Triples produits des fonctions propres et de la géométrie spectrale

Auteur

Joe Schaefer

Résumé

Utilisation des techniques élémentaires de l’analyse géométrique, des équations différentielles partielles et abéliennes $C^*$ Les algèbres, Nous découvrons un roman, mais familier, invariant géométrique global — à savoir l’ensemble indexé d’intégrales de produits triples de fonctions propres de l’opérateur Laplace-Beltrami, pour caractériser précisément quels collecteurs isospectraux fermés de Riemann sont isométriques.

Introduction

Pour un collecteur Riemannien fermé $(M,g)$, caractérisant sa classe de collecteurs isospectraux non isométriques est un type de problème inverse [DH11] en géométrie spectrale. Naïvement, on pourrait supposer que cette classe serait toujours vide. Cependant, la littérature académique est riche avec des constructions datant de plusieurs décennies d’appariements spécifiques de contre-exemples : à partir de 1964 avec la paire 16-dimensionnelle de John Milnor non isométrique, isospectral plat tori [JM64], et continue [CS92] vers la caractérisation dimensionnelle générique des tori plats dans la thèse de doctorat d’Alexander Schiemann en 1993 [AS94] — rempli avec une recherche assistée par ordinateur pour le critique $\dim = 3$ case. Une étude moderne de l’histoire complète des tori plats apparaît dans [NRR22].

En cours de route ont été des ramifications perspicaces dans des espaces de couverture symétriques plus sophistiqués et non euclidiens ; la construction de tels “duets” isospectraux et non isométriques impliquant des tenseurs de courbure non banaux (et leurs caractéristiques Euler déterminées par le spectre dans la dimension 2 [MS67]Un excellent exemple de cet effort a été Toshikazu Sunada 1985 [TS85] l’invention d’un cadre spatial de couverture à usage général, qu’il a ensuite déployé dans le même travail pour construire des duos hyperboliques dans les dimensions 2 et 3.

Pour des métriques Riemanniennes inhomogènes, Carolyn Gordon a découvert des duos qui ne sont même pas isométriques localement. [CG93].

Le travail se poursuit dans de nombreux domaines connexes [DH11], comme la détermination des caractéristiques topologiques de la classe des collecteurs isospectraux, non isométriques en général (vide) [ST80], fini [AS94], rigide [GK80], et compact [GZ97]) en tant que sous-ensemble de différents espaces de modules de métriques riemanniennes.

Ce que nous proposons dans cet article est une nouvelle perspective sur un outil familier : les coefficients de Fourier indexés des produits par paire des fonctions propres comme un “invariant algébrique / topologique” discret pour compléter l’existant, discret “invariant analytique” — le spectre non négatif de l’opérateur Laplace-Beltrami (ci-après dénommé le Laplacien) sur $ℋ = L^2(M,g)$. Combinés, nous observons que la paire fournit une “représentation géométrique globale discrète” des classes d’isométrie des collecteurs riemanniens fermés isospectraux.

résultats

La symétrie joue un rôle important dans les cas computationnellement traçables [TF17] [LS18] [PS94], qui est bien illustré dans notre plat tori Exemple ci-dessous. Cependant, la force de notre approche est peut-être mieux mise en évidence dans le cas de variétés avec le moins de symétries riemanniennes, ce qui est le cas générique coïncidant souvent avec les valeurs propres étant unique (c’est-à-dire sans multiplicité non banale). Dans ce cas, nous offrons ce qui suit :

La motivation pour l’étude de $\set{M^{i,j,k}}$ est vaguement dérivée de l’étude du rôle de l’ opérateur de multiplication bilinéaire $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ dans la définition d’une algèbre d’opérateur de sommet [FBZ04] associé à une théorie du champ conforme chiral. Ici $V$ est l’espace vectoriel des États et $V((z))$ est l’espace de la série formelle Laurent dans $z$ avec des coefficients en $V$. Depuis $V$ est souvent équipé comme un espace de Hilbert avec une base orthonormée traditionnelle de la série Fourier, indexation $Y$ utilisant les éléments de base de Fourier de $V$ est un peu plus impliqué que $M^{i,j,k}$ cas étudié ici, mais assez similaire dans l’esprit. Cependant, une comparaison détaillée est hors de portée pour cet article.

Si nous considérons la carte

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

cet article établit l’injectivité de cette carte pour les collecteurs riemanniens fermés (jusqu’à l’isométrie riemannienne dans son domaine). D’autres résultats qui appliquent ces techniques pour décrire son image (et inversement), dans certains espaces de modules de mesures, ne font que commencer [AA25]. Là, Anshul Adve s’attaque rigoureusement aux espaces tangents unitaires des 2-orbifolds compacts et hyperboliques en utilisant ces mêmes ** constantes de structure** de la théorie du champ conforme.

Ces résultats ont été démontrés pour la première fois lors d’un discours intitulé de la même manière par l’auteur à l’ IRSM en 1997, mais ils apparaissent ici sous forme publiée pour la première fois.

préliminaires

Maintenant avec $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ comme ci-dessus, pour $f \in C^\infty(M)$ et $i \geq 0$ Notez que les coefficients de Fourier

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

depuis $f$ est unique en son genre, car sa convergence rapide Fourier Series ($\Delta_M$-Sobolev Embeddings spécifiques [MT13] [RS75]Avec la loi asymptotique de Weyl [HW11]Les termes de la somme sont $o(i^{-n})$ uniformes dans $x$ [LH68], $\forall n\in\N$.) Alors nous voyons que pour $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, les coefficients de Fourier du produit ponctuel $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ sont

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x). \end{aligned}$$

et ainsi, critique, tout polynôme multivarié $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (sur des fonctions fluides) commande avec toute conservation du spectre $\Delta$-carte de base orthonormée de fonction propre $\vec{F}$ qui préserve $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

En outre, si $A\subset M$ est Borel-mesurable, puis les résultats ci-dessus tiennent point par point pour la fonction caractéristique de $A$ partout sauf le long de la frontière de $A$ : si $f = f^2$ et $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

et par unicité, nous avons l’identité suivante

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

Cela implique que toute carte de base comme ci-dessus comporte des fonctions caractéristiques (en tant que membres de $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) à des fonctions caractéristiques de manière à préserver la mesure.

Le but de ces calculs est de souligner que $\set{M^{i,j,k}}$ caractérise l’analyse harmonique de l’opérateur de multiplication par point sur $C^\infty(M)$, qui est une sous-algèbre dense des Abéliens $C^*$ algèbre $C(M)$par le théorème de Stone-Weierstrass.

Pour la convergence rapide de ces sommes $M^{i,j,k}$, notez que les produits des fonctions propres sont lisses, de sorte que ces coefficients de Fourier se décomposent comme ci-dessus (dans chaque indice). Pour plus de détails, voir le travail d’Emmett Wyman en 2022 avec ces coefficients en ce qui concerne l’inégalité triangulaire sur les valeurs propres. [EW22].

Remarque : nous pouvons toujours supposer

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

où $\delta_i$ est le delta de Kronecker. Depuis $vol(M)$ est un invariant spectral [HW11], ces informations sont déjà disponibles à partir de considérations relatives à l’isospectralité.

Preuve du théorème

Par nécessité, $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ être une isométrie entre des collecteurs riemanniens fermés, et laisser la base orthonormée cible des fonctions propres sur $L^2(N,h)$ être le pull-back via $F$ de la base orthonormée $\set{e^i}$ le $(M,g)$ ci-dessus. Depuis

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

Nous avons terminé avec l’argument de nécessité parce que $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

Pour la suffisance, nous considérons maintenant la carte linéaire, bijective orthonormée de base de l’eigenfonction $\vec{F}$ de $C^\infty(M)$ au $C^\infty(N)$ Notez que dans les calculs de la Préliminaires ci-dessus, $\vec{F}$ conserve les produits ponctuels pour des fonctions lisses (et conserve les fonctions caractéristiques lorsqu’elles sont étendues à $L^2(M,g)$) par la prémisse que $\set{M^{i,j,k}}$ est invariante sous cette carte.

Lemme

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ préserve la norme uniforme.

Preuve de Lemme

Laissez $\set{a_i}$ être une partition lisse de l’unité sur $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

Ainsi $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (Delta de Kronecker).

Par le théorème de convergence dominée,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

qui est une fonction caractéristique de la mesure positive sur chaque sous-ensemble disjoint $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. Cela signifie que le lemme est prouvé pour chaque $a_j$, étant donné que la fonction caractéristique limitante d’un ensemble à mesure positive est préservée, et a donc une norme uniforme 1, tout comme $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$, par diagramme (5).

Sans perte de généralité, nous pouvons appliquer le résultat de cas particulier montré pour la partition lisse de l’unité $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, où $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ a une mesure positive, et le Lemma est prouvé en entier.

Depuis $\set {\bar e^i}$ est aussi une base de Fourier pour $L^2(M,g)$, il ressort clairement de l’équation (3) que $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. Cela signifie que sur un ensemble dense de $C(M)$ (et $C(N)$), nous avons établi $\vec{F}$ comme un isomorphisme d’Abelian $C^*$ les algèbres, et peuvent donc être étendues à un isomorphisme de $C(M)$ et $C(N)$ dans la même catégorie.

Maintenant, nous appliquons le théorème de représentation de Gelfand-Naimark (sous forme de champignon contravariant) pour Abelian unital $C^*$ algèbre [JC19] représenter cet isomorphisme par un homéomorphisme $F$ entre $N$ et $M$. Comme il est bijectif sur les fonctions lisses, il doit également être lisse.

Comme maintenant le difféomorphisme $F$ préserve les valeurs propres et les fonctions propres (par hypothèse sur $\vec{F}(f) = f\circ F$), il doit préserver le Laplacien sur des fonctions lisses. Il doit donc aussi conserver les symboles principaux de ces mêmes opérateurs elliptiques. [MT13]. Les principaux symboles du Laplacien sont simplement un autre moyen d’exprimer la métrique riemannienne sur les collecteurs en question.

Cela complète la preuve du théorème.

Discussion sur la conjecture

Avec $\set{M_0^{i,j,k}}$ et $\set{M_1^{i,j,k}}$ représentant les deux ensembles à trois produits pour les bases $\set{e_0^i}$ et $\set{e_1^i}$, laissez $z_i \in \set{-1,1}$ être le $\Z_2^\infty$ action sur une telle $\R$-base orthonormée évaluée $\set{e_1^i}$. Il faut donc choisir $z_i$ afin que $\set{z_ie_1^i}$ rendements $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$.

Pourquoi est-ce le cas ? En général, le groupe de symétrie agissant sur l’espace des bases orthonormes possibles des fonctions propres est l’espace des opérateurs unitaires $U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ ce trajet avec des projections $P_{\mathcal V_\lambda}$ sur les espaces propres de dimension finie $\mathcal V_{\lambda}$ associé à chaque valeur propre individuelle $\lambda$ du Laplacien. Par conséquent

$$\begin{aligned} P_{\mathcal V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathcal V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

est l’image de $M^{i,j,k}$ sous $U$Action de base $e^i \mapsto U(e^i)$.

Or, dans les conditions de la conjecture, chacun des $\mathcal V_\lambda$ sont des espaces vectoriels unidimensionnels sur $\Complex$, mais cela signifie également qu’ils sont des espaces vectoriels unidimensionnels sur $\Reals$et donc le groupe de symétrie multiplicative complet est $O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

Sans la contrainte de multiplicité, le prérequis associé de la conjecture “concernant l’accord en valeurs absolues” deviendrait simplement “ la préservation de l’ensemble ordonné de valeurs singulières de $\set{M^{i,j,k}}$ (compté avec multiplicité), lorsqu’il est considéré comme un ensemble de cartes $\mathcal V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathcal V_{\lambda_j}, \mathcal V_{\lambda_k}^*)$”, qui sont un ensemble robuste d’invariants unitaires. Nous sommes beaucoup moins convaincus que cette conjecture généralisée est vraie, car il peut être possible de produire un contre-exemple via une construction Sunada explicite.

En revenant à la conjecture originale, nous observons que la preuve implique d’établir cette implication :

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,r,i}M_0^{s,s,j}M_0^{t,t,k}}{M_1^{r,r,i}M_1^{s,s,j}M_1^{t,t,k}}\, .$$

Nous espérons que pour tout $k$, $M_0^{i,i,k}$ ne peut pas être identique $0$ pour tous $i$. En outre, la formule pour $z_k$ nécessite les deux $i$- indépendance et suffisance, pour établir la carte de base $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ conservateurs $\set{M_0^{i,j,k}}$. Tous ces aspects restent inconnus.

Néanmoins, calculons quelques identités pertinentes afin que certains futurs chercheurs intrépides puissent creuser dans cette conjecture :

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \inf_{f\in \mathscr H_k^\perp} \frac{||df \cdot df||^2}{||f||^2} &= \lambda_{k+1}\text{ , with }f=\pm e^{k+1}\ .\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ \sum_{\ell}Q_\ell(f,f)e^\ell &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)M^{i,j,\ell}e^\ell\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)(M^{i,i,\ell} + M^{j,j,\ell} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^\ell})e^\ell\\ = g^2 &= \sum_{i,j,\ell}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,\ell}e^\ell\implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

Remarque : pour le cas de tori plat unidimensionnel ci-dessous, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ depuis $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$ est une véritable dérivation.

Exemple

Laissez $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ être indexé, rang $n$ treillis de poids d’algèbre de Lie pour la représentation spatiale quotient de $\frak{g}=\Reals^n$ comme champs vectoriels invariants de traduction (c’est-à-dire constants) sur lui-même, lorsque $\R^n$ est également considéré comme $\frak{g}$Le groupe Lie associé sur un tore défini par $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. Ces poids définissent des ascenseurs intégrables de 1 forme sur le tore qui s’intègrent aux fonctions linéaires $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ comme son groupe de mensonges (couvrant le torus). Ces fonctions linéaires peuvent alors être uniformément redimensionnées (par $2\pi \sqrt{-1}$) et exponentie pour former des caractères multiplicatifs qui descendent pour former une base orthonormée de $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, avec mesure Lebesgue (Haar) $dx$.

De plus, cette base diagonalise simultanément le Laplacien du tore plat parce que le Laplacien est l’image d’un élément quadratique symétrique, négatif-défini de Casimir sous cette représentation spatiale du quotient de l’algèbre universelle enveloppante (opérateur différentiel linéaire à coefficient constant). Par conséquent, ses valeurs propres sont en proportion constante ( $4\pi^2$) au casimir-élément-déterminé-longueur-quared du poids de chaque caractère dans le réseau.

Nous considérons actuellement la base ci-dessus

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

être notre base de Fourier théorique des fonctions propres orthonormes (caractère multiplicatif) (de cette représentation quotient de l’élément Casimir euclidien (négatif) correspondant directement à $\set{\lambda_i}$. Par les hypothèses de notre théorème, nous devons avoir $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (avec la norme euclidienne sur les poids).

Maintenant, nous pouvons calculer

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Comme cette équation est seulement invariante sous des transformations linéaires sur le réseau de poids $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$, uniquement un $L^2$ Carte de base de fonction propre orthonormée ** qui est induite d’une carte linéaire invertible préservant le volume entre deux de ces index, rang $n$ les réseaux de pondération** conservent le jeu de données indexé “algébrique/topologique” $\set{M^{i,j,k}}$ invariante.

Cependant, afin d’appliquer notre Théorème, il est essentiel qu’une telle carte linéaire $B$ être $B\in SO(n,\Reals)$ sur le treillis de poids, parce que $L^2$ Carte de base de fonction propre

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

doit également préserver les invariants “analytiques” — la figure induite par l’élément Casimir $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ pour chaque poids indexé, c’est-à-dire les valeurs propres individuelles du laplacien du tori plat.

Ce compte représentation-théorique [AK01] est exactement équivalent au développement antérieur de congruence de réseau [NRR22] traditionnellement utilisé pour délimiter les classes d’isométrie des tori plats. En effet, la matrice transpose une telle carte linéaire $B\in SO(n,\Reals)$, tel que décrit dans le paragraphe précédent, est l’isométrie Riemannienne contravariante entre les tori, telle que fournie par l’application du théorème de représentation de Gelfand-Naimark pendant la Preuve de notre Théorème.

Accusés de réception

La recherche originale a été financée en partie par un gracieux James Simons Research Award en 1995-1996, et le généreux soutien d’un Alfred P. Sloan Dissertation Fellowship en 1996-1997 à l’Université de Stony Brook.

L’auteur tient également à remercier Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri, et en particulier Leon Takhtajan pour leur assistance technique et leur examen dans la préparation de ce manuscrit pour publication.