Använda elementära tekniker från geometrisk analys, partiella differentialekvationer och abelska C∗ Algebror, Vi avslöjar en roman, men bekant, global geometrisk invariant —
Introduktion
För en sluten riemannmångfald (M,g), som karakteriserar dess klass av icke-isometriska, isospektrala grenrör är en typ av inverterat problem [DH11] i spektral geometri. Naiv kan man spekulera i att denna klass alltid skulle vara tom. Den akademiska litteraturen är dock rik på årtionden gamla konstruktioner av specifika parningar av motexempel: från 1964 med John Milnors 16-dimensionella par icke-isometriska, isospektrala platta tori [JM64]och fortsätter [CS92] mot den generiska dimensionella karaktäriseringen av platt tori i Alexander Schiemann doktorsavhandling från 1993 [AS94] — fyll i med en datorstödd sökning efter den kritiska dim=3 ärende. En modern undersökning av hela den platta tori-historien visas i [NRR22].
Längs vägen var insiktsfulla avskjutningar i mer sofistikerade, icke-euklidiska symmetriska täckningsutrymmen; konstruera sådana isospektrala, icke-isometriska “duetter” som involverar icke-privata kurvaturtensorer (och deras spektrumbestämda Eulers egenskaper i dimension 2 [MS67].) Ett utmärkt exempel på denna insats var Toshikazu Sunadas 1985 [TS85].
För inhomogena Riemannian-mätvärden upptäckte Carolyn Gordon duetter som inte ens är lokalt isometriska. [CG93].
Arbetet fortsätter inom många relaterade områden [DH11], såsom bestämning av topologiska egenskaper hos klassen av isospektrala, icke-isometriska grenrör i allmänhet (tom [ST80], ändlig [AS94], styv [GK80]och kompakt [GZ97].
Vad vi erbjuder i den här artikeln är ett nytt perspektiv på ett välbekant verktyg: indexerade Fourier-koefficienter av parvisa produkter av egenfunktioner som en diskret “algebraisk / topologisk invariant” för att komplettera den befintliga, diskreta “analytiska invarianten” — det icke-negativa spektrumet för operatören Laplace-Beltrami (nedan kallad “Laplacian**”) på L2(M,g)
resultat
Satsen
Med tanke på en (icke-minskande på egenvärdena) ortonormal grund av egenfunktioner {ei}i=0∞ för (icke-negativa) Lappland ΔM på L2(M,g) i samband med en stängd Riemannian mångfald (M,g)
Mi,j,k:=∫Meiejekˉgdx=⟨eiejek⟩
Att vara isometrisk till (M,g), det är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för en annan iospektral stängd Riemannian mångfald för att ha en ortonormal grund av egenfunktioner (för dess laplacian) som både bevarar de tillhörande egenvärdena och har en oföränderlig {Mi,j,k}
Symmetri spelar en viktig roll i beräkningshanterbara fall [TF17][LS18][PS94], som är lämpligt illustrerad i vår platta tori Exempel.
Förmodan
Om varje egenvärde har mångfald 1Med tanke på ett par egenvärdesbevarande ortormala baser som beskrivs i teoremens hypotes är mångfaldarna isometriska om och endast om {Mi,j,k}
Motivationen för studien av {Mi,j,k} är löst härledd från studien av den linjära multiplikationsoperatorns rollY:V⊗V→V((z)) i definitionen av en Vertex Operator Algebra [FBZ04] i samband med en chiral konform fältteori. Här V är statens vektorrum och V((z)) är utrymmet för formella Laurent-serien i z med koefficienter i V. Sedan V ofta kommer utrustad som ett Hilbert Space med en traditionell Fourier-serie ortonormal grund, indexering Y använda Fourier-baselementen i V är bara något mer involverad än Mi,j,k
Dessa resultat visades först under ett liknande tal av författaren på ** MRT** 1997, men de visas här i publicerad form för första gången.
Preliminära
Nu med M,g,ei,Mi,j,k som ovan, för f∈C∞(M) och i≥0
sedan f är unikt representabel eftersom dess snabbt konvergerande Fourier-serien (ΔM-specifika Sobolev Embeddings [MT13][RS75]tillsammans med Weyls asymptotiska lag [HW11]innebär att villkoren i summan är o(i−n) * Likformigt i x* [LH68], ∀n∈NDå ser vi att för f1,f2∈C∞(M), Fourierkoefficienter för den punktvisa produkten f1f2∈C∞(M)
och så, kritiskt, alla multivariat polynom ℘∈C[z1,…,zl] (på smidiga funktioner) ** pendlar** med alla spektrumbevarande Δ-Egenfunktion ortonormal bas karta F som bevarar {Mi,j,k}
Om A⊂M är Borel-mätbar, då resultaten ovan hålla pointwise för karakteristisk funktion av A överallt utom längs gränsen till A: om f=f2 och A:={x∈M∣f(x)=1}
Detta innebär att en sådan baskarta som ovan har karakteristiska funktioner (som medlemmar av L2(M,g)⊂L1(M,g)
Poängen med dessa beräkningar är att betona det faktum att {Mi,j,k}karakteriserar den harmoniska analysen av den punktvisa multiplikationsoperatorn på C∞(M)som är en tät subalgebra av den abelska C∗ algebra C(M)
För den snabba konvergensen av ovanstående belopp som omfattar Mi,j,k, notera att produkter av egenfunktioner är smidiga, så dessa Fourier koefficienter sönderfaller som ovan (i varje index). För mer information, se Emmett Wymans arbete 2022 med dessa koefficienter när det gäller triangel ojämlikhet på egenvärdena. [EW22].
Anmärkning: Vi kan alltid anta
e0⟹M0,j,k=M0,0,0=1/vol(M)=Mj,0,k=δj−k/vol(M)
där δi är Kronecker delta. Sedan vol(M) är en spektral invariant [HW11].
Teorembevis
Av nödvändighet, låt F:(N,h)→(M,g) vara en isometri mellan stängda riemanniska grenrör och låta målet ortonormal grund av egenfunktioner på L2(N,h) vara pullback via F den ortonormala grunden {ei} på (M,g)
Det är nödvändigt att argumentera för att ΔN(f∘F)=(ΔMf)∘F,∀f∈C∞(M)
För tillräcklighet överväger vi nu den linjära, bijektiva ortonormala eigenfunktionsbaskartan F från C∞(M) till C∞(N) Observera att beräkningarna i Preliminära ovanför, F bevarar punktvisa produkter för smidiga funktioner (och bevarar karakteristiska funktioner när de utökas till L2(M,g)) enligt förutsättningen att {Mi,j,k}
som är en karakteristisk funktion av positivt mått på varje delad delmängd {x∈M∣aj(x)=1}. Detta innebär att Lemma bevisas för varje aj, eftersom den begränsande karakteristiska funktionen hos ett set med positivt mått bevaras, och därmed har enhetlig norm 1, liksom alla ajp,F(ajp)=F(aj)p,p∈N
Utan förlust av allmängiltighet kan vi tillämpa det speciella fallresultat som visas för den smidiga uppdelningen av enhet {∣f∣/∥f∥∞,1−∣f∣/∥f∥∞}, där {x∈M∣∣f(x)∣=∥f∥∞}
Detta innebär att på en C(M) (och C(N)), vi har upprättat F som en isomorfism av Abelian C∗ algebror, och därmed kan utvidgas till en isomorfism av C(M) och C(N)
Nu tillämpar vi Gelfand-Naimark representationssatsen (i kontravariant functor form) för Abelian C∗ algebra [JC19] att representera denna isomorfism av en homeomorfism F mellan N och M
som nu är diffeomorfism F bevarar egenvärden och egenfunktioner (genom hypotes om F(f)=f∘F), det måste bevara Laplacian på smidiga funktioner. Därför måste den också bevara de viktigaste symbolerna för dessa samma elliptiska operatörer. [MT13].
Detta kompletterar teoremens bevis.
Diskussion om gissning
Med {M0i,j,k} och {M1i,j,k} som representerar de två treproduktuppsättningarna för baserna {e0i} och {e1i}, låt zi∈{−1,1} vara Z2∞ åtgärder för en sådan R-värderad ortonormal grund {e1i}. Därför måste vi välja zi så att {zie1i} avkastning {M1i,j,k}={zizjzkM0i,j,k}
Vi ser med nödvändighet att
zk=M0i,i,k/M1i,i,k∀i,k∈N,⋺M0i,i,k=0.
Vi hoppas att för varje given k, M0i,i,k kan inte vara identiskt 0 för alla i. Vid första rodnad verkar det inte omöjligt om M har en “jämn/odd” symmetrigrupp, och ek är udda, men hoppet gäller för flat-torifallet nedan (som inte uppfyller den enhetliga egenvärdesmultiplikiteten = 1 villkor). Formeln (11) för zk kräver båda i-oberoende, och tillräcklig, för att fastställa baskartan e0i↦zie1i konserver {M0i,j,k}
Låt oss dock beräkna några relevanta identiteter så att några oförskämda framtida forskare kan gräva i denna gissning:
ΔfgMi,j,kNow by polarizationMi,j,kand so the quadratic formQk(f,g):Now with J real-analyticQkJ(f,g):Q~k(f,g):df⋅dgQ0(f,f)df⋅df=k∑Qk(f,f)ek=g221i,j∑f^(i)f^(j)(λi+λj−λk)Mi,j,k=fΔg+gΔf−2df⋅dg⟹=2λi+λj−λk⟨dei⋅dejek⟩=4⟨(ei+ej)2−(ei−ej)2ek⟩=2Mi,i,k+Mj,j,k−⟨(ei−ej)2ek⟩,=⟨df⋅dgek⟩=i,j∑f^(i)g^(j)⟨dei⋅dejek⟩=21i,j∑f^(i)g^(j)(λi+λj−λk)Mi,j,k.=−21⟨(J(Δ)fg−fJ(Δ)g−gJ(Δ)fek⟩=−21(⟨fgJ(Δ)ek⟩−⟨fJ(Δ)g+gJ(Δ)fek⟩)=21i,j∑f^(i)g^(j)(J(λi)+J(λj)−J(λk)Mi,j,k=−21⟨Δfg−fΔg−gΔfek⟩=21i,j∑f^(i)g^(j)(λi+λj−λk)Mi,j,k=k∑Qk(f,g)ek=−2Δfg−fΔg−gΔf=vol(M)1i∑f^(i)2λi=21i,j,k∑f^(i)f^(j)(λi+λj−λk)Mi,j,kek=41i,j,k∑f^(i)f^(j)(λi+λj−λk)(Mi,i,k+Mj,j,k−⟨(ei−ej)2ek⟩)ek=i,j,k∑g^(i)g^(j)Mi,j,kek⟹=i,j∑g^(i)g^(j)Mi,j,k=g2(k).
Anmärkning: för det endimensionella flat-torifallet nedan, Q~k(ei,ej)=0 sedan Δ=−1dxd
Exempel
Låt {λi}⊂Rn vara indexerad, rangordna n lattice av Lie Algebra vikter för kvotutrymme representation av g=Rn som översättningsinvariant (dvs. konstant) vektorfält på sig själv, när Rn ses också som g’s associerade Lie Group över en torus definierad av Rn/AZn,A∈GL(n,R). Dessa vikter definierar icke-hållbara lyft av 1-former över torusen som integrerar med linjära funktioner ⟨x∣λi⟩,x∈Rn som dess lögngrupp (som täcker torusen). Dessa linjära funktioner kan sedan likformigt skalas om (genom 2π−1) och exponentierad för att bilda multiplikativa tecken som sjunker till att bilda en ortonormal bas av L2(Rn/AZn,dx)med måttet Lebesgue (Haar) dx
Dessutom diagonaliserar denna bas samtidigt den platta torus Laplacian ** eftersom** Laplacian är bilden av en symmetrisk, negativ-definit kvadratisk Casimir element under denna (konstant koefficient linjär differential operator) kvotutrymme representation av den universella omslutande algebra. Därför är dess egenvärden i konstant proportion (av 4π2
Vi ser för närvarande ovanstående
{e2π−1⟨x∣λi⟩/∣detA∣}i=0∞
att vara vår teorem-tillämpliga Fourier-bas av ortonormala (multiplikativa) egenfunktioner (av denna kvotrepresentation av det (negativa) euklidiska Casimir-elementet) som direkt motsvarar {λi}. Genom våra hypoteser måste vi ha i<j⟹∥λi∥≤∥λj∥
Nu kan vi beräkna
Mi,j,k={1/∣detA∣0λi+λj−λk=0otherwise
Eftersom denna formel är linjär på viktgitter (A−1)tZn={λi}, endast en L2 ortonormal egenfunktionsbaskarta som induceras från en volymbevarande inverterbar linjär karta mellan två sådana indexerade, rangordnade n viktgitter behåller den “algebraiska/topologiska” indexerade datamängden {Mi,j,k}
För att kunna tillämpa våra SatsenDet är viktigt att en sådan linjär karta B vara B∈O(n,R) på viktgitter, eftersom den inducerade L2
{e2π−1⟨x∣Bλi⟩/∣detA∣}i=0∞
måste också bevara de “analytiska” varianterna — Casimir-element inducerad figur 4π2∥λi∥2
Detta representationsteoretiska konto [AK01] är exakt likvärdig med tidigare utveckling av lattice kongruens[NRR22] traditonally används för att avgränsa isometri klasser av platt tori. I själva verket transponerar matrisen en sådan linjär karta B∈O(n,R), som beskrivs i föregående stycke, **är ** den kontravariant Riemannian isometri mellan tori, som tillhandahålls genom tillämpning av *Gelfand-Naimark Representation Theorem * under Bevis av våra Satsen.
Antal bekräftelser
Den ursprungliga forskningen finansierades delvis av ett nådigt James Simons Research Award 1995-1996, och det generösa stödet från en Alfred P. Sloan Dissertation Fellowship 1996-1997 vid universitetet i Stony Brook.
Författaren vill också tacka Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri och särskilt Leon Takhtajan för deras tekniska hjälp och översyn vid utarbetandet av detta manuskript för publicering.