المنتجات الثلاثية من وظائف Eigenfunctions والهندسة الطيفية

المؤلف

جو شايفر

مجرّدات

استخدام التقنيات الأولية من التحليل الهندسي، المعادلات التفاضلية الجزئية، و أبيليان $C^*$ الجبرا، نكشف عن رواية، ولكنها مألوفة، ثابتة هندسية عالمية — وهي مجموعة مفهرسة من التكاملات من المنتجات الثلاثية من eigenfunctions من مشغل Laplace-Beltrami، لتوصيف بدقة أي isospectral مغلقة Riemannian متعددة isometric.

مقدمة

لRiemannian مغلقة متعددة $(M,g)$، الذي يميز كلاسه من غير متساوي القياس، هو نوع من المشاكل العكسية [DH11] في الهندسة الطيفية. يمكن للمرء أن يتكهن بأن هذا الفصل سيكون دائمًا فارغًا*. ومع ذلك، فإن الأدب الأكاديمي غني بالبنيات التي عمرها عقود من الاقتران المحدد للأمثلة المضادة: بداية من عام 1964 مع جون ميلنور’s 16-الأبعاد زوج من غير متساوي القياس، isospectral شقة توري [JM64]، والمتابعة [CS92] نحو توصيف الأبعاد العامة لتوري شقة في الكسندر شيمان’s 1993 أطروحة الدكتوراه [AS94] — تمتلئ بالبحث بمساعدة الكمبيوتر عن المهم $\dim = 3$ حالة. يظهر مسح حديث لتاريخ توري المسطح الكامل في [NRR22].

على طول الطريق كانت فروع ثاقبة في مساحات تغطية أكثر تطوراً وغير إقليدية متماثلة ؛ بناء مثل هذه isospectral، غير متساوي القياس “دوالي” تنطوي على موترات انحناء غير حية (وخصائص يولر التي تحددها الطيف في البعد 2 [MS67]مثال رئيسي على هذا الجهد هو توشيكازو سونادا’ث 1985 [TS85] اختراع إطار فضائي عام الغرض، والذي نشر بعد ذلك في نفس العمل لبناء قنوات زائدة في البعدين 2 و 3.

بالنسبة لمقاييس ريمانيان غير المتجانسة، اكتشفت كارولين غوردون قنوات ليست حتى متساوية القياس المحلية [CG93].

يستمر العمل في العديد من المجالات ذات الصلة [DH11]، مثل تحديد الخصائص الطوبولوجية لفئة isospectral، متعددة غير متساوية القياس بشكل عام (فارغة) [ST80]، محدود [AS94]، جامدة [GK80]، و المدمجة [GZ97]) كمجموعة فرعية من المساحات المعيارية المختلفة لمقاييس ريمانيان.

ما نقدمه في هذه المقالة هو منظور جديد على أداة مألوفة: معامِلات فورييه المفهرسة للمنتجات ثنائية الاتجاه من eigenfunctions كمنفصلة “جبري/ثابت طوبولوجي” لاستكمال القائمة، منفصلة “ثابت تحليلي” — طيف غير سلبي من *Laplace-Beltrami المشغل *(يشار إليها هنا باسم Laplacian) على $ℋ = L^2(M,g)$. معًا، نلاحظ أن الزوج يوفر “تمثيل هندسي عالمي منفصل” من الطبقات isometry من isospectral، مغلقة ريمانيان متعددة.

النتائج

يلعب التماثل دورًا مهمًا في الحالات القابلة للتداول الحسابي [TF17] [LS18] [PS94]الذي يتضح بشكل مناسب في لدينا شقة توري مثال أدناه. ومع ذلك، فإن قوة نهجنا ربما يكون من الأفضل أن تظهر في حالة متعددة مع أقل عدد من التماثل ريمانيان، وهي الحالة العامة التي تتزامن في كثير من الأحيان مع القيم الذاتية هي فريدة من نوعها (أي بدون تعدد غير ريفي). في هذه الحالة، نقدم ما يلي

الدافع لدراسة $\set{M^{i,j,k}}$ مستمدة بشكل فضفاض من دراسة دور عامل الضرب الخطي $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$ في تعريف الجبر المشغل الرأسي [FBZ04] مرتبط بنظرية الحقل المتوافق الحلزوني. هنا $V$ هو الفضاء المتجه للدول و $V((z))$ هي مساحة سلسلة لوران الرسمية في $z$ مع المعاملات في $V$. منذ $V$ غالبًا ما يأتي مجهزًا بمساحة Hilbert بأساس تقليدي من سلسلة Fourier، وفهرسة $Y$ باستخدام عناصر أساس Fourier من $V$ هو فقط أكثر مشاركة قليلا من $M^{i,j,k}$ دراسة الحالة هنا، ولكن مشابهة جدا في الروح. ومع ذلك، فإن المقارنة التفصيلية خارج نطاق هذه المقالة.

إذا نظرنا إلى الخريطة

$$(M, g, \set{e^i}) \mapsto \set{\lambda_i, M^{i,j,k}}\ ,$$

تحدد هذه الورقة عن طريق الحقن في هذه الخريطة للتشعبات الريمانية المغلقة (حتى قياس ريماني في مجالها). المزيد من النتائج التي تطبق هذه التقنيات لوصف صورتها (والعكس)، ضمن مساحات محددة من المقاييس، بدأت للتو [AA25]. هناك، يعالج Anshul Adve بدقة المساحات الملموسة للوحدة من الثقوب المدمجة والمضخمة 2 باستخدام هذه الثوابت الهيكلية نفسها من نظرية الحقل المطابقة.

وقد أظهرت هذه النتائج لأول مرة خلال حديث مماثل من قبل المؤلف في MSRI في عام 1997، لكنها تظهر هنا في شكل منشور لأول مرة.

الحدود الأولية

الآن مع $M,g,e^i,M^{i,j,k}$ كما سبق، لـ $f \in C^\infty(M)$ و $i \geq 0$ لاحظ أن معاملات فورييه

$$\begin{aligned} \hat{f}(i) &:= \int_M f(x)\bar{e^i}(x)\sqrt{g(x)}dx \\ \implies \\ f(x) &= \sum_{i=0}^{\infty}\hat{f}(i)e^i(x). \end{aligned}$$

منذ $f$ يمكن تمثيلها بشكل فريد لأنها تتقارب بسرعة Fourier Series ($\Delta_M$-Sobolev التضمين محددة [MT13] [RS75]مع Weyl’القانون غير التقريبي [HW11]، يعني المصطلحات في المجموع هي $o(i^{-n})$ بشكل منتظم في $x$ [LH68], $\forall n\in\N$ثم نرى ذلك من أجل $f_1, f_2 \in C^\infty(M)$، معامِلات فورييه للمنتج الخاطئ $f_1 f_2 \in C^\infty(M)$ هي

$$\begin{aligned} \widehat{f_1 f_2}(k) &= \sum_{i,j}^\infty\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k} \\ \implies \\ f_1f_2(x) &= \sum_{i,j,k}\hat{f_1}(i)\hat{f_2}(j)M^{i,j,k}e^k(x) \\ f_1 = f^p_2,\space p > 2 \implies \\ \sum_{k}\hat{f_1}(k)e^k(x) &= \sum_{i_1,i_2,...,i_{2p-1}}\hat{f_2}(i_1)\hat{f_2}(i_2)\hat{f_2}(i_4)\hat {f_2}(i_6)...\hat{f_2}(i_{2p-2})M^{i_1,i_2,i_3}M^{i_3,i_4,i_5}...M^{i_{2p-3},i_{2p-2},i_{2p-1}}e^{i_{2p-1}}(x). \end{aligned}$$

وهكذا، *حرج *، أي متعدد المتغيرات متعدد الحدود $\weierp \in \Complex[z_1,…,z_l]$ (في وظائف سلسة) يبدأ مع أي الحفاظ على الطيف $\Delta$-eigenfunction أورثورمال أساس خريطة $\vec{F}$ التي تحفظ $\set{M^{i,j,k}}$:

$$\begin{CD} C^\infty(M,\space\Complex^l) @>\weierp >> C^\infty(M)\\ @V\underbrace{\vec{F}\oplus\dots\oplus \vec{F}}_{l\space\text{times}}VV @VV\vec{F}V\\ C^\infty(N,\space\Complex^l) @>>\weierp > C^\infty(N) \end{CD}$$

علاوة على ذلك، إذا $A\subset M$ هو بوريل-قابلة للقياس، ثم النتائج أعلاه عقد في اتجاه عقدي ل وظيفة مميزة من $A$ في كل مكان باستثناء حدود $A$: إذا $f = f^2$ و $A:=\set{x\in M|f(x)=1}$,

$$\sum_{i}\hat{f}(i)e^i(x) = \sum_{i,j,k}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}e^k(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathring{A} \\ 0 & x \in \mathring{A^\complement}\end{cases}$$

وبتفردنا، لدينا الهوية التالية

$$\begin{aligned} \hat{f}(k) &= \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)M^{i,j,k}\space\space \forall k\geq 0 \\ \iff f&=f^2 \space a.e. \end{aligned}$$

وهذا يعني أن أي مخطط أساس من هذا القبيل كما هو موضح أعلاه يحمل وظائف مميزة (كأعضاء في $L^2(M,g)\subset L^1(M,g)$) لوظائف مميزة بطريقة الحفاظ على القياس.

الهدف من هذه الحسابات هو التأكيد على حقيقة أن $\set{M^{i,j,k}}$ يميز تشغيل التحليل التوافقي لعامل تشغيل الضرب في اتجاه النقطة $C^\infty(M)$الذي هو تحت جبر كثيف من Abelian $C^*$ علم الجبر $C(M)$بواسطة نظرية ستون-فيرستراس.

من أجل التقارب السريع لهذه المبالغ المذكورة أعلاه التي تنطوي $M^{i,j,k}$لاحظ أن منتجات وظائف eigenfunctions سلسة، لذلك تتحلل معاملات Fourier هذه كما هو موضح أعلاه (في كل مؤشر). لمزيد من التفاصيل، انظر إيميت وايمان’تعمل في عام 2022 مع هذه المعامِلات من حيث صلتها بعدم المساواة في المثلث على القيم الذاتية [EW22].

Note: قد نفترض دائما

$$\begin{aligned} e^0 &= M^{0,0,0} = 1/\sqrt{vol(M)} \\ \implies \\ M^{0,j,k} &= M^{j,0,k} = \delta_{j-k}\space/\sqrt{vol(M)} \end{aligned}$$

أينَ $\delta_i$ هو دلتا كرونيكر. منذ $vol(M)$ هو متغير طيفي [HW11]، هذه المعلومات متاحة بالفعل من اعتبارات isospectrality.

إثبات النظرية

للضرورة، دعونا $F:(N,h)\rightarrow (M,g)$ أن يكون isometry بين المشعبات ريمانيان مغلقة، والسماح الهدف أورثونورم أساس من eigenfunctions على $L^2(N,h)$ يكون الانسحاب عبر $F$ من اساس orthonormal $\set{e^i}$ يعمل $(M,g)$ فوق. منذ

$$\begin{aligned} M^{i,j,k} &= \int_M e^i e^j \bar{e^k}\sqrt{g}dy \\ &= \int_N e^i(F(x)) e^j(F(x))\bar{e^k}(F(x))\sqrt{h}dx \end{aligned}$$

نحن نفعل مع حجة الضرورة لأن $\Delta_N(f\circ F) = (\Delta_M f) \circ F,\ \ \forall f\in C^\infty(M)$.

من أجل الكفاية، ننظر الآن في الخطي، والخريطة الأساسية لوظيفة تقويم العظام $\vec{F}$ من $C^\infty(M)$ لكي $C^\infty(N)$ ولاحظ أنه من الحسابات في الحدود الأولية فوق، $\vec{F}$ يحافظ على المنتجات الخاطئة للوظائف السلسة (ويحافظ على وظائف الخصائص عند تمديدها إلى $L^2(M,g)$) من قبل فرضية أن $\set{M^{i,j,k}}$ هو ثابت تحت هذه الخريطة.

ليما

$\vec{F}: C^\infty(M)\rightarrow C^\infty(N)$ يحافظ على القاعدة الموحدة.

دليل Lemma

دع $\set{a_i}$ أن يكون تقسيمًا سلسًا للوحدة $M$.

$$\begin{aligned} 1 &= \sum_i a_i(x) \\ &= \sum_{i,j} \hat{a_i}(j)e^j(x) \\ &= \sum_j e^j(x)\sum_i \hat{a_i}(j) \end{aligned}$$

وهكذا $\sum_i\hat{a_i}(j) = \delta_j\sqrt{vol(M)}$ (دلتا كرونيكير).

من خلال نظرية التقارب المهيمنة،

$$\lim_{p\rightarrow\infty} \sum_j\hat{a^p_j}(k) = \int_{\dot{\bigcup}_j\set{a_j=1}}\bar{e^k}(x)\sqrt{g}dx$$

وهي وظيفة مميزة لقياس إيجابي على كل مجموعة فرعية غير مشتركة $\set{x\in M | a_j(x) = 1}$. وهذا يعني أن ليما ثبت لكل $a_j$، منذ يتم الحفاظ على وظيفة مميزة الحد من مجموعة مع مقياس إيجابي، وبالتالي لديه قاعدة موحدة 1، كما يفعل كل شيء $a_j^p,\space \vec{F}(a_j^p)=\vec{F}(a_j)^p,\space p\in\N$عن طريق الرسم البياني (5).

دون فقدان العمومية، قد نطبق نتيجة الحالة الخاصة الموضحة لتقسيم الوحدة بسلاسة $\lbrace|f|/\lVert f \rVert_\infty, 1 - |f|/\lVert f\rVert_\infty\rbrace$أين $\set{x\in M|\space|f(x)| = \lVert f \rVert_\infty}$ له مقياس إيجابي، وقد ثبت ليما بالكامل.

منذ $\set {\bar e^i}$ هو أيضا أساس فورييه ل $L^2(M,g)$ومن الواضح من المعادلة (3) أن $\vec F(\bar f) = \bar{\vec F}(f)$. وهذا يعني أنه على مجموعة كثيفة من $C(M)$ (و) $C(N)$)، لقد أنشأنا $\vec{F}$ كإيزومورفيا من أبيليان $C^*$ الجبر، وبالتالي يمكن أن تمتد إلى isomorphism من $C(M)$ و $C(N)$ في نفس الفئة.

الآن نحن نطبق نظرية تمثيل غيلفاند نيمارك (في شكل وظيفة موانع) لأبليان الأحادية $C^*$ جبرس [JC19] لتمثيل هذا التحول من خلال التحول المنزلي $F$ بين $N$ و $M$. بما أنه حيوي على وظائف سلسة، يجب أن يكون سلسًا أيضًا.

كما هذا الآن مختلف الأشكال $F$ يحافظ على القيم الذاتية ووظائف eigenfunctions (بفرضية على $\vec{F}(f) = f\circ F$)، يجب الحفاظ على لابلاسي على وظائف سلسة. وبالتالي يجب عليه أيضًا الحفاظ على الرموز الرئيسية لنفس عوامل التشغيل البيضاوية. [MT13]. الرموز الرئيسية للLaplacian هي ببساطة وسيلة أخرى للتعبير عن مقياس ريمانيان على المشعبات المعنية.

هذا يكمل دليل النظرية.

مناقشة التخمين

مع $\set{M_0^{i,j,k}}$ و $\set{M_1^{i,j,k}}$ تمثل مجموعتي المنتجات الثلاثية للقواعد $\set{e_0^i}$ و $\set{e_1^i}$، دع $z_i \in \set{-1,1}$ يكون $\Z_2^\infty$ اتخاذ إجراء بشأن ذلك $\R$أساس عظام قيم $\set{e_1^i}$. وبالتالي، نحن بحاجة إلى اختيار $z_i$ لذلك $\set{z_ie_1^i}$ العائدات $\set{M_1^{i,j,k}} = \set{z_i z_j z_kM_0^{i,j,k}}$.

لماذا هذا هو الحال؟ بشكل عام، فإن مجموعة التناظر التي تعمل على مساحة القواعد الخيالية المحتملة لوظائف eigenfunctions هي مساحة المشغلين الوحدويين $U: \mathscr H\rightarrow\mathscr H$ التي تنتقل مع التوقعات $P_{\mathcal V_\lambda}$ على مساحات الثعابين محدودة الأبعاد $\mathcal V_{\lambda}$ المرتبطة بكل eigenvalue الفردية $\lambda$ من Laplacian. لذلك

$$\begin{aligned} P_{\mathcal V_{\lambda}}U(e^i) = UP_{\mathcal V_{\lambda}}(e^i),\ \therefore U(e^i) &= \sum_{\lambda_i = \lambda_j}u_{ij}e^j \implies \\ M_U^{i,j,k} := \int_M U(e^i)U(e^j)\bar U(\bar e^k)\sqrt g dx &= \sum_{\lambda_r = \lambda_i,\lambda_s=\lambda_j,\lambda_t=\lambda_k} u_{ir}u_{js}\bar u_{tk} M^{r,s,t} \end{aligned}$$

هي صورة $M^{i,j,k}$ تحت $U$’إجراء الأساس s $e^i \mapsto U(e^i)$.

الآن في ظل ظروف التخمين، كل من $\mathcal V_\lambda$ هي مساحات متجه أحادية البُعد عبر $\Complex$، ولكن هذا يعني أيضًا أنها مساحات متجهة أحادية البُعد $\Reals$، وبالتالي فإن مجموعة التماثل التعددي الكاملة هي $O(1,\Reals)^\infty=\Z_2^\infty$.

بدون قيد التعددية، التخمين’المتطلبات المسبقة المرتبطة “فيما يتعلق بالاتفاق في القيم المطلقة” سيصبح ببساطة “الحفاظ على مجموعة مرتبة من القيم الفردية $\set{M^{i,j,k}}$ (يتم حسابها بتعدد)، عند عرضها كمجموعة من الخرائط من $\mathcal V_{\lambda_i} \rightarrow Hom(\mathcal V_{\lambda_j}, \mathcal V_{\lambda_k}^*)$”التي هي مجموعة قوية من الثوابت الوحدوية. نحن أقل ثقة بكثير من أن هذا التخمين المعمم صحيح، لأنه قد يكون من الممكن إنتاج مثال مضاد عبر بناء سونادا صريح.

بالعودة إلى التخمين الأصلي، نلاحظ أن الدليل ينطوي على إثبات هذا التأثير:

$$z_k = M_0^{i,i,k} / M_1^{i,i,k} \,\, \forall i,k\in\N,\, ⋺ M_0^{i,i,k} \ne 0 \, \implies \exists r,s,t \in \N\ ⋺\ \frac{M_0^{i,j,k}}{M_1^{i,j,k}} = \frac{M_0^{r,r,i}M_0^{s,s,j}M_0^{t,t,k}}{M_1^{r,r,i}M_1^{s,s,j}M_1^{t,t,k}}\, .$$

ولعلنا نأمل في أن $k$, $M_0^{i,i,k}$ لا يمكن أن يكون متطابقًا $0$ للجميع $i$. علاوة على ذلك، فإن الصيغة من أجل $z_k$ يتطلب كلاهما $i$-الاستقلال، والكفاية، لوضع خريطة الأساس $e_0^i \mapsto z_i e_1^i$ يحافظ $\set{M_0^{i,j,k}}$. ولا تزال جميع هذه الجوانب غير معروفة.

ومع ذلك، دعونا نحسب بعض الهويات ذات الصلة حتى يتمكن بعض الباحثين المستقبليين الجريئين من البحث في هذا التخمين:

$$\begin{aligned} \Delta fg &= f\Delta g + g\Delta f - 2 df \cdot dg \implies \\ M^{i,j,k} &= 2 \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\lambda_i +\lambda_j -\lambda_k} \implies \\ \frac{\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k}}{\bra{e^ie^j}\ket{e^k}} &= \frac{\lambda_i+\lambda_j-\lambda_k}{2}\ \text{ when }M^{i,j,k} \ne 0\ .\\ \inf_{f\in \mathscr H_k^\perp} \frac{||df \cdot df||^2}{||f||^2} &= \lambda_{k+1}\text{ , with }f=\pm e^{k+1}\ .\\ \text {and so the quadratic form} \\ Q_k(f,g) :&= \bra{df\cdot dg}\ket{e^k} = \sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)\bra{de^i\cdot de^j}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} .\\ \text{Now with }J \text{ real-analytic}\\ Q^J_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{(J(\sqrt{\Delta})fg - fJ(\sqrt{\Delta})g - gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k} \\ &= -\frac{1}{2}(\bra{fg}\ket{J(\sqrt{\Delta}) e^k} - \bra{fJ(\sqrt{\Delta})g + gJ(\sqrt{\Delta})f}\ket{e^k})\\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{g}(j)(J(\sqrt{\lambda_i}) + J(\sqrt{\lambda_j}) - J(\sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ \tilde{Q}_k(f,g) :&= -\frac{1}{2}\bra{\sqrt{\Delta} fg - f\sqrt{\Delta}g -g\sqrt{\Delta}f}\ket{e^k} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i,j} \hat{f}(i)\hat{g}(j)(\sqrt{\lambda_i} + \sqrt{\lambda_j} - \sqrt{\lambda_k})M^{i,j,k}\\ df \cdot dg &= \sum_k Q_k(f,g)e^k = -\frac{\Delta fg - f\Delta g - g\Delta f}{2}\\ Q_0(f,f) &= \frac{1}{\sqrt{vol(M)}}\sum_i \hat{f}(i)^2 \lambda_i\\ \sum_{\ell}Q_\ell(f,f)e^\ell &= \frac{1}{2}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)M^{i,j,\ell}e^\ell\\ &= \frac{1}{4}\sum_{i,j,\ell}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j -\lambda_\ell)(M^{i,i,\ell} + M^{j,j,\ell} - \bra{(e^i-e^j)^2}\ket{e^\ell})e^\ell\\ = g^2 &= \sum_{i,j,\ell}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,\ell}e^\ell\implies\\ \frac{1}{2}\sum_{i,j}\hat{f}(i)\hat{f}(j)(\lambda_i + \lambda_j - \lambda_k)M^{i,j,k} &= \sum_{i,j}\hat{g}(i)\hat{g}(j)M^{i,j,k} \\ &= \widehat{g^2}(k). \\ \end{aligned}$$

Note: بالنسبة لحالة المسطح ذات البعد الواحد أدناه، $\tilde{Q}_k(e^i,e^j) = 0$ منذ $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-1}\frac{d}{dx}$ هو اشتقاق حقيقي.

مثال

دع $\set{\lambda_i} \subset \R^n$ أن تكون مفهرسة، تصنيف $n$ شعرية الأوزان كذبة الجبر لتمثيل الفضاء حاصل على $\frak{g}=\Reals^n$ كما الترجمة الثابتة (أي ثابت) حقول المتجه على نفسها، عندما $\R^n$ كما ينظر إليها على أنها $\frak{g}$’مجموعة الكذب المرتبطة على الجذع المحدد بواسطة $\Reals^n/A\Z^n, A \in GL(n,\Reals)$. تحدد هذه الأوزان المصاعد غير الصالحة من أشكال 1 على الجذع الذي يتكامل مع الوظائف الخطية $\bra{x} \lambda_i\rangle,\space x\in\Reals^n$ كَذَلِكَ كَذَلِكَ كَذَلِكَ كَذَلِكَ كَذَلِكَ. يمكن بعد ذلك إنقاذ هذه الوظائف الخطية بشكل موحد (بواسطة $2\pi \sqrt{-1}$) و أسندت لتشكيل الحروف المضاعفة التي تنحدر لتشكيل أساس عادي من $L^2(\Reals^n/A\Z^n,dx)$، مع مقياس Lebesgue (Haar) $dx$.

وعلاوة على ذلك، فإن هذا الأساس في وقت واحد قطري الجذع شقة’s Laplacian لأن Laplacian هو صورة متناظرة، سلبية غير محددة رباعية عنصر Casimir تحت هذا (المعامل الثابت الخطي عامل التفاضلي) تمثيل الفضاء الحاصل من الجبر المغلف العالمي. وبالتالي، فإن قيمتها الذاتية في نسبة ثابتة (من $4\pi^2$) إلى Casimir-element-determined-length-squared من كل حرف’الوزن في الشبكة.

ونحن ننظر حاليا إلى الأساس أعلاه

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle{x}|\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

أن تكون لدينا نظرية قابلة للتطبيق Fourier الأساس من orthonormal (الطابع المضاعف) eigenfunctions (من هذا التمثيل حاصل القسائم للعنصر (السالب) Euclidean Casimir) المقابلة مباشرة ل $\set{\lambda_i}$. بواسطة نظرية’الفرضيات، يجب أن يكون $i < j \implies \lVert\lambda_i\rVert \leq \lVert\lambda_j\rVert$ (مع قاعدة إقليدية على الأوزان).

الآن يمكننا الحوسبة

$$M^{i,j,k} = \begin{cases} 1/\sqrt{|\det A|} & \lambda_i + \lambda_j - \lambda_k = 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

مثل هذه المعادلة هو فقط ثابت تحت التحولات الخطية على شعرية الوزن $(A^{-1})^t\Z^n = \set{\lambda_i}$، فقط $L^2$ أورثونورمال eigenfunction أساس خريطة التي يتم تحفيزها من حجم الحفاظ الخطي عكسها خريطة بين اثنين من هذه المفهرسة، رتبة $n$ شعيرات الوزن ستحافظ على “جبري/طوبولوجي” مجموعة البيانات المفهرسة $\set{M^{i,j,k}}$ ثابت.

ولكن من أجل تطبيق مبرهنة، من الضروري أن مثل هذه الخريطة الخطية $B$ يكون $B\in SO(n,\Reals)$ على شعرية الوزن، لأن المستحث $L^2$ خريطة أساس eigenfunction

$$\set{e^{2\pi\sqrt{-1}\langle x| B\lambda_i\rangle}/\sqrt{|\det A|}}_{i=0}^\infty$$

يجب أيضا الحفاظ على “تحليلي” المتغيرات — الرقم الناجم عن عنصر كازيمير $4\pi^2\lVert\lambda_i\rVert^2$ لكل وزن مفهرس، أي القيم الذاتية الفردية لـ Flat-tori’لابلسي

هذا الحساب النظري التمثيلي [AK01] هو بالضبط ما يعادل التطور السابق ل شعرية التوافق [NRR22] تستخدم تقليديا لتحديد فئات isometry من توري شقة. والواقع أن المصفوفة تنقل مثل هذه الخريطة الخطية $B\in SO(n,\Reals)$، كما هو موضح في الفقرة السابقة، هو القياس النظري ريمانيان موانع بين توري، على النحو المنصوص عليه في تطبيق نظرية التمثيل غلفاند نيمارك *خلال التدقيق من مبرهنة.

الإشعارات

تم تمويل البحث الأصلي جزئياً من خلال جائزة جيمس سيمونز للأبحاث الكريمة في 1995-1996، والدعم السخي من ألفريد ب. زمالة أطروحة سلون في 1996-1997 في جامعة ستوني بروك.

كما يود صاحب البلاغ أن يشكر تانيا كريستيانسن، وكارولين غوردون، وحامد حزاري، وهاريش سيشادري، ولا سيما ليون تختاجان على مساعدتهم التقنية ومراجعتهم في إعداد هذه المخطوطة للنشر.