Eigenfunctions와 스펙트럼 기하학의 삼중 제품

작성자

Joe Schaefer

요약

Geometric Analysis, Partial Differential Equations 및 Abelian의 기본 기법 사용 $C^*$ Algebras, 우리는 소설, 아직 익숙한, 글로벌 기하학적 불변을 발견 — 즉 Laplace-Beltrami 연산자의 eigenfunctions의 삼중 제품의 통합 세트, 정확히 어떤 isospectral 폐쇄 Riemannian 매니폴드 isometric 특징.

소개

폐쇄 Riemannian 매니폴드 $(M,g)$비 아이소메트릭의 클래스를 특징으로 하는 isospectral 매니폴드는 역방향 문제의 한 유형입니다. [DH11] Spectral Geometry의 약어입니다. Naïvely는이 클래스가 항상 비어있을 것이라고 추측 할 수 있습니다. 그러나 학술 문헌은 수십 년 된 반예의 특정 쌍의 구조로 풍부합니다 : 1964 년 John Milnor의 16 차원 쌍의 비 기하학적, isospectral 플랫 토리와 함께 시작합니다. [JM64]및 지속 [CS92] Alexander Schiemann의 1993 년 박사 학위 논문에서 평평한 토리의 일반적인 차원 특성화로 [AS94] — 컴퓨터 지원 검색으로 다시 작성 $\dim = 3$ 케이스. 전체 플랫 토리 역사에 대한 현대적인 조사가 나타납니다. [NRR22].

길을 따라 더 정교하고 비 유클리드 대칭 커버 공간으로 통찰력있는 오프 슈트했다; 같은 isospectral, 비 아이소메트릭을 건설 “듀엣” Nontrivial 곡률 텐서 (및 차원 2에 있는 그들의 스펙트럼 결정된 오일러 특성)를 포함하는 [MS67]이 노력의 주요 예는 Toshikazu Sunada의 1985 년이었습니다. [TS85] 범용 커버 공간 프레임 워크의 발명, 그는 차원 2 및 3에서 쌍곡선 이불을 건설하기 위해 같은 작업에 배치.

Inhomogeneous Riemannian metrics의 경우 Carolyn Gordon은 로컬 등각투영이 아닌 이불을 발견했습니다. [CG93].

많은 관련 영역에서 작업이 계속됨 [DH11]isospectral, non-isometric 매니폴드 클래스의 위상적 특성을 결정하는 것과 같이, 일반적으로 (비어 있음) [ST80], 유한 [AS94], 엄밀한 [GK80]및 Compact [GZ97]) Riemannian 메트릭의 다른 모듈리 공간의 하위 집합으로.

What we offer in this article is a new perspective on a familiar tool: 고유 함수의 쌍방식 제품의 색인 푸리에 계수를 이산으로 “대수/위상 불변성” 기존 비연속 보완 “분석 불변성” — Laplace-Beltrami 연산자의 음이 아닌 스펙트럼(여기서는 Laplacian이라고 함) $ℋ = L^2(M,g)$. 결합, 우리는 쌍이 제공하는 것을 관찰 “이산 전역 기하학적 표현” isospectral의 isometry 클래스의, 닫힌 Riemannian 매니폴드.

결과

대칭은 계산적으로 추적 가능한 경우에 중요한 역할을 합니다. [TF17] [LS18] [PS94]우리의 평평한 토리에 적절하게 묘사 된 예제 아래. 그러나, 우리의 접근 방식의 강점은 아마도 가장 적은 수의 Riemannian 대칭을 가진 매니폴드의 경우 명백하게, 이는 일반적인 경우입니다. 이 경우 다음과 같은 기능을 제공합니다.

 

의 연구에 대한 동기 $\set{M^{i,j,k}}$ bilinear 곱셈 연산자의 역할에 대한 연구에서 느슨하게 파생됨 $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ 정점 연산자 대수학의 정의에서 [FBZ04] Chiral Conformal Field Theory에 대한 리뷰 보기 여기 $V$ 미국의 벡터 공간과 $V((z))$ 공식 Laurent 시리즈의 공간입니다. $z$ 계수 포함 $V$. 시작일 $V$ 종종 전통적인 푸리에 시리즈 orthonormal 기초와 힐베르트 공간으로 장착 제공, 색인 $Y$ 다음의 푸리에 기준 요소 사용 $V$ 이보다 약간 더 많이 관련된 $M^{i,j,k}$ 사례는 여기에서 연구되었지만 정신적으로는 상당히 비슷합니다. 그러나 자세한 비교는 이 문서의 범위를 벗어납니다.

지도를 고려할 때

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

이 논문은 닫힌 Riemannian 매니폴드 (도메인에 Riemannian isometry까지)에 대한이지도의 주사를 설정합니다. 메트릭의 일부 모듈 공간 내에서 해당 이미지(및 역)를 설명하기 위해 이러한 기술을 적용하는 추가 결과가 이제 막 시작되었습니다. [AA25]. 그곳에서 Anshul Adve는 Conformal Field Theory의 동일한 구조 상수를 사용하여 컴팩트하고 쌍곡선 2-orbifolds의 단위 접선 공간을 엄격하게 해결합니다.

일반 Riemannian 미터법 사건은 완전히의 연구에 의해 특징입니다 $\set{\lambda_i, M^{i,\bar i,k}}$.

이러한 결과는 1997년 MSRI의 저자가 비슷한 제목으로 이야기하는 동안 처음 입증되었지만 처음 게시된 형식으로 여기에 나타납니다.

예비

이제 $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ 위와 같이, For $f \in C^\infty(M)$ 및 $i \geq 0$ Fourier 계수를 확인합니다.

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x) \end{aligned}$$

이후 $f$ Fourier Series의 급속한 융합으로 고유하게 표현할 수 있습니다($\Delta_M$특정 Sobolev 임베딩 [MT13] [RS75]Weyl’s Asymptotic Law에 대한 리뷰 보기 [HW11]즉, 합계의 조건이 $o(i^{-n})$ 일일하게 $x$ [LH68], $\forall n\in\N$그런 다음 우리는 그것을 볼 수 있습니다. $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$, 점방식 제품의 푸리에 계수 $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ 다음과 같음

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x) \end{aligned}$$

다변량 다항식(multivariate polynomial) $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (매끄러운 기능에) 명령 모든 스펙트럼 보존 $\Delta$-eigenfunction orthonormal 기초 지도 $\vec{F}$ 보존하는 $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

또한 $A\subset M$ Borel-measurable, 그 후에 위의 결과는 characteristic 기능에 대한 pointwise를 유지합니다 $A$ 경계를 제외한 모든 곳 $A$: if $f = f^2$ 및 $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

그리고 독창성으로, 우리는 다음과 같은 정체성을 가지고 있습니다.

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

이는 위와 같은 기준 맵이 특성 함수( $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$() 측정 보존 방식으로 특징적인 기능.

이러한 계산의 요점은 $\set{M^{i,j,k}}$ 특성 포인트 방식 곱셈 연산자의 조화 분석 $C^\infty(M)$, 아벨의 조밀한 subalgebra입니다 $C^*$ 대수학 $C(M)$Stone-Weierstrass theorem에 의하여

위 합계의 급속한 융합을 위해 $M^{i,j,k}$, eigenfunctions의 제품은 매끄럽다는 것을 주의하십시오, 그래서 이 푸리에 계수는 위와 같이 붕괴합니다 (각 색인에서). 자세한 내용은 2022년 엠밋 와이먼(Emmett Wyman)의 고유값에 대한 삼각형 불평등과 관련된 계수를 참조하세요. [EW22].

Note: 우리는 항상 추측 할 수 있습니다.

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

여기서 $\delta_i$ 크로네커 델타 Kronecker delta 시작일 $vol(M)$ 스펙트럼 불변량 Spectral Invariant [HW11]이 정보는 이미 isospectrality 고려 사항에서 사용할 수 있습니다.

정리 증명

필요한 경우, $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ 닫힌 Riemannian 다기관 사이 isometry가 되고, 표적으로 eigenfunctions의 정형 기초를 두십시오 $L^2(N,h)$ be the pull-back을 통해 $F$ 브랜드명 상품명 The orthonormal basis $\set{e^i}$ 켜기 $(M,g)$ 위. 시작일

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

우리는 필연적 인 주장을 가지고 있습니다. $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

충분성을 위해, 우리는 지금 선형, bijective orthonormal eigenfunction 기초 지도를 고려합니다 $\vec{F}$ 시작일 $C^\infty(M)$ 종료 $C^\infty(N)$ 의 계산에서 예비 위, $\vec{F}$ 매끄러운 기능을 위해 점방식 제품 보존(확장 시 특성 기능 보존) $L^2(M,g)$상기 전제는 The premise that $\set{M^{i,j,k}}$ 이 지도 아래에는 변함이 없다.

렘마

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ 유니폼 규범을 유지합니다.

렘마 증명

허가 $\set{a_i}$ be a smooth partition분할 of unity단일 on $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

따라서 $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ 크로네커 델타(Kronecker delta)

지배적 컨버전스 정리(dominated convergence theorem,

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

각 분리 하위 세트에 대한 긍정적 측정의 특성 함수입니다. $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. 이것은 Lemma가 각각에 대해 입증되었음을 의미합니다. $a_j$, 긍정적인 측정을 가진 세트의 제한 특성 기능이 보존되기 때문에, 따라서 모든 것과 같이 획일한 규범 1이, $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$그림 (5)

일반성 손실 없이 원활한 통합 분할에 대해 표시된 특수 사례 결과를 적용할 수 있습니다. $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$여기서 $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ 렘마는 긍정적 인 척도를 가지고 있으며, 렘마는 전체적으로 입증되었습니다.

시작일 $\set {\bar e^i}$ 이것은 또한 Fourier의 기초입니다. $L^2(M,g)$방정식 (3)에서 분명하다. $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. 즉, 고밀도 집합에서 $C(M)$ (그리고 $C(N)$), 우리는 설치했습니다 $\vec{F}$ 아벨의 isomorphism $C^*$ algebras, 따라서 isomorphism의 확장 될 수있다 $C(M)$ 및 $C(N)$ 같은 범주에서.

이제 우리는 Gelfand-Naimark Representation Theorem (in contravariant functor form)을 unital Abelian에 적용합니다. $C^*$ 대수학 [JC19] 이 동형성을 동형성(homeomorphism)으로 표현하기 $F$ 사이 $N$ 및 $M$. 그것은 매끄러운 기능에 bijective이기 때문에, 그것 또한 매끄럽습니다.

현재로서는 diffeomorphism $F$ eigenvalues 및 eigenfunctions 보존 (가설에 의해) $\vec{F}(f) = f\circ F$), 그것은 부드러운 기능에 라플라시안을 보존해야합니다. 따라서 동일한 타원 연산자의 기본 기호도 보존해야 합니다. [MT13]. 라플라시안의 주요 상징은 단순히 Riemannian 메트릭을 문제의 다양성에 표현하는 또 다른 수단입니다.

이것은 정리의 증거를 완성합니다.

코롤러 토론

대상 $\set{M_0^{i,j,k}}$ 및 $\set{M_1^{i,j,k}}$ 기본에 대한 두 개의 삼중 제품 세트를 나타냅니다. $\set{e_0^i}$ 및 $\set{e_1^i}$의 Let $z_i \in U_1$ 다음과 같이 하십시오. $U_1^\infty$ 이러한 orthonormal 기초에 행동 $\set{e_1^i}$. 그래서 우리는 선택해야합니다. $z_i$ 이렇게 $\set{z_ie_1^i}$ 수율 $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$.

이게 왜 케이스인가요? 일반적으로, eigenfunctions의 가능한 직교 기지의 공간에 작용하는 대칭 그룹은 단일 연산자의 공간입니다 $U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ 프로젝션과 함께 $P_{\mathcal V_\lambda}$ 유한 차원의 eigenspaces $\mathcal V_{\lambda}$ 각 개별 고유 값과 연관됨 $\lambda$ 라플라시안 The Laplacian 따라서

$$\begin{aligned} P_{\mathcal V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathcal V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

의 이미지입니다. $M^{i,j,k}$ 아래 $U$기준 작업 $e^i \mapsto U(e^i)$.

이제 Corollary 2의 조건 하에서, 각각의 $\mathcal V_\lambda$ 1차원 벡터 공간 $\Complex$그러나 그것은 또한 그들이 하나의 차원 벡터 공간을 의미 $\Reals$, 따라서 전체 다중 대칭 그룹은 $O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

일반적으로 연관된 필요 조건 “절대값의 계약 관련” 그저 그렇게 될 뿐 “정렬된 단수 값 집합 보존 $\set{M^{i,j,k}}$ (다중성으로 계산됨), 에서 맵 모음으로 표시되는 경우 $\mathcal V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathcal V_{\lambda_j}, \mathcal V_{\lambda_k}^*)$”의 강력한 단일 불변 집합입니다. 우리는이 일반화 된 추측이 사실임을 확신하지 못하는데, 이는 명백한 Sunada 건설을 통해 반예제를 생산할 수 있기 때문입니다.

Corollary 1로 돌아가면, 우리는 증거가이 의미를 확립하는 것을 포함합니다 :

$$z_k = M_0^{i,\bar i,k} / M_1^{i,\bar i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,\bar r,i}M_0^{s,\bar s,j}M_0^{t,\bar t,k}}{M_1^{r,\bar r,i}M_1^{s,\bar s,j}M_1^{t,\bar t,k}}\, .$$

우리는 어떤 주어진 것을 기대할 수 있습니다. $k>0$, $M_0^{i,i,k}$ 동일할 수 없습니다. $0$ 모두 $i$일반적으로 참 조건이지만 아래 예제에서 다루는 플랫 토리 케이스와 같은 특정 경우는 거짓입니다. 또한, Formula 대상 $z_k$ 둘 다 필요 $i$- 독립성 및 충분성, 기본 맵 설정 $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ 보존 $\set{M_0^{i,j,k}}$.

우리는 다음 수식 세트 아래에 Corollary 1 (효율성)의 증거를 스케치합니다.

그럼에도 불구하고, 우리는 몇 가지 관련 ID를 계산 하자 그래서 일부 간헐적 인 미래 연구자는 일반화 된 추측에 파고 수:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \inf_{f\in \mathscr H_k^\perp} \frac{||df \cdot df||^2}{||f||^2} &= \lambda_{k+1}\text{ , with }f=\pm e^{k+1}\ .\\ \text {So the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ \sum_{\ell}Q_\ell(f,f)e^\ell &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)M^{i,j,\ell}e^\ell\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)(M^{i,i,\ell} + M^{j,j,\ell} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^\ell})e^\ell\\ = g^2 &= \sum_{i,j,\ell}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,\ell}e^\ell\implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

참고: 아래 1차원 플랫 토리 케이스의 경우, $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ 이후 $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$ 이것은 진정한 파생입니다.

코롤러 증거

Now consider the famous associativity relations from Conformal Field Theory:

$$\begin{aligned} e^ie^je^k = \sum_\ell\bra{e^ie^j}\ket{\bar{e^k}e^\ell}e^\ell &= \sum_{\ell,r} M^{i,j,r}\bar M^{\bar k,\ell,r}e^\ell\\ &= \sum_{\ell,r} M^{i,k,r}\bar M^{\bar j,\ell,r}e^\ell\ \therefore\\ i = \bar j, \ell = k\text{ and relabeling } \implies \\ \sum_r M^{i,\bar i,r}\bar M^{j,\bar j,r} &= \sum_r |M^{i,j,r}|^2 \end{aligned}$$

Corollary 1은 다음과 같은 사실입니다. $z_k\in U_1$ 잘 정의되어 있으며, 대수 연산자가 정의한 이전 관찰 $z_iz_jz_kM_0^{i,j,k}$ 및 $M_1^{i,j,k}$ 둘 다 연관되어 있고, eigenfunctions의 절대값의 제곱에 의한 점방향 함수 곱셈에 동의하며, 생성된 대수학은 또한 조밀하다. $L^2(M,g)$ (다시 Stone-Weierstrass에 의해, 그것은 별개의 점으로 추정되기 때문에). 설정 중 $\det M^{i,\bar i,k} \ne 0$ 무한히 유한 차원 서브 매트릭스에 자주 이러한 목적을 위해 충분합니다.

왜? 허가 $\mathscr V$ be the vector벡터 space생성된 by $\set{|e_i|^2}$및 $\mathscr W$ 대상 $\set{e^i}$. 다음으로는 commutative diagram

$$\begin{CD} \mathscr V @>M^{i,i,k}e^k >> \mathscr W\\ @V\set{|e^i|^2(x)}VV @VV\set{e^i(x)}V\\ \Complex^\N @>>M^{i,i,k} > \Complex^\N \end{CD}$$

의 surjectivity $M^{i,i,k}$ 암시 $\ker = 0$ 평가 맵용 $\set{|e^i|^2(x)}$기타 $\mathscr V$ 소실되지 않는 결정 요소 조건이 유지될 때마다 점을 구분합니다.

그들은 모든 곳에서 동의한다.

$$\forall k>0\ \exists\ i>0\ ⋺ M^{i,\bar i,k} \ne 0.$$

Corollary 2 충분성은 그 방정식을 언급함으로써 따른다. 이전 단락에서 사라지지 않는 결정 요소 조건과 마찬가지로 일반적으로 사실입니다. 만약 어떤 선택의 $i,j,k$, 제품 $M^{i,\bar i,k} \bar M^{j,\bar j,k}$ 기지 사이에 동의하지 않으면 모든 기지 쌍에 동의하지 않을 것입니다.

왜? 일반 매니폴드는 다중성-1 스펙트럼을 갖는 것으로 추정될 수 있기 때문에, 이것은 전체 대칭 그룹을 $U_1^\infty$ 이 제품들은 불변성이며, Theorem 1과 모순된다. 이것은 가설의 필요성을 확립하고 증거를 완성합니다.

이것은 Corollaries의 증거를 완성합니다.

예제

허가 $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ 인덱스화, 순위 지정 $n$ 의 quotient 공간 표현을위한 거짓말 대수 중량의 격자 $\frak{g}=\Reals^n$ 번역 불변 (즉, 상수) 벡터 필드 자체로, 때 $\R^n$ 또한 다음과 같이 표시됩니다. $\frak{g}$’s associated Lie Group over a torus defined by 토러스 $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. 이러한 가중치는 선형 기능에 통합되는 토러스를 통해 1형식의 통합 가능한 리프트를 정의합니다. $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ [중고] 리 그룹(Lie Group) 그런 다음 이러한 선형 함수가 균일하게 재조정될 수 있습니다. $2\pi \sqrt{-1}$) 및 의 직교적 기초를 형성하기 위해 내려오는 다수 문자를 형성하기 위해 지수화 $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$Lebesgue (Haar) 측정 $dx$.

또한,이 기초는 동시에 플랫 토러스의 라플라시안을 대각선화 때문에 라플라시안이 (일정한 계수 선형 미분 연산자) 보편적 봉투 대수의 몫 공간 표현 아래 대칭, 부정-무한 이차 카시미르 요소의 이미지입니다. 따라서 고유값은 일정한 비율( $4\pi^2$) 격자에서 각 캐릭터의 무게의 Casimir-element-determined-length-squared.

우리는 현재 위의 기준을 본다.

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

정형외과(멀티플릭티브 캐릭터) 고유 기능(이러한 네거티브 표현의 유클리드 카시미르 요소)의 Theorem-applicable Fourier base of orthonormal (multiplicative character) eigenfunctions (of this quotient representation of the (negative) 유클리드 카시미르 요소) directly corresponding to $\set{\lambda_i}$. 우리의 이론에 따르면, 우리는 $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (유클리드 표준과 함께)

이제 컴퓨트할 수 있습니다.

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

이 방정식으로 only 무게 격자에 선형 변환의 불변입니다. $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$또는 $L^2$ orthonormal eigenfunction base map 이러한 두 인덱스화 된 순위 사이의 볼륨 보존 반전 가능한 선형 맵에서 유도됩니다 $n$ 무게 격자는 지킬 것입니다 “대수학/위상학” 인덱스화된 데이터 집합 $\set{M^{i,j,k}}$ 불변.

그러나, 우리의 정리이러한 선형 맵이 필수적입니다. $B$ 다음 $B\in SO(n,\Reals)$ 무게 격자에, 때문에 유도된 $L^2$ 고유기능 기반 맵

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

또한 다음을 보존해야 합니다. “분석” 불변성 — Casimir-element 유도된 숫자 $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ 각 인덱싱된 중량, 즉 플랫 토리의 라플라시안의 개별 고유 값.

이 표현 이론적 계정 [AK01] 격자 congruence의 이전 발달과 정확하게 동등합니다 [NRR22] 전통적으로 플랫 토리의 형상 클래스를 구분하는 데 사용됩니다. 사실, 이러한 선형 맵의 행렬 전치 $B\in SO(n,\Reals)$, 이전 단락에서 설명 된 바와 같이, **는 *Gelfand-Naimark 표현 정리 *의 적용에 의해 제공 된 토리 사이의 논란 Riemannian 기하학입니다 검증 우리의 정리.

승인

원래 연구는 1995-1996 년에 은혜로운 제임스 시몬스 연구 상 (James Simons Research Award)과 알프레드 P의 관대 한 지원에 의해 부분적으로 자금을 지원했다. Sloan Dissertation Fellowship 1996-1997 University at Stony Brook 부근의 호텔

저자는 또한 Tanya Christiansen, Carolyn Gordon, Hamid Hezari, Harish Seshadri, 특히 Leon Takhtajan에게 기술 지원 및 출판을위한이 원고의 준비에 대한 검토에 감사드립니다.