrymme representation av den universella omslutande algebra. Därför är dess egenvärden i konstant proportion (av 4π24\pi^2

Vi ser för närvarande ovanstående

{e2π1xλi/detA}i=0\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty

att vara vår teorem-tillämpliga Fourier-bas av ortonormala (multiplikativa) egenfunktioner (av denna kvotrepresentation av det (negativa) euklidiska Casimir-elementet) som direkt motsvarar {λi}\set{\lambda_i}. Genom våra hypoteser måste vi ha i<j    λiλji < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert

Nu kan vi beräkna

Mi,j,k={1/detAλi+λjλk=00otherwiseM^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

Eftersom denna formel är linjär på viktgitter (A1)tZn={λi}(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}, endast en L2L^2 ortonormal egenfunktionsbaskarta som induceras från en volymbevarande inverterbar linjär karta mellan två sådana indexerade, rangordnade nn viktgitter behåller den “algebraiska/topologiska” indexerade datamängden {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

För att kunna tillämpa våra SatsenDet är viktigt att en sådan linjär karta BB vara BO(n,R)B\in O(n,\Reals) på viktgitter, eftersom den inducerade L2L^2

{e2π1xBλi/detA}i=0\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty

måste också bevara de “analytiska” varianterna — Casimir-element inducerad figur 4π2λi24\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2

Detta representationsteoretiska konto [AK01] är exakt likvärdig med tidigare utveckling av lattice kongruens [NRR22] traditonally används för att avgränsa isometri klasser av platt tori. I själva verket transponerar matrisen en sådan linjär karta BO(n,R)B\in O(n,\Reals), som beskrivs i föregående stycke, **är ** den kontravariant Riemannian isometri mellan tori, som tillhandahålls genom tillämpning av *Gelfand-Naimark Representation Theorem * under Bevis av våra Satsen.

Antal bekräftelser

Den ursprungliga forskningen finansierades delvis av ett nådigt James Simons Research Award 1995-1996, och det generösa stödet från en Alfred P. Sloan Dissertation Fellowship 1996-1997 vid universitetet i Stony Brook.

Författaren vill också tacka Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri och särskilt Leon Takhtajan för deras tekniska hjälp och översyn vid utarbetandet av detta manuskript för publicering.

Referenser

  1. [JC19] Conway, John B.. En kurs i funktionell analys. Vol. 96. Springer, 2019.

  2. [CS92] Conway, John H och Sloane, N. J. A.. “Fyrdimensionella galler med samma teta-serie”, Internat Matematik. Res. Meddelanden 4 (1992): 93-96.

  3. [DH11] Datchev, Kiril och Hezari, Hamid. “Omvända problem i spektralgeometri”, Inversa problem och tillämpningar: Inside Out II 60 (2011): 455-486.

  4. [TF17] Franke, Tobias. “Heltal för trippelprod\ukt”, Webbadress: https://www.tobias-franke.eu/log/2017/04/19/triple-products.html.

  5. [FBZ04] Frenkel, Edward och Ben-Zvi, David. Vertex algebror och algebraiska kurvor. Vol. 88. Amerikansk matematisk soc., 2004.

  6. [CG93] Gordon, Carolyn. “Isospektral stängda Riemanniska grenrör som inte är lokalt isometriska”, Tidskrift för differentialgeometri 37.3 (1993): 639-649.

  7. [GK80] Guillemin, Victor och Kazhdan, David. “Vissa inversa spektrala resultat för negativt böjda n-mångfalder”, Symposier i ren matematik 36 (1980): 301-312.

  8. [LH68] Hörmander, Lars. “Den spektrala funktionen hos en elliptisk operatör”, Matematik Tidigare och nuvarande Fourier Integral Operatorer (1968): 217-242.

  9. [AK01] Knapp, Anthony W. Representationsteori för semisimplegrupper: en översikt baserad på exempel. Hotell nära Princeton University Press, 2001.

  10. [LS18] Lu, Jianfeng och Steinerberger, Stefan. “På punktvisa produkter av elliptiska egenfunktioner”, arXiv:1810.01024.

  11. [MS67] McKean, Henry P. och Singer, Isadore M.. “Kurvatur och Lapplands egenvärden”, Tidskrift för differentialgeometri 1.1-2 (1967): 43-69.

  12. [JM64] Milnor, John. “Egenvärden för Laplace-operatören på vissa grenrör”, Förfaranden vid Vetenskapsakademien 51.4 (1964): 542-542.

  13. [NRR22] Nilsson, Erik och Rowlett, Julie och Rydell, Felix. “Isospektralt problem för platt tori ur tre perspektiv”, Kommuniké från American Mathematical Society 60.1 (2023): 39-83.

  14. [RS75] Reed, Michael och Simon, Barry. Metoder för modern matematisk fysik II: Fourieranalys, självförverkligande. Vol. 2. Elsevier, 1975.

  15. [PS94] Sarnak. “Integraler av produkter av egenfunktioner”, IMRN 6 (1994): 251-260.

  16. [AS94] Schiemann. “Ternäre positiv definitiv quadratische Formen mit gleichen Darstellungszahlen”, Universität Bonn (1993).

  17. [TS85] Sunada (ort). “Riemannbeläggningar och isospektrala grenrör”, Matematikens årtal 121.1 (1985): 169-186.

  18. [ST80] Tanno, Shukichi. “En karakterisering av de kanoniska sfärerna av spektrumet”, Matematik. Ö. 175.3 (1980): 267-274.

  19. [MT13] Taylor, Michael. Partiella differentialekvationer II: kvalitativa studier av linjära ekvationer. Vol. 116. Springer Science &amp; Affärsmedia, 2013.

  20. [HW11] Weyl, Hermann. “Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte”, Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1911): 110-117.

  21. [EW22] Wyman, Emmett L. “Trianglar och trippelprodukter av Laplace egenfunktioner”, Verifikation för funktionell analys .8 (2022): , DOI: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2022.109404.

  22. [GZ97] Zhou, Gengqiang. “Kompakthet hos isospektrala kompakta grenrör med avgränsade krökar”, Stilla havet J. Matematik 181.1 (1997): 187-200.

Permalänk  Publicerad  #harmonisk analys   #inversa problem   #matematisk fysik   #representationsteori   #riemanngeometri   #spektralteori  

 

 

Kommentarer  


Bilagor  

Länkar  


Index

Hyperbolisk honungskaka

- [Stokastisk spårningsformel för stängda, negativt böjda grenrör](/joe/stochastic-trace-formula.html.sv) &mdash; Min * 1997 Ph.D. avhandling* som ett blogginlägg. ... <small><em>Fri, 26 Apr 2024</em></small>

tjärad och fjädrad

- [Apache HTTPd Devs ansåg vara skadliga](/joe/apache-considered-harmful.html.sv) &mdash; Philip visste inte mycket då var hur fullständigt [peevish, vapid och territorial](https://www.mail-archive.com/dev@httpd.apache.org/msg77781.html) Det laget hade blivit ... <small><em>Fri, 26 Apr 2024</em></small>

Beroenden för engelska

- [Vad handlar <em>Smart Content Dependency ManagementTM</em> om?](/joe/dependencies.html.sv) &mdash; En tydlig förståelse av din webbplats *beroende graf* kommer att se till att du kan maximera prestandan hos vår byggteknik i stor skala ... <small><em>Fri, 26 Apr 2024</em></small>

 

- [Rörelsen DevOps](/joe/devops.html.sv) &mdash; Den stora idén bakom "rörelsen" är inte bara att ge utvecklare mer rep ... <small><em>Fri, 26 Apr 2024</em></small>

 

- [Roligt med htop](/joe/fun-with-htop.html.sv) &mdash; Avancerade funktioner på populära Unix-plattformar ... <small><em>Fri, 26 Apr 2024</em></small>

 

- [Git och non repudement](/joe/git-and-non-repudiation.html.sv) &mdash; Det finns en tydlig skillnad mellan "åtagandets" historia och "uppladdningens" historia. ... <small><em>

Denna uppsats gäller verkligen DVCS i allmänhet, inte bara git per se. Men vi kommer att fokusera uppmärksamheten på git eftersom det fortfarande är den mest populära DVCS runt idag.

Ej avvisande.

Med ett traditionellt centraliserat versionskontrollverktyg är sådana poster lätt tillgängliga från bekräftelsehistoriken. Varje bekräftelse till systemet går igenom en auktoriseringsmekanism för att säkerställa att den person som gjorde ändringen har behörighet att ladda upp den. Dessa register är avgörande för företaget för att säkerställa att korrekta register förs som visar vem som är ansvarig för att ladda upp varje kodrad till programvaran i fråga.

Med git, eller distribuerad versionskontroll i allmänhet, {# lede #}Det finns en tydlig skillnad mellan "åtagandets" historia och "uppladdningens" historia.{# lede #} &mdash; som jag kommer att hänvisa till som "push records". Bekräftelser i git autentiseras inte, eftersom de sker lokalt, med lokala, overifierade metadata tillagda i historiken. Uppladdningssteget, aka git push

Med Apache Software Foundation.

Varför är detta viktigt? Tja till att börja med låt mig ta itu med en vanlig missuppfattning om behovet av bidragsgivare licensavtal (ICLA) för Apache-företag. Många verkar inte förstå att det inte finns någon skillnad mellan det tillämpliga språket i de enskilda författarverken. ICLA och Apache-licens 2.0.

Vad push-poster ger då är ett sätt att spåra tillbaka, till varje rad av kod i en release, den enskilda committer som ansvarar för att driva den koden till ASF: s git-datalager. Detta är kritiskt viktigt för att bestämma härkomst av ett bidrag från tredje part med git, eftersom det tyvärr är möjligt för en sådan bidragsgivare att "gå bort" från sitt bidrag till ett git-projekt på grund av den distribuerade typen av DVCS-loggar. Den ansvariga parten blir då, enligt ICLA, den beställare som drev koden.

Tidiga och korrekta begränsningsstrategier kretsar kring att ta bort det övergivna bidraget, men skadorna på projektet kan redan ha gjorts. Och utan push-rekorden skulle vi bokstavligen inte ha någon auktoritativ process för att bestämma hur den koden faktiskt kom in i vårt lager, annat än att tråla igenom alternativa poster i problemspårare eller on-list-kommunikation. Att enbart förlita sig på sammanslagningsbekräftelseloggar för att bestämma härkomst är inte särskilt tillfredsställande ur säkerhetssynpunkt, eftersom det kräver strikt efterlevnad av en viss typ av arbetsflöde, som vi inte vill diktera.

Utan sådana saker skulle vi behöva mandat åtminstone PGP-signering av varje bidragsgivares åtagande, vilket är betungande för många projekt. Push-poster ger en transparent process som inte påverkar ett projekts arbetsflöde, annat än för att säkerställa att ASF:s git-datalager är det verkliga huvuddatalagret.

$Datum: 2023-01-19 22:58:40 +0000 (Thu, 19 Jan 2023) $


Informationsarkitektur

- [Informationsarkitektur](/joe/ia.html.sv) &mdash; Hela skalan av teknik som är relevant för design, presentation, relationer och arkitektoniska begränsningar som täcker varje URL du tjänar ... <small><em>Fri, 26 Apr 2024</em></small>

Drakens år

- [Joe's slumpmässiga tankar](/joe/index.html.sv) &mdash; Välkommen! ... <small><em>Fri, 26 Apr 2024</em></small>

 

- [Informationssäkerhet - introduktion](/joe/infosec.html.sv) &mdash; Alla data som kommer från ett exekverings-UNIX **systemanrop** ska behandlas som **behållna** ... <small><em>

Vad är det primära målet för InfoSec?

För att säkerställa att alla förändringar vid kontextgränser är väl reglerade.

Till exempel uppfyller varje systemanrop på en UNIX-plattform detta villkor när det gäller UNIX-säkerhetsmodell för användare/gruppprocess+filesystem. Den litterala definitionen av en kontextväxel, vilket anges av systemanrop, inbegriper en kontroll av API-användningssäkerheten på kärnans sida av anropet.

När det gäller leverans av SaaS, {# lede #}alla data som kommer från ett exekverings-UNIX systemanrop ska behandlas som behållna{# lede #}

UNIX säkerhetsmodell ensam gjorde aldrig bestämmelser för nätverksansluten klient / server applikationsutveckling, eftersom historiskt BSD socket API som föregick ökningen av Network Computing på 90-talet (Sun Microsystems) uppfanns över ett decennium efter UNIX föddes (med sin OS-baserade multiuser säkerhetsmodell helt bildad vid födseln). MIT Kerberos.

Schemalägga CPU:er på ett säkert sätt för att utföra arbete på kärnnivå för någon "auktoriserad användar-/grupp-/rollkontext" som inte är kopplad till den underliggande processens UNIX-användar-/gruppkontext har alltid legat utanför UNIX-modellen. Många infosec initiativ misslyckas med att erkänna detta regulatoriska ansvar tillhör program ensam; Låt inte din vara en!

Om det inte är klart vid denna tidpunkt, bör DevOps/SRE-team triaging SaaS security (CAI) incidenter på Linux bekanta sig med htops stjärt gränssnitt via ss nyckel! Bättre att behärska stjärt

Hur relaterar detta till Zero-Trust-initiativ, som en praktisk fråga?

Nolltillförlitlig arkitektur.

Även om det kan finnas VPN/Firewall-kontexter i verkligheten är ingen av dessa detaljer relevanta för InfoSec inom ett Zero-Trust-ramverk. Med andra ord kan sådana nätverkstopologisäkerhetsinitiativ öka Zero-Trust-initiativ, men de förlitar sig aldrig på inom ett Zero-Trust-initiativ på basserverns värdsäkerhetsnivå upp genom applikationsnivån.

MIT Kerberos och Active Directory är till exempel kompatibla med Zero-Trust.

$Datum: 2023-01-19 22:58:40 +0000 (Thu, 19 Jan 2023) $


 

- [Utskickslistor](/joe/mailing-lists.html.sv) &mdash; Dessa tillfälliga adresser är anathema för `ezmlm-idx`'s abonnemang och modereringssystem ... <small><em>Fri, 26 Apr 2024</em></small>

 

- [Applikationsprestanda](/joe/performance.html.sv) &mdash; Många utvecklare faller i fällan att tänka prestandaoptimering handlar om att göra varje rad av kod så effektiv som möjligt. ... <small><em>Fri, 26 Apr 2024</em></small>

- [Perl 7 Funktionsbegäran: förseglade underdelar för typangivna lexikaler](/joe/perl7-sealed-lexicals.html.sv) &mdash; Perl 5:s OO-exekveringsmetoduppslagning har 50 % mer prestandakostnader än ett direkt, namngivet subrutinanrop ... <small><em>Fri, 26 Apr 2024</em></small>

COVID-19 i mars 2020

- [Exponentiell tillväxt och COVID-19](/joe/power.html.sv) &mdash; Ta din tid med ** matte** avsnittet &mdash; Det är viktigt att vara en utbildad konsument av statistik som är relevant för den nuvarande pandemin ... <small><em>Fri, 26 Apr 2024</em></small>

 

- [Om skräppostproblemet...](/joe/spam.html.sv) &mdash; Bästa plugin för `qpsmtpd`Även om det är svårt att förstå varför ... <small><em>Fri, 26 Apr 2024</em></small>

 

- [Informationssäkerhet, applikationsprestanda och tillförlitlighet](/joe/spr.html.sv) &mdash; "Icke-funktionell" programvaruteknik handlar om tre huvudfrågor: säkerhet, prestanda och tillförlitlighet (**SPR**) ... <small><em>Fri, 26 Apr 2024</em></small>

 

- [Glädjen i DTrace](/joe/joy-of-dtrace.html.sv) &mdash; Mät två gånger, skära en gång innan du påbörjar ett arbete med kodoptimering ... <small><em>Fri, 26 Apr 2024</em></small>

 

- [Glädjen i htop](/joe/joy-of-htop.html.sv) &mdash; Hotell nära Solaris 11 ... <small><em>Thu, 25 Apr 2024</em></small>