已結、負曲線的隨機追蹤公式

我的 *1997 Ph.D. 論文 * 作為部落格項目。

僅有一個 n 維度 Wiener 測量$\mu$

布朗運動的順時針線性近似值

開發地圖 DM

Cameron-Martin 公式

熱力核心為水線測量的放射性二極體衍生物

表示法

$$M 是負面曲線\dim=n 已關閉 Riemannian 手持裝置與度量g，度量連線\nabla，與 (非負數) 拉普拉斯 - 貝特拉米運算子\Delta_M繁體中文字母k_{-t\Delta/2}(x,y) 代表熱核心開啟M$$

因此$k_{-t\Delta/2}(x,x) = dDM_\mu/\sqrt{g}dx$ 是 N 維能測量的 Radon-Nicodym 衍生物$\mu$，僅限於拉回連續迴圈空間$\Omega_t(M)\vert_x$，通過韋納測量的逆向 - 保存開發地圖$DM$。 備註：* $DM^{-1}\Omega_t\vert_x$

$$\Omega_t^0 是連續可約迴圈所在的空間M$$

$$\Omega_t[\gamma] 是連續迴圈所開啟的空間M 閉合大地同位素\gamma繁體中文字母\gamma_0$$

$$DM^{-1}\Omega_t^0[\gamma] 是連續可承包迴路的優先要點M 寫成偏移同位素\gamma(s) = DM(\frac{s\ell(\gamma)}{t}\vec{e}^1), 0\leq s \leq t繁體中文思考 Horocyclic 座標— 每一個光纖做為週期性幾何球體的幾何限制S_{\gamma_0(s)}^{n-1}(k\ell(\gamma_0)), 0\leq s \leq t, k\rightarrow\infty，向量化為一般組合\gamma_0繁體中文我們的曲率約束會影響每個曲率循環座標\gamma_0 存在為平滑，DM- 相容的座標映射\Omega_t^0[\gamma]$$

現在$\vec{x}(\tau)+\ell(\gamma)\vec{e}^1$ 是「偏移」的 * 未開發 * 端點 * 閃爍的地理 * 同位素$\gamma: DM(\vec{x}(\tau) + \frac{s\ell(\gamma)}{t}\vec{e}^1), 0\leq s \leq t$繁體中文曲線是週期性的期間$\ell(\gamma_0)$，然後重新審視其沉沒的起點$DM(\vec{x}(\tau))$ 時間$t$，計算其正向導數$J=\lim_{s\uparrow t}DM^\prime\vert_{DM(\vec{x}(\tau) + \frac{\ell(\gamma)s}{t}\vec{e}^1)}$ 牽引為線性自動型態$T_{DM(\vec{x}(\tau))}M$繁體中文重要的是，$J_{DM(\vec{x}(\tau)+\ell(\gamma)\vec{e}^1)}$ 可以使用 Jacobi Fields 建構，自$DM$ ** 是 ** 中任何連接直線系列的 (重複) 指數映射$\Reals^n$繁體中文我們將學習$1/2 \int_0^t \bra{dX}\ket{dX}_s$

$$\begin{aligned} X_t &= X_0 + \int_0^t \sqrt{J}_{X_t} dB_t \\ \end{aligned}$$

$Z_{-\Delta/2}(t) := \int_M k_{-t\Delta/2}(x,x) \sqrt{g}dx = \sum_{j=0}^\infty e^{-\lambda_i t/2}$ 是熱核心的追蹤。

最後讓我們從 Radon-Nicodym 衍生工具中定義下列項目：

$$\begin{aligned} DM_*\mu(\Omega_t) &:= \int_M DM_*\mu(\Omega_t\vert_x \sqrt{g}dx)\\ DM_*\mu(\Omega^0_t) &:= \int_M DM_*\mu(\Omega^0_t\vert_x \sqrt{g}dx)\\ DM_*\mu(\Omega_t[\gamma]) &:= \int_M DM_*\mu(\Omega_t[\gamma]\vert_x \sqrt{g}dx) \\ \end{aligned}$$

隨機追蹤公式

$$\begin{aligned} Z_{-\Delta/2}(t) = DM_*\mu(\Omega_t) &= DM_*\mu(\Omega^0_t) + \sum_{\set{\gamma}} DM_*\mu(\Omega_t[\gamma]) \\ DM_*\mu(\Omega_t^0) &\approx_{t\rightarrow 0} (2\pi t)^{-n/2}(vol(M) + t/6\int_M K(x)\sqrt{g} dx + O(t^2))\space \small\text{by McKean-Singer}\\ DM_*\mu(\Omega_t[\gamma]) &= e^{-\ell(\gamma)^2/2t}\int_M DM_*\mu(e^{\bra{J_BB_t}\ket{B_t}} _t \Omega_t^0[\gamma]\vert_x\sqrt{g}dx)\space\small \text{ by Cameron-Martin}\\ &= e^{-\ell(\gamma)^2/2t}\int_{T_{\gamma_0}M} E(e^{J_B}_{t} | \Omega_t^0[\gamma]\vert_{x(\tau)})dx^1(\tau)\dots dx^n(\tau) d\tau\\ \frac{dDM_*\mu(e^{-\ell(\gamma)x^1(t)}\Omega^0_t[\gamma])}{dx^1(\tau)\dots dx^n(\tau)d\tau}\vert_{\vec{y(\tau)}}&\approx_{t\rightarrow 0} \frac{e^{-\bra{|I-J_{DM(\vec{x}(\tau),\vec{y}(\tau))}\vec{x}(\tau)}\ket{\vec{x}(\tau)}/2t}}{(2 \pi t)^{(n+1)/2}}(1+O(t^2))\small \text{ semi-classical limit}\\ \text{Horocyclic coordinates}: z(\tau) - x(\tau) &= x + \ell(\gamma)\vec{e}^1\implies\\ \int_{M/S^1\oplus S^1}k_t(x,z) dx &=\lim_{j\rightarrow\infty}\frac{e^{-\ell(\gamma)^2/2t}}{\sqrt{2\pi t}}E(e^{\bra{J_{X^j_t}\vec{x}}\ket{\vec{x}}})\\ &=\lim_{j\rightarrow\infty}\frac{e^{-\ell(\gamma)^2/2t}}{\sqrt{2\pi t}}\int_{M^j/S^1\oplus S^1}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}^{jn}\det|I-J_{X^j}|}e^{-\ell(X^j)^2/2t}X^{j}\\ \end{aligned}$$

近似與塞爾伯格追蹤公式

於$\dim = 2$ 恒曲率$-\kappa^2$

$$\begin{aligned} \sqrt{J_{\vec{x}, \vec{y}}}dRB&= \begin{pmatrix} e^{\kappa d(\vec{x},\vec{y})/2} && 0\\ 0 && e^{-\kappa d(\vec{x},\vec{y})/2}\\ \end{pmatrix} \implies&\\ \bra{\sqrt{J}dRB}\ket{\sqrt{J}dRB} &= e^{\kappa \ell(B)}dRB_1^2 - e^{-\kappa \ell(B)}dRB_2^2\\ \int_0^t \bra{\sqrt{ J}dB}\ket{\sqrt{ J}dB} &= e^{\kappa\ell(\gamma)} - e^{-\kappa\ell(\gamma)}\\ \det I-J_{\gamma} &= (e^{\kappa\ell(\gamma)/2}- e^{-\kappa\ell(\gamma)/2})^2 \end{aligned}$$

常數超過$(\vec{x},\tau)$，因此接近$\approx_{t\rightarrow 0}$

$$\begin{aligned} DM_*\mu(\Omega_t[\gamma]) &= \frac{e^{-\ell(\gamma)^2/2t}\ell(\gamma_0)}{\sqrt{2 \pi t}(e^{\kappa\ell(\gamma)/2} -e^{-\kappa\ell(\gamma)/2})}\\ \gamma(t) = \gamma_0(kt)\implies \\ &=\frac{e^{-k^2\ell(\gamma_0)^2/2t}\ell(\gamma_0)}{2\sqrt{2\pi t}\sinh k\kappa\ell(\gamma_0)/2}\\ \end{aligned}$$

於$\dim=3$ 雙曲操作案例，我們使用複雜座標$(z,\bar{z})$

$$\begin{aligned} J_{DM(\vec{x}+(\tau+\ell(\gamma))\vec{e}^1)} &= \begin{pmatrix} e^{\kappa\ell(\gamma)} && 0 && 0\\ 0 && e^{-\kappa\ell(\gamma)+i\theta(\gamma)} && 0 \\ 0 && 0 && e^{-\kappa\ell(\gamma)-i\theta(\gamma)} \\ \end{pmatrix}\\ \implies& \\ \det I-{\perp_{\gamma_0}}^k &= |1-e^{-k(\kappa\ell(\gamma_0)-i\theta(\gamma_0))}|^2 \end{aligned}$$

以及自$z=x^2+ix^3 \implies d\bar{z}\wedge dz= (dx^2-idx^3)\wedge(dx^2+idx^3) = 2idx^2\wedge dx^3$

$$\begin{aligned} \kappa &= 1 \implies \\ DM_*\mu(\Omega_t[\gamma]) &=\frac{e^{-k^2\ell(\gamma_0)^2/2t}\ell(\gamma_0)}{2\sqrt{2\pi t (1-e^{-k\ell(\gamma_0)})}|e^{k\ell(\gamma_0)/2}-e^{-k(\ell(\gamma_0)/2-i\theta(\gamma_0))}|}\\ \end{aligned}$$