Triple produits d'Eigenfunctions et de géométrie spectrale

Surface minimale ξ_6,1 de Lawson projetée de manière stéréographique de S³ à R³

Auteur

Joe Schaefer

Résumé

Utiliser les techniques élémentaires de l’analyse géométrique, des équations différentielles partielles et de l’abélien $C^*$ Les algèbres, Nous découvrons un nouvel invariant géométrique mondial, pourtant familier —

Introduction ##

Pour un collecteur Riemannien fermé $(M,g)$, caractérisant sa classe de collecteurs isospectraux non isométriques, est un type de problème inverse [DH11] en géométrie spectrale. Naïvement, on pourrait spéculer que cette classe serait toujours vide. Cependant, la littérature académique est riche de constructions de plusieurs décennies d’appariements spécifiques de contre-exemples : à partir de 1964 avec la paire de 16 dimensions de John Milnor de tori plats isospectraux non isométriques. [JM64], et continuer [CS92] Vers la caractérisation dimensionnelle générique du tori plat dans la thèse de doctorat d’Alexander Schiemann en 1993 [AS94] — rempli d’une recherche assistée par ordinateur pour la critique $\dim = 3$ cas. Une étude moderne de l’histoire complète des tori plats apparaît dans [NRR22].

En cours de route, il y a eu des ramifications perspicaces dans des espaces de couverture symétriques non euclidiens plus sophistiqués ; la construction de tels “duets” isospectraux et non isométriques impliquant des tenseurs de courbure non triviaux (et leurs caractéristiques Euler déterminées par le spectre dans la dimension 2 [MS67].) Un excellent exemple de cet effort fut celui de Toshikazu Sunada en 1985. [TS85].

Pour des métriques riemanniennes inhomogènes, Carolyn Gordon a découvert des duos qui ne sont même pas localement isométriques [CG93].

Les travaux se poursuivent dans de nombreux domaines connexes [DH11], comme la détermination des caractéristiques topologiques de la classe des collecteurs isospectraux, non isométriques en général (vide [ST80], finie [AS94]rigide [GK80], et compact [GZ97].

Ce que nous proposons dans cet article est une nouvelle perspective sur un outil familier : les coefficients de Fourier indexés de produits par paires de fonctions propres comme un “invariant algébrique/topologique” discret pour compléter le “invariant analytique” existant et discret. — le spectre non négatif de l’opérateur Laplace-Beltrami (ci-après dénommé le Laplacien) sur $L^2(M,g)$

résultats

La symétrie joue un rôle important dans les cas traitables par calcul [TF17] [LS18] [PS94], qui est bien illustré dans notre tori plat Exemple.

La motivation pour l’étude de $\set{M^{i,j,k}}$ est vaguement dérivé de l’étude du rôle de l’ opérateur de multiplication linéaire $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ dans la définition d’une algèbre d’opérateur de sommet [FBZ04] associée à une théorie du champ conformationnel chiral. Ici $V$ est l’espace vecteur des États et $V((z))$ est l’espace de la série formelle Laurent dans $z$ avec des coefficients en $V$. Depuis $V$ est souvent équipé en tant qu’espace Hilbert avec une base orthonormée traditionnelle de la série Fourier, indexant $Y$ en utilisant les éléments de base de Fourier de $V$ est légèrement plus impliqué que le $M^{i,j,k}$

Ces résultats ont été démontrés pour la première fois lors d’un discours similaire de l’auteur à MSRI en 1997, mais ils apparaissent ici sous forme publiée pour la première fois.

préliminaires

Maintenant avec $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ comme précédemment, pour $f \in C^\infty(M)$ et $i \geq 0$

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

depuis $f$ est représentable de manière unique en tant que série quatre fois plus rapide ($\Delta_M$-Intégrations spécifiques à Sobolev [MT13] [RS75]Avec la loi asymptotique de Weyl [HW11], implique que les termes de la somme sont $o(i^{-n})$ * uniformément dans $x$* [LH68], $\forall n\in\N$Ensuite, nous voyons que pour $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, les coefficients de Fourier du produit ponctuel $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p \space \in \N \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,...,i_p, k}\hat{f_2}(i_1)...\hat{f_2}(i_p)M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_2,i_3,i_4}...M^{i_{p-1},i_p,k}e^k(x). \end{aligned}$$

et donc, critiquement, tout polynôme multivarié $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (sur des fonctions lisses) commute avec préservation du spectre $\Delta$-carte de base orthonormée eigenfunction $\vec{F}$ qui préserve $\set{M^{i,j,k}}$

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

Et si $A\subset M$ est Borel-mesurable, alors les résultats ci-dessus tiennent point par point pour la fonction caractéristique de $A$ partout sauf le long de la frontière de $A$ : si $f = f^2$ et $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

et par l’unicité, nous avons l’identité suivante

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

Cela implique toute carte de base comme ci-dessus porte des fonctions caractéristiques (en tant que membres de $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$

Le but de ces calculs est de souligner le fait que $\set{M^{i,j,k}}$ caractérise l’analyse harmonique de l’opérateur de multiplication par points sur $C^\infty(M)$, qui est une sous-algèbre dense de l’Abélien $C^*$ algèbre $C(M)$

Pour la convergence rapide de ces montants, $M^{i,j,k}$, notez que les produits de fonctions propres sont lisses, de sorte que ces coefficients de Fourier se dégradent comme ci-dessus (dans chaque indice). Pour plus de détails, voir le travail d’Emmett Wyman en 2022 avec ces coefficients en ce qui concerne l’inégalité des triangles sur les valeurs propres [EW22].

Remarque : nous pouvons toujours supposer

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

où $\delta_i$ est le delta de Kronecker. Depuis $vol(M)$ est un invariant spectral [HW11].

Preuve du théorème

Par nécessité, laissez $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ être une isométrie entre des collecteurs riemanniens fermés, et laisser la base orthonormée cible des fonctions propres sur $L^2(N,h)$ être le pull-back via $F$ de la base orthonormée $\set{e^i}$ le $(M,g)$

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

Nous en avons fini avec l’argument de nécessité parce que $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$

Pour la suffisance, nous considérons maintenant la carte de base orthonormée bijective linéaire $\vec{F}$ de $C^\infty(M)$ à $C^\infty(N)$ Notez que les calculs dans le Préliminaires ci-dessus, $\vec{F}$ conserve les produits au niveau des points pour des fonctions lisses (et conserve les fonctions caractéristiques lorsqu’elles sont étendues à $L^2(M,g)$) par la prémisse que $\set{M^{i,j,k}}$

Lemme

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ préserve la norme uniforme.

Preuve de Lemme

Laisser $\set{a_i}$ être une partition lisse de l’unité sur $M$

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

Ainsi $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$

Par le théorème de convergence dominé,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

qui est une fonction caractéristique de mesure positive sur chaque sous-ensemble disjoint $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. Cela signifie que le Lemme est prouvé pour chaque $a_j$, puisque la fonction caractéristique limitante d’un ensemble à mesure positive est préservée, et a donc la norme uniforme 1, comme le font tous les $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$

Sans perte de généralité, nous pouvons appliquer le résultat de cas spécial affiché pour la partition lisse de l’unité $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$, où $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$

Cela signifie que sur un ensemble dense de $C(M)$ (et $C(N)$), nous avons établi $\vec{F}$ comme un isomorphisme d’Abelian $C^*$ les algèbres, et peuvent ainsi être étendues à un isomorphisme de $C(M)$ et $C(N)$

Maintenant, nous appliquons le théorème de représentation de Gelfand-Naimark (en forme de functor contravariant) pour Abelian $C^*$ algèbres [JC19] pour représenter cet isomorphisme par un homéomorphisme $F$ entre $N$ et $M$

Comme ce diffeomorphisme $F$ préserve les valeurs propres et les fonctions propres (par hypothèse sur $\vec{F}(f) = f\circ F$), il doit préserver le Laplacien sur des fonctions lisses. Elle doit donc aussi conserver les principaux symboles de ces mêmes opérateurs elliptiques. [MT13].

Cela complète la preuve du théorème.

Discussion sur la conjecture

Avec $\set{M_0^{i,j,k}}$ et $\set{M_1^{i,j,k}}$ représentant les deux ensembles de triple produit pour les bases $\set{e_0^i}$ et $\set{e_1^i}$, laisser $z_i \in \set{-1,1}$ être le $\Z_2^\infty$ action sur une telle $\R$-base orthonormée évaluée $\set{e_1^i}$. Nous devons donc choisir $z_i$ afin que $\set{z_ie_1^i}$ rendements $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$

Nous observons nécessairement que

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \,.$$

Nous pouvons espérer que pour chaque $k$, $M_0^{i,i,k}$ ne peut pas être identique $0$ pour tous $i$. Au début, cela ne semble pas impossible si $M$ a un groupe de symétrie “pair/impair”, et $e^k$ est étrange, mais l’espoir est vrai pour le cas plat-tori ci-dessous (qui ne satisfait pas la multiplicité uniforme de la valeur propre = 1 condition). La formule (11) pour $z_k$ nécessite les deux $i$- l’indépendance et la suffisance pour établir la carte de base $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ conserves $\set{M_0^{i,j,k}}$

Néanmoins, calculons certaines identités pertinentes afin que certains futurs chercheurs intrépides puissent creuser dans cette conjecture :

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k}\\ \text{Now by polarization}\\ M^{i,j,k} &= \frac{\bra{(e^i+e^j)^2 - (e^i - e^j)^2}\ket{e^k}}{4} = \frac{M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k}}{2},\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\ \\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ df\cdot df = \sum_kQ_k(f,f)e^k &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)M^{i,j,k}e^k\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_k)(M^{i,i,k} + M^{j,j,k} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^k})e^k\\ = g^2 &= \sum_{i,j,k}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k}e^k \implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

Note : pour le cas monodimensionnel plat-tori ci-dessous, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ depuis $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$

Exemple ##

Laisser $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ être indexé, rang $n$ treillis de poids algébriques de Lie pour la représentation de l’espace quotient de $\frak{g}=\Reals^n$ en tant que champs vectoriels invariants de traduction (c’est-à-dire constants) sur lui-même, lorsque $\R^n$ est également considéré comme $\frak{g}$Le groupe Lie associé sur un tore défini par $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. Ces poids définissent des ascenseurs intégrables de 1 forme sur le tore qui s’intègrent aux fonctions linéaires $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ comme son groupe Lie (couvrant le torus). Ces fonctions linéaires peuvent alors être uniformément rajustées (par $2\pi \sqrt{-1}$) et exposée pour former des caractères multiplicatifs qui descendent pour former une base orthonormée de $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$, avec mesure Lebesgue (Haar) $dx$

De plus, cette base permet simultanément de diagonaliser le Laplacien du tore plat parce que le Laplacien est l’image d’un élément Casimir quadratique symétrique, défini négativement sous cette représentation d’espace quotient (opérateur différentiel linéaire à coefficient constant) de l’algèbre enveloppante universelle. Par conséquent, ses valeurs propres sont en proportion constante (de $4\pi^2$

Nous examinons actuellement la base ci-dessus

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

être notre base Fourier applicable au théorème des fonctions propres orthonormales (caractère multiplicatif) (de cette représentation quotient de l’élément Casimir euclidien (négatif) correspondant directement à $\set{\lambda_i}$. Par les hypothèses de notre théorème, nous devons avoir $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$

Maintenant nous pouvons calculer

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Comme cette équation est linéaire sur le treillis de poids $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$, seulement un $L^2$ carte orthonormée de base de fonction propre qui est induite à partir d’une carte linéaire inversible conservant le volume entre deux de ces rangs indexés $n$ les grilles de poids conserveront le jeu de données indexé “algébrique/topologique” $\set{M^{i,j,k}}$

Toutefois, afin d’appliquer notre Théorème, il est essentiel qu’une telle carte linéaire $B$ être $B\in O(n,\Reals)$ sur le treillis de poids, parce que l’induit $L^2$

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

Il faut aussi préserver les invariants “analytiques” — la figure induite par l’élément Casimir $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$

Ce compte de représentation-théorique [AK01] est exactement équivalent au développement antérieur de construence de réseau [NRR22] Traditonalement utilisé pour délimiter les classes d’isométrie de tori plat. En effet, la matrice transpose d’une telle carte linéaire $B\in O(n,\Reals)$, comme décrit dans le paragraphe précédent, est la contrevariante isométrie riemannienne entre les tori, comme prévu par l’application du Théorème de représentation de Gelfand-Naimark au cours de la Preuve de notre Théorème.

Nb d’accusés de réception

La recherche originale a été financée en partie par un gracieux James Simons Research Award en 1995-1996, et le généreux soutien d’un Alfred P. Sloan Dissertation Fellowship en 1996-1997 à l’Université de Stony Brook.

L’auteur tient également à remercier Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri et surtout Leon Takhtajan pour leur assistance technique et leur examen dans la préparation de ce manuscrit en vue de sa publication.