Eigenfunctions와 스펙트럼 기하학의 삼중 제품

작성자

Joe Schaefer

전용

종료 가을

요약

Geometric Analysis, Partial Differential Equations 및 Abelian의 기본 기법 사용 $C^*$ Algebras, 우리는 소설, 아직 익숙한, 글로벌 기하학적 차별을 발견 — 즉 Laplace-Beltrami 연산자의 eigenfunctions의 삼중 제품의 통합 세트, 정확히 어떤 isospectral 폐쇄 Riemannian 매니폴드 isometric 특징.

소개

폐쇄 Riemannian 매니폴드 $(M,g)$비 아이소메트릭의 클래스를 특징으로 하는 isospectral 매니폴드는 역방향 문제의 한 유형입니다. [DH11] Spectral Geometry의 약어입니다. Naïvely는이 클래스가 항상 비어있을 것이라고 추측 할 수 있습니다. 그러나 학술 문헌은 수십 년 된 반예의 특정 쌍의 구조로 풍부합니다 : 1964 년 John Milnor의 16 차원 쌍의 비 기하학적, isospectral 플랫 토리와 함께 시작합니다. [JM64]및 지속 [CS92] Alexander Schiemann의 1993 년 박사 학위 논문에서 평평한 토리의 일반적인 차원 특성화로 [AS94] — 컴퓨터 지원 검색으로 다시 작성 $\dim = 3$ 케이스. 전체 플랫 토리 역사에 대한 현대적인 조사가 나타납니다. [NRR22].

길을 따라 더 정교하고 비 유클리드 대칭 커버 공간으로 통찰력있는 오프 슈트했다; 같은 isospectral, 비 아이소메트릭을 건설 “듀엣” Nontrivial 곡률 텐서 (및 차원 2에 있는 그들의 스펙트럼 결정된 오일러 특성)를 포함하는 [MS67]이 노력의 주요 예는 Toshikazu Sunada의 1985 년이었습니다. [TS85] 범용 커버 공간 프레임 워크의 발명, 그는 차원 2 및 3에서 쌍곡선 이불을 건설하기 위해 같은 작업에 배치.

Inhomogeneous Riemannian metrics의 경우 Carolyn Gordon은 로컬 등각투영이 아닌 이불을 발견했습니다. [CG93].

많은 관련 영역에서 작업이 계속됨 [DH11]isospectral, non-isometric 매니폴드 클래스의 위상적 특성을 결정하는 것과 같이, 일반적으로 (비어 있음) [ST80], 유한 [AS94], 엄밀한 [GK80]및 Compact [GZ97]) Riemannian 메트릭의 다른 모듈리 공간의 하위 집합으로.

What we offer in this article is a new perspective on a familiar tool: 고유 함수의 쌍방식 제품의 색인 푸리에 계수를 이산으로 “대수/위상 차별” 기존 비연속 보완 “분석 불변성” — Laplace-Beltrami 연산자의 음이 아닌 스펙트럼(여기서는 Laplacian이라고 함) $ℋ = L^2(M,g)$. 결합, 우리는 쌍이 제공하는 것을 관찰 “이산 전역 기하학적 표현” isospectral의 isometry 클래스의, 닫힌 Riemannian 매니폴드.

이것은 연구 논문이 아니라 기하학적 분석, 표현 이론에 익숙한 고급 수학 학생들을위한 주제에 대한 소개입니다. $C^*$ 대수학

결과

인식하는 것이 중요합니다. $M^{i,j,k}$ 기초가 변하지 않습니다 :이 정리의 증거 이후에 상세하게 논의 된 자연적 단일 기본 변화 조치가 있습니다. 이 토론에는 일반적인 추측을 형성할 수 있는 특정 기본 변이 단수 값 세트가 포함되어 있으며, 단수 값의 정렬된 세트가 isospectral 매니폴드 세트를 완전히 특징으로 한다고 주장합니다.

일반 추측의 절반 정도의 충분성에 상관없이, 필요성은 항상 그렇습니다. 즉, 이러한 단일 값 모음은 $M^{i,j,k}$ 그리고 모든 eigenspace 트리플에 관련된 Riemannian invariants의 새로운 세트입니다.

미래의 연구를 위해 앞으로의 노력은 이러한 기본 쌍을 찾거나 그러한 쌍이 전혀 존재하지 않는다고 판단하는 데 있습니다. $M^{i,j,k}$ 증거로. 그러나이 논문은 그 표적 전면과 중심을두고 : 우리는 eigenfunctions의 제품에 대한 계산적으로 추적 가능한 선형 대수학 질문에 스펙트럼 이론의 분석 기하학 질문을 줄이려고합니다.

대칭은 계산적으로 추적 가능한 경우에 중요한 역할을 합니다. [TF17] [LS18] [PS94]우리의 평평한 토리에 적절하게 묘사 된 예제 아래. 그러나, 우리의 접근 방식의 강점은 아마도 가장 적은 수의 Riemannian 대칭을 가진 매니폴드의 경우 명백하게, 이는 일반적인 경우입니다. 이 경우 다음과 같은 기능을 제공합니다.

 

의 연구에 대한 동기 $\set{M^{i,j,k}}$ bilinear 곱셈 연산자의 역할에 대한 연구에서 느슨하게 파생됨 $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ 정점 연산자 대수학의 정의에서 [FBZ04] Chiral Conformal Field Theory에 대한 리뷰 보기 여기 $V$ 미국의 벡터 공간과 $V((z))$ 공식 Laurent 시리즈의 공간입니다. $z$ 계수 포함 $V$. 시작일 $V$ 종종 전통적인 푸리에 시리즈 orthonormal 기초와 힐베르트 공간으로 장착 제공, 색인 $Y$ 다음의 푸리에 기준 요소 사용 $V$ 이보다 약간 더 많이 관련된 $M^{i,j,k}$ 사례는 여기에서 연구되었지만 정신적으로는 상당히 비슷합니다. 그러나 자세한 비교는 이 문서의 범위를 벗어납니다.

지도를 고려할 때

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

이 논문은 닫힌 Riemannian 매니폴드 (도메인에 Riemannian isometry까지)에 대한이지도의 주사를 설정합니다. 메트릭의 일부 모듈 공간 내에서 해당 이미지(및 역)를 설명하기 위해 이러한 기술을 적용하는 추가 결과가 이제 막 시작되었습니다. [AA25]. 그곳에서 Anshul Adve는 Conformal Field Theory의 동일한 구조 상수를 사용하여 컴팩트하고 쌍곡선 2-orbifolds의 단위 접선 공간을 엄격하게 해결합니다.

일부 이미지는 여기에 도움이 될 수 있습니다. 수정하는 경우 $(M,g)$ 의 궤도를 보라. $\set{M^{i,j,k}}$ 스펙트럼 보존 기본 변경 단위 변환 $\set{e^i}$우리는 다른 isospectral의 궤도를 봅니다 $(M,g)$ 쌍은 형상 클래스를 따라 이 맵의 이미지를 분할합니다.

마지막으로, 우리는 일반적인 Riemannian 미터법 사례가 완전히의 연구에 의해 특징임을 증명 “대각선” $\set{\lambda_i, M^{i,\bar i,k}}$.

이러한 결과는 1997년 MSRI의 저자가 비슷한 제목으로 이야기하는 동안 처음 입증되었지만 처음 게시된 형식으로 여기에 나타납니다.

예비

이제 $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ 위와 같이, For $f \in C^\infty(M)$ 및 $i \geq 0$ Fourier 계수를 확인합니다.

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x) \end{aligned}$$

이후 $f$ Fourier Series의 급속한 융합으로 고유하게 표현할 수 있습니다($\Delta_M$특정 Sobolev 임베딩 [MT13] [RS75]Weyl’s Asymptotic Law에 대한 리뷰 보기 [HW11]즉, 합계의 조건이 $o(i^{-n})$ 일일하게 $x$ [LH68], $\forall n\in\N$그런 다음 우리는 그것을 볼 수 있습니다. $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, 점방식 제품의 푸리에 계수 $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ 다음과 같음

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x) \end{aligned}$$

다변량 다항식(multivariate polynomial) $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (매끄러운 기능에) 명령 모든 스펙트럼 보존 $\Delta$-eigenfunction orthonormal 기초 지도 $\vec{F}$ 보존하는 $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

또한 $A\subset M$ Borel-measurable, 그 후에 위의 결과는 characteristic 기능에 대한 pointwise를 유지합니다 $A$ 경계를 제외한 모든 곳 $A$: if $f = f^2$ 및 $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

그리고 독창성으로, 우리는 다음과 같은 정체성을 가지고 있습니다.

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

이는 위와 같은 기준 맵이 특성 함수( $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$() 측정 보존 방식으로 특징적인 기능.

이러한 계산의 요점은 $\set{M^{i,j,k}}$ 특성 포인트 방식 곱셈 연산자의 조화 분석 $C^\infty(M)$, 아벨의 조밀한 subalgebra입니다 $C^*$ 대수학 $C(M)$Stone-Weierstrass theorem에 의하여

위 합계의 급속한 융합을 위해 $M^{i,j,k}$, eigenfunctions의 제품은 매끄럽다는 것을 주의하십시오, 그래서 이 푸리에 계수는 위와 같이 붕괴합니다 (각 색인에서). 자세한 내용은 2022년 엠밋 와이먼(Emmett Wyman)의 고유값에 대한 삼각형 불평등과 관련된 계수를 참조하세요. [EW22].

Note: 우리는 항상 추측 할 수 있습니다.

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

여기서 $\delta_i$ 크로네커 델타 Kronecker delta 시작일 $vol(M)$ 스펙트럼 불변량 Spectral Invariant [HW11]이 정보는 이미 isospectrality 고려 사항에서 사용할 수 있습니다.

정리 증명

필요한 경우, $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ 닫힌 Riemannian 다기관 사이 isometry가 되고, 표적으로 eigenfunctions의 정형 기초를 두십시오 $L^2(N,h)$ be the pull-back을 통해 $F$ 브랜드명 상품명 The orthonormal basis $\set{e^i}$ 켜기 $(M,g)$ 위. 시작일

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

우리는 필연적 인 주장을 가지고 있습니다. $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

충분성을 위해, 우리는 지금 선형, bijective orthonormal eigenfunction 기초 지도를 고려합니다 $\vec{F}$ 시작일 $C^\infty(M)$ 종료 $C^\infty(N)$ 의 계산에서 예비 위, $\vec{F}$ 매끄러운 기능을 위해 점방식 제품 보존(확장 시 특성 기능 보존) $L^2(M,g)$상기 전제는 The premise that $\set{M^{i,j,k}}$ 이 지도 아래에는 변함이 없다.

렘마

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ 유니폼 규범을 유지합니다.

렘마 증명

허가 $\set{a_i}$ be a smooth partition분할 of unity단일 on $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

따라서 $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ 크로네커 델타(Kronecker delta)

지배적 컨버전스 정리(dominated convergence theorem,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

각 분리 하위 세트에 대한 긍정적 측정의 특성 함수입니다. $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. 이것은 Lemma가 각각에 대해 입증되었음을 의미합니다. $a_j$, 긍정적인 측정을 가진 세트의 제한 특성 기능이 보존되기 때문에, 따라서 모든 것과 같이 획일한 규범 1이, $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$그림 (6)

일반성 손실 없이 원활한 통합 분할에 대해 표시된 특수 사례 결과를 적용할 수 있습니다. $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$여기서 $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ 렘마는 긍정적 인 척도를 가지고 있으며, 렘마는 전체적으로 입증되었습니다.

시작일 $\set {\bar e^i}$ 이것은 또한 Fourier의 기초입니다. $L^2(M,g)$방정식 (4)에서 분명하다. $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. 즉, 고밀도 집합에서 $C(M)$ (그리고 $C(N)$), 우리는 설치했습니다 $\vec{F}$ 아벨의 isomorphism $C^*$ algebras, 따라서 isomorphism의 확장 될 수있다 $C(M)$ 및 $C(N)$ 같은 범주에서.

이제 우리는 Gelfand-Naimark-Segal Representation Theorem (in contravariant functor form)을 unital Abelian에 적용합니다. $C^*$ 대수학 [JC19] 이 동형성을 동형성(homeomorphism)으로 표현하기 $F$ 사이 $N$ 및 $M$. 그것은 매끄러운 기능에 bijective이기 때문에, 그것 또한 매끄럽습니다.

현재로서는 diffeomorphism $F$ eigenvalues 및 eigenfunctions 보존 (가설에 의해) $\vec{F}(f) = f\circ F$), 그것은 부드러운 기능에 라플라시안을 보존해야합니다. 따라서 동일한 타원 연산자의 기본 기호도 보존해야 합니다. [MT13]. 라플라시안의 주요 상징은 단순히 Riemannian 메트릭을 문제의 다양성에 표현하는 또 다른 수단입니다.

이것은 정리의 증거를 완성합니다.

코롤러 토론

대상 $\set{M_0^{i,j,k}}$ 및 $\set{M_1^{i,j,k}}$ 기본에 대한 두 개의 삼중 제품 세트를 나타냅니다. $\set{e_0^i}$ 및 $\set{e_1^i}$의 Let $z_i \in U_1$ 다음과 같이 하십시오. $U_1^\infty$ 이러한 orthonormal 기초에 행동 $\set{e_1^i}$. 그러므로 우리는 선택할 것이다. $z_i$ 이렇게 $\set{z_ie_1^i}$ 수율 $\set{M_0^{i,j,k}} = \set{z_i z_j \bar z_kM_1^{i,j,k}}$.

이게 왜 케이스인가요? 일반적으로, eigenfunctions의 가능한 직교 기지의 공간에 작용하는 대칭 그룹은 단일 연산자의 공간입니다 $U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ 프로젝션과 함께 $P_{\mathscr V_\lambda}$ 유한 차원의 eigenspaces $\mathscr V_{\lambda}$ 각 개별 고유 값과 연관됨 $\lambda$ 라플라시안 The Laplacian 따라서

$$\begin{aligned} P_{\mathscr V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathscr V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

의 이미지입니다. $M^{i,j,k}$ 아래 $U$기준 작업 $e^i \mapsto U(e^i)$.

이제 Corollary 2의 조건 하에서, 각각의 $\mathscr V_\lambda$ 1차원 벡터 공간 $\Complex$그러나 그것은 또한 그들이 하나의 차원 벡터 공간을 의미 $\Reals$, 따라서 전체 다중 대칭 그룹은 $O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

일반적으로 연관된 필요 조건 “제품 가치 계약 관련” 그저 그렇게 될 뿐 “선형 맵의 정렬된 단수 값 세트(다중성으로 계산됨) 보존 $\mathscr V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathscr V_{\lambda_j}, \mathscr V_{\lambda_k})$ 정의자 $\set{M^{i,j,k}}$.” 여기에 내부 제품 $A,B \in Hom(\mathscr V_{\lambda_i}, \mathscr V_{\lambda_j})$ 다음과 같음 $tr (B^*A)$. 정의상, 이러한 단수값은 단일 변환의 직접 합계에서 불변합니다. $\mathscr V_\lambda$.

multiplicity-1 스펙트럼 케이스에서, 단수값의 완전한 세트는 단순히의 절대값의 세트이다 $M^{i,j,k}$ 이것은, 우리는 여전히 추측, 완전히 이러한 isospectral 매니폴드의 isometry 클래스를 특징. 이 추측과 관상 2 사이의 주요 관계는 방정식(23)을 참조하십시오. 누락 된 것은 절대값이 동의하면 매니폴드가 아이소메트릭이라는 충분한 인수입니다. 즉, 방정식 (23)의 LHS 요약에서 기지 사이에 가능한 기호 변경 취소를 제거하기 위해 인수가 필요합니다.

우리는 일반 추측이 사실 (다중성-1 스펙트럼 케이스 외부)을 가지고 있다는 것을 훨씬 덜 확신합니다. 왜냐하면 그것은 명백한 Sunada 건설을 통해 반예 (충분성)를 생산할 수 있기 때문입니다.

인덱스 표기법으로 인해 상황이 난독화되는 경우 이러한 기본 독립적 설명이 도움이 될 수 있습니다. 테이크아웃 $v_{\lambda} \in \mathscr V_{\lambda}$ 표현식을 고려하십시오.

$$P_{\mathscr V_\gamma}(v_\alpha v_\beta).$$

각각 $\mathscr V_\lambda$ 유클리드 공간(Euclidean space)은 유클리드 공간이다. 모두 $M^{i,j,k}$ 는 이 기본 독립적 표현식의 기본 좌표를 제공합니다. 시작일 $1 = \oplus_\lambda P_{\mathscr V_\lambda}$Theorem의 말에 따르면, 상기 표현은 매니폴드가 아이소메트릭인 경우에만 매니폴드 사이에 동일성적이며, 문자 그대로 아무도 충격을 받지 않아야 한다. 이러한 추측의 충분성 절반은 주로 이러한 표현식을 단수 값 분해로부터 순전히 재구성하는 것과 관련된 조합 문제입니다.

그러나 이러한 기초 불변성은 두 개의 등각성 매니폴드가 등각이 아님임을 증명하는 것과 관련된 더 복잡한 사례를 해독하는 데 유용할 수 있으며, 이는 해당 두 기준 간에 단수 값이 동일하지 않음을 나타냅니다.

옆으로

조밀한 거짓말 그룹의 표현 이론 $G$ 방정식과 연구에서 명백한 라플라시안 *irreducible *표현을 취합니다 $\Phi^{(\alpha)} \in Hom(G,U(\mathscr V_\alpha))$ Hilbert Space Decomposition 부근의 호텔 $L^2(G,dg)$ (여기서) $dg$ 은(는) 정규화된 Haar 확률 측정입니다. $G$Peter-Weyl Theorem에서 언급 한 바와 같이, 그리고 거짓말 이론의 필수 유물로서 위의 표현에서 그들의 상호 작용을 존중 (불규칙의 텐서 제품의 irrep 분해를 통해) [AK01]. 호환 Riemannian 기하학은 보편적 인 봉투 대수학의 중심에 놓여있는 사분면 Casimir 요소의 편리한 선택에 의해 생성되며, 이는 irrep 매트릭스 계수 분해보다 덜 중요합니다. $L^2(G,dg)$ 그 자체. 그들의 스펙트럼 분해는 연관된 Casimir 요소가 각 irrep의 매트릭스 계수에 상수이기 때문에 이러한 직교 기준 요소의 (적어도 편리한) 재조립입니다.

위너스 $3j$ 기호 $SU(2)$ 추가 학습을 위한 주요 사례 — 우리는 우리의 일반적인 건설을 그룹 매니폴드로 적용하자. 모든 유한 차원의 환원 불가능한 단일 표현 $SU(2)$ 음이 아닌 반정수로 레이블 지정됨 $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$. 글쓰기 $\mathscr V_j$ 대상 $(2j+1)$이 표현이 작동하는 -차원 공간입니다. 표준 직교 기준 $\mathscr V_j$ 자기 기초 The Magnetic Base $\ket{j\ m}$ 포함 $m = -j,-j+1,\dots,j.$

방정식

$$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} :=(-1)^{j_1-j_2-m_3}\frac{1}{\sqrt{2j_3+1}}C^{j_3\ -m_3}_{j_1\ m_1,j_2\ m_2}$$

이 명령문은 $3j$ Clebsch-Gordan 계수의 상징 정의 $C^{j\ m}_{j_1\ m_1,j_2\ m_2}:=\bra{j_1\ m_1,j_2\ m_2}\ket{j\ m}$ 텐서 제품 표현을 분해합니다. $\mathscr V _{j_1}\otimes\mathscr V _{j_2}$ 모던 숫자 소프트웨어 라이브러리를 뒷받침하는 Racah의 공식과 같은 폼 표현식을 닫은 복구할 수 없는 구성 요소 [JF16].

A $3j$ 기호가 사라지지 않는 경우 $m_1+m_2+m_3=0$삼각형 불평등(Triangle Inequalities) $|j_1-j_2|\le j_3\le j_1+j_2$ 보류 및 $j_1+j_2+j_3$ 정수입니다.

컴팩트 그룹의 관점에서 $SU(2)$의 경우 $3j$ 기호는 삼중 텐서 제품의 고유(확장까지) 불변 하위 공간을 실현하는 (적절하게 정규화되고 단계적으로 진행되는) 끼워넣는 연산자입니다. $\mathscr V_{j_1}\otimes \mathscr V_{j_2}\otimes \mathscr V_{j_3}$ 해당 제품에 단순 표현이 포함되어 있는 경우 따라서 그들은 단일에 대한 세 가지 돌이킬 수없는 표현의 융합을위한 자연 “구조 상수”입니다.

이것은 삼중 제품 적분이 연주 한 rôle과 정확히 유사합니다. $M^{i,j,k}$ 에 Riemannian 매니폴드: 그들은 그 제품이 eigenbasis에서 다시 확장 될 때 eigenfunctions의 포인트 방식 제품의 구조 상수입니다. 그룹 내 $SU(2)$ 그 자체로, 이러한 통합은 단계별 제품의 $3j$-기호.

위트, Let $D^{j}_{m n}(g)$ 표준 Wigner $D$-functions (스핀의 irrep의 매트릭스 계수) $j$ 자기 정형외과(Magnetic orthonormal basis) $\ket{j\ m}$). 정규화된 하르 확률 측정과 관련하여 $dg$ 하나는 정확한 공식입니다. [VK88]

$$\int_{SU(2)} D^{j_1}_{m_1 n_1}(g)\, D^{j_2}_{m_2 n_2}(g)\, \overline{D^{j_3}_{m_3 n_3}(g)}\,dg = \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ n_1 & n_2 & -n_3 \end{pmatrix} \times (-1)^{m_3+n_3}.$$

(전체 위상 컨벤션은 일반적인 Condon-Shortley 요인에 의해 조정될 수 있습니다; 근본적인 점은 두개의 진짜의 제품으로 적분 인자 입니다 $3j$-기호.) Peter–Weyl theorem은 완전한 직교적 기초를 제공한다. $L^2(SU(2),vol(G)dg)$ 다시 정규화된 행렬 계수에 의해 주어지는:

$$e^{j,m,n}(g):=\sqrt{\frac{2j+1}{vol(G)}}\ D^{j}_{mn}(g),$$

인덱스가 실행되는 위치

$$j=0,\tfrac12,1,\tfrac32,\dots,\ m,n=-j,-j+1,\dots,j.$$

당연히 Cartan-Killing Casimir Laplacian의 밑에, $\Delta e^{j,m,n} = \lambda_j e^{j,m,n} = j(j+1)e^{j,m,n}$, $vol(G)=2\pi\ vol(S^2) = 8\pi^2$ 그분께서 말씀하시기를, 그분의 말씀은 $\sqrt g dx = 8\pi^2 dg$. 정리의 규약에 충실하면서 두 방정식을 결합하면 명시적 표현을 얻을 수 있습니다.

$$\begin{aligned} M^{(j_1 m_1 n_1),(j_2 m_2 n_2),(j_3 m_3 n_3)} &= \sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}{8\pi^2}}\\ &\ \times \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ n_1 & n_2 & -n_3 \end{pmatrix} (-1)^{m_3+n_3}. \end{aligned}$$

그러므로 우리는 Riemannian Geometry of $SU(2)$ Cartan-Killing Casimir에 의해 유도 된 것은 우리의 증강 스펙트럼 데이터를 사용하여 캡처 할 수 있습니다. $\set{\lambda_i, M^{i,j,k}}$에서 단수 값 Riemannian invariants는 방정식에서 명시적으로 계산 할 수 있습니다 :

$$\sigma(j_1,j_2,j_3)=\sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}{8\pi^2}}\cdot\frac{1}{2j_3+1}=\sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)}{(2j_3+1)\ 8\pi^2}},$$

삼각형 불평등과 패리티 조건이 충족될 때마다 $j_1, j_2, j_3$, 배수 1; 및 기타 모든 단수 값 0. 계산은 다음과 같은 관찰에서 나옵니다. $M^{i,j,k}$ 왼쪽 / 오른쪽 순위 1 intertwining 연산자의 텐서 제품으로 분해, 각각 힐베르트 - 슈미트 규범 $1/\sqrt{2j_3+1}$ (정의에 의해), 그래서 그것의 비 영 단수 값, 위의 정의에 따라, 그 힐베르트 - 슈미트 규범의 피터 - 웨일 철수 제품입니다. 하지만 이후 $SU(2)$ Cartan-Killing Metric의 isometric은 기존의 동종 미터법의 4배로 $S^3$및 $S^n, n\leq 6$, 각 isospectral 다기관 isometric [ST80] (열 커널의 흔적의 짧은 시간 asymptotics에서 일정한 단면 곡률 측정 단위에 아름다운 감소), 단수 값의이 계산은 주로 학문적이다 $SU(2)$.

동종 미터법 사례 이후 $n>6$ 현재 미정산 상태이며 동일한 Clebsch-Gordon 분석을 수행합니다. $SO(n+1)$ [BJK78] might 컴퓨터의 도움으로 스펙트럼 결정론에 대한 새로운 발견으로 이어질 수 있음 $S^n$ 단수 값 The singular values [M06].

소형 Abelian Lie 그룹의 경우 이러한 벡터 공간 $\mathscr V_\alpha$ 모두 다차원, 그래서 그들의 상황은 전적으로 다수성-1 라플라시안의 스펙트럼 분해와 유사합니다. 이에 대한 자세한 내용은 아래 예제를 참조하십시오.

Corollary 1로 돌아가면, 우리는 증거가이 의미를 확립하는 것을 포함합니다 :

$$z_k = M_0^{i,\bar i,k} / M_1^{i,\bar i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,\bar i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,\bar r,i}M_0^{s,\bar s,j}\bar M_0^{t,\bar t,k}}{M_1^{r,\bar r,i}M_1^{s,\bar s,j}\bar M_1^{t,\bar t,k}}\, .$$

우리는 어떤 주어진 것을 기대할 수 있습니다. $k>0$, $M_0^{i,\bar i,k}$ 동일할 수 없습니다. $0$ 모두 $i$일반적으로 참 조건이지만 아래 예제에서 다루는 플랫 토리 케이스와 같은 특정 경우는 거짓입니다. 이 상태를 보는 더 높은 수준의 방법은 그러한 희망 위반을 주목하는 것입니다. $k$ 아마 $\bar e^k$ 조정 맵의 커널에서 $[M^{i,\bar i,k}]^*$. 또한, Formula 대상 $z_k$ 둘 다 필요 $i$- 독립성 및 충분성, 기본 맵 설정 $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ 보존 $\set{M_0^{i,j,k}}$.

우리는 다음 수식 세트 아래에 Corollary 1 (효율성)의 증거를 스케치합니다.

그럼에도 불구하고 일부 관련 신원을 계산하여 일부 전염성이없는 미래의 연구자가 일반화 된 추측을 조사 할 수 있도록하십시오. 여기 $v\cdot w$ 코탄젠트 번들의 Riemannian 내부 제품입니다 :

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \text {So the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}.\\ \end{aligned}$$

코롤러 증거

Now consider the famous associativity relations from Conformal Field Theory:

$$\begin{aligned} e^ie^je^k = \sum_\ell\bra{e^ie^j}\ket{\bar{e^k}e^\ell}e^\ell &= \sum_{\ell,r} M^{i,j,r}\bar M^{\bar k,\ell,r}e^\ell\\ &= \sum_{\ell,r} M^{i,k,r}\bar M^{\bar j,\ell,r}e^\ell\ \therefore\\ i = \bar j, \ell = k\text{ and relabeling } \implies \\ \sum_r M^{i,\bar i,r}\bar M^{j,\bar j,r} &= \sum_r |M^{i,j,r}|^2 \end{aligned}$$

Corollary 1은 다음과 같은 사실입니다. $z_k\in U_1$ 잘 정의되어 있습니다(즉, $i$- 제품에 대한 가설에 의해 변함), 그리고 대수, 경계 삼선 연산자에 의해 정의 사전 관찰 $z_iz_j\bar z_kM_1^{i,j,k}$ 및 $M_0^{i,j,k}$ 둘 다 연관되어 있고, 조밀한 eigenfunctions의 절대값의 제곱에 의하여 점방 함수 곱셈에 동의한다 $\mathscr H$. 설정 중 $\ker\ [M^{i,\bar i,k}]^* = 0$ 정확히 동일합니다. $\mathscr V$ 은(는) 생성된 닫힌 힐베르트 공간입니다. $\set{|e^i|^2}$및 $[M^{i,\bar i,k}]:\mathscr V\rightarrow \mathscr H$ 기본 변경 ID 맵입니다.

그들은 모든 곳에서 동의한다.

Corollary 2의 충분성은 Corollary 1의 사라지는 adjoint-map 커널 조건이 일반적으로 사실임을 지적함으로써 이어집니다. 만약 어떤 선택의 $i,j,k$, 제품 $M^{i,\bar i,k} \bar M^{j,\bar j,k}$ 기지 사이에 동의하지 않으면 모든 기지 쌍에 동의하지 않을 것입니다.

왜? 일반 매니폴드는 다중성-1 스펙트럼을 갖는 것으로 추정될 수 있기 때문에, 이것은 전체 대칭 그룹을 $U_1^\infty$ 이 제품들은 불변성이며, Theorem 1과 모순된다. 추가 감소 $\Z_2^\infty$ 실제 값 기준은 제품이 실제로 평가되도록 보장합니다. 이것은 가설의 필요성을 확립하고 증거를 완성합니다.

또한, Corollary 1의 증거에 있는 인수는 매니폴드가 non-isospectral인 경우에도 유효하므로, 제품이 위의 일반적인 케이스에서 일치하는 경우에만 기본 맵을 diffeomorphism으로 나타낼 수 있습니다. 그런 다음 Isospectrality는 Riemannian isometry 인이 diffeomorphism과 동등하게됩니다.

이것은 Corollaries의 증거를 완성합니다.

예제

허가 $\set{\alpha_i} \subset \R^n$ 인덱스화, 순위 지정 $n$ 의 quotient 공간 표현을위한 거짓말 대수 중량의 격자 $\frak{g}=\Reals^n$ 번역 불변 (즉, 상수) 벡터 필드 자체로, 때 $\R^n$ 또한 다음과 같이 표시됩니다. $\frak{g}$’s associated Lie Group over a torus defined by 토러스 $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. 이러한 가중치는 선형 기능에 통합되는 토러스를 통해 1형식의 통합 가능한 리프트를 정의합니다. $\bra{x} \alpha_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ [중고] 리 그룹(Lie Group) 그런 다음 이러한 선형 함수가 균일하게 재조정될 수 있습니다. $2\pi \sqrt{-1}$) 및 의 직교적 기초를 형성하기 위해 내려오는 다수 문자를 형성하기 위해 지수화 $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$Lebesgue (Haar) 측정 $dx$.

또한,이 기초는 동시에 플랫 토러스의 라플라시안을 대각선화 때문에 라플라시안이 (일정한 계수 선형 미분 연산자) 보편적 봉투 대수의 몫 공간 표현 아래 대칭, 부정-무한 이차 카시미르 요소의 이미지입니다. 따라서 고유값은 일정한 비율( $4\pi^2$) 격자에서 각 캐릭터의 무게의 Casimir-element-determined-length-squared. non-degenerate negative-definite quadratic Casimir 엘리먼트의 어떤 선택이 (음수) 유클리드에 아이소메트릭 인 Riemannian Geometry를 생성한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

우리는 현재 위의 기준을 본다.

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\alpha_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

정형외과(멀티플릭티브 캐릭터) 고유 기능(이러한 네거티브 표현의 유클리드 카시미르 요소)의 Theorem-applicable Fourier base of orthonormal (multiplicative character) eigenfunctions (of this quotient representation of the (negative) 유클리드 카시미르 요소) directly corresponding to $\set{\alpha_i}$. 우리의 이론에 따르면, 우리는 $i < j \implies \lVert\alpha_i\rVert \leq \lVert\alpha_j\rVert$ (유클리드 표준과 함께)

이제 컴퓨트할 수 있습니다.

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \alpha_i + \alpha_j - \alpha_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

이 방정식으로 단지 무게 격자 자체에 의존, 그것은 orthonormal-basis-index invariant. 게다가, 그것은 only 무게 격자에 선형 변환의 밑에 invariant입니다 $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\alpha_i}$관련 리뷰: So only an… $L^2$ orthonormal eigenfunction base map 이러한 두 인덱스화 된 순위 사이의 볼륨 보존 반전 가능한 선형 맵에서 유도됩니다 $n$ 무게 격자는 지킬 것입니다 “대수학/위상학” 인덱스화된 데이터 집합 $\set{M^{i,j,k}}$ 불변.

그러나, 우리의 정리이러한 선형 맵이 필수적입니다. $B$ 다음 $B\in SO(n,\Reals)$ 무게 격자에, 때문에 유도된 $L^2$ 고유기능 기반 맵

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\alpha_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

또한 다음을 보존해야 합니다. “분석” 불변성 — Casimir-element 유도된 숫자 $\lambda_i = 4\pi^2\lVert\alpha_i\rVert^2$ 각 인덱싱된 중량, 즉 플랫 토리의 라플라시안의 개별 고유 값.

Milnor의 듀엣이 예시하는 것처럼 격자 가중치의 길이를 유지하는 맵을 갖는 것은 맵을 추론하기에 충분하지 않습니다. $SO(n,\Reals)$우리는 또한 지도가 격자 무게 각도를 보존한다는 것을 알아야합니다. 그러나 이것은 방정식 (22)에서 개발 된 공식의 결과입니다 :

$$-4\pi^2\bra{\alpha_i}\ket{\alpha_j}e^ie^j = de^i\cdot de^j = 2\pi^2\sum_k (\lVert\alpha_i\rVert^2 + \lVert\alpha_j\rVert^2 - \lVert\alpha_k\rVert^2)M^{i,j,k}e^k = 2\pi^2(\lVert\alpha_i\rVert^2 + \lVert\alpha_j\rVert^2 - \lVert\alpha_i + \alpha_j\rVert^2)e^ie^j\ .$$

이 분석에 대한 깔끔한 점은 우리가 토리에 Riemannian 기하학에 의해 유도되는지도없이 고유 값을 보존 격자 사이에 선형지도가 없다는 것을 입증했다. — 이론의 결과로서, 관련된 명시적 계산이 단순한 분극 ID이기 때문이 아니다.

이 표현 이론적 계정 [AK01] 격자 congruence의 이전 발달과 정확하게 동등합니다 [NRR22] 전통적으로 플랫 토리의 형상 클래스를 구분하는 데 사용됩니다. 사실, 이러한 선형 맵의 행렬 전치 $B\in SO(n,\Reals)$, 이전 단락에서 설명한 바와 같이, **는 Gelfand-Naimark-Segal Representation Theorem의 적용에 의해 제공 된 토리 사이의 논란 Riemannian 기하학입니다. 검증 우리의 정리.

승인

원래 연구는 1995-1996 년에 은혜로운 제임스 시몬스 연구 상 (James Simons Research Award)과 알프레드 P의 관대 한 지원에 의해 부분적으로 자금을 지원했다. Sloan Dissertation Fellowship 1996-1997 University at Stony Brook 부근의 호텔

저자는 또한 Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri, 특히 Leon Takhtajan에게 기술 지원 및 출판을위한이 원고의 준비에 대한 검토에 감사드립니다.