Triple produits de fonctions propres et de géométrie spectrale

[VÉRIFIÉ] Dernière mise à jour par Joe Schaefer sur dim., 28 avr. 2024    source
 

Surface minimale ξ6,1 de Lawson projetée de manière stéréographique de S3 à R3

Auteur

Joe Schaefer

Résumé

Utiliser les techniques élémentaires de l’analyse géométrique, des équations différentielles partielles et de l’abélien CC^* Les algèbres, Nous découvrons un nouvel invariant géométrique mondial, pourtant familier —

Introduction ##

Pour un collecteur Riemannien fermé (M,g)(M,g), caractérisant sa classe de collecteurs isospectraux non isométriques, est un type de problème inverse [DH11] en géométrie spectrale. Naïvement, on pourrait spéculer que cette classe serait toujours vide. Cependant, la littérature académique est riche de constructions de plusieurs décennies d’appariements spécifiques de contre-exemples : à partir de 1964 avec la paire de 16 dimensions de John Milnor de tori plats isospectraux non isométriques. [JM64], et continuer [CS92] vers la caractérisation dimensionnelle générique du tori plat dans la thèse de doctorat d’Alexander Schiemann en 1993 [AS94] — rempli d’une recherche assistée par ordinateur pour la critique dim=3\dim = 3 cas. Une étude moderne de l’histoire complète des tori plats apparaît dans [NRR22].

En cours de route, il y a eu des ramifications perspicaces dans des espaces de couverture symétriques non euclidiens plus sophistiqués ; la construction de tels “duets” isospectraux et non isométriques impliquant des tenseurs de courbure non triviaux (et leurs caractéristiques Euler déterminées par le spectre dans la dimension 2 [MS67].) Un excellent exemple de cet effort fut celui de Toshikazu Sunada en 1985. [TS85].

Pour des métriques riemanniennes inhomogènes, Carolyn Gordon a découvert des duos qui ne sont même pas localement isométriques [CG93].

Les travaux se poursuivent dans de nombreux domaines connexes [DH11], comme la détermination des caractéristiques topologiques de la classe des collecteurs isospectraux, non isométriques en général (vide [ST80], finie [AS94]rigide [GK80], et compact [GZ97].

Ce que nous proposons dans cet article est une nouvelle perspective sur un outil familier : les coefficients de Fourier indexés de produits par paires de fonctions propres comme un “invariant algébrique/topologique” discret pour compléter le “invariant analytique” existant et discret. — le spectre non négatif de l’opérateur Laplace-Beltrami (ci-après dénommé le Laplacien) sur L2(M,g)L^2(M,g)

résultats


Théorie

Compte tenu d’une base orthonormée (non décroissante sur les valeurs propres) des fonctions propres {ei}i=0\set{e^i}_{i=0}^{\infty} pour le Laplacien (non négatif) ΔM\Delta_M le L2(M,g)L^2(M,g) associé à un collecteur riemannien fermé (M,g)(M,g)

Mi,j,k:=Meiejekˉgdx M^{i,j,k} := \int_M e^i e^j \bar{e^k} \sqrt{g} dx

Pour être isométrique à (M,g)(M,g), c’est une condition nécessaire et suffisante pour qu’un autre collecteur riemannien iosospectral fermé ait une base orthonormée de fonctions propres (pour son laplacien) qui préserve les valeurs propres associées et possède un invariant {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}


La symétrie joue un rôle important dans les cas traitables par calcul [TF17] [LS18] [PS94], qui est bien illustré dans notre tori plat Exemple.


Conjecture

Si chaque valeur propre a une multiplicité 11, étant donné une paire de bases orthormales préservant la valeur propre telle que décrite dans l’hypothèse du théorème, les collecteurs sont isométriques si et seulement si le {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}


La motivation pour l’étude de {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}} est vaguement dérivé de l’étude du rôle de l’ opérateur de multiplication linéaire Y:VVV((z))Y:V\otimes V\rightarrow V((z)) dans la définition d’une algèbre d’opérateur de sommet [FBZ04] associée à une théorie du champ conformationnel chiral. Ici VV est l’espace vecteur des États et V((z))V((z)) est l’espace de la série formelle Laurent dans zz avec des coefficients en VV. Depuis VV est souvent équipé en tant qu’espace Hilbert avec une base orthonormée traditionnelle de la série Fourier, indexant YY en utilisant les éléments de base de Fourier de VV est un peu plus impliqué que le Mi,j,kM^{i,j,k}

Ces résultats ont été démontrés pour la première fois lors d’un discours similaire de l’auteur à MSRI en 1997, mais ils apparaissent ici sous forme publiée pour la première fois.

préliminaires

Maintenant avec M,g,ei,Mi,j,kM,g,e^i,M^{i,j,k} comme précédemment, pour fC(M)f \in C^\infty(M) et i0i \geq 0

f^(i):=Mf(x)eiˉ(x)g(x)dx    f(x)=i=0f^(i)ei(x).\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}

depuis ff est représentable de manière unique en tant que série quatre fois plus rapide (ΔM\Delta_M-Intégrations spécifiques à Sobolev [MT13] [RS75]Avec la loi asymptotique de Weyl [HW11], implique que les termes de la somme sont o(in)o(i^{-n}) * uniformément dans xx* [LH68], nN\forall n\in\NEnsuite, nous voyons que pour f1,f2C(M)f_1, f_2 \in C^\infty(M), les coefficients de Fourier du produit ponctuel f1f2C(M)f_1 f_2 \in C^\infty(M)

f1f2^(k)=i,jf1^(i)f2^(j)Mi,j,k    f1f2(x)=i,j,kf1^(i)f2^(j)Mi,j,kek(x)f1=f2p, p N    kf1^(k)ek(x)=i1,...,ip,kf2^(i1)...f2^(ip)Mi1,i2,i3Mi2,i3,i4...Mip1,ip,kek(x).\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}

et donc, critiquement, tout polynôme multivarié C[z1,,zl]\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l] (sur des fonctions lisses) commute avec préservation du spectre Δ\Delta-carte de base orthonormée eigenfunction FF qui préserve {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

C(M, Cl)C(M)FFl timesFC(N, Cl)C(N)\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{F\oplus\dots\oplus F}_{l\space\text{times}}VV @VVFV\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}

Et si AMA\subset M est Borel-mesurable, alors les résultats ci-dessus tiennent point par point pour la fonction caractéristique de AA partout sauf le long de la frontière de AA : si f=f2f = f^2 et A:={xMf(x)=1}A:=\set{x\in M|f(x)=1}

if^(i)ei(x)=i,j,kf^(i)f^(j)Mi,j,kek(x)={1xA˚0xA˚\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}

et par l’unicité, nous avons l’identité suivante

f^(k)=i,jf^(i)f^(j)Mi,j,k  k0    f=f2 a.e.\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}

Cela implique toute carte de base comme ci-dessus porte des fonctions caractéristiques (en tant que membres de L2(M,g)L1(M,g)L^2(M,g)\subset L^1(M,g)

Le but de ces calculs est de souligner le fait que {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}} caractérise l’analyse harmonique de l’opérateur de multiplication par points sur C(M)C^\infty(M), qui est une sous-algèbre dense de l’Abélien CC^* algèbre C(M)C(M)

Pour la convergence rapide de ces montants, Mi,j,kM^{i,j,k}, notez que les produits de fonctions propres sont lisses, de sorte que ces coefficients de Fourier se dégradent comme ci-dessus (dans chaque indice). Pour plus de détails, voir le travail d’Emmett Wyman en 2022 avec ces coefficients en ce qui concerne l’inégalité des triangles sur les valeurs propres [EW22].

Remarque : nous pouvons toujours supposer

e0=M0,0,0=1/vol(M)    M0,j,k=Mj,0,k=δjk /vol(M)\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}

δi\delta_i est le delta de Kronecker. Depuis vol(M)vol(M) est un invariant spectral [HW11].

Preuve du théorème

Par nécessité, laissez F:(N,h)(M,g)F:(N,h)\rightarrow (M,g) être une isométrie entre des collecteurs riemanniens fermés, et laisser la base orthonormée cible des fonctions propres sur L2(N,h)L^2(N,h) être le pull-back via FF de la base orthonormée {ei}\set{e^i} le (M,g)(M,g)

Mi,j,k=Meiejekˉgdy=Nei(F(x))ej(F(x))ekˉ(F(x))hdx\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}

Nous en avons fini avec l’argument de nécessité.

Pour la suffisance, nous considérons maintenant la carte de base orthonormée bijective linéaire FF de C(M)C^\infty(M) à C(N)C^\infty(N) Notez que les calculs dans le Préliminaires ci-dessus, FF conserve les produits au niveau des points pour des fonctions lisses (et conserve les fonctions caractéristiques lorsqu’elles sont étendues à L2(M,g)L^2(M,g)) par la prémisse que {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

Lemme

F:C(M)C(N)F: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N) préserve la norme uniforme.

Preuve de Lemme

Laisser {ai}\set{a_i} être une partition lisse de l’unité sur MM

1=iai(x)=i,jai^(j)ej(x)=jej(x)iai^(j)\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}

Ainsi iai^(j)=δjvol(M)\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}

Par le théorème de convergence dominé,

limpjajp^(k)=˙j{aj=1}ekˉ(x)gdx\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx

qui est une fonction caractéristique de mesure positive sur chaque sous-ensemble disjoint {xMaj(x)=1}\set{x\in M | a_j(x) = 1}. Cela signifie que le Lemme est prouvé pour chaque aja_j, puisque la fonction caractéristique limitante d’un ensemble à mesure positive est préservée, et a donc la norme uniforme 1, comme le font tous les ajp, F(ajp)=F(aj)p, pNa_j^p,\space F(a_j^p)=F(a_j)^p,\space p\in\N

Sans perte de généralité, nous pouvons appliquer le résultat de cas spécial affiché pour la partition lisse de l’unité {f/f,1f/f}\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace, où {xM f(x)=f} \set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}

Cela signifie que sur un ensemble dense de C(M)C(M) (et C(N)C(N)), nous avons établi FF comme un isomorphisme d’Abelian CC^* les algèbres, et peuvent ainsi être étendues à un isomorphisme de C(M)C(M) et C(N)C(N)

Maintenant, nous appliquons le théorème de représentation de Gelfand-Naimark (en forme de functor contravariant) pour Abelian CC^* algèbres [JC19] pour représenter cet isomorphisme par un homéomorphisme entre NN et MM

Comme ce diffeomorphisme préserve maintenant les valeurs propres et les fonctions propres (par hypothèse sur FF), il doit préserver le Laplacien sur des fonctions lisses. Elle doit donc aussi conserver les principaux symboles de ces mêmes opérateurs elliptiques. [MT13].

Cela complète la preuve du théorème.

Discussion sur la conjecture

Avec {M0i,j,k}\set{M_0^{i,j,k}} et {M1i,j,k}\set{M_1^{i,j,k}} représentant les deux ensembles de triple produit pour les bases {e0i}\set{e_0^i} et {e1i}\set{e_1^i}, laisser zi{1,1}z_i \in \set{-1,1} être le Z2\Z_2^\infty action sur une telle R\R-base orthonormée évaluée {e1i}\set{e_1^i}. Nous devons donc choisir ziz_i afin que {zie1i}\set{z_ie_1^i} rendements {M1i,j,k}={zizjzkM0i,j,k}\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}

Nous observons nécessairement que

zk=M0i,i,k/M1i,i,k  i,kN,M0i,i,k0.z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.

Depuis pour toute donnée kk, M0i,i,kM_0^{i,i,k} ne peut pas être identique 00 pour tous ii, cette formule pour zkz_k nécessite les deux ii- l’indépendance et la suffisance pour établir la carte de base e0izie1ie_0^i \mapsto z_i e_1^i conserves {M0i,j,k}\set{M_0^{i,j,k}}

Exemple ##

Laisser {λi}Rn\set{\lambda_i} \subset \R^n être indexé, rang nn treillis de poids algébriques de Lie pour la représentation de l’espace quotient de g=Rn\frak{g}=\Reals^n en tant que champs vectoriels invariants de traduction (c’est-à-dire constants) sur lui-même, lorsque Rn\R^n est également considéré comme g\frak{g}Le groupe Lie associé sur un tore défini par Rn/AZn,AGL(n,R)\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals). Ces poids définissent des ascenseurs intégrables de 1 forme sur le tore qui s’intègrent aux fonctions linéaires <xλi, xRn\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n comme son groupe Lie (couvrant le torus). Ces fonctions linéaires peuvent alors être uniformément rajustées (par 2π12\pi \sqrt{-1}) et exposée pour former des caractères multiplicatifs qui descendent pour former une base orthonormée de L2(Rn/AZn,dx)L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx), avec mesure Lebesgue (Haar) dxdx

De plus, cette base permet simultanément de diagonaliser le Laplacien du tore plat parce que le Laplacien est l’image d’un élément Casimir quadratique symétrique, défini négativement sous cette représentation d’espace quotient (opérateur différentiel linéaire à coefficient constant) de l’algèbre enveloppante universelle. Par conséquent, ses valeurs propres sont en proportion constante (de 4π24\pi^2

Nous examinons actuellement la base ci-dessus

{e2π1xλi/detA}i=0\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty

être notre base Fourier applicable au théorème des fonctions propres orthonormales (caractère multiplicatif) (de cette représentation quotient de l’élément Casimir euclidien (négatif) correspondant directement à {λi}\set{\lambda_i}. Par les hypothèses de notre théorème, nous devons avoir i<j    λiλji < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert

Maintenant nous pouvons calculer

Mi,j,k={1/detAλi+λjλk=00otherwiseM^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

Comme cette équation est linéaire sur le treillis de poids (A1)tZn={λi}(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}, seulement un L2L^2 carte orthonormée de base de fonction propre qui est induite à partir d’une carte linéaire inversible conservant le volume entre deux de ces rangs indexés nn les grilles de poids conserveront le jeu de données indexé “algébrique/topologique” {Mi,j,k}\set{M^{i,j,k}}

Toutefois, afin d’appliquer notre Théorème, il est essentiel qu’une telle carte linéaire BB être BO(n,R)B\in O(n,\Reals) sur le treillis de poids, parce que l’induit L2L^2

{e2π1xBλi/detA}i=0\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty

Il faut aussi préserver les invariants “analytiques” — la figure induite par l’élément Casimir 4π2λi24\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2

Ce compte de représentation-théorique [AK01] est exactement équivalent au développement antérieur de construence de réseau [NRR22] Traditonalement utilisé pour délimiter les classes d’isométrie de tori plat. En effet, la matrice transpose d’une telle carte linéaire BO(n,R)B\in O(n,\Reals), comme décrit dans le paragraphe précédent, est la contrevariante isométrie riemannienne entre les tori, comme prévu par l’application du Théorème de représentation de Gelfand-Naimark au cours de la Preuve de notre Théorème.

Nb d’accusés de réception

La recherche originale a été financée en partie par un gracieux James Simons Research Award en 1995-1996, et le généreux soutien d’un Alfred P. Sloan Dissertation Fellowship en 1996-1997 à l’Université de Stony Brook.

L’auteur tient également à remercier Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri et surtout Leon Takhtajan pour leur assistance technique et leur examen dans la préparation de ce manuscrit en vue de sa publication.